地基中的附加应力计算
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10-地基附加应力分布规律
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（2）地基附加应力分布规律
(a) -2b -b
b p0 b
2b
(b) -2b
-b
b p0 b
0.9
0.9
0.7
00..57
b
0.5
00..23
2b
0.3
0.1
3b
0.2
0.05
4b 0.02
5b
6b
0.1
2b
(c) -2b -b
b p0 b
（2）地基附加应力分布规律
6 14
38 82 110
16 26 40 56 62
b=1.4m O
1.4m
200 O1
164 4
110
14
80
22
0.7 1.4 2.1 2.8
62
26
42
28
等值线
32
24
z=1.40m 2.80m
在基础底面上，地基附加应力等于基础底面处的基底附加压力。 大面积均布荷载下，地基任意点的附加应力等于地面分布荷载值。 地基附加应力不仅产生在荷载面积之下，而且分布在荷载面积以外 相当大的范围之下，即所谓地基附加应力的扩散分布。 在离基础底面下的不同深度处，同一水平面上，以基底中心点下轴 线处附加应力最大，距离中轴线愈远愈小。 在荷载分布范围内任意点沿垂线的附加应力随深度增大而减小。 与均质土相比较，在非均质土体中附加应力会发生一定的变化，上 硬下软的地基，附加应力会发生扩散，上软下硬的地基附加应力会 发生集中。
地基附加应力分布规律
Stress below an infinite strip load on the surface
地基中附加应力计算
§3 土体中的应力计算
小结
应力状态
自重应力
水平地基中的自重应力
的计算
土力学中应力符号的规定 地基中的应力状态 应力应变关系的假定
影响因素 基底压力分布 实用简化计算
基底压力计算
附加应力 的计算
因素：底面形状；荷载分 布；计算点位置
'u
饱和土的有效应力
土的变形与强度都
原理
只取决于有效应力
34
y
x
x
M’
R βz
M
z R2 r2 z2 x2 y2 z2
k
3
2
[1
(r
1 / z)2 ]5/ 2
z
k
P z2
集中力作用下的 应力分布系数
查表3-1
4
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
k
P z2
特点
k
3
2
[1
(r
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
2
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－
P
o
αr
x R
布辛内斯克(J.Boussinesq)课题
x
y M’
βz
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
l z
0
——圆形面积均布荷载作用时园心点下
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计
地基中的附加应力计算
冻胀力
寒冷地区，地基土中的水分冻结膨胀，对基础产生冻胀力。
膨胀土胀缩
膨胀土在湿度变化时会发生体积胀缩，对基础产生附加应力。
地面堆载
地面上的堆载会对地基产生额外的压力，增加地基中的附加应力 。
03 附加应力的计算方法
弹性力学方法
弹性力学方法基于弹性力学理 论，将地基视为弹性体，通过 求解弹性力学方程来计算附加 应力。
02
在地基表面，水平向附加应力最大，随着离地表距 离的增加，应力逐渐减小。
03
水平向附加应力的分布还受到地基土的性质、基础 形状和荷载大小等因素的影响。
垂直向附加应力分布
01
垂直向附加应力在地基中的分布通常呈现出 先增大后减小的趋势。
02
03
在地基表面，由于荷载的作用，垂直向附加 应力较大。
随着深度的增加，垂直向附加应力逐渐减小 ，直至某一深度处达到最小值。
03
准确计算地基中的附加应力可以为工程师提供重要的设 计依据，确保建筑物的稳定性和安全性。
附加应力的定义和重要性
附加应力是指建筑物或其他 荷载在地基中引起的超过原 有应力的那部分应力。
附加应力的大小和分布直接 影响地基的变形和稳定性。
对于不同类型和性质的地基 土，附加应力的计算和评估 方法也有所不同。
工程处理措施及效果评价
处理措施
针对地基中的附加应力问题，采取了以下处理措施：对地基 进行加固处理，提高地基的承载力；采用桩基础，将建筑物 荷载传递至更深层的土层中；加强建筑物的结构刚度，减小 荷载对地基的影响。
效果评价
经过处理措施的实施，地基中的附加应力得到了有效控制， 建筑物的沉降和倾斜等变形指标均满足规范要求。同时，通 过对处理前后地基性状进行对比分析，发现处理措施对改善 地基性状具有显著效果。
地基中的附加应力计算
σ K p ,σ
K p ,
K
s XZ
p
s 0
z x s 式中 n , m K 为附加应力系数可查表 B B
任意形状基底受各种分布形式荷载的作 用下地基中附加应力的计算
• 感应图：
感应图
AB Z
