2011年数一考研真题及答案
∫
ln sin xdx <
0
∫
ln cos xdx <
0
∫
π 4
ln cot xdx ，故选（B）
0
5. 设 A 为 3 阶矩阵， 将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ， 再交换 B 的第二行与第一行得单
⎡1 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ,则 A = ( 位矩阵.记 P 1 0 ⎥ , P2 = ⎢ 1 = ⎢1 ⎢0 0 1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 1⎥ ⎦ ⎣0 1 0 ⎥ ⎦
+∞
为概率密度，故选（ D ） 。 8、设随机变量 Χ 与Υ 相互独立，且 ΕΧ 与 ΕΥ 存在，记 U = max {x, y}, V = min {x, y}， 则 Ε (UV ) = （ (A) ） (B)
ΕUΕV
ΕΧΕΥ
(C)
ΕUΕΥ
(D)
ΕΧΕV
【答案】 B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变 量 UV 进行处理，有一定的灵活性。 【解析】由于 UV = max{ X , Y }min{ X , Y } = XY 可知 E (UV ) = E (max{ X , Y }min{ X , Y }) = E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) 故应选（B） 二、填空题 9、曲线 y =
【答案】 D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质： f1 ( x ) F2 ( x ) + f 2 ( x ) F1 ( x ) ≥ 0 ；
∫
+∞
−∞
f1 ( x ) F2 ( x ) + f 2 ( x ) F1 ( x ) dx = F1 ( x ) F2 ( x ) −∞ = 1 。可知 f1 ( x ) F2 ( x ) + f 2 ( x ) F1 ( x )
n
∞
n
因此，幂级数
∑ a ( x − 1)
n n =1
n
的收敛半径 R = 1 ，收敛区间为 ( 0, 2 ) 。又由于 x = 0 时幂级数
收敛， x = 2 时幂级数发散。可知收敛域为 [ 0, 2 ) 。 3、 设 函数 f ( x ) 具有二阶连续导数，且 f ( x ) > 0 ， f (0)′ = 0 ，则函数 z = f ( x ) ln f ( y )
∫
xy
0
sin t ∂2F dt ，则 1+ t2 ∂x 2
=
x=0 y=2
【答案】 4
【考点分析】本题考查偏导数的计算。
2 2 2 3 ∂2 F ∂F y sin xy ∂ 2 F y cos xy (1 + x y ) − 2 xy sin xy 【解析】 。故 = , = 2 ∂x 1 + x 2 y 2 ∂ 2 x ∂x 2 (1 + x 2 y 2 )
（A） P 1P 2
−1 （B） P 1 P 2
)
（C） P2 P 1
（D） P2−1 P 1
【答案】 D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论 即可。 【 解 析 】 由 初 等 矩 阵 与 初 等 变 换 的 关 系 知 AP 1 = B ， P 2B = E ， 所 以
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜0⎟ ⎜0⎟ A ⎜ ⎟ = (α1 ,α 2 ,α3 ,α 4 ) ⎜ ⎟ = α1 + α3 = 0 ， 所 以 α1 , α3 线 性 相 关 ， 故 α1，α 2，α 4 或 ⎜1 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝0⎠
α 2，α 3，α 4 为极大无关组，故应选（D）
2011 年考研数学试题（数学一）
一、选择题 1、 曲线 y = ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4) 的拐点是（ （A） （1，0） （B） （2，0） （C） （3，0）
2 3 4
）
（D） （4，0）
【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分 条件即可。 【解析】由 y = (x − 1)(x − 2 ) (x − 3) (x − 4) 可知 1, 2,3, 4 分别是
2 3 4
y = ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) = 0 的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的
关系可知 y ′(1) ≠ 0 ， y ′(2) = y ′(3) = y ′(4) = 0
2
3
4
y ′′(2) ≠ 0 ， y ′′(3) = y ′′(4) = 0 ， y ′′′(3) ≠ 0, y ′′′(4) = 0 ，故（3，0）是一拐点。
∫
x
0
π⎞ ⎛ tan tdt ⎜ 0 ≤ x ≤ ⎟ 的弧长 s = 4⎠ ⎝
【答案】 1 −
π 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。 4
【解析】 s =
∫
π 4
0
(y )
' 2
dx =
∫
π 4
tan xdx =
2
0
∫
π 4
0
4 = 1− sec2 x − 1dx = tan x − x 0
⎛ 1 a 1⎞ ⎜ ⎟ 2 该二次型的矩阵为 A = a 3 1 ，可知 A = −a − 2a − 1 = 0 ，因此 a = −1 。 ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 1⎟ ⎝ ⎠
Τ
α1，α 3
(B)
α1，α 2
(C)
α1，α 2，α 3
α 2，α 3，α 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩 阵等方面的知识，有一定的灵活性。 【解析】由 Αx = 0 的基础解系只有一个知 r ( A) = 3 ，所以 r ( A∗ ) = 1 ，又由 A∗ A = A E = 0 知， α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 都是 Α ∗ x = 0 的解，且 Α ∗ x = 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
