高等电磁场理论习题解答(作业)1
1高等电磁理论第一章答案1
D 8 0 E0 (ex e y ez )
4 2 2 x 4 3 1 1 （2） D = ε E = ε0 2 4 2 E0 y = 0 E0 0 ，解得 x ， y ， z 2 2 2 2 2 4 z 0
E ex104 ei(t 20 z ) e y 104 e
i(t 20 z ) 2
（V m）
试求： （1）平面波的传播方向； （2）电磁波的频率； （3）波的极化方式； （4）磁场强度
H； （5）电磁波流过沿传播方向单位面积的平均功率。
解： （1）由 k r 20 z 可得 k 20 ez ，即波的传播方向为 e z （2）由 k
k (e x e z )( x z ) 2 则k ， k E 0 ，是平面电磁波。 k (e - e ) ( x z ) x z 2 由 k E H ，可得
k ( zx) i 2k 2 E0 e ey 1 H kE k ( x z ) i 2k 2 E e ey 0
1-9 若媒质的介电常数和磁导率都是空间坐标的函数，即分别为 r 、 r ，则该媒
（1）
E ( E ) 2 E i H 2 (r ) E
E得
5
2 E 2 0 E ( E
令 k 2 2 0 ，可得
( r ) ) (r )
2 E k 2 E E
Η
1
1
kE
(20 e z ) [10 e
4 i (t 20 z )
e x 10 e
4
高等电磁场理论课后习题答案
由于是远场,
e 1 e 2 e 3 e 4 e e 1 e 2 e 3 e 4 e
2
I ka sin jkr jk r1 jk r2 E E 1 E 2 E 3 E 4 e e jk r3 e jk r4 e e 4r 1 H e k E
2.7
解：
H j E E j H E k 2 E 0 H 0 E 0
比如 E e z e 2.11
jkz
(1)
2 E ( E) ( E) k 2 E 2 E k 2 E 0 (2)
代入公式，可得，
I ka sin1 jkr1 H e e x cos 1 cos 1 e y cos 1 sin 1 e z sin 1 4r1
2
I ka sin 2 jkr2 e e x cos 2 cos 2 e y cos 2 sin 2 e z sin 2 4r2
推导1 1 1 R ˆ 4 lim 2 dV lim dS lim 3 4 R 2 R V 0 R 0 R 0 R R R V S 1 1 又知道 2 在R 0处值为零，符合 (r r ')函数的定义。 4 R 推导2 点电荷q (r r ')产生的电场强度为 q 1 4 0 R 4 R q (r r ') 1 E 2 4 (r r ') 0 R E q
所以有
H 2 E1 H1 E2 E1 J 2 E2 J1 H 2 M1 H1 M 2
高等电磁理论习题答案
高等电磁理论习题答案【篇一：电磁场理论补充习题及解答】ass=txt>一、填空与简答1、2、ddadbdduda?a?u3、若a,b为矢量函数，u为标量函数，(a?b)?，(ua)?，dtdtdtdtdtdtddbdaddbda(a?b)?a???b，(a?b)?a???b， dtdtdtdtdtdtdadadu?如果a?a(u),u?u(t)， dtdudt4、?表示哈密顿算子（w.r. hamilton），即??ex????ey?ez。
数量场u梯度和矢量?x?y?z场a的散度和旋度可表示为grad u??u，div a???a，rot a???a。
4、奥氏公式及斯托克斯公式可为??a?ds????(??a)dv，a?dl?(??a)?ds 。
s?ls5、亥姆霍兹（h.von helmholtz场。
6、高斯定理描述通过一个闭合面的电场强度的通量与闭合面内电荷的关系，即：e?ds?sq?07、电偶极子（electric dipole正电荷指向负电荷。
8、根据物质的电特性，可将其分为导电物质和绝缘物质，后者简称为介质。
极化介质产生的电位可以看作是等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的。
等效体电荷密度和面电荷密度分别为?(r?)?????p(r?)，?sp?p(r?)?n 。
9、在静电场中，电位移矢量的法向分量在通过界面时一般不连续，即n?(d2?d1)?场强度的切向分量在边界两侧是连续的，即n?(e2?e1)?0。
10、凡是静电场不为零的空间中都存储着静电能，静电能是以电场的形式存在于空间，而?s，电不是以电荷或电位的形式存在于空间的。
场中任一点的能量密度为we?11、1e?d。
2欧姆定理的微分形式表明，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即j??e。
2导体内任一点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，即p??e。
12、在恒定电场中，电流密度j在通过界面时其法向分量连续，电场强度的切向分量连续，即n?(e2?e1)?0，n?(j2?j1)?0。
