2地基土中的应力
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土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
地基中的应力计算
地基中的应力计算地基是地下工程中最基本的构造部分，承受着上部结构的重量和荷载，承担着巨大的压力作用。
在地基设计中，应力计算是非常重要的一部分，它能够提供地基承载力和安全性的评估。
本文将介绍地基中应力计算的方法和计算公式。
首先，需要了解地基中的应力是如何形成的。
地基承受的主要应力有自重应力、活载荷载应力和附加应力。
自重应力是由于地基材料本身的重量所引起的应力，可以通过材料的密度和重力加速度计算得到。
活载荷载应力是由上部结构的荷载所引起的应力，可以根据上部结构的设计荷载计算得到。
附加应力是由于地基中存在的其他因素所引起的应力，比如建筑物的自身形变引起的应力。
接下来，我们介绍如何计算地基中的应力。
地基中的应力计算可以根据不同的地基类型和荷载情况采用不同的方法。
下面以均质土壤的地基为例，介绍几种常用的应力计算方法。
1.利用铁索计算应力：铁索是一种常用的应力计算工具，可以通过测量铁索的伸长量来计算地基中的应力。
首先，在地基中铺设一根长度合适的铁索，然后测量并记录铁索的伸长量。
根据该伸长量和铁索的初始长度，可以通过应力-应变关系计算得到地基中的应力。
2.利用试孔计算应力：试孔是另一种用于计算地基中应力的方法。
首先，在地基中进行试孔，并记录试孔的深度和直径。
然后，根据试孔的直径和土壤的剪切强度，可以计算得到地基中的应力分布情况。
3.利用数值模拟计算应力：数值模拟是一种常用的计算地基应力的方法，它可以通过建立地基的有限元模型来模拟地基的应力分布情况。
首先，需要根据地基的实际情况建立有限元模型，然后通过数值计算方法求解得到地基中的应力。
综上所述，地基中的应力计算是地基设计的重要环节，可以通过铁索、试孔和数值模拟等多种方法进行计算。
在进行应力计算时，需要考虑地基的类型、荷载情况和材料特性等因素，确保计算结果的准确性和可靠性。
地基中的应力计算对于确保地基的稳定性和安全性具有重要意义，是地基设计中不可或缺的一环。
土中的应力计算
土不能承受拉力
e x
e xL
Ke
L x K=B/2-
L
压力调整 基底压
y
y
e
3K
y
pmin 0
力合力 与总荷
载相等
pmax
pmin
0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
pmax
e=B/6: 三角形
e>B/6: 出现拉应力区
2N
2N
pmax 3KL 3(B 2 e)L
12
2.2.3基底附加压力
H 成层
E1 均匀
E2<E1
25
无限均布荷载作用下的附加应力
当条形荷载在宽度方向增加 到无穷时，此时地基中附加应力 分布仍可按均布条形荷载下土中 应力的公式计算，查表2-10。
相当于薄压缩层：h 0.5b
b，z/b 0， αsz=1.0
基础中点处，任意深度处的附加
应力均等于p0，即在大面积荷载
作用下，地基中附加应力分布与 深度无关。
成层 H
均匀 E1
E2>E1
23
2.变薄交互层地基（各向异性地基） • 当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 • 当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
24
3.双层地基（非均质地基）
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基 ▪ 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象
21
条形荷载与矩形荷载的附加应力对比图
表明荷载作 用面积越大 附加应力传 递的越深。
22
2.3.4 地基附加应力的应用讨论
1.变形模量随深度增大的地基（非均质地基）
B
e x
e xL
Ke
L x K=B/2-
L
压力调整 基底压
y
y
e
3K
y
pmin 0
力合力 与总荷
载相等
pmax
pmin
0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
pmax
e=B/6: 三角形
e>B/6: 出现拉应力区
