运筹(第十一章决策论)..
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运筹学决策论
开始结点：应是决策结点 终止：后果 一个简单的决策树
概率枝 状态点
带雨伞 =0.62 不下雨 0.6 下雨 0.4 0.5 下雨 0.4 0.8
后果
0.6
决策点
不带雨伞 0.42 不下雨 0.6 0.3
方案枝
状态点后可 以接方案点
试验
出油 0.85 好 0.6 钻井 不出油 0.15 不钻 井 出油 0.6 不好 0.4 钻井 不出油 0.4 不钻 井
θ1 U11 U21 U31 ┆
θ2 U12 U22 U32 ┆
θ3 U13 U23 U33 ┆
θ4 U14 U24 U34 ┆
┈ ┈ ┈ ┈
该后果相对于决策者的效用，无 量钢，0～1之间的数，U＝U （X）——称为效用函数，具体 如何获得决策者的效用函数，后 面章节将具体介绍
状态
行动
A1 A2 A3 ┆
决策是社会科学中用来描述人类进行选择的过程的 术语； 决策是指考虑策略（或方法）来解决目前或未来问 题的智力活动
通过以上定义可以看出：决策是一种有目的的选择行 动，它以人的主观价值判断为依据
决策理论最早与对策一同发展，当前区分依赖于： 对策－多个人之间或人和人之间的决策 决策－人与环境之间对策
不试验 钻井
出油 0.4
不出油 0.6
方案点后可 以接方案点
不钻 井
悲观主义决策准则 乐观主义决策准则 等可能性（Laplace)准则 最小机会损失（最小后悔值、Savage)准则 折中主义准则
§ 6 随机型（风险型）决策准则
6.1随机型决策问题的基本条件和准则
随机性决策问题的基本条件
策 略
运筹学—决策论
乙方案：用较高级的国产设备，固定成本800万元，产品每件 可变成本为15元；
丙方案：用一般国产设备，固定成本600万元，产品每件可变 成本为20元；
试确定在不同生产规模情况下的购置机床的最优方案。
11.2 确定型和非确定型决策
【解】 此题为确定型决策．利用经济学知识，选取最优决
策．最优决策也就是在不同生产规模条件下，选择总成本较低 的方案．各方案的总成本线如图11.2．
11.2 确定型和非确定型决策
（4）等可能性决策准则(Equal likelihood criterion)
策略值为
E(Al*)maE x(A {i)}
m 1
E(Ai)
i1
maij
1 m
mi1aij
则应选择对应的A1方案为决策方案，即生产产品I
11.2 确定型和非确定型决策
(5) 折衷法，现实主义准则(Hurwicz criterion)
11.2 确定型和非确定型决策
U 称为策略空间；U的元素Uj称为决策变量． （3）损益函数 是指当状态处在Si情况下，人们做出Uj决策，
从而产生的损益值Vij，显然Vij是Si、Uj的函数，即
V ij v ( S i,u j) i 1 ,2 , m ;j 1 ,2 , n
当状态变量是离散型变量时，损益值构成的矩阵叫损益矩阵．
11.2 确定型和非确定型决策
(2)大中取大法（乐观主义准则maxmax）
策略值为
v m i m aja i x a j m xm jaa 1 x ja ,m jx a 2 ja , ,x m j a 4 ja 8 x00
则对应的A1方案为决策方案，即生产产品I ．
11.2 确定型和非确定型决策
丙方案：用一般国产设备，固定成本600万元，产品每件可变 成本为20元；
试确定在不同生产规模情况下的购置机床的最优方案。
11.2 确定型和非确定型决策
【解】 此题为确定型决策．利用经济学知识，选取最优决
策．最优决策也就是在不同生产规模条件下，选择总成本较低 的方案．各方案的总成本线如图11.2．
11.2 确定型和非确定型决策
（4）等可能性决策准则(Equal likelihood criterion)
策略值为
E(Al*)maE x(A {i)}
m 1
E(Ai)
i1
maij
1 m
mi1aij
则应选择对应的A1方案为决策方案，即生产产品I
11.2 确定型和非确定型决策
(5) 折衷法，现实主义准则(Hurwicz criterion)
11.2 确定型和非确定型决策
U 称为策略空间；U的元素Uj称为决策变量． （3）损益函数 是指当状态处在Si情况下，人们做出Uj决策，
从而产生的损益值Vij，显然Vij是Si、Uj的函数，即
V ij v ( S i,u j) i 1 ,2 , m ;j 1 ,2 , n
当状态变量是离散型变量时，损益值构成的矩阵叫损益矩阵．
11.2 确定型和非确定型决策
(2)大中取大法（乐观主义准则maxmax）
策略值为
v m i m aja i x a j m xm jaa 1 x ja ,m jx a 2 ja , ,x m j a 4 ja 8 x00