高等电磁理论习题答案
高等电磁理论习题答案【篇一：电磁场理论补充习题及解答】ass=txt>一、填空与简答1、2、ddadbdduda?a?u3、若a,b为矢量函数，u为标量函数，(a?b)?，(ua)?，dtdtdtdtdtdtddbdaddbda(a?b)?a???b，(a?b)?a???b， dtdtdtdtdtdtdadadu?如果a?a(u),u?u(t)， dtdudt4、?表示哈密顿算子（w.r. hamilton），即??ex????ey?ez。
数量场u梯度和矢量?x?y?z场a的散度和旋度可表示为grad u??u，div a???a，rot a???a。
4、奥氏公式及斯托克斯公式可为??a?ds????(??a)dv，a?dl?(??a)?ds 。
s?ls5、亥姆霍兹（h.von helmholtz场。
6、高斯定理描述通过一个闭合面的电场强度的通量与闭合面内电荷的关系，即：e?ds?sq?07、电偶极子（electric dipole正电荷指向负电荷。
8、根据物质的电特性，可将其分为导电物质和绝缘物质，后者简称为介质。
极化介质产生的电位可以看作是等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的。
等效体电荷密度和面电荷密度分别为?(r?)?????p(r?)，?sp?p(r?)?n 。
9、在静电场中，电位移矢量的法向分量在通过界面时一般不连续，即n?(d2?d1)?场强度的切向分量在边界两侧是连续的，即n?(e2?e1)?0。
10、凡是静电场不为零的空间中都存储着静电能，静电能是以电场的形式存在于空间，而?s，电不是以电荷或电位的形式存在于空间的。
场中任一点的能量密度为we?11、1e?d。
2欧姆定理的微分形式表明，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即j??e。
2导体内任一点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，即p??e。
12、在恒定电场中，电流密度j在通过界面时其法向分量连续，电场强度的切向分量连续，即n?(e2?e1)?0，n?(j2?j1)?0。
电磁场理论课后习题1答案
电磁场理论课后习题1答案电磁场理论是物理学中的重要课程，它研究了电磁场的产生、传播和相互作用。
在学习这门课程时，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将针对电磁场理论课后习题1给出详细的解答。
习题1：一个带电粒子在电磁场中运动，受到的洛伦兹力为F=q(E+v×B)，其中q是粒子的电荷量，E是电场强度，v是粒子的速度，B是磁感应强度。
请证明：洛伦兹力对粒子所做的功率为P=qv·E。
解答：根据洛伦兹力的表达式F=q(E+v×B)，我们可以将其展开为F=qE+qv×B。
其中第一项qE表示粒子在电场中受到的电力，第二项qv×B表示粒子在磁场中受到的磁力。
根据功率的定义，功率P等于力F对时间t的导数，即P=dW/dt，其中W表示对物体所做的功。
所以我们需要计算洛伦兹力对粒子所做的功。
根据力的功的定义，功W等于力F对位移的积分，即W=∫F·ds。
在这里，位移ds是粒子在运动过程中的微小位移。
将洛伦兹力F=qE+qv×B代入功的计算式中，得到W=∫(qE+qv×B)·ds。
由于电场强度E和磁感应强度B是空间中的矢量场，所以我们可以将其展开为E=E_xi+E_yj+E_zk和B=B_xi+B_yj+B_zk的形式。
对于微小位移ds，我们可以将其表示为ds=dx·i+dy·j+dz·k。
将上述表达式代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q(v_xi+v_yj+v_zk)×(B_xi+B_yj+B_zk))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
根据矢量积的性质，可以得到v×B=(v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k。
将其代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q((v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
电磁场理论课程习题答案
电磁场理论习题集信息科学技术学院第1章1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。
1-2 试证明：任意矢量E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即∇ ⋅ (∇ ⨯ E ) = 01-3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程t∂∂-=∇⋅ρJ1-4 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ε1和 ε2，分界面两侧电场强度矢量E 与单位法向矢量n 21之间的夹角分别是 θ1和 θ2。
