约分和通分
分式的约分和通分
分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．3．例题与练习：例1： 约分：()532164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --322.2 （1）①有没有公因式？②公因式是什么？ 解：23235324444164ca abc c abc a abc bc a -=⋅⋅-=- 小结：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分(2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：()y x a -，约分可得：解：()()()()()()()()2232322222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--⋅--=---=-- 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．例2 .把下列各式约分：()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a 解：()()()()x x x x x x xx x 5555525.122+=--+=-- ()()()()()212313634.222-+=-+++=-+++a a a a a a a a a a (五)小结：1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。
2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。
约分和通分的概念
约分和通分的概念①互质数： 最大公因数是11.最大公因数的几种情况 ②存在倍数关系：最大公因数是较小数 ③一般情况： 短除法2.把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫约分。
约分的理论依据是分数的基本性质（除法）； 约分的最后结果是最简分数。
3.分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫最简分数。
也就是分子和分母是互质数的分数是最简分数。
4.约分的方法：①逐次约分（用分子和分母的公因数去约，可能约两次也可能约三次）②一次约分（用分子和分母的最大公因数去一次性约分）5.几个数公有的倍数，叫它们的公倍数，其中最小的倍数叫它们的最小公倍数。
公倍数的个数是无限的因此没有最大公倍数。
公倍数和最小公倍数的关系：公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
6. 求最小公倍数的方法：①列举法 ②筛选法 ③集合圈 ④分解质因数 ⑤短除法①互质数： 最小公倍数是它们的乘积7.最小公倍数的几种情况 ②存在倍数关系： 最小公倍数是较大数③一般情况： 短除法8.比较大小：①分母相同（即分数单位相同），分子大则分数就大。
②分子相同（即取的份数相同，不同分数单位的个数相同）分母小则分数反而大。
9.把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫通分。
通分的理论依据是分数的基本性质（乘法） 通分的关键：找出几个分母的公分母（最小公倍数）；求最小公分母的方法和求最小公倍数的方法相同。
10.小数化成分数的方法：①一位小数写成10几 ②两位小数写成100几③三位小数写成1000几…… 再约分化简，结果必须是最简分数。
11. 分数化小数的方法 ①一般情况：分子÷分母（除不尽的保留两位小数）②特殊情况：分母是2、5、20、25、50等（同时乘一个数）化为分母是10、100、1000再化为相应的小数。
12.怎么样的最简分数能化为有限小数？ 能：分母中除了含有2和5以外，不含有其他质因数不能 ：分母中含有2和5以外的质因数，不能化为有限小数。
分数的基本性质、约分与通分(适用于小学六年级数学)
分数的基本性质、约分与通分知识梳理1、 分数的分类及基本性质（1） 分数的分类：真分数与假分数真分数：分子比分母小的分数称为真分数；例如：45 等。
假分数：分子大于或等于分母的分式称为假分数；例如：54,等。
带分数：带分数是假分数的另外一种表现形式；它由整数和真分数相加得到。
例：1+45 =145 。
（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分数的大小不变。
2、约分（1）约分的概念：把一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数，分数的值（大小）不变，这样的过程叫约分。
约分的依据为分数的基本性质。
如：2430 =45（2）最简分数的概念：分子、分母的公因数只有1的分数称为最简分数。
（3）最大公因数的求法 ①列举法例如：求12和18的最大公因数；12的因数有：1、2、3、4、6、12；18的因数有：1、2、3、6、12、18；12和18的公因数有：1、2、3、6；所以12和18的最大公因数是：6.② 短除法例如：求12和18的最大公因数（如下图所示）：12和18的最大公因数为：2×3=6 ③分解质因数法如：12=2x2x3,18=2x3x3,公有的质因数是2,3，所以12和18的最大公因数是2x3=6（4）实际应用当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决。
3、通分（1）通分的概念：把分母不相同的分数化成和原来分数大小相等且分母相同的分数，这个过程叫通分。
通分的依据是分数的基本性质。
（2）最小公倍数的求法：①列举法例如：求6和8的最小公倍数。
6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。
②短除法例：用短除法求16和24的最小公倍数；用短除法求6、8、12的最小公倍数。
16和24的最小公倍数是：6、8和12的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48；2×3×2×2=24③分解质因数法例如：求6和15的最小公倍数。