则对应的A1方案为决策方案，即生产产品I ．
11.2 确定型和非确定型决策
2021年运筹学习题集(第十一章)
判断题判断正误，如果错误请更正第十一章决策论1.在不确定型决策中，最小机会损失原则比等可能性则保守性更强。
2.决策树比决策矩阵更适于描述序列决策过程。
3.在折衷主义原则中，乐观系数α的确定与决策者对风险的偏好有关。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第11章决策论1.对于不确定型的决策有主观者的态度不同基本可分为以下几种准则A 乐观主义准则 B 悲观主义准则 C 最大期望收益准则 D 等可能性准则 E 最小机会损失准则2.对于不确定型的决策，某人采用乐观注意准则进行决策，则应在收益表中 A 大中取大 B 大中取小C 小中取大D 小中取小3.下列哪项不属于按环境分类的决策 A 确定型 B 不确定型 C 风险型 D单项决策型4.下列哪项是面向决策结果的方法的程序 A 收集信息→确定目标→提出方案→方案优化→决策 B确定目标→收集信息→决策→提出方案→方案优化 C B确定目标→收集信息→提出方案→方案优化→决策 D确定目标→提出方案→收集信息→方案优化→决策5.按决策过程过程的连续性应将决策分为哪几类 A 暂时决策 B 序贯决策 C长期决策 D 单项决策 E 程序化决策计算题11.1某地方书店希望订购最新出版的图书．根据以往经验，新书的销售量可能为50，100，150或200本．假定每本新书的订购价为4元，销售价为6元，剩书的处理价为每本2元．要求：（1）建立损益矩阵；（2）分别用悲观法、乐观法及等可能法决策该书店应订购的新书数字；（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定书店应订购的新书数．（4）书店据以往统计资料新书销售量的规律见表11－13，分别用期望值法和后悔值法决定订购数量；（5）如某市场调查部门能帮助书店调查销售量的确切数字，该书店愿意付出多大的调查费用。
表11－13（21423（3）后悔矩阵如表11.1－2所示。
23（4）按期望值法和后悔值法决策，书店订购新书的数量都是100本。
运筹学 第十一章
某非确定型决策问题的决策矩阵如表所示：
E1 S1 S2 S3 S4 4 4 15
E2 16 5 19
E3 8 12 14
E4 1 14 13
2 17 8 17 （1）若乐观系数α=0.4，矩阵中的数字是利润，请用非确定 型决策的各种决策准则分别确定出相应的最优方案． （2）若表中的数字为成本，问对应于上述决策准则所选择的 方案有何变化？ 某一决策问题的损益矩阵如表，其中矩阵元素为年利润。 事 E E E 件 概 率方案 S S S 40 360 1000 200 360 240 2400 360 200 P P P
某钟表公司计划通过它的销售网抵消一种低价钟表,计划零售 价为每块10元.对这种钟表有三个设计方案:方案Ⅰ需一次投资 10万元,投产后每块成本5元; 方案Ⅱ需一次投资16万元,投产 后每块成本4元; 方案Ⅲ需一次投资25万元,投产后每块成本3 元;该种钟表需求量不确切,但估计有三种可能: E—30 000; E—120 000; E—200 000; (a)建立损益矩阵 (b)分别用乐观法,悲观法及等可能法决定该公司应采用哪一个 设计方案 事件 E E E 方案 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 5 2 -4 50 56 59 90 104 115
专业代码
11
专业名 称信息管理与信息系统课程代 码18
知识点 代码
题
干
11181102 某地方书店希望订购最新出版的图书．根据以往经验，新书的 销售量可能为50，100，150或200本．假定每本新书的订购价 为4元，销售价为6元，剩书的处理价为每本2元．要求：（1） 建立损益矩阵；（2）分别用悲观法、乐观法及等可能法决策 该书店应订购的新书数字 ；
有一种游戏分两阶段进行．第一阶段，参加者需先付10元，然 后从含45%白球和55%红球的罐中任摸一球，并决定是否继续第 二阶段．如继续需再付10元，根据第一阶段摸到的球的颜色的 相同颜色罐子中再摸一球．已知白色罐子中含70%蓝球和30%绿 球，红色罐子中含10%的蓝球和90%的绿球．当第二阶段摸到为 蓝色球时，参加者可得50元，如摸到的绿球，或不参加第二阶 段游戏的均无所得．试用决策树法确定参加者的最优策略．
运筹学复习要点
运筹学复习要点运筹学复习要点第二章线性规划与单纯形法一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题：1、目标函数为求最大；2、约束条件为等式约束；3、决策变量为非负。