Z 0.005NP0
土体中的应力集中与应力扩散
B
H
均匀
B
H 均匀
b 2
K xz F ( x, B, z )
Z K z P0， X
附加应力系数 K x p0 xz K xz p0 ,
式中 K z K x K xz为附加应力系数可根据 m和n查表
查表
(P94表3.6.1)
Kz Kx K xz
Kz Kx
附加应力等值线
条形面积三角形荷载
dP
3
dP p0 d
3
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
3
计算原理
dP p0 d
z
b
0
2 z 3 p 0 d [(x ) 2 z 2 ] 2
2P0 z 3 z (x2 z 2 )2
X
2P0 x 2 z (x 2 z 2 )2
dP1
2
B
p 0 d
xz zx
s z s Z
2P0 xz 2 2 2 (x z )
s 0 s X s X s 0
B dP2 p0 d B
s xz
B
H
硬 成层 均匀
软
地基附加应力的计算
可以求得a/z与竖向附加应 可以求得a/z与竖向附加应
α0 a/z
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.268
0.400
0.518
0.637
0.766
0.918
1.110
1.387
1.908
∞
纽马克感应图由9个同心圆和20条通过圆心均匀分布的放射线 纽马克感应图由9个同心圆和20条通过圆心均匀分布的放射线 组成，如下图所示。 根据上表中的数据，这9 根据上表中的数据，这9个 同心圆的半径a 同心圆的半径ai（i=1,2,3 …,9）分别为：a1=0.268z， ,9）分别为：a =0.268z， a2=0.400z，a3=0.518z… =0.400z， =0.518z… 则由第一个圆（半径为a 则由第一个圆（半径为a1） 上的均布荷载在圆心O点下
或查表3 或查表3－2可得αgi，则第i单元上的集中力Qi在M点引起的竖 可得α ，则第i单元上的集中力Q 向附加应力为
根据叠加原理，可得M点总的竖向附加应力为
等代荷载法是一种近似计算方法，其计算精度取决于单元划 分的多少。单元划分的数目越多，每个单元面积就越小，其 计算精度就越高。 利用此方法计算时，可根据具体工程问题编写计算机程序， 利用计算机计算以提高计算精度。 另外，等代荷载法虽然是一种近似计算方法，但其适用范围 十分广泛，对于任意面积、任意分布荷载均适用。
令
称为均布圆形荷载中心点下 的竖向附加应力系数
则σz=α0p0 式中：z——计算点至地表的垂直深度； 式中：z——计算点至地表的垂直深度； α ——圆形基底的半径。 ——圆形基底的半径。
地基中的附加应力计算
第二章 土体应力计算
&4 地基中的附加应力计算
华北水利水电学院土力学课程组
概 述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。 只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基
均质各向同性线性变形
体
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。 Ks可直接查表
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
3 z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
R= x +y +z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R = x2 + y 2 + z 2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
等代荷载法－基本解答的初步应用
&4 地基中的附加应力计算
华北水利水电学院土力学课程组
概 述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。 只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基
均质各向同性线性变形
体
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。 Ks可直接查表
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
3 z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
R= x +y +z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R = x2 + y 2 + z 2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
等代荷载法－基本解答的初步应用
4.4地基附加应力的计算
过程：取元素面积 dA rdrd ，
