地基中附加应力计算
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10-地基附加应力分布规律
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（2）地基附加应力分布规律
(a) -2b -b
b p0 b
2b
(b) -2b
-b
b p0 b
0.9
0.9
0.7
00..57
b
0.5
00..23
2b
0.3
0.1
3b
0.2
0.05
4b 0.02
5b
6b
0.1
2b
(c) -2b -b
b p0 b
（2）地基附加应力分布规律
6 14
38 82 110
16 26 40 56 62
b=1.4m O
1.4m
200 O1
164 4
110
14
80
22
0.7 1.4 2.1 2.8
62
26
42
28
等值线
32
24
z=1.40m 2.80m
在基础底面上，地基附加应力等于基础底面处的基底附加压力。 大面积均布荷载下，地基任意点的附加应力等于地面分布荷载值。 地基附加应力不仅产生在荷载面积之下，而且分布在荷载面积以外 相当大的范围之下，即所谓地基附加应力的扩散分布。 在离基础底面下的不同深度处，同一水平面上，以基底中心点下轴 线处附加应力最大，距离中轴线愈远愈小。 在荷载分布范围内任意点沿垂线的附加应力随深度增大而减小。 与均质土相比较，在非均质土体中附加应力会发生一定的变化，上 硬下软的地基，附加应力会发生扩散，上软下硬的地基附加应力会 发生集中。
地基附加应力分布规律
Stress below an infinite strip load on the surface
地基中附加应力计算
§3 土体中的应力计算
小结
应力状态
自重应力
水平地基中的自重应力
的计算
土力学中应力符号的规定 地基中的应力状态 应力应变关系的假定
影响因素 基底压力分布 实用简化计算
基底压力计算
附加应力 的计算
因素：底面形状；荷载分 布；计算点位置
'u
饱和土的有效应力
土的变形与强度都
原理
只取决于有效应力
34
y
x
x
M’
R βz
M
z R2 r2 z2 x2 y2 z2
k
3
2
[1
(r
1 / z)2 ]5/ 2
z
k
P z2
集中力作用下的 应力分布系数
查表3-1
4
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
k
P z2
特点
k
3
2
[1
(r
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
2
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－
P
o
αr
x R
布辛内斯克(J.Boussinesq)课题
x
y M’
βz
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
l z
0
——圆形面积均布荷载作用时园心点下
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计
地基中的附加应力计算
冻胀力
寒冷地区，地基土中的水分冻结膨胀，对基础产生冻胀力。
膨胀土胀缩
膨胀土在湿度变化时会发生体积胀缩，对基础产生附加应力。
地面堆载
地面上的堆载会对地基产生额外的压力，增加地基中的附加应力 。
03 附加应力的计算方法
弹性力学方法
弹性力学方法基于弹性力学理 论，将地基视为弹性体，通过 求解弹性力学方程来计算附加 应力。
02
在地基表面，水平向附加应力最大，随着离地表距 离的增加，应力逐渐减小。
03
水平向附加应力的分布还受到地基土的性质、基础 形状和荷载大小等因素的影响。
垂直向附加应力分布
01
垂直向附加应力在地基中的分布通常呈现出 先增大后减小的趋势。
02
03
在地基表面，由于荷载的作用，垂直向附加 应力较大。
随着深度的增加，垂直向附加应力逐渐减小 ，直至某一深度处达到最小值。
03
准确计算地基中的附加应力可以为工程师提供重要的设 计依据，确保建筑物的稳定性和安全性。
附加应力的定义和重要性
附加应力是指建筑物或其他 荷载在地基中引起的超过原 有应力的那部分应力。
附加应力的大小和分布直接 影响地基的变形和稳定性。
对于不同类型和性质的地基 土，附加应力的计算和评估 方法也有所不同。
工程处理措施及效果评价
处理措施
针对地基中的附加应力问题，采取了以下处理措施：对地基 进行加固处理，提高地基的承载力；采用桩基础，将建筑物 荷载传递至更深层的土层中；加强建筑物的结构刚度，减小 荷载对地基的影响。
效果评价
经过处理措施的实施，地基中的附加应力得到了有效控制， 建筑物的沉降和倾斜等变形指标均满足规范要求。同时，通 过对处理前后地基性状进行对比分析，发现处理措施对改善 地基性状具有显著效果。
地基中的附加应力计算
σ K p ,σ
K p ,
K
s XZ
p
s 0
z x s 式中 n , m K 为附加应力系数可查表 B B
任意形状基底受各种分布形式荷载的作 用下地基中附加应力的计算
• 感应图：
感应图
AB Z
Z 0.005NP0
土体中的应力集中与应力扩散
B
H
均匀
B
H 均匀
b 2
K xz F ( x, B, z )
Z K z P0， X
附加应力系数 K x p0 xz K xz p0 ,