假设两种媒质分界面上的电荷面密度 ρS = 0，试证明：2121tan tan εεθθ=上式称为电场E 的折射定律。
1-5 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 μ1和 μ2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量J S = 0，把图中的电场强度矢量E 换成磁感应强度矢量B 。
试证明：2121tan tan μμθθ=上式称为磁场B 的折射定律。
若 μ1为铁磁媒质，μ2为非铁磁媒质，即 μ1>>μ2 ，当 θ1 ≠ 90︒ 时，试问 θ2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。
1-6 已知电场强度矢量的表达式为E = i sin(ω t - β z )＋j 2cos(ω t - β z )通过微分形式的法拉第电磁感应定律t∂∂-=⨯∇BE ，求磁感应强度矢量B (不必写出与时间t 无关的积分常数)。
1-7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R ，间距为d 。
其间填充介质的介电常数 ε 。
如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I (t ) = I 0sin(ωt )。
忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D 。
1-8 在空气中，交变电场E = j A sin(ω t - β z )。
试求：电位移矢量D ，磁感应强度矢量B 和磁场强度矢量H 。
1-9 设真空中的磁感应强度为)106sin(10)(83kz t e t B y -⨯=-π试求空间位移电流密度的瞬时值。
高等电磁场理论习题解答(作业)
第一章 基本电磁理论1-1 利用Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell 方程导出其频域形式。
（作1-2—1-3） 解：付氏变换和付氏逆变换分别为：dt e t f F t j ⎰∞∞-=ωω)()(ωωπωd e F t f tj ⎰∞∞--=)(21)( 麦氏方程：t D J H ∂∂+=⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇0=⋅∇Bρ=⋅∇D对第一个方程进行付氏变换：),(),(),ωωωr H dt e t r H dt e t r H tj t j ⨯∇=⨯∇=⨯∇=⎰⎰∞∞-∞∞-（左端),(),(),(),(]),(),[ωωωωωωωr D j r J dte t r D j r J dt e t t r D t r J t j tj +=+=∂∂+=⎰⎰∞∞-∞∞-（右端（时谐电磁场）=⨯∇∴),(ωr H ),(),(ωωωr D j r J +同理可得：()()ωωω,,r B j r E -=⨯∇ ()0,=⋅∇ωr B()()ωρω,,r r D =⋅∇上面四式即为麦式方程的频域形式。
1-2 设各向异性介质的介电常数为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300420270εε 当外加电场强度为 (1) 01E x e E =；(2)02E y e E =；(3) 03E z e E =；(4) )2(04y x E e e E +=；(5))2(05y x E e e E +=求出产生的电通密度。
（作1-6）解：()),(,t r E t r D⋅=ε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211εεεεεεεεεz y x D D D 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x E E E 将E 分别代入，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡027003000420270000111E E D D D z y x εε )ˆ2ˆ7(001y x E D +=ε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡042003000420270000322E E D D D z y x εε )ˆ4ˆ2(002y x E D +=ε ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300003000420270000333E E D D D z y x