二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . ,xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示；4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标函数。
根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现；3、线性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解；6图解法只适用于两个决策变量的情况。
四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可行解是否为最优解。
如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数值应该优于原基可行解。
再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行解，如此进行下去，直到找到最优解为止。
五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… ,b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。
无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。
运筹学教材习题答案详解
3
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
运筹与决策绪论课件
决策支持系统
系统概述
介绍决策支持系统的概念、功能 和发展历程。
系统构成
分析决策支持系统的组成要素，如 数据仓库、模型库、方法库等。
系统应用
介绍决策支持系统在各个领域的应 用案例，如企业管理、政府决策等 。
CHAPTER 04
案例分析与实践
生产计划优化案例
总结词
生产计划优化案例主要涉及企业生产过程中 的资源配置和计划安排，通过优化算法和模 型实现生产效率和成本的提高。
人工智能技术将帮助企业实现 自动化决策，提高决策效率和 准确性。
人工智能技术将促进运筹学与 决策分析的创新发展，开拓新 的研究领域和应用场景。
结论与建议
01
运筹学与决策分析在企业管理中具有重要作用，未来将继续发 挥关键角色。
02
企业应加强运筹学与决策分析的实践应用，提高决策的科学性
和准确性。
学者和研究者应积极探索新的运筹学基础知识
线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于 解决具有线性约束和线性目标函数的 最大化或最小化问题。
VS
线性规划是运筹学中一个重要的分支 ，它通过寻找一组变量的最优组合， 以实现特定的目标或目标函数。线性 规划问题在生产计划、资源分配、运 输、分配等问题中有着广泛的应用。
运筹学与决策分析将继续发挥重要作用，为企业 的决策提供科学依据。
随着大数据和云计算技术的发展，运筹学与决策 分析将更加依赖于数据驱动的决策方法。
未来运筹学与决策分析将更加注重跨学科的研究 ，如与机器学习、人工智能等领域的交叉融合。
人工智能在运筹与决策中的应用
人工智能技术将在运筹与决策 中发挥越来越重要的作用，如 机器学习、深度学习等技术在 优化算法中的应用。
运筹学课程常见疑难问题及解答
由于写对偶问题是本章其他内容的基础，因此需要通过大量
的练习熟练掌握原问题与对偶问题的对应关系。
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利用松弛性质求解对偶问题最优解时应注 意什么？
注意给出的线性规划问题是否具备原问题或者对偶问题的标
准形式。对于具备标准形式的线性规划问题，可以直接利用
松弛性质中的描述进行计算。
对于不具备标准形式的线性规划问题，不可以直接利用松弛
以单位矩阵对应的变量作为基变量时，求出的基本解一 定是基本可行解。
迭代时以单位矩阵对应的变量作为基变量，还可以从单
纯形表中直接读出各变量的值。
返回
应用大M法时应注意什么问题？
应用大M法时应注意：
在约束方程中加入人工变量以后，一定要在目标函数中
增加罚函数项；
在求极大的目标函数中，人工变量系数应为-M，相反在
第八章—目标规划
第九章—排队论 第十章—存贮论 第十一章—决策论 第十二章—多目标决策方法 第十三章—在民航应用案例
一般性问题的解答
运筹学在民航运输中的应用情况
参见第十三章内容及平台上的学术文献
如何学好运筹学课程
同一问题求解方法的选择