（B） I < K < J （C） J < I < K （D） K < J < I
（A） I < J < K 【答案】 B
【考点分析】 本题考查定积分的性质， 直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数 的大小即可。 【解析】 x ∈ (0,
π 4
π 2 ) 时， 0 < sin x < < cos x < cot x ，因此 ln sin x < ln cos x < ln cot x 4 2
2、 设 数 列 {a n } 单 调 减 少 ， lim a n = 0 ， S n =
n →∞
∞
∑ a (n = 1,2⋯⋯) 无 界 ， 则 幂 级 数
k k =1
n
∑ a ( x − 1)
n n =1
n
的收敛域为（
） （A） (-1，1]
（B） [-1， 1)
（C） [0，2)
（D）
(0，2] 【答案】 C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项 级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】 S n =
f ′′(0) ln f (0) > 0 ， f ′′(0) ln f (0) ⋅ f ′′(0) > 0
所以有 f (0) > 1 ，f ′′(0) > 0 4、设 I =
∫
π 4 0
π
0
π
0
ln sin xdx , J = ∫ 4 ln cot xdx , K = ∫ 4 ln cos xdx ，则 I , J , K 的大小关系是( )
【答案】 −1 【考点分析】 本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。 题目中的条件相当于告诉 了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出 a 。 【解析】本题等价于将二次型 f ( x, y , z ) = x 2 + 3 y 2 + z 2 + 2axy + 2 xz + 2 yz 经正交变换后 化为了 f = y12 + 4 z12 。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为 1, 4, 0 。
− 1dx 1dx y = e ∫ [ e − x cos x ⋅ e ∫ dx + C ] = e − x [ cos xdx + C ] = e − x[sin x + C ]
∫
∫
由 y ( 0) = 0 ，得 C = 0 ，故所求解为 y = sin xe − x 11、设函数 F ( x, y ) =
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A） f (0) > 1 ，f ′′(0) > 0 (C) f (0) < 1 ，f ′′(0) > 0 (B) f (0) > 1 ，f ′′(0) < 0 (D) f (0) < 1 ，f ′′(0) < 0
【答案】 C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充 分条件即可。 【解析】 由 z = f ( x) ln f ( y ) 知 z x′ = f ′( x ) ln f ( y ), z y′ =
f ( x) f ′( x ) f ′( y ) ， z xy′′ = f ′( y ) f ( y) f ( y)
z xx′′ = f ′′( x ) ln f ( y ) ， z yy′′ = f ( x )
f ′′( y ) f ( y ) − ( f ′( y )) 2 f 2 ( y)
= f ′′(0) ln f (0) ，
考研(数学一)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研（数学一）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2011)已知当x→0时，函数f(x)=3sin．x=sin 3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=-4．正确答案：C解析：因为当x→0时，函数f(x)=3sin x=sin 3x与cxk是等价无穷小，所以从而k-1=2，即k=3，于是故应选C．2．(2012)设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2).….(enx-n)，其中n为正整数，则f’(0)=( ) A．(-1)n-1(n-1)!．B．(-1)n(n-1)!．C．(-1)n-1n!．D．(-1)nn!．正确答案：A解析：利用导数的定义求f’(0)．故应选A．3．(2012)曲线的渐近线的条数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：应同时考虑水平渐近线、铅直渐近线与斜渐近线．因为所以y=1是曲线的水平渐近线，同时说明曲线无斜渐近线．又因为所以x=1是曲线的铅直渐近线，x=-1不是曲线的铅直渐近线．综上所述，应选C．4．(2009)设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：本题主要考查分块矩阵的行列式、伴随矩阵的相关公式以及分块矩阵的逆矩阵．由=(-1)2×2｜A｜｜B｜=6知，矩阵可逆，从而故应选B．5．(2006)设A、B为两个随机事件，且P(B)＞0，P(A｜B)=1，则必有( ) A．P(A∪B)＞P(A)．B．P(A∪B)＞P(B)．C．P(A∪B)=P(A)．D．P(A∪B)=-P(B)．正确答案：C解析：本题主要考查乘法公式与加法公式．由已知条件与乘法公式有P(AB)=P(B)P(A｜B)=P(B)，再由加法公式有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)．故应选C．6．(2003)设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1所示，则f(x)有( )A．一个极小值点和两个极大值点．B．两个极小值点和一个极大值点．C．两个极小值点和两个极大值点．D．三个极小值点和一个极大值点．