εε z E D ˆ3003ε= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010110230004202700000444E E E D D D z y x εε )ˆ10ˆ11(004y x E D +=ε ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡08160230004202700000555E E E D D D z y x εε )ˆ8ˆ16(005y xE D +=ε 1-3 设各向异性介质的介电常数为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4222422240εε试求：(1) 当外加电场强度)(0z y x E e e e E ++=时，产生的电通密度D ；(2) 若要求产生的电通密度004E x εe D =，需要的外加电场强度E 。
上海大学研究生高等电磁理论习题答案(包括老师ppt习题和课后习题)
上海大学研究生高等电磁理论习题答案(包括老师ppt习题和课后习题)上海大学研究生高等电磁理论习题答案分析化学下册第三版第一章绪论 1. 解释下列名词:(1仪器分析和化学分析;(2标准曲线与线性范围;(3灵敏度、精密度、准确度和检出限。
答:(1仪器分析和化学分析:以物质的物理性质和物理化学性质(光、电、热、磁等为基础的分析方法,这类方法一般需要特殊的仪器,又称为仪器分析法;化学分析是以物质化学反应为基础的分析方法。
(2标准曲线与线性范围:标准曲线是被测物质的浓度或含量与仪器响应信号的关系曲线;标准曲线的直线部分所对应的被测物质浓度(或含量的范围称为该方法的线性范围。
(3灵敏度、精密度、准确度和检出限:物质单位浓度或单位质量的变化引起响应信号值变化的程度,称为方法的灵敏度;精密度是指使用同一方法,对同一试样进行多次测定所得测定结果的一致程度;试样含量的测定值与试样含量的真实值(或标准值相符合的程度称为准确度;某一方法在给定的置信水平上可以检出被测物质的最小浓度或最小质量,称为这种方法对该物质的检出限。
2. 对试样中某一成分进行5次测定,所得测定结果(单位μg ⋅mL -1分别为 0.36,0.38,0.35,0.37,0.39。
(1 计算测定结果的相对标准偏差;(2 如果试样中该成分的真实含量是0.38 μg ⋅mL -1,试计算测定结果的相对误差。
解:(1测定结果的平均值37.0539.037.035.038.036.0=++++=x μg ⋅mL -1标准偏差122222120158.01537.039.0(37.037.0(37.035.0(37.038.0(37.036.0(1 (-=⋅=--+-+-+-+-=--=∑m Lg n x x s ni iμ相对标准偏差 %27.4%10037.00158.0%100=⨯=⨯= xs s r(2相对误差 %63.2%10038.038.037.0%100-=⨯-=⨯-=μμx E r 。
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第一章基本电磁理论1-1 利用Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell方程导出其频域形式。
（作1-2—1-3）解：付氏变换和付氏逆变换分别为：麦氏方程：对第一个方程进行付氏变换：（时谐电磁场）同理可得：上面四式即为麦式方程的频域形式。
1-2 设各向异性介质的介电常数为当外加电场强度为(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)求出产生的电通密度。
（作1-6）解：将E分别代入，得：1-3 设各向异性介质的介电常数为试求：(1) 当外加电场强度时，产生的电通密度D；(2) 若要求产生的电通密度，需要的外加电场强度E。
（作1-7—1-8）解：即：.附：又所以1-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为试求该点表面电荷及电流密度。
解：由已知条件，理想导体表面某点：(1-6-1)(1-6-2)知该点处的法向单位矢量为： (1-6-3)理想导体表面上的电磁场满足边界条件：(1-6-4)(1-6-5)将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为：(1-6-6)将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为：(1-6-7)1-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为, 试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程:（作1-9）证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足(1-9-1)(1-9-2)对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得又所以 (1-9-3)又在非均匀各向同性介质中即 (1-9-4)将(1-9-4)代入(1-9-3)，得即第2章平面电磁波2-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。
