第4节函数y=Asin(wx+φ)图像及三角函数模型的简单应用
[0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3 );赛道的 后一部分为折线段 MNP,为保证 参赛运动员的安全,限定 ∠MNP=120°.
(1)求 A,ω 的值和 M、P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 思维导引:(1)由图象求出 A 及周期 T,进而求得ω. (2)连接 MP.在△MNP 中,设∠PMN=θ,利用正弦定 理,求得 MN、NP 的表达式,进而表示出 MN+NP 关于 θ的表达式,求最值.
【例 2】 (2012 德州一模)已知函数
y=Asin(ω x+ )+m 的最大值为 4,最小值为 0,两
π
π
条对称轴间的最短距离为 ,直线 x= 是其图
2
6
象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( )
(A)y=4sin 2x π 6
(C)y=-2sin x π +2 3
(1)求 A;
(2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 π 个单位,再将 12
所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 倍,纵坐 2
标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)在
0,
5π 24
上的值域.
思维导引:(1)按向量数量积运算求出函数解析
式,并化为 y=Asin(ωx+ )的形式,求 A.(2)先
作变换求出 g(x)的解析式,再求值域.
解:(1)m=(sin x,1),n= 3A cos x, A cos 2x (A>0).
2
f(x)=m·n= 3 Asin xcos x+ A cos 2x 2
3
A
= Asin 2x+ cos 2x
2
2
=A sin 2x cos π cos 2x sin π
8
8
∴f(x)的单调递增区间是
kπ
-
π 8
,
kπ
3π 8
(k∈Z).
ππ
(2)由题意得,2x0- =kπ + (k∈Z),
42
kπ 3π
得 x0= +
(k∈Z),
28
kπ 3π
∵-1<x0<0,即-1< + <0,又 k∈Z,
28
π
∴当 k=-1 时,x0=- .
8
求函数 y=Asin(ωx+ )+b 的解析式
又 x= π 是其图象的一条对称轴, 6
∴f π =4 或 f π =0.
6
6
代入验证可知选项 B 符合.故选 B.
确定 y=Asin(ωx+ )+b(A>0,ω>0)
的步骤和方法:
(1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,
M m M m
则 A=
,b=
(2)作图 在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次
连接得到 y=Asin(ω x+ )在一个周期内的图象.
(3)扩展 将所得图象,按周期向两侧扩展可得
y=Asin(ω x+ )在 R 上的图象.
2.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω
x+ ) (A>0,ω>0)的图象的步骤
f(x)=Asin(2x+ )(A>0,| |<π )的部分图象如图所示,
那么 f(0)等于( )
1
(A)-
2
(B)-1
3
(C)-
(D)- 3
2
解析:法一 由题图知 A=2,f(x)=2sin
2 x ,
2
由 f(x)=2sin 2x →f(x)=2sin 2 x ,
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时ωx+ =0; “第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+ = π ;
2
“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时ωx+ =π; “第四点”(即图象的“谷点”)时ωx+ = 3π ;
2
“第五点”时ωx+ =2π.
变式训练 2 1:(2012 马鞍山三模)函数
而言的,如由 y=sin ωx(ω>0 且ω≠1)平移到
y=sin(ωx+ )(ω>0 且ω≠1)时,需将函数化为
y=sin
ω
x
的形式,然后根据
x
与
x+
来确
定平移的方向及单位长度.
变式训练 1 1:(2012 黄山市一模)已知 f(x)=sin x·cos x+sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,且-1<x0<0, 求 x0 的值.
π 6
=6sin 2x
π 3
的
图象,
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 倍,纵 2
坐标不变,得到函数 g(x)=6sin 4x π 的图象. 3
∵x
0,
5π 24
,
π π7
∴ ≤4x+ ≤ π.
3 36
∴- 1 ≤sin 4x π ≤1,-3≤6sin 4x π ≤6.
2
π
(D)向右平移 个单位长度
2
解析:将 y=sin 2x π =sin 2 x π 的图象向右
6
12
平移 π 个单位长度 4
可得 y=sin 2 x π π =sin 2x π 12 4 3
的图象.故选 B.
提示:求函数 y=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0)的单调区间时, 基本思路是把ωx+ 看成一个整体,由- π +2kπ≤ω
2
x+ ≤ π +2kπ(k Z)解出 x 的范围是增区间,
2
由 π +2kπ≤ωx+ ≤ 3π +2kπ(k Z)解出
2
2
x 的范围为减区间.当ω<0 时,可将其化为
2
1
π
∴频率为 ,初相为- .故选 A.