正确答案：C解析：本题主要考查导函数y=f’(x)与函数y=f(x)的图形的关系与一元函数的极值(点)．由于已知函数是抽象函数，无法用推理法及反例排除法解决．考虑用y=f’(x)与y=f(x)的图形之间的关系画出y=f(x)的图形，利用定性分析的方法解决该问题．根据y=f’(x)的图形画出y=f(x)的图形，如图2所示，根据y=f(x)的图形知，f(x)有两个极小值点和两个极大值点．故应选C．7．(2011)函数f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的驻点个数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：因为，所以x=1，x=2，x=3是曲线y=f(x)的铅直渐近线．又，由此可画出f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的草图，如图3所示，由图形可知，存在两点x1，x2，使得f’(x1)=f’(x2)=0，即f(x)有两个驻点．故应选C．8．(2006)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：△y=f(x0+△x)-(x0)=f’(ξ)△x (x0＜ξ＜x0+△x)．因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，从而f’(ξ)＞f’(x0)，于是△y=f’(ξ)△x＞f’(x0)△x=dy．又因为f’(x)＞0，所以0＜dy＜△y．故应选A．9．(1999)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则( )A．P{X+Y≤0}=B．P{X+Y≤1}=C．P{X-Y≤0}=D．P{X-Y≤1}=正确答案：B解析：由于均服从正态分布且相互独立的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，所以由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，于是其小于均值的概率为，从而P{X+Y≤1}=故应选B．10．(2002)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取，因为排除A、C、D．故应选B．11．(2005)以下四个命题中，正确的是( )A．若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：取f’(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)=lnx在(0，1)内无界，排除A．取f(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界，排除B．取f(x)=，在(0，1)内有界，但f’(x)=在(0，1)内无界，排除D．故应选C．12．(2004)设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是( )A．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(a)．B．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(b)．C．至少存在一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0．D．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)=0．正确答案：D解析：取f(x)=2-x2，x∈[-1，1]，则f’(x)=-2x在[a，b]=[-1，1]上连续，且f’(a)=f’(-1)=2＞0，f’(b)=f’(1)=-2＜0，满足已知条件．由f(x)=2-x2的图形可知，在(-1，1)内，f(x)＞1，即对任意x0∈(-1，1)，都有f(x0)≠0，这表明D选项是错误的．故应选D．13．(2001)设f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：由f(x)的导数在x=a处连续及=f’(a)=0，即x=a是f(x)的驻点．从而所以x=a是f(x)的极大值点．故应选B．14．(2003)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=( ) A．在x=0处左极限不存在．B．有跳跃间断点x=0．C．在x=0处右极限不存在．D．有可去间断点x=0．正确答案：D解析：因为f(x)为不恒等于零的奇函数，所以f(0)=0，又f’(0)存在．所以故x=0是g(x)的可去间断点．应选D．15．(2005)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x+y)+其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取φ(x)=x2，ψ(x)=0，则u(x，y)=(x+y)2+(x-y)2=2x2+2y2．于是由此可知，选项A、C、D都不正确．故应选B．16．(2005)设an＞0，n=1，2，…，若收敛，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：取收敛，但发散，排除A；发散，排除B；发散，排除C．故应选D．17．(2002)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)X=0( ) A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：(推理法)因为当n＜m时，齐次线性方程组BX=0有非零解，从而线性方程组(AB)X=0有非零解，故应选D．18．(2002)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．正确答案：A解析：因为β2不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β2线性无关．取k=0，由B知，α1，α2，α3，β2线性相关，与α1，α2，α3，β2线性无关矛盾，排除B．取k=0，由C知，α1，α2，α3，β1线性无关，则β1不能由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除C．