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如何学好运筹学课程？
i=1 m
n m a kj x j b k时, y k 0； a ij yi c j , j 1, , n j=1 的最优解，当且仅当 i=1 m y 0,i 1, , m a y c 时, x 0. i l l il i i=1
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什么是满秩矩阵？
如果方阵的行列式非零，则该方阵是满秩矩阵。 某方阵是满秩矩阵时，以该方阵各列作为系数的各变量作为
基变量，其他变量取为常数（计算基本解时取为0）时，则
的练习熟练掌握原问题与对偶问题的对应关系。
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利用松弛性质求解对偶问题最优解时应注 意什么？
注意给出的线性规划问题是否具备原问题或者对偶问题的标
准形式。对于具备标准形式的线性规划问题，可以直接利用
松弛性质中的描述进行计算。
对于不具备标准形式的线性规划问题，不可以直接利用松弛
以单位矩阵对应的变量作为基变量时，求出的基本解一 定是基本可行解。
迭代时以单位矩阵对应的变量作为基变量，还可以从单
纯形表中直接读出各变量的值。
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应用大M法时应注意什么问题？
应用大M法时应注意：
在约束方程中加入人工变量以后，一定要在目标函数中
增加罚函数项；
在求极大的目标函数中，人工变量系数应为-M，相反在
第八章—目标规划
第九章—排队论 第十章—存贮论 第十一章—决策论 第十二章—多目标决策方法 第十三章—在民航应用案例
一般性问题的解答
运筹学在民航运输中的应用情况
参见第十三章内容及平台上的学术文献
如何学好运筹学课程
同一问题求解方法的选择
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i=1 m
n m a kj x j b k时, y k 0； a ij yi c j , j 1, , n j=1 的最优解，当且仅当 i=1 m y 0,i 1, , m a y c 时, x 0. i l l il i i=1
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什么是满秩矩阵？
如果方阵的行列式非零，则该方阵是满秩矩阵。 某方阵是满秩矩阵时，以该方阵各列作为系数的各变量作为
基变量，其他变量取为常数（计算基本解时取为0）时，则
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……
EN
条件
S1 S2 …… SM
a11 a21 … am1
a12 a22 … am2
… … … …
a1n a2n … amn
收益
2018/10/7
5
例1：某工厂以批发方式销售其生产的产品，每件产品 的成本0.03元，批发价每件0.05元。若每天生产 的产品当天销售不完，每件损失0.01元。该厂每 天的产量可以是0件，1000件，2000件，3000件， 4000件。则决策者应如何考虑其产量，使收入最 高？
方案１ 是最优方案
2018/10/7
8
三、乐观主义决策准则---大中取大
从最好处着想，从最好中再找出最好的情况。
１、找出每个方案的最好结果（每行最大值)；
２、比较各行最大值，找出最大者，其对应的方案就是最优。
max{ max( a1 j ), max( a 2 j ),... max( a mj )}
益期望值最大者对应的方案进行决策。
2018/10/7
14
销售量（事件）
０ 概率 ０ １０００ ２０００ ３０００ ４０００ ０．１ ０ －１０ －２０ －３０ －４０ １０００ ０．２ ０ ２０ １０ ０ －１０ ２０００ ０．４ ０ ２０ ４０ ３０ ２０ ３０００ ０．２ ０ ２０ ４０ ６０ ５０ ４０００ ０．１ ０ ２０ ４０ ６０ ８０
６０ ５０
４０
６０ ８０
４０
６０ ８０
方案５ 是最优方案
2018/10/7
10
四、等可能性决策准则 ( Laplace )
认为各种结果出现的可能性是均等的，按照收益的均值 确定所作决策。 １、计算每种策略下的期望收益； ２、比较各行个策略的期望收益，找出最大者，其对应的方案 就是最优。
销售量（事件） 期望值 ４０００ ０ ２０ ４０ ６０ ８０ 0 １４ ２２ ２４ ２０
i j
2018/10/7
7
销售量（事件）
min ４０００ ０ ２０ 0 -10
产 量
０ ０ １０００ ０ －１０
１０００ ０ ２０
２０００ ０ ２０
３０００ ０ ２０