解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell方程组为(2-1-1)(2-1-2)(2-1-3)(2-1-4)对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为 (2-1-5)(2-1-6)由(2-1-4)式得即 (2-1-7)由(2-1-3)式得即 (2-1-8)利用矢量关系式，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥姆霍兹方程为(2-1-9)(2-1-10)均匀介质中，无源区中2-4 推导式（2-2-8）。
解：已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中，无源区的正弦电磁场满足齐次矢量Helmholtz方程：其中，设复传播常数，则由得即所以由等号两边实部和虚部对应相等得解以上方程组得2-6 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。
证：任一椭圆极化平面波可写为令，，则上式变为上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和，因此证明了一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。
2-7 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
解：圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为：上式等价于磁场强度的瞬时值表达式为：其中表示波阻抗。
因此能流密度的瞬时值表达式为：因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
2-8 设真空中圆极化平面波的电场强度为V/m试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。
解：由真空中圆极化平面波的电场强度表达式知传播常数，所以波长：频率：因为此圆极化平面波的传播方向为方向，且电场强度分量相位超前分量相位，因此为左旋圆极化平面波。
磁场强度可写为能流密度为：2-9 设真空中平面上分布的表面电流，式中为常数。
试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。
解：平面上分布的表面电流将产生向+z和-z方向传播的两个平面波。
设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为和，向-z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为和。
由电磁场在z=0平面处满足的边界条件可得：(2-9-1)(2-9-2)又，所以即 (2-9-3)将(2-9-3)代入(2-9-1)得：得 (2-9-4)所以 , z>0 (2-9-5)， z>0 (2-9-6)同理， z<0 (2-9-7), z<0 (2-9-8)其中为真空波阻抗。
能流密度：， z>0, z<02-10 若在上题中有一个无限大的理想导电表面位于z = d平面，再求解其结果。
解：由2-9题知，平面上分布的表面电流将产生方向极化向和方向传播的两个平面波。
为计算方便，本题均采用复矢量表示形式。
如图2-10所示，设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为向-z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为假设理想导电平面位于处，则表面电流向+z方向传播的平面波在理想导体表面产生反射。
设反射波的电场和磁场分别为：由电场在理想导体表面处切向分量为零的边界条件，得（1）由z=0处电场和磁场满足的边界条件，得：（2）即（3）联立解（1）（2）（3）得：，，所以，，，在区域：在区域：，在区域：电磁场为零。
复能流密度：（z>0）2-13 当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为1V/m，入射角为60，介质的电磁参数为，试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波及折射波的电场振幅。