2N
2N
pmax 3KL 3(B 2 e)L
12
2.2.3基底附加压力
H 成层
E1 均匀
E2<E1
25
无限均布荷载作用下的附加应力
当条形荷载在宽度方向增加 到无穷时，此时地基中附加应力 分布仍可按均布条形荷载下土中 应力的公式计算，查表2-10。
相当于薄压缩层：h 0.5b
b，z/b 0， αsz=1.0
基础中点处，任意深度处的附加
应力均等于p0，即在大面积荷载
作用下，地基中附加应力分布与 深度无关。
成层 H
均匀 E1
E2>E1
23
2.变薄交互层地基（各向异性地基） • 当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 • 当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
24
3.双层地基（非均质地基）
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基 ▪ 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象
21
条形荷载与矩形荷载的附加应力对比图
表明荷载作 用面积越大 附加应力传 递的越深。
22
2.3.4 地基附加应力的应用讨论
1.变形模量随深度增大的地基（非均质地基）
B
土力学-地基中的应力计算概述
基础传至地 基的荷载
地基
基础 埋深
（1）集中荷载作用下的解 ( Boussinesq 解，1885 )
P
x
r
y
x
y
R
z
z
• 位移解
ux4PG[R xz3(12)R(Rxz)]
uz
4PG[R z23
(1)1]
R
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学 家，对数学物理、流体力学 和固体力学都有贡献。
a
a
a
b
角点
b
p
b
中心点
1
2
34
任意点
z
z
z
k(a , b
z) b
p
z
z
z
4k(a, b
2z) b
p
z z
k k1 k2 k3 k4
z k p
3）矩形线性荷载 （角点下）
角点
b
角点
p
z
a
z
p
z
k(b , a
z) a
p
查表计算
3. 应力计算小结
（1）自重应力及均匀满布荷载作用下的附加应力，可利用平衡方程 等通过简单方法获得。
（2）线状荷载作用下的应力（Flamant解）
p
1）属平面应变问题，即：
a. 应变 y 0 。
dP pdy
b. 位移、应力等量仅与坐标
x、z有关。
x
2）利用Boussinesq解，通过 沿荷载分布线积分得到应力。
x - dx=2p(x2x2zz2)2
y
xz
2p
第二章 土体中的应力计算
• [思考题答案] 按给出的资料，计算并绘制地 基中的自重应力 沿深度的分布曲线。 （假定，地下水位位于标高为141.0处。）
2.2
基底压力
• 基底压力：上部结构荷载和基础自重通过 基础传递，在基础底面处施加于地基上的 单位面积压力。 • 基底反力：反向施加于基础底面上的压力
基底压力、反力
• 基底压力 建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传 基底压力：
讨论： 讨论：
p max p min = F + G 6e 1± bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 时 ， 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 时 ， ， 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布 时 ， ，基底出现拉应力， pmax e<l/6 pmin pmax e=l/6 pmax pmin<0 基底压力重分布 pmax e>l/6 pmin=0
2.2.1 基底压力的分布规律
（1）情况1 情况1
EI=0
(a) 理想柔性基础
(b) 堤坝下基底压力
图2-1 柔性基础 基础抗弯刚度EI=0，相当于绝对柔性基础 基底压力分布与作用荷载分布相同。 基底压力分布与作用荷载分布相同。
（2）情况2 EI=∞ 情况2 刚度很大(即EI=∞),可视为刚性基础(大块混凝土实体结构) 。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。