︵ 策 略 ︶
２０００
３０００ ４０００
－２０
－３０ －４０
１０
０ －１０
４０
３０ ２０
４０
６０ ５０
４０
６０ ８０
-20
-30 -40
11
产 量
０ ０ １０００ ２０００ ３０００ ４０００
2018/10/7
１０００ ０ ２０ １０ ０ －１０
２０００ ０ ２０ ４０ ３０ ２０
３０００ ０ ２０ ４０ ６０ ５０
︵ 策 略 ︶
０ －１０ －２０ －３０ －４０
方案４ 是最优方案
五、最小机会损失决策准则 ( Savage )
构造损失矩阵，选取损失最小者
期望 收益
0 １７ ２８ ２７ ２０
方案３ 是最优方案
这种方法适用于在同样的策略集、同样的事件集情况下，多 次进行决策的问题，按照各事件出现的概率，决策者最终的 收益就是一个平均的结果（期望值）
—按问题性质和条件分
2018/10/7 2
一般决策过程：
问题的确定 方案设计 方案选优
实施方案并进一步完善
决策要素：决策者；
供选方案；
客观环境条件；
各方案可能对应的结果；
评价标准。
2018/10/7 3
本章策：不同的方案会对应产生不同的后果， 到底出现哪一种结果，缺乏信息，常常要根据经验、 偏好等做出决策，从而导致产生不同的结果。 风险型决策：不同的方案会对应产生不同的后果， 各种结果的出现有一定的概率信息，因此决策者做 出某决策后，如果没有达到预期目标，则承受一定 的风险。
１、找出每列最大收益值；
２、最大收益值减去该列各收益值，得到机会损失值（即客观 环境出现该事件时，由于决策者没有采用相应的最优策略， 所造成的损失） ３、比较各行损失值，找出最大者， ４、在各行的最大损失值中，选取最小者，其对应的方案就是 最优。
2018/10/7
12
损失矩阵
销售量（事件） ０ １０００ ２０ ０ ２０００ ４０ ２０ ３０００ ６０ ４０ ４０００ ８０ ６０ 最大 机会损失 ８0 ６０
二、悲观主义决策准则---小中取大
从最坏处着想，从最坏中找出最好的情况。
１、找出每个方案的最坏结果（每行最小值）；
２、比较各行最小值，找出最大者，其对应的方案就是最优。
max{ min( a1 j ), min( a 2 j ),... min( a mj )}
j j j
max min {a ij}
解：建立收益矩阵如下
销售量（事件） ０ １０００ ０ ２０ １０ ０ －１０ ２０００ ０ ２０ ４０ ３０ ２０ ３０００ ０ ２０ ４０ ６０ ５０ ４０００ ０ ２０ ４０ ６０ ８０
6
产 量
０ １０００ ２０００ ３０００ ４０００
０ －１０ －２０ －３０ －４０
︵ 策 略 ︶
2018/10/7
产 量
０ １０００
０ １０
︵ 策 略 ︶
２０００
３０００ ４０００
２０
３０ ４０
１０
２０ ３０
０
１０ ２０
２０
０ １０
４０
２０ ０
４０
３０ ４０
方案４ 是最优方案
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§３
风险决策
一、最大收益期望值决策准则（EMV
因为各种结果事件以一定的概率出现，鉴于此，
各种方案的收益情况，按照期望值确定，选取收
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
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第十一章 决策分析
§1 引言
决策:针对相关问题，按照预定目标，采用一定的
理论、方法、手段，从所有供选方案中找出最满 意的方案，并进行实施，直至目标实现。
决策分类：个体决策，群体决策—按决策参与人情况分
单目标决策，多目标决策—按达到的目标分 单阶段决策，多阶段决策—按阶段情况分 确定型、不确定型、风险型、竞争型
j j j
max max {a ij}
i j
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销售量（事件） ０ １０００ ０ ２０ ２０００ ０ ２０ ３０００ ０ ２０ ４０００ ０ ２０
max
产 量
０ １０００
０ －１０
0 ２０
︵ 策 略 ︶
２０００
３０００ ４０００
－２０
－３０ －４０
１０
０ －１０
４０
３０ ２０
４０
确定型决策就是只有一种可能结果的决策。
竞争型决策属于博弈论的内容。
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§2
不确定型决策
一、模型
假设某决策问题，有m 个方案供选，由于客观环境、条件 等情况决定会产生n 种结果事件。对应方案（策略） S i ， a ij 出现结果E j 时的收益为 。则收益矩阵
E E1 S
策略集
E2