取k=1，由D知，α1，α2，α3．β1+β2线性相关，因为α1，α2，α3线性无关，所以β1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，于是β2可由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除D．故应选A．填空题19．(2000)=_____，正确答案：解析：由定积分的几何意义，表示由直线x=0，x=1，y=0与曲线y=所围成的图形的面积，如图5所示，所以(其中S为单位圆(x-1)2+y2≤1的面积)．20．(2001)(x3+sin2x)cos2xdx=_______．正确答案：解析：21．(2012)设区域D是由曲线y=sinx，x=，y=1围成，则(x5y-1)dxdy=_______.正确答案：-π解析：22．(2008)设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2-y)dxdy=______．正确答案：解析：因为积分区域D关于x轴对称，函数y关于y是奇函数，所以．由轮换对称性以及极坐标下二重积分的计算方法，有23．(2009)设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则z2dxdydz=_______.正确答案：解析：利用轮换对称性，有再利用球坐标下三重积分的计算有24．(2007)设曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，则=_______.正确答案：解析：因为∑关于yOz平面对称，x关于x为奇函数，所以．由轮换对称性，其中S是∑的表面积，记∑在第一卦限部分的面积为S1．如图8所示，则。
2011考研数学一真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。
2011考研数学(一二三)真题(含答案)
(B) 1,2 ．
(C) 1,2,3 ． (D) 2 ,3,4 ．
【解析】由 x 0 的基础解系只有一个知 r(A) 3 ，所以 r( A) 1，
f
(0),
B
2z xy
|(0,0)
f
(x)
f ( y) f (y)
|(0,0)
[
f (0)]2 f (0)
0,
C
2z y2
|(0,0)
f
(x)
f
( y) f
(y) [ f f 2(y)
( y)]2
|(0,0)
f (0) [ f (0)]2 f (0)
较强。
观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x 1 处，
故(A)，(B)错误；
因为
an
单调减少，lim n
an
0 ，所以 an
0 ，所以
n1
an
为正项级数，将
x
2 代入幂级数得
n1
an
，
n
而已知 Sn ak 无界，故原幂级数在 x 2 处发散，(D)不正确． k 1
2011 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学（一、二、三） 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要 求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
2
2011-2020年近十年全国考研数学一试卷真题和答案解析(最新146页含书签导航)
dt
，则
2F x2
x0
．
y2
(12) 设 L 是柱面方程 x2 y2 1与平面 z x y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去
为逆时针方向，则曲线积分 xzdx xdy y2 dz
L
2
．
(13) 若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4 ，经过正交变换化为
2 (1, 2, 3)T ， 3 (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(21)(本题满分 11 分)
1 1 1 1
A
为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即
r
A
2
，且
0 1
0 1
0 1
0 1
．
(I) 求 A 的特征值与特征向量；
f (x, y)dxdy a ，其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，
D
计算二重积分 I
xy
f
'' xy
(
x,
y)dxdy
．
D
(20)(本题满分 11 分)
设向量组1 (1, 0,1)T ，2 (0,1,1)T ，3 (1, 3, 5)T ，不能由向量组 1 (1,1,1)T ，
(7) 设 F1(x) ， F2 (x) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x) ， f2 (x) 是连续函数，
则必为概率密度的是( )
(A) f1(x) f2 (x) ．
(B) 2 f2 (x)F1(x) ．
(C) f1(x)F2 (x) ．
(D) f1(x)F2 (x) f2 (x)F1(x) ．
2011考研数一真题及答案解析
(18)(本题满分 10 分)
(Ⅰ)证明：对任意的正整数 n，都有 1 ln(1 1 ) 1 成立．
n 1
nn
(Ⅱ)设
an
1
1 2
1 n
ln
n(n
1, 2,) ，证明数列an 收敛．
(19)(本题满分 11 分)
已 知 函 数 f (x, y) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 f (1, y) 0 ， f (x,1) 0 ，
r( A) 4 1 3 ， 即 1 3 0 ， 且 A 0 ． 由 此 可 得 A* A | A | E O ， 即
A*(1,2 ,3,4 ) O ，这说明1,2 ,3,4 是 A*x 0 的解．
由 于 r( A) 3 ， 1 3 0 ， 所 以 2 ,3,4 线 性 无 关 ． 又 由 于 r( A) 3 ， 所 以
n 1
n 1
k 1
处发散，(D)不正确．当 x 0 时，交错级数 (1)n an 满足莱布尼茨判别法收敛，故 x 0 n1
时 (1)n an 收敛．故正确答案为(C)． n1
(3)【答案】(A)．
z
【解析】
x
|(0,0)
f (x) ln
f ( y) |(0,0)