例题见教材P29 例题见教材P29 [例2-2]解题思路: 2]解题思路: 解题思路 1)求基础自重 G=γGAd 2)求外荷F=P+Q 3)求基础的合力距M:M=M/+Q∙e0 4）求合力距的偏心距e ：M=(F+G)∙e p F + G 6e 5）求基底压力 = 1 ±
土力学解答2
6．土坡失稳：是指土坡在一定范围内整体地沿某一滑动面向下和向外移动而丧失其稳定性。
9．土粒比重：土颗粒与同体积4℃纯水的质量之比。
10．灵敏度：评价粘性土结构性强弱的指标，是指同一粘性土的原状土与重塑土的无侧限抗压强度之比。
61、饱和软粘性土灵敏度St的定义？
答：在含水量不变的条件下，原状土不排水强度与彻底扰动后土的不排水强度之比。
62、粘性土触变性的定义？
答：在含水量不变的条件下，土经扰动后土强度下降，经过静置它的初始强度可随时间而逐渐恢复的现象。
63、砂土的液化条件？
答：土体必须是饱水的；排水不畅；土结构较疏松；有适当动荷载条件作用。
22.粘性土按塑性指数分为粉质粘土和粘土，粉质粘土的塑性指数为(10 <IP≤17 >。
23.埋藏在地表浅处、局部隔水层之上且具有自由水面的地下水称为__<上层滞水>__。
24.布辛涅斯克解是弹性解，竖向集中荷载作用点处的应力将趋于__无穷大__。
25.在局部荷载作用下，地基中的竖向附加应力分布范围相当
11．最优含水量：土的压实效果与含水量有关，当土的含水量达到某一特定值时，土最容易被压实，获得最大干密度，这个特定的含水量值就是最优含水量。
12．粘性土可塑性：在外力作用下，粘性土可任意改变形状而不裂、不断。当外力拆除后，土仍能保持已改变的形状，这就是可塑性。
13．孔隙比：土中孔隙体积与土粒体积之比。
50、压缩系数a1-2与土的压缩性的关系？
答：a1-2＜0.1MPa-1时，属于低压缩性土。0.1MPa-1≤a1-2＜0.5MPa-1时，属于中等压缩性土。a1-2≥0.5MPa-1时，属于高压缩性土。
9．土粒比重：土颗粒与同体积4℃纯水的质量之比。
10．灵敏度：评价粘性土结构性强弱的指标，是指同一粘性土的原状土与重塑土的无侧限抗压强度之比。
61、饱和软粘性土灵敏度St的定义？
答：在含水量不变的条件下，原状土不排水强度与彻底扰动后土的不排水强度之比。
62、粘性土触变性的定义？
答：在含水量不变的条件下，土经扰动后土强度下降，经过静置它的初始强度可随时间而逐渐恢复的现象。
63、砂土的液化条件？
答：土体必须是饱水的；排水不畅；土结构较疏松；有适当动荷载条件作用。
22.粘性土按塑性指数分为粉质粘土和粘土，粉质粘土的塑性指数为(10 <IP≤17 >。
23.埋藏在地表浅处、局部隔水层之上且具有自由水面的地下水称为__<上层滞水>__。
24.布辛涅斯克解是弹性解，竖向集中荷载作用点处的应力将趋于__无穷大__。
25.在局部荷载作用下，地基中的竖向附加应力分布范围相当
11．最优含水量：土的压实效果与含水量有关，当土的含水量达到某一特定值时，土最容易被压实，获得最大干密度，这个特定的含水量值就是最优含水量。
12．粘性土可塑性：在外力作用下，粘性土可任意改变形状而不裂、不断。当外力拆除后，土仍能保持已改变的形状，这就是可塑性。
13．孔隙比：土中孔隙体积与土粒体积之比。
50、压缩系数a1-2与土的压缩性的关系？
答：a1-2＜0.1MPa-1时，属于低压缩性土。0.1MPa-1≤a1-2＜0.5MPa-1时，属于中等压缩性土。a1-2≥0.5MPa-1时，属于高压缩性土。
地基土的应力分布
地基土的应力分布第一节自重应力和附加应力自重应力由于土的自重所引起的土的应力，称之为土的自重应力。
在一般情况下，土层的覆盖面积较大，地基土是一个半无限体，任何垂直面都是对称面，在自重应力作用下，不可能有侧向剪切变形，因此地面下任何深度z处的垂直应力σoz必等于其上覆土层的自重，根据这个条件，均质土中的自重应力，可按下式求得：σoz=γzσcx=σcy=(ν/1-ν)* σczτxy=τyz=τxz=0式中σcz—地面下z深度处土的垂直自重应力（kpa）γ—土的重度（KN/m3）z—由地面到计算点的深度（m）σcx、σcy—z深度处土的水平压应力（kpa）τxy、τyz、τxz—z深度处的剪应力（kpa）ν—土的泊松比ξ—侧压力系数，ξ=σcx=σcz=(ν/1-ν)当地基土由成层土组成时，任意层i的厚度为h，重度为γ时，则在深度z=各土层厚度之和处的自重应力σcz=γ1h1+γ2h2+γ3h3+………+γnhn地下水位以下土层的重度，应以土的浮重度代替。
