《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学

P85-练习1 设)cos(2z y e w x

+=，而3x y =，1+=x z ，求

dx

dw ． 解：

dw w w dy w dz dx x y dx z dx

∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂

2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+⋅

23232cos((3x e x x x ⎡⎤

=-+⎢⎥⎣⎦

P86-练习2 设函数20

sin (,)1xy

t F x y dt t =

+⎰

，则22

2

x y F x

==∂=∂ ． （2011）

解：

2222222222

sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy

F y xy x y xy xy

y x x y x x y ∂∂+-==⋅∂+∂+， 故

22

02

4x y F

x ==∂=∂

P86-练习3 设)(2

2

y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ∂∂ ，22y

z

∂∂．（2006）

解：z f x ∂'=∂； 2223222222).(z x y f f x x y x y ∂'''=⋅+⋅∂++ 同理可求 222

222222

()

z y x f f y x y x y ∂'''=⋅+⋅∂++.

P87-练习4 设)(),

(x

y

g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y

x z

∂∂∂2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式

1221()z y f y f g x y x

∂'''=⋅+⋅+⋅-∂,

122111122212222211122223323221()111

[()][()]11

z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x

x

⎛⎫

∂∂∂⎛⎫'''==⋅∂∂∂''+⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭

'''''''''''''='''''''

+---++⋅--++⋅--⋅-⋅-=

P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可

导且在1x =处取得极值(1)1g =，求

211

x y z

x y

==∂∂∂． （2011）

解：由题意(1)0g '=。因为

12()z

yf yg x f x

∂'''=+∂， 21111222122()()()()z

f y xf

g x f g x f yg x xf g x f x y

∂⎡⎤⎡⎤''''''''''''=+++++⎣⎦⎣⎦∂∂，

所以

211

12111

(1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y

==∂'''''=++∂∂

P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ，

y

x z

∂∂∂2． （2009） 解：

123123,z

z

f f yf f f xf x y

∂∂''''''=++=-+∂∂ 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y

∂∂''''''=

+=+++-+∂∂ ()

1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y

z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ∂'''=++∂⎡⎤'''''''''''''∂∂∂'''''''''''=+⋅-+⋅++⋅-+''''''

=++-+-+⋅+++⋅-+⋅⎣⎦+

P89-练习7 设函数(,)z z x y =由方程0),(=x

z x y F 确定，其中F 为可微函数，且

02≠'F ，则=∂∂+∂∂y

z y x z x

． （2010） 解：1212222()0z x z yF zF y

z x F F x x x xF ∂⎛⎫

⋅-''

⎪+∂∂''⋅-+⋅=⇒

= ⎪∂'

⎪

⎝⎭

； 1122

110F z

z

F F x x y

y F '∂∂''⋅+⋅⋅=⇒

=-∂∂' 则 z z

x y z x y

∂∂+=∂∂

P92-练习8 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数

()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是

（A ）(0)1f >，(0)0f ''> （B ）(0)1f >，(0)0f ''<

（C ）(0)1f <，(0)0f ''> （D ）(0)1f <，(0)0f ''< （2011） 解：

()()ln (),(),()

z

z f y f x f y f x x y f y '∂∂'==∂∂

222()

()ln (),()()

z

z f y f x f y f x x x y f y '∂∂'''==∂∂∂， []2

222()()()().()

f y f y f y z

f x y f y '''-∂=⋅∂ 在点(0,0)处，

[]22222

2222

(0)ln (0),()(0)ln (0)z z z z f f f f x x y x y ∂∂∂∂''''=-⋅=-∂∂∂∂∂，

当(0)ln (0)0f f ''>且[]2

(0)ln (0)0f f ''-<时，即(0)1f >，(0)0f ''>时，

()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值。 故选 (A)