f (0) ln
f
(0)
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
(9)【答案】 ln 1 2 ．
【解析】选取 x 为参数，则弧微元 ds 1 y2 dx 1 tan2 xdx sec xdx
所以 s
4 0
sec
xdx
ln
sec
x
tan
x
2011年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
A = E 0
知， α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 都是 Α x = 0 的解，且 Α x = 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
∗ ∗
1 1 0 0 A = (α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ) = α1 + α 3 = 0 ， 所 以 α1 , α 3 线 性 相 关 ， 故 α1，α 2，α 4 或 1 1 0 0
） (D)
α1，α 3
(B)
α1，α 2
(C)
α1，α 2，α 3
α 2，α 3，α 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩 阵等方面的知识，有一定的灵活性。
= A 【解析】由 Αx = 0 的基础解系只有一个知 r ( A) = 3 ，所以 r ( A∗ ) = 1 ，又由 A
∫
x
0
π tan tdt 0 ≤ x ≤ 的弧长 s = 4
【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
π
4
π
4
【解析】 s =
∫
0
(y )
' 2
dx = tan xdx = sec 2 x − 1dx = tan x − x 04 = 1−
0 0
∫
π
4 2
∫
π
4
π
π
4
10、微分方程 y ′ + y = e − x cos x 满足条件 y (0) = 0 的解为 y = 【答案】 y = sin xe − x 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出 其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为
2011年考研数学真题及标准答案解析(考研必备!)
2011年考研数学真题试卷及标准答案解析---------------------心若在，梦就在，谨以此献给2012考研的同学们！！一选择题1.曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4拐点A （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0）2设数列{}n a 单调减少，∑=∞→⋯===nk k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nk x a 1)1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f4.设⎰⎰⎰===444000cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。
记p1=10则A=A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是A )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)=A EUEVB EXEYC EUEYD EXEV 二填空题9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s=____________10.微分方程x e y y x cos -=+'满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数⎰+=xydt t ty x F 021sin ),(，则__________022=∂∂=x x F12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______________ 三解答题15求极限110))1ln((lim -→+x e x xx 16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z17求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。
2011考研数一真题答案及详细解析
所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
00) e一1 sinx
解 由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工 尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值 ， 则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�
2011考研数学真题+答案
2 z 所以 xy
f1 (1,1) f11 (1,1) f12 (1,1) .
(17)（本题满分 10 分） 求方程 k arctan x x 0 不同实根的个数，其中 k 为参数. 解：令 f ( x) k arctan x x ，则 f ( x) 是 (, ) 上的奇函数，且
2011 年 • 第 3 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2011 年数学试题答案和评分参考
1 1 ln n (n 1, 2,) ，证明数列 {an } 收敛. 2 n 解： （I）根据拉格朗日中值定理，存在 (n, n 1) ，使得 1 1 1 1 1 1 ln(1 ) ln(n 1) ln n ，所以 ln(1 ) . n n 1 n n 1 1 （II）当 n 1 时，由（I）知 an1 an ln(1 ) 0 ， n 1 n 1 1 1 1 且 an 1 ln n ln(1 1) ln(1 ) ln(1 ) ln n 2 n 2 n ln(1 n) ln n 0 ，所以数列 {an } 单调下降且有下界，故 {an } 收敛.