若其下存在不透水层（如岩层），则在此层面处所受到自重应力等于全部上覆的水土部重。
自重应力一般不会引起地基变形，正常固结的土在自重作用下的压缩变形早已完成。
但有些堆积年代不久的土层（如新填土、冲填土等），可能有自重作用下的变形问题。
附加应力由于建筑荷载的作用，在土中产生的应力，称为附加应力。
其分布规律与自重应力不同，由于基础的面积有限，而荷载也是局部的，应力通过荷载下的地基土传递至深层，与此同时发生应力扩散，随着深度的增加，荷载分布至更大的面积之上，使单位面积的应力愈来愈小。
附加应力的另一特点是使地基产生新的变形，从而使建筑发生沉降。
第二节基础底面的压力分布接触压力的分布接触压力是基础底面与地基土触面处的单位面积压力，也就是基础传递给地基的压力。
当基础无埋深时，接触压力就是基底处的附加压力；当基础埋置在地表下一定深度时，附加应力等于接触压力减去基底以上的土自重。
土力学清华版第2章 土体中的应力计算
94.0 83.8 57.0 31.6 18.9 12.3
1200 1200 1600 1600 1600
25.6 44.8 60.2 71.7 83.2
88.9 70.4 44.3 25.3 15.6
114.5 115.2 104.5 97.0 98.8
0.970 0.960 0.954 0.948 0.944
a点：z=0，sz= z=0； b点：z=2m，sz=192=38kPa； c点：z=5m，sz=192+103=68kPa； d点：z=9m，sz=192+103+7.14=96.4kPa 分布如图:
§2 土体中的应力计算
§2.3地基中附加应力的计算
例题 土体表面作用一集中力F=200kN，计算地面深度 z=3m处水平面上的竖向法向应力z分布，以及距F作用点 r=1m处竖直面上的竖向法向应力z分布。
§3.3 地基的最终沉降量计算 四、例题分析 5.计算基础中点下地基中附加应力
7.2
6.确定沉降计算深度zn 根据σz = 0.2σc的确定原则，由计算结果，取zn=7.2m 7.最终沉降计算 根据e-σ曲线，计算各层的沉降量
§3土的压缩性与地基沉降计算
z( m ) 0 1.2 2.4 4.0 5.6 7.2 h σc σz σz+ σc e1 ( kPa ) ( mm ) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa)
§2.3地基中附加应力的计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
三角形分布荷载AFD作用在aeOh和ebfO上： z2=z2(aeOh)+
z2(ebfO)=p1(t1+t2)
z2=33.3(0.021+0.045)=2.2kPa
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1.地下水位以上土层 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度
1 h1 + 2h2
h2
水位面
h3
2.非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布， 应力分布转折点：土 分层处；地下水位处； 不透水层处
不透水层顶面
1 h1 + 2h2 + 3h3 1 h1 + 2h2 + 3h3＋ wh3
cz
cx cy k0 cz
cz
cx
cz z
σcz= z
z 静止侧压 力系数
cy
1
1
z
二、成层土的自重应力
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1 n
天然地面
h1
1
2 3
1 h 1
第二章
土中应力
主要内容
§2.1土中自重应力（水平，竖直） §2.2基底压力 §2.3地基中的附加应力
土中应力介绍
土中的应力按其产生的原因。可分为自 重应力和附加应力两种。前者是指由土 体本身重量产生的；后者是指由建筑 物的荷载所引起的
§2.1
土的自重应力
自重应力：由于土体本身自重引起的应力
1、矩形均布荷载角点下土中附加应力
荷载微单元 pdxdy
dxdy