约分和通分
【知识要点归纳】 1．约分的意义（1）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（2）分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
如：32、41、65等。
2.约分的方法（1）用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
（2）应用约分的方法对一个分数约分。
如：把3018约分。
①约分的形式：②约分时尽量口算。
如果能很快看出分子和分母的最大公约数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。
如：3.通分的意义通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分时，要根据分数的基本性质运算。
4.通分的方法（1）先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。
（2）通分时应注意的问题： ①注意通分的格式。
②通分时，要能很快地看出公分母，并用口算通分；通分时，遇到有带分数的，只把分数部分通分，整数部分不变，但不能丢掉整数部分。
例如：把41和65通分用4和6的最小公倍数作公分母。
41＝3431⨯⨯＝123 65＝2625⨯⨯＝12105.小数化分数的方法小数化分数，原来有几位小数，就在1后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子；化成分数，能约分的要约分。
6.分数化小数的方法分数化小数，要用分子除以分母；除不尽时，可以根据需要按“四舍五入”保留几位小数。
如：31＝1÷3≈0.33（保留两位小数）7.判断一个最简分数能否化成有限小数的方法一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
【典型范例剖析】例1 已知b b a⨯＝452，a 、b 最小各是多少？分析：根据题意，可把45分解质因数，看组成“b ×b ”缺哪一个质因数，这是约分所致，应设法补上。
把45分解质因数是：45＝3×3×5，要把3×3×5变换成“b ×b ”的形式，必须补上质因数“5”。
15.1.3分式的约分和通分
15.1.3分式的约分和通分一知识要点：【约分】（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
约分时。
分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式【通分】（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.【分式的约分和通分--关键先是分解因式】二 例题教学：题型一：最简分式的概念例1: 1）下列各分式中，最简分式是( )A 、()()y x y x +-8534B 、2222xy y x y x ++ C 、y x x y +-22 D 、()222y x y x +- 2）下列分式.,24,,424,x 2222ba b a b b x x m m x +++-++π中，最简分式是————————————。
题型二：分式的约分例2：约分：（1）322016xy yx -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x . 题型三：最简公分母的确定例3: 1）分式23a ，a 65，28ba 的最简公分母是（ ） A ．48a 3b 2 B ．24a 3b 2 C ．48a 2b 2 D ．24a 2b 22）分式22)2(14a 1--a b b b 和的最简公分母是———————— 。
分式的约分与通分
分式的约分与通分
分数在数学中非常常见。
在进行数学计算和分析时，通常需要
将分数进行约分或通分。
在本文中，我们将探讨分数约分和通分的
方法及其在数学中的应用。
分数的约分是指将分数的分子和分母同时除以它们的公约数，
使分数变得简化。
例如，2/4可以约分为1/2，因为2和4的最大公
约数是2，除以2后得到1和2。
分数约分的方法是，先求出分子
和分母的最大公约数，然后同时除以最大公约数。
分数的通分是指将两个或多个分数的分母改为相同的数，使它
们具有相同的分母。
例如，1/3和2/5的通分可以得到5/15和6/15，因为它们的最小公倍数是15。
分数通分的方法是，先分别求出每个分数的因数分解式，然后将分母的因数相乘，再将分子和新的分母
相应乘上一个倍数，使新分子和旧分子相等。
分数的约分和通分在数学中具有广泛的应用。
例如，当我们想
要将两个分数进行比较时，通常需要将它们变成相同分母的分数，
然后再比较它们的分子大小。
又例如，在分数加减法中，通常需要先将分数通分，然后再做加减运算。
综上所述，分数的约分和通分虽然看上去简单，但却是数学中很重要的基础知识。
对于初学者来说，熟练掌握这些方法，可以为后续的学习打下坚实的基础。
分式的约分与通分技巧
分式的约分与通分技巧在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，分式可以通过约分和通分来进行简化或合并。
约分是指分式的分子与分母同时除以它们的公约数，使分子和分母尽可能小。
通分则是将两个分式的分母统一为相同的数，以便进行比较或运算。
在本文中，我们将介绍分式的约分与通分的一些技巧。
一、分式的约分技巧当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分。
约分的目的是使得分子和分母尽可能地简化，这样可以方便计算和比较。
1. 找出分子和分母的公约数：公约数是指能够同时整除两个或多个数的数。
例如，对于分式4/8，公约数有1、2和4。
2. 除去公约数：将分子和分母分别除以它们的公约数。
对于分式4/8，我们可以除以公约数2，得到最简分式1/2。
3. 化简分式：如果分式的分子和分母仍然有公约数，可以继续进行约分操作，直到无法再约分为止。
例如，对于分式12/24，我们可以先找出它们的最大公约数为12，然后进行除法操作，得到最简分式1/2。
二、分式的通分技巧在进行分式的比较或运算时，往往需要将分式的分母统一为相同的数，这就是通分操作。