则均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0dA P0rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
l 0
x dxdy
b
b
0 ( x2 y2 z2 )5
mnp
2
1 m2 n2
(1 m2 )
m2 1 n2
m2
t1 p
t1 ——应力系数，是 l / b 和 z / b 的函数，可制成表备查。
同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应
b 0.5
b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载
p x b
p ，求荷载为
零的角点下某深度处
M点的竖向应力 z值。
的 z值，并绘出分布图；
解：
z (m) r (m) r/z
z
Q z2
(kPa)
0
0
0 0.4775
∞
1
0
0 0.4775
95.5
3
0
0 0.4775
23.9
4
0
0 0.4775
10.6
5
0
0 0.4775
则均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0dA P0rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
l 0
x dxdy
b
b
0 ( x2 y2 z2 )5
mnp
2
1 m2 n2
(1 m2 )
m2 1 n2
m2
t1 p
t1 ——应力系数，是 l / b 和 z / b 的函数，可制成表备查。
同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应
b 0.5
b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载
p x b
p ，求荷载为
零的角点下某深度处
M点的竖向应力 z值。
的 z值，并绘出分布图；
解：
z (m) r (m) r/z
z
Q z2
(kPa)
0
0
0 0.4775
∞
1
0
0 0.4775
95.5
3
0
0 0.4775
23.9
4
0
0 0.4775
10.6
5
0
0 0.4775
地基附加应力的计算
地基附加应力的计算地基附加应力是指由于上部结构的荷载作用和变形引起的地基内土体的应力变化。
地基附加应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，对于确保地基的稳定性和结构安全起着至关重要的作用。
下面将详细介绍地基附加应力的计算方法。
首先需要了解几个基本概念：1.荷载：上部结构施加到地基上的要素，包括永久荷载和可变荷载。
-永久荷载：结构自重、永久设备、固定家具等。
-可变荷载：人员活动荷载、设备移动荷载、风荷载等。
2.地基附加应力：上部结构的荷载通过地基传递到地下，引起地基土体应力的变化。
-地基附加应力的计算是为了确定土体内各点的附加垂直应力和水平应力。
接下来介绍地基附加应力的计算方法：(1)施加在地基上的荷载的计算-根据结构荷载计算规范或相关工程设计规范，确定各种类型的荷载的大小和分布。
(2)地基承载力的计算-土壤力学理论中的承载力计算方法可以用来计算地基的承载力，例如采用经典的排水条件下的承载力公式：q=cNc+q'Nq+0.5γBNγ，其中q 为地基单位面积的承载力，c为土壤的黏聚力，Nc为地基承载力系数，q'为有效自重应力，Nq为矩形地基的地基承载力系数，γ为土壤的单位重量，B为矩形地基的宽度，Nγ为水平方向上的地基承载力系数。
-地基附加应力可分为垂直应力和水平应力两个方向的计算。
-垂直应力的计算：根据荷载的大小和分布，在地基表面和不同深度处计算地基附加应力的大小。
-水平应力的计算：根据土体的侧限状态和结构荷载的分布，计算地基附加水平应力的大小。
(4)地基附加应力的作用范围-附加应力的作用范围决定了结构荷载对地基的影响，需要根据具体的工程条件进行计算。
(5)地基应力分析的结果分析与处理-地基附加应力的计算结果可以作为设计参数，用于工程结构的设计和优化。
需要注意的是，地基附加应力的计算是一个复杂的过程，需要考虑多个因素的综合影响。
在实际工程中，还需要结合工程实际情况和相应的规范要求，进行合理的估算和计算。
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布辛奈斯克解正应力
P0
o α r
y
x
M’
y
x
3P0
2
x2z
R
5
R
1
θ2z
3
R2 R3(
zx Rz x 来自 2R z)
3P0 z 3 2 R5
3P0 x 2 z 2 R x2 (2R 5z)
R3(R z)2
M
32P yR z
• 在六个应力分
量和三个位移 分量的公式中，
u
P0 (1 ) 2E
xz
R
3
(1 2)
x R(R
z)
竖向正应力z
具有特别重要 的意义，它是 使地基土产生 压缩变形的原 因。 y
voPP00 (2α1Er)
yz
R
3
(1 2)x y
R(R y
dP
p0
y
x
L
B
z
M
z
dP0 p0dxdy
z
3P0
2
z3 R5