式中 K z K x K xz为附加应力系数可根据 m和n查表
查表
(P94表3.6.1)
Kz Kx K xz
Kz Kx
附加应力等值线
条形面积三角形荷载
dP
3
dP p0 d
3
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
3
计算原理
dP p0 d
z
b
0
2 z 3 p 0 d [(x ) 2 z 2 ] 2
2P0 z 3 z (x2 z 2 )2
X
2P0 x 2 z (x 2 z 2 )2
dP1
2
B
p 0 d
xz zx
s z s Z
2P0 xz 2 2 2 (x z )
s 0 s X s X s 0
B dP2 p0 d B
s xz
B
H
硬 成层 均匀
软
地基中的附加应力计算
第二章 土体应力计算
&4 地基中的附加应力计算
华北水利水电学院土力学课程组
概 述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。 只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基
均质各向同性线性变形
体
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。 Ks可直接查表
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
3 z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
R= x +y +z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R = x2 + y 2 + z 2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
等代荷载法－基本解答的初步应用
&4 地基中的附加应力计算
华北水利水电学院土力学课程组
概 述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。 只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基
均质各向同性线性变形
体
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。 Ks可直接查表
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
3 z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
R= x +y +z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R = x2 + y 2 + z 2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
等代荷载法－基本解答的初步应用
地基中的附加应力计算方法总集
? 著名的Flamant解
竖直线荷载作用下的地基附加应力
竖直线荷载作用下的地基附加应力
?由于线荷载沿y坐标无限延伸， 因此与y轴垂直，平行于xoz 任何 平面上的应力状态完全相同。这 种情况属于弹性力学平面问题。
?平面问题只有三个独立的应力分 量
条形基底均布荷载作用下地基附加应力
条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附 加应力
d?
z
?
3z3 pt xdxdy
2?R5b
R ? x2 ? y2 ? z2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应 力
? 根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分表 示
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
? 将 R ? x2 ? y2 ? z2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度 处所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
? 在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
? K值可直接查表
等代荷载法－基本解答的初步应用
? 由于集中力作用下地基中的附加应力 σz是荷 载的一次函数，因此当若干竖向集中力 Fi作 用于地表时，应用叠加原理，地基中 z深度 任一点M的附加应力 σz应为各集中力单独作 用时在该点所引起的附加应力总和。
条形基底受水平荷载作用时附加应力
讨论
竖直线荷载作用下的地基附加应力
竖直线荷载作用下的地基附加应力
?由于线荷载沿y坐标无限延伸， 因此与y轴垂直，平行于xoz 任何 平面上的应力状态完全相同。这 种情况属于弹性力学平面问题。
?平面问题只有三个独立的应力分 量
条形基底均布荷载作用下地基附加应力
条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附 加应力
d?
z
?