(A) P1P2 (B) P11P2 (C) P2 P1
*
（D）
(D) P2 P11
T
(6) 设 A (1,2 ,3 ,4 ) 是 4 阶矩阵， A 为 A 的伴随矩阵.若 (1, 0,1, 0) 是方程组 Ax 0
* 的一个基础解系， 则 A x 0 的基础解系可为
（D） (D)
（A） (B) f (0) 1, f (0) 0 (D) f (0) 1, f (0) 0
(4) 设 I 4 ln sin xdx , J 4 ln cot xdx , K 4 ln cos xdx , 则 I , J , K 的大小关系为 （B）
2011年考研数学概率论真题与答案--WORD版
2011年概率论考研真题与答案1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞-∞∴⎰12()()F x F x +∞=-∞1=2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】A. ()()E U E VB. ()()E X E YC. ()()E U E YD. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==.所以，UV XY =，于是()()E UV E XY =根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =.3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=11n i i T X n =∑和12=1111n in i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】A. 1212()(),()()E T E T D T D T >>B. 1212()(),()()E T E T D T D T ><C. 1212()(),()()E T E T D T D T <>D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ(),()E X D X λλ∴==1=1=111()()()n ni i i i E T E X E X n n λ∴===∑∑12=11111()()(1)11n i n i E T E X X n n n n n nλλλλ-=+=⋅-⋅+⋅=+--∑ 12()()E T E T ∴<122=1=1111()()()n n i i i i D T E X D X n n n n nλλ===⋅⋅=∑∑11222=1=11111()()()()1(1)n n i n i n i i D T D X X D X D X n n n n --=+=+--∑∑ 222111(1)()(1)11n n n n n n n n nλλλλλ=⋅-⋅+⋅=+=+--- 21()()D T D T ∴<4. （2011年数学三）设(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ则2()E XY =____. 【22()μσμ+】解： 因为(,)X Y 服从二维正态分布，且相关系数为零，则X 与Y 相互独立.22222()()()()[()()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ∴=⋅=⋅+=+5. （2011年数学三）且{}221P X Y ==，求: (1) 二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(2) Z XY =的概率分布；(3) X 与Y 的相关系数XY ρ.解：（1） 由{}221P X Y ==， 可得：{}220P X Y ≠={}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ∴==-=======因此，(,)X Y 的概率分布为（2） 显然，Z XY =的可能取值为-1,0,1，由(,)X Y 的概率分布可得：（3）(),(),()0,()393E X D X E Y D Y ====, ()0E XY = (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y ∴=-=0XY ρ==6. （2011年数学一）设12,,,n X X X 是来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，2>0σ，未知. （1）求参数2σ的最大似然估计 2σ；（2）计算 2()E σ和 2()D σ.解： 总体的概率密度为: 202()22(;)x f x μσσ--=似然函数为2012()2221()(;)ni i x ni i L f x μσσσ=--=∑==∏两边取对数，得 202212()ln ()ln 22nii xnL n μσσσ=-=--∑关于2σ求导，得2212222()ln ()+22()nii x d L nd μσσσσ=--=∑令22ln ()0,d L d σσ=解得λ的最大似然估计值 22011()ni i x n σμ==-∑ （2） 20(,)i X N μσ(0,1)i X N μσ-∴222002111()()()nni ii i X Xn μμχσσ==-∴=-∑∑20211[()]ni i E Xn μσ=∴-=∑, 20211[()]2ni i D Xn μσ=-=∑于是， 2222220021111()[()]=[()]==n ni i i i E E X E X n n n nσσσμμσσ===--⋅∑∑ 4442220022211112()[()]=[()]=2=n n i i i i D D X D X n n n n nσσσσμμσ===--⋅∑∑ 7. （2011年数学三）设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=以及0y =所围成的三角形区域. 求：（1）X 的概率密度()X f x ；（2） 条件概率密度()X Y f x y .解：（1）根据二维均匀分布的定义，(,)X Y 的概率密度为1,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它X 的概率密度为02-010101()(,)112=2-1<200x x X dy x x x f x f x y dy dy x x x +∞-∞⎧≤≤⎪≤≤⎧⎪⎪==<≤≤⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰⎰其他其他（2） 2-2(1-y)01101()(,)=00y y Y y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧≤≤≤≤⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他在=(0y 1)Y y ≤≤时，X 的条件概率密度12-(,)2(1-y)()==()0X Y Y y x y f x y f x y f y ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他。