3dp z 3 3 p z3 d z 2 R 5 2 x 2 y 2 z 2
52
p m mn 1 1 arctan 2 s 2 2 2 2 2 2 2 m n n 1 n m n 1 m n 1
三、地下水对土中自重应力的影响 1、地下水位下降
天然地面
原地下水位 z
变动后地下水位
地下水位下降， 土的自重应力 增加，引起土 体发生变形。
2、地下水位上升
天然地面
变动后地下水位
原地下水位
地下水位上升， 土的自重应力 减小，使得粘 性土地基承载 力降低，挡土 墙侧向压力增 加，土坡的稳 定性降低
pkmin =0
二、基底附加压力
基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物
而新增加的压力称为基底附加压力，即导致地基中产 生附加应力的那部分基底压力 F
实际情况 F d 基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
基底附加压力计算
基底附加压力
基底压力均匀分布时，p0 p - m d 基底附加压力 基底压力呈梯形分布时， 基底附加压力
(1)m点在矩形荷载面以内 σz＝(KcⅠ＋KcⅡ＋KcⅢ＋KcⅣ)p0 (2)m点在矩形荷载面边缘 σz＝（KcⅠ＋KcⅡ）p0 (3)m点在矩形荷载面以外 σz＝(Kcmecg+Kcmgbf- Kcmedh－Kcmhaf)p0 (4)m点在矩形荷载面角点外侧 σz＝(Kcmech－Kcmedg－Kcmfbh＋Kcmfag)p0
• （3）O点下的应力
• O点将矩形荷载面积分为四个相等小矩形。任一小矩 形m=1/0.5=2,n=1/0.5=2,由表2-2查得KcO=0.0.1202， 故O点下的竖向附加应力为：
σcO = 4KcO P = 4 ×0.1202 × 100 = 48.08 kPa
• （4）F点下的应力
• 过F点做矩形FGAJ、FJDH、FKCH和FGBK。设矩形FGAJ和FJDH的 角点应力系数为KcⅠ；矩形FGBK和FKCH的角点应力系数为KcⅡ
附加应力分布特点 ：
1、在任意深度同一水平面上附加应力不等，中心线上附加 应力最大，向两侧逐渐减小，但扩散的范围越来越广。 2、附加应力随地基土深度增加 其数值逐渐减小。
一、竖向集中力作用下地基附加应力计算 布辛奈斯克用弹性理论解答
P
O r y
x
q W
z
r x2 y 2
x
dz
dtzy dtyz dtzx
z
四、例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示， 试计算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
57.0kPa
80.52
kPa 104kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
Ksz-条形均布荷载作用下竖 向附加应力分布系数，查表 2-3
均布条形荷载下地基中附加应力的分布规律：
(1) 地基附加应力的扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴 线处最大，随着距离中轴线愈远愈小； (3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向的任意点，随深度愈 向下附加应力愈小。
当e<l/6时，pkmax，pkmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时， pkmax >0， pkmin =0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时， pkmax >0， pkmin <0，基底出现拉应力，基底压力重分 布 pkmin pkmax pkmin pkmax =0 e<l/6
e=l/6 pkmax pkmin 基底压力重分布 <0 pkmax e>l/6
2 角点法的应用
角点法具体做法： 通过M点做一些相应的辅助线，使M点成为几个小矩形的 公共角点，M点以下任意深度z处的附加应力，就等于这 几块小矩形荷载在该深度处所引起的应力之和。 注：M点为地基中任意一点在基底平面上的投影点。
(1) M点在矩形荷载面以内 (2) M点在矩形荷载面边缘 (3) M点在矩形荷载面以外 (4) M点在矩形荷载面角点外侧