3z3 pt xdxdy
2?R5b
R ? x2 ? y2 ? z2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应 力
? 根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分表 示
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
? 将 R ? x2 ? y2 ? z2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度 处所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
? 在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
? K值可直接查表
等代荷载法－基本解答的初步应用
? 由于集中力作用下地基中的附加应力 σz是荷 载的一次函数，因此当若干竖向集中力 Fi作 用于地表时，应用叠加原理，地基中 z深度 任一点M的附加应力 σz应为各集中力单独作 用时在该点所引起的附加应力总和。
条形基底受水平荷载作用时附加应力
讨论
地基附加应力的计算
地基附加应力的计算地基附加应力是指由于上部结构的荷载作用和变形引起的地基内土体的应力变化。
地基附加应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，对于确保地基的稳定性和结构安全起着至关重要的作用。
下面将详细介绍地基附加应力的计算方法。
首先需要了解几个基本概念：1.荷载：上部结构施加到地基上的要素，包括永久荷载和可变荷载。
-永久荷载：结构自重、永久设备、固定家具等。
-可变荷载：人员活动荷载、设备移动荷载、风荷载等。
2.地基附加应力：上部结构的荷载通过地基传递到地下，引起地基土体应力的变化。
-地基附加应力的计算是为了确定土体内各点的附加垂直应力和水平应力。
接下来介绍地基附加应力的计算方法：(1)施加在地基上的荷载的计算-根据结构荷载计算规范或相关工程设计规范，确定各种类型的荷载的大小和分布。
(2)地基承载力的计算-土壤力学理论中的承载力计算方法可以用来计算地基的承载力，例如采用经典的排水条件下的承载力公式：q=cNc+q'Nq+0.5γBNγ，其中q 为地基单位面积的承载力，c为土壤的黏聚力，Nc为地基承载力系数，q'为有效自重应力，Nq为矩形地基的地基承载力系数，γ为土壤的单位重量，B为矩形地基的宽度，Nγ为水平方向上的地基承载力系数。
-地基附加应力可分为垂直应力和水平应力两个方向的计算。
-垂直应力的计算：根据荷载的大小和分布，在地基表面和不同深度处计算地基附加应力的大小。
-水平应力的计算：根据土体的侧限状态和结构荷载的分布，计算地基附加水平应力的大小。
(4)地基附加应力的作用范围-附加应力的作用范围决定了结构荷载对地基的影响，需要根据具体的工程条件进行计算。
(5)地基应力分析的结果分析与处理-地基附加应力的计算结果可以作为设计参数，用于工程结构的设计和优化。
需要注意的是，地基附加应力的计算是一个复杂的过程，需要考虑多个因素的综合影响。
在实际工程中，还需要结合工程实际情况和相应的规范要求，进行合理的估算和计算。
地基附加应力
地基附加应力是建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力，其公式为：d p p p c 00γσ-=-=
竖向集中力下的地基附加应力
1 布辛奈斯克法
这个方法给出了三个方向的正应力和剪应力以及位移的公式。
其中最常用的是竖向正应力和竖向位移的公式，公式见下
θπσ32cos 23R
P = P 作用于坐标原点的竖向集中力
R M 点至坐标原点的距离
θ R 线与z 坐标轴的夹角
2 等代荷载法
如果地基中M 点与局部荷载的距离比荷载截面尺寸大很多时，就可以用一个集中力P 代替局部荷载，然后利用不辛奈克斯公式求解，经简化得到下面的公式：2
z P K
=σ，其中K 是一个与z r 有关的系数，经查表就可得到。
若有若干个集中荷载作用在地基上，则应按叠加原理计算地基中某点M 的附加应力。
当局部荷载的平面形状或者分布形状不规则时，可将荷载面（或基础底面）分成若干个规则面积单元，每个面积单元上的分布荷载可近似用集中荷载代替，这样就可以利用叠加法来计算基础下某一深度点的附加应力（此法不宜用于求靠近荷载面的计算点），一般其精度能保证工程要求。
2 巨型荷载和圆形荷载下的地基附加应力
以角点法计算均布矩形荷载下的地基附加应力，分为四种情况
荷载面边缘;荷载面内;荷载面边缘外侧；荷载面角点外侧
以上四种情况都可通过分割和补加得到想要的角点，然后来利用叠加法通过查表可得到想要求的计算点的附加应力。
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应力叠加原理（等代荷载法）
由于集中力作用下地基中的附加应力 σz是荷载的一次函数，因此当若干竖 向集中力Fi作用于地表时，应用叠加 原理，地基中z深度任一点M的附加应 力σz应为各集中力单独作用时在该点 所引起的附加应力总和。
地基中附加应力计算
应力叠加原理应用
将基底面基底净压力 的分布划分为若干小 块面积并将其上的分 布荷载合成为小的集 中力，即可应用公式 （2-24）计算。
地基中附加应力计算
角点法计算任意位置附加应力
【例题2－2】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基 础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中 心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基 础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应 力。 【解】 （1）先求基底净压力（基底附加应力）pn，由已知条件