d z
3dP0
2
z3 R5
3 p0
2
z3 R5
dxdy
dP0 p0dxdy
dP
p
y
z
d z
A
3p0 z3
2
lb 00
1
x2
y2
z2
5 2
xdxdy
B
L
z
p0
R
5
1 2
3yz
xy(2R z)
R
3zy(R
3Pz)0
2
2
yz 2 R5
o32PP00
xyz R5
αr
y
x
M’
R θz
3P0 y
2xR 3
cos 2
xz
zx
3P0
2
xz 2 R5
y
M
3P0 x cos2
z
2R 3
布辛奈斯克解位移
σz 等值线－应力泡应力等值线
P0
P0
0.1P 0.05P 0.02P
球根
应力 球根
0.01P
应力等值线
几个集中荷载作用
z
K1
P1 z2
K2
P2 z2
Kn
Pn z2
1 z2
n
Ki Pi
i 1
叠加原理 叠加原理
叠加原理建立在弹性理论基础之上，当 地基表面同时作用有几个力时，可分别计算 每一个力在地基中引起的附加应力，然后对 每一个力在地基中引起的附加应力累加求出 附加应力的总和。
z
3P0
2
z3 R5
3
2
1 [1 (r / z)2 ]5/ 2
P0 z2
3
1
3
1
K
2 [1 (r / z)2 ]5/ 2 2 [1 tg 2 ]5/ 2
r / z tg
z
K
P0 z2
集中力作用下的 附加应力分布系数
查表
（P79表3.5.1） 布辛奈斯克解附加应力分布系数
z)
w
xP0
(1 ) Mz’2 R2E θzR3
2(1 )
1
R
M
z
z
3P0
2
z3 R5
zy
3P0
2
yz 2 R5
R2 r2 z2 x2 y2 z2
zx
3P0
2
xz2 R5
z : zy : zx z : y : x
附加应力计算的假定
(1) 地基土是均质、各向同性的半无限空间线 弹性体。 (2) 直接采用弹性力学理论解答。 (3) 基底压力是柔性荷载，不考虑基础刚度的 影响。
布辛奈斯克解
法国J.布辛奈斯克(Boussinesq, 1885)运 用弹性理论推出了在弹性半无限空间表面 上作用一个竖向集中力时，半空间内任意 点M(x、y、z)处的六个应力分量和三个位 移分量的弹性力学解答:
K
C s
KBsD ) pA0
b.矩形面积外
CD
h
i
g
z
(
K
begh s
K
afgh s
a
K cegi s
K
dfgi s
)
p0
d
f
bc e
地基中的附加应力计算步骤
• 地基中的附加应力计 算步骤：
• 1、核算上部荷载 • 2、确定基础的尺寸 • 3、基底压力 • 4、基底附加应力 • 5、地基中的附加应
西罗弟解
水平集中力作用下的附加应力计算－－－－西罗弟解
Ph
y
o
αr
x z
y
zx
x
M’
R θz
xy
x
y yz
M
z
3zPh
2
xz2 R5
矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力
1. 角点下的垂直附加应力
设矩形荷载面的长度和宽度 分别为l和b，作用于地基上的 竖向均布荷载p(kPa)。求矩形 荷载面角点下的地基附加应 力，然后运用角点法求得矩 形荷载下任意点的地基附加 应力。
力
y
矩形面积三角形分布荷载下的附加应力
• 设竖向荷载沿矩形面一
dP
p0
边B方向上呈三角形分布 (沿另一边l的荷载分布不 变)，荷载的最大值为p0 （kPa），取荷载零值边
y
3P0
2
yz2 z R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
y
y2 R3
(2R z0) (R z)2
2 5
z
3P0
2
z3 R5
3P0
2R 2
cos3
布辛奈斯克解剪应力
xy
yx
3P0
2
xyz
F(L , B
z) B
F(m, n)
矩形面积角点下的应力
矩形竖直向均布荷载角点下的附加应力分布系数Ks
任意点的垂直附加应力—角点法
K p 角点下垂直附加
应力的计算公式
z
s0
叠加原理
角点法
地基中任意点的附加应力
BA CD
任意点的垂直附加应力—角点法
a.矩形面积内
z
(K
A s
K
B s
土体中的 附加应力计算
概述
• 地基中附加应力： • 基底附加应力在地基
中引起的附加于原有 应力之上的应力。
地基中的附加应力是 使地基发生变形，引 起建筑物沉降的主要 原因。
附加应力的分布特点
• 1、 在地面下同一深度的水平面上的附加应力 不同，沿力的作用线上的附加应力最大，向 两边则逐渐减小。 2、 距地面愈深，应力分布范围愈大，在同一 铅直线上的附加应力不 同， 愈深则愈小。 3、计算地基附加应力，一般假定地基土是各 向同性的、均质的线性变形体，而且在深度 和水平方向上都是无限延伸的，即把地基看 成是均质的线性变形半空间，就可以直接采 用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答。
lbz l 2 b2 2z 2
arctan
lM b
2 l 2 z 2 b2 z 2 l 2 b2 z 2
z l 2 zb2 z 2
m=L/B, n=z/B
z Ks p0
查表
（P83 表3.5.2）
Ks
F(B, L, z)