1. 找出分式的最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。
例如，对于分式1/2和3/4，我们可以找出它们的最小公倍数为4。
2. 乘以适当的倍数：将分子和分母同时乘以适当的倍数，使得分母变为最小公倍数。
对于分式1/2，我们乘以2/2得到2/4；对于分式3/4，我们乘以1/1得到3/4。
3. 进行比较或运算：通分后的分式可以进行比较或运算。
例如，对于分式1/2和3/4，通分后分别为2/4和3/4，可以直接比较它们的大小。
三、约分与通分的应用约分与通分技巧在数学中的应用非常广泛，特别是在分数的计算、比较和运算中。
1. 分数的加减运算：当进行分数的加减运算时，需要先找到它们的最小公倍数，然后进行通分操作，最后进行相应的运算。
例如，对于分式1/2和1/3的相加，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后分别将它们通分为3/6和2/6，再进行加法运算得到5/6。
分数的通分约分
（一）约分最简分数：分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。
（即分子和分母互质）1. 约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数叫做约分。
2. 约分的方法：约分一般用分子和分母的公约数（1除外）去除分数的分子和分母通常要除到得出最简分数为止。
3. 最简分数：分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。
注：（1）约分时，如果能很快看出分子和分母的最大公约数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。
（2）约分的依据是分数的基本性质，分子、分母同时除以相同的数（0除外）分数的大小不变。
例1. 选择。
（把正确答案的序号填在括号里）（1）分子和分母的公约数只有1的分数是（）<1>真分数<2>假分数<3>带分数<4>最简分数（2）能约成的分数有（）<1><2><3><4>（3）一个分数的分子不变，分母缩小2倍，这个分数（）<1>大小不变<2>扩大2倍<3>缩小2倍<4>减少2倍答案：（1）<4> （2）<3> （3）<2>例2. 把下面的各分数约分。
例3. 先约分，再比较每组中两个分数的大小。
和和和（二）通分1. 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫做通分。
2. 通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数做公分母，然后把各分数分别化成用这个公分母作分母的分数。
注：（1）几个分数，若分母相同，则这个分母叫做这几个分数的公分母。
（2）通分的依据仍是分数的基本性质，分子分母同时乘上相同的数（0除外）分数的大小不变。
例1. 先写出各组分数的最小公分母，再化成同分母分数。
（1）和的最小公分母是（）（），（）（2）和的最小公分母是（）（），（）（3）和的最小公分母是（）（），（）答案：（1）（12），（），（）（2）（24），（），（）（3）（12），（），（）例2. 把下面每组中的两个分数通分。
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约分和通分
知识点：
（一）约分
1、最简分数是指分数的分子和分母（ ）。
2、约分的依据：分数的基本性质--------（ ）。
3、约分的关键：找出分子与分母的公因数或者是最大公因数。
（二）通分
1、通分的目的：是把异分母的分数化成（ ）。
2、通分的关键：找出分母的公分母（一般情况下是找分母的最小公倍数）。
（三）知识相关
最大公约数和最小公倍数的求法
基础知识检测
一、填空
1、（ ）的分数，叫做最简分数．
2、一个最简分数，它的分子和分母的积是24，这个分数是（ ）或
（ ）。
3、分母是8的所有最简真分数的和是（ ）．
4、一个最简分数，把它的分子扩大3倍，分母缩小2倍，是
2
3，原分数是（ ），它的分数单位是（ ）．
5、2510的分子、分母的最大公约数是（ ），约成最简分数是（ ）．
6、通分时选用的公分母一般是原来几个分母的（ ）．
二、判断（对的打“√”，错的打“×”）
1、分子、分母都是偶数的分数，一定不是最简分数．（ ）
2、分子、分母都是奇数的分数，一定是最简分数．（ ）
3、约分时，每个分数越约越小；通分时，每个分数的值越来越大．（）
4、约分是每个分数单独进行的，通分是在几个分数中进行的．（）
5、带分数通分时，要先化成假分数．（）
三、选择题
1、分子和分母都是合数的分数，（）最简分数．
①一定是②一定不是③不一定是
2、分母是5的所有最简真分数的个数是（）．
①2 ②4 ③1 ④3
3、两个分数通分后的新分母是原来两个分母的乘积．原来的两个分母一定（）．
①都是质数③是相邻的自然数③是互质数
4、小于或等于1的分数（）．
①有1个②有2个③有无数个
5、通分的作用在于使（）．
①分母统一，规格相同，不容易写错．
②分母统一，分数单位相同，便于比较和计算．
③分子和分母有公约数，便于约分
6、分母分别是15和20，比较它们的最简真分数的个数的结果为（）
①分母是15的最简真分数的个数多．
②分母是20的最简真分数的个数多．
③它们的最简真分数的个数一样多．
7、把化成分数部分是最简真分数的带分数的方法应该是（）
①先约简再化成带分数．
②先化成带分数再把分数部分约简．
③都可以，结果一样．
8、一个最简真分数，分子与分母的和是15，这样的分数一共有（）
①1个②2个③3个④4个
例题讲解
例1：约分
10556=
例2：通分
43、52和107
巩固练习
1、下面的分数哪些是最简分数．
最简分数有：（
）
2、把下面各数约分．
3、下面哪些分数没有约成最简分数
4、写出分母是8的最简真分数（ ）。
5、填空
用( )做公分母．
6．找出下列每组数的公分母：
7．把下面的每组数通分． 127和3613
231
、43
和36
5
8．判断下面各题．
9．把下面每组分数从大到小排列．
10．红花有30朵，黄花有28朵，黄花占红花朵数的( )．。