这种方法适用于基底 面不规则的情况，每 块面积划分得越小， 计算精度就越高。
地基中附加应力计算
二 矩形基础底面铅直荷载下的附加应力
1.竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷
小，将σz用积分 表示
地基中附加应力计算
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R x2y2z2
lb
z dz Kz1pn
00
代入并沿整个基底面
积积分，即可得到竖
直均布压力作用矩形
基底角点O下z深度处
所引起的附加应力
地基中附加应力计算
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。
竖向集中力作用下地基附加应力
z
3Pz 3
2R 5
R r2z2
地基中附加应力计算
竖向集中力作用下地基附加应力
z
K
F z2
竖向集中力作用竖向附加应力系数
地基中附加应力计算
竖向集中力作用下地基附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
地基中附加应力计算
z／b=1／2=0.5
查表2－2，利用双向线性插地值基得中附K加s应=力0计.2算350
对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例 图
l／b=2／0.5=4 z／b=1／0.5=2 查表2－2，得Ks=0.1350，则σzH可按叠加原理求得： σzH=（2×0.2350－ 2×0.1350 ）×131=26.2（kPa）
pn=p－γod＝140－18×0.5＝131kPa
地基中附加应力计算
（2）求O点下1m深处地基附加应力 σzo。O点是矩形面积OGbE，OGaF ，OAdF，OAcE的共同角点。这四块 面积相等，长度l宽度b均相同，故其 附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的 值可得
l／b=2 ／1=2 z／b=1／1=1 查表2－2得Ks=0.1999，所以 σzo=4 Kspn=4×0.1999 ×131＝
104.75（kPa）
（3）求A点下1m深处竖向地附基中加附加应应力力计σ算zA。
A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相
等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l
，b，z的值可得
l／b=2 ／2=1
z／b=1／2=0.5
查表2－1应用线性插值方法可得Ks=0.2315，所以
Ks可直接查表
地基中附加应力计算
表4-4 矩形均布荷载角点下竖向附
加应力系数Kz1
地基中附加应力计算
角点法计算任意位置附加应力
角点法：即通过计算点o将原矩形荷载分成若干个新矩形荷载，从而使O 成为划分出的各个新矩形的公共角点，然后再根据迭加原理计算。共有
以下四种情况：
Ⅱ
(a) O点在荷载面的边缘：
σzA=2 Kspn=2×0.2315 ×131=60.65（kPa）
（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。 H点是HGbQ， HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各 自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积
，长度l宽度b均相同，由例图
l／b=2.5／2=1.25
z o o ( K z K z )p
O
Ⅰ
其中KzI 、KzII 为相应于面积Ⅰ和Ⅱ的角点附加应力系数。 Ⅳ Ⅲ(b) O点 Nhomakorabea荷载面内：
ⅠO Ⅱ
z ( K z K z K z K z V ) p
当 O 位于荷载中心，则有：z 4Kzp
其中KzI 、KzII、KzIII 、KzIV 为相应于面积 I、II、III、IV 的角点 附加应力系数。
ed
c
荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ohce）－ 面积Ⅱ（ohbf） f a
b
则：
－ 面积Ⅲ（ogde）+ 面积Ⅳ（ogaf） o z ( K z K z K z K z V ) p
g
h
必须注意: 在角点法中，查附加应力系数时所用的 l 和 b 均指划分
后的新矩形（如ofbg、ohce等）的长和宽。
第二章 土体应力计算
地基中的附加应力计算
附加应力：由外荷引起的土中应力。
地基中附加应力计算
一 地表集中力下地基中附加应力
虽然理论上的集中力实际上是不存在的，但集中力作用下 弹性半空间地基理论解（即布辛涅斯克解）是求解其他 形式荷载作用下地基中附加应力分布的基础。 （一）布辛涅斯克解（法国Boussinesq，1885）
地基中附加应力计算
角点法计算任意位置附加应力
ed
c
(c) O点在荷载面的边缘外侧：
o
荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ofbg）－ 面积Ⅱ（ofah）
h
g
+ 面积Ⅲ（oecg）－ 面积Ⅳ（oedh） f a b
则：
z ( K c K c K c K c V ) p
(d) O点在荷载面的角点外侧
图4-3 集中荷载作用下地基中应力
地基中附加应力计算
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力 学和固体力学都有贡献。
地基中附加应力计算
竖向集中力作用下地基附加应力
地基中附加应力计算
弹性力学解答 Boussinesq 解