R r 2 z2
R
y z
dtxz dtyx
M(x,y,z,) dy
dtxy
dx
建筑荷载主要以竖向荷载为主，故只考虑竖向应力。
3P σz = 2π z3 3P 3 = c o s θ R 5 2πR 2
R = r2 + z2
3P z 3 σz = • 5 2π R
3P z3 3 1 P σz = = 2π (r 2 + z 2 )5 / 2 2π [( r / z)2 + 1]5 / 2 z 2
例：如图所示，荷载面积2m×1m，p=100kPa，求A，E，O， F，G各点下z=1m深度处的附加应力，并利用计算结果说明附 加应力的扩展规律。
（1）A点下的应力
m= l 2 = = 2, b 1 n= z =1 b
【 解】
• A点是矩形ABCD的角点，由表 2-2查得KcA=0.1999，故A点下 的竖向附加应力为：
二 、
竖向矩形均布荷载下地基附加力
对于矩形基础，基底压力可视为矩形荷载面。在矩形面 积(l×b)上作用均布荷载p，计算矩形面积中心点下任 意深度z处M点的竖向附加应力σ z值，可从下式解得：
Kc
均 布 荷 载 土 的 附 加 应系 力数 ，
l m K c = f（ ， ） , 查 表2.2可 得 ； b b p — 均布矩形荷载强度， kPa。
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经 压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。 但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力 引起的变形。
一、均质土层的自重应力（竖向、水平向）
由土的静力平衡条件知：土体中任意深度处的竖向自重 应力等于单位面积上覆土柱的有效重量 天然地面
自重应力
p0max pk max - 0d p0min pk min
§ 2.3
土中附加应力 基本概念
1、定义
地基附加应力是由新增加建筑物荷载在地基中产生 的应力。是引起地基变形和破坏的主要原因。
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且 在深度和水平方向上都是无限延伸的。 采用的计算方法是根据弹性理论推导的。
σcA = KcAP = 0.1999 × 100 = 19.99kPa
• （2）E点下的应力
• E点将矩形荷载面积分为两个相等小矩形EADI和EBCI。 任一小矩形m=1,n=1,由表2-2查得KcE=0.1752，故E点 下的竖向附加应力为：
σcE = 2KcE P = 2 ×0.1752 × 100 = 35.04 kPa
§2.2
基底压力
基底压力：建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传
递给地基，作用于基础底面传至地基的单位面积压力
F
影响基底压力分布的因素:基础的形状、大小、刚度，
埋臵深度，基础上作用荷载的性质（中心、偏心、倾斜等） 及大小、地基土性质
一、基底压力的简化计算
1、中心荷载作用下的基底压力
z Kc p
Kc 1 2 m mn 1 1 arctan 2 2 n2 1 n m2 n2 1 m2 n2 1 m n
Kc ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数， 简称角点 应力系数，可查表2-2得到。
总结
首先要明确地基中的自重应力不会再引起土的变形。但新近沉积的土或 人工填土以及地下水位的升降，还会引起相应的变形。 其次，在自重应力计算时，把地基当作半无限弹性体来考虑。 最后，应清楚自重应力是随深度线性增大、呈三角形分布的规律。 在计算自重应力时还应注意下列几点： (1)计算的起始点必须从原地面开始，与基坑开挖与否无关。因为自重 应力实质上是指土体中所受到的原始应力。 (2)当地基土成层时，由于各土层的容重不同，在各土层交界面处的自 重应力分布会出现转折现象。 (3)在地下水位以下，必须采用土的浮容重来计算。因为不论从考虑水 对土体的浮力或按有效应力原理都可以证明，处于地下水位以下的土， 它实际所受到的应力就是有效应力或有效重量。应该提及，当地下水位 下降时，由于浮力消失(或孔隙水应力减小)，土的重量(或有效应力)增 加，将会引起土的压缩变形。