解：在真空中：波阻抗为，传播常数为介质中的波阻抗为，传播常数为设折射角为，则所以，即(1) 对于平行极化波，有反射系数透射系数可见此时平面波发生无反射现象，折射波的电场振幅为；(2) 对于垂直极化波，有反射系数透射系数因此反射波和折射波的电场振幅均为。
2-16 已知电场强度为的平面波向三层介质边界正投射，三种介质的参数为，，，中间介质夹层厚度，试求各区域中电场强度及磁场强度。
解答：由电场强度知，传播常数rad/m，波长m。
在中间介质中的波长为m，传播常数rad/m。
介质三中的波长为m，传播常数rad/m。
三种介质中的波阻抗分别为：，，介质一（z≤0）中入射波电场和磁场强度为，，令反射电场和磁场强度为，介质二(0<z≤d)中，令入射波和反射波的电场和磁场强度分别为：，，介质三（z>d）中，令入射波的电场强度为。
则在和处有电场和磁场切向分量连续得：由以上四式可解得,，，则各区域的电场和磁场强度为：，，，，，第三章辅助函数3-1.由Lorentz 条件导出电荷守恒定律。
解答：已知矢量磁位和标量电位分别满足：(3-1-1)(3-1-2)由(3-1-1)得 (3-1-3)所以将Lorentz条件代入上式得：电荷守恒定律得证。
3-3 已知在圆柱坐标系中，矢量磁位，式中。
试求对应的电场强度和磁场强度。
解：已知 (3-3-1)(3-3-2)(3-3-3)将(3-3-1)式代入(3-3-2)、(3-3-3)式，并在圆柱坐标系下展开得3-4 使用Hertz矢量求解电流元Il和磁流元I m l产生的电磁场。
（作3-7—3-12）解：设电流元和磁流元均沿z轴放置于原点。
电流元产生的电Hertz位和磁流元产生的磁Hertz位分别满足由以上两式求得(参见戴书p23)所以电流元产生的电磁场磁流元产生的电磁场为3-7 证明式（3-3-4）至式（3-3-7）。
证：无源区域中有即由此可得由（1）（5）两式可得：式中同理可证的表达式。
（见讲义p8）3-20试证式（3-8-16）。
证明：设并矢，则3-21试证式（3-8-19）至式（3-8-21）。
证明：所以设则所以第4章电磁定理和原理4-1 利用磁场边界条件,证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流元及磁流元的镜像关系。
证明：(1) 如图4-1(a)所示，在无限大理想导电平面附近放置一垂直电流元，在镜像位置放置一镜像电流元，根据电流元产生的电磁场的分布知，，在理想导电体表面产生的磁场强度方向均沿导体切向方向，所以满足理想导电体表面磁场法向分量为零的边界条件，且上半空间的源仍为。
因此引入镜像源前后上半空间的源和边界条件均未改变，根据唯一性原理知，上半空间的场未改变。
(2) 如图4-1(b)所示（图中有误，垂直磁流源应为负像，H与l平行），在无限大理想导电平面附近放置一垂直磁流元，在镜像位置放置一镜像磁流元，则其产生的矢量电位分别为产生的磁场强度分别为若满足，则在理想导电体表面上的磁场强度的法向分量为零，与原来的边界条件相同，且上半空间源未变，因此上半空间的电磁场与原来相同。
4-3 长度为l，宽度为w的裂缝天线位于无限大的理想导电平面，如习题图4-3所示。
若缝隙中的电场强度为利用对偶原理，根据对称天线的结果直接导出其空间辐射场。
（作4-10—4-14）lwxyz习题图4-3解答：对称天线的辐射场为:由对偶原理知，将以上两式中换为，换为，可得裂缝天线的辐射场为：4-4 利用矢量Green定理，导出积分形式的互易定理。
证明：设区域中的两组同频源，和，产生的电磁场分别满足 (4-4-1)(4-4-2)及(4-4-3)(4-4-4)已知第二矢量Green定理为(4-4-5)令，代入上式得利用(4-4-2)和 (4-4-4)，(4-4-6)式右端化为(4-4-7)利用(4-4-1) — (4-4-4)，(4-4-6)式左端化为(4-4-8)由(4-4-6), (4-4-7), (4-4-8)得因为，和，在表面内，因此(4-4-9)式中含有，和，项的面积分为零，所以(4-4-9)式化为上式即为积分形式的的互易定理。
(另证见书p161,较简单)4-5 证明位于任意形状理想导电体附近的垂直磁流元的空间辐射场为零。
证明：如图4-5所示，在理想导电体附近放置一垂直于理想导电体表面的磁流源，其在空间某点产生的磁场强度为，在该点放置另一个与方向相同的同频磁流源。
则在理想导电体表面附近产生的磁场强度应平行于理想导电体表面，即垂直于磁流源。
对，应用Carson互易原理，得即又，所以因为为任意假定的，所以证明任意形状的理想导电体附近的垂直磁流源的空间辐射场为零。
4-10 若位于的球面上的表面电流和表面磁流分别为试证区域内的电磁场与电流元Il的电磁场相等，区域内的电磁场为零。
证明：沿轴放置的电流元产生的电磁场可写为假设在区域的电磁场和电流元产生的电磁场相等，区域的电磁场为零，则在表面上必存在面等效源电流元和面等效磁流元，且由边界条件可得由以上可见，面等效源电流元和面等效磁流元与题中给出的表面电流和表面磁流恰好相等。
因此由唯一性定理知，表面上的表面电流和表面磁流在区域产生的电磁场与电流元产生的电磁场相等，在区域内的电磁场为零。