π
4
2.(2012 芜湖市检测)要得到函数 y=sin 2x π 的图象, 3
只需把函数 y=sin 2x π 的图象( B ) 6
π
(A)向左平移 个单位长度
4 π
(B)向右平移 个单位长度
4
π
(C)向左平移 个单位长度
6
6
=Asin 2x π . 6
所以 f(x)的最大值为 A, 函数 f(x)=m·n 的最大值为 6,所以 A=6.
π
(2)由(1)得 f(x)=6sin(2x+ )将函数 y=f(x)的
6 π
图象向左平移 个单位得到
12
y=6sin
2 x
π 12
y=-Asin(-ωx- )解之,但要注意-A 的符号的
影响.
函数 y=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0)
的图象及其变换
【例 1】 (2012 年高考山东卷)已知向量
m=(sin x,1),n= 3A cos x, A cos 2x
2
(A>0),函数 f(x)=m·n 的最大值为 6.
(1)定点
先确定五点.即令ω x+ 分别等于 0,
π
,
π , 3π ,2π ,得对应的五点为:
2
2
,0 , π , A , π ,0 , 2 3π , A , 2π ,0 . 2
∴f(x)=2sin(2x+ ),
又 f(0)=
3 ,∴sin =
3
,
2
又| |< π ,∴ = π .故选 D.
2
3
4.函数 f(x)=Asin(ω x+ ) A 0, 0,| | π
2
的部分图象如图所示,则 f(x)=
.
解析:由题图可知,函数的最大值为 2,最小值为-2,
法一
法二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.简谐运动的有关概念
当函数 y=Asin(ω x+ )(A>0,ω >0,x [0,+∞))
2π
表示一个简谐振动量时,则 A 叫做振幅,T= 叫做
周期,
f=
1
叫做频率,ω
x+
叫做相位,x=0 时的相
T
位 叫做初相.
质疑探究:怎么确定函数 y=Asin(ωx+ )的单调区间?
解:(1)f(x)=sin x·cos x+sin2x= 1 sin 2x+ 1 (1-
2
2
cos 2x)= 2 sin 2x π + 1 . 2 4 2 2π
∴f(x)的最小正周期为 T= =π ,
2
ππ
π
由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z)
24
2
π
3π
得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z),
2 3
3
所以
g(x)在
0,
5π 24
高考数学第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。
函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0A－A3．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤 法一 法二1、y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换1． 弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为s ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12t －π4，t ∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为________，频率为________，振幅为________，相位是________， 初相是________．2．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14 D ．23．(2010·全国卷Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位4、由y=sin2x 向______平移_______单位可得到y=cos2x 的图像.5、将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．6．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．92、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的作法7、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【变式训练】 1.设f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(1)画出f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2上的图象；(2)求函数的单调区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象．3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式8. (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图(1)所示，则f (0)＝________.(2)如图(2)所示是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2图象的一部分，则f (x )的解析式为________．图(1) 图(2)9．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于( )A ．2＋3 B. 3 C.33D ．2－ 311．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的应用12．函数y ＝sin(x ＋π2)，x ∈R ( )A ．在[－π2，π2]上是增函数 B ．在[0，π]上是减函数 C ．在[－π，0]上是减函数 D ．在[－π，π]上是减函数13．函数y ＝sin(3x －π4)的图象的一个对称中心是( )A ．(－7π12，0)B ．(－π12，0) C ．(7π12，0) D ．(11π12，0).________],[)62sin(.14条对称轴有在πππ--=x y15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 16．(2012全国高考新课标卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减。
第四讲 函数函数y=Asin(wx+)的图像及三角函数模型的简单应用-高考状元之路
第四节 函数)sin(ϕω+=x A y 的 图像及三角函数模型的简单应用1．函数)sin(ϕω+=x A y 的有关概念2．用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．3．函数x y sin =的图像经变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图像的步骤如下4．三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，课前热身1．函数)32(π-=x ms y 在区间],2[ππ-上的简图是图中的( )2．要得到函数x y 2sin 3=的图像，可将函数]42cos(3=-=πx y 的图像 ( )A ．沿x 轴向左平移⋅8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度3．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图像如图则 （ ）4,2.πϕπω==A 6,3.πϕπω==B 4,4.πϕπω==c 45,2.πϕπω==D4．若函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA m x A y 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为,2π直线3π=x 是其图像的一条对称轴，则它的解析式是 ( ))64sin(4π+=⋅x y A 2)32sin(2++=⋅πx y B2)34sin(2++=⋅πx y C 2)64sin(2++=⋅πx y D5．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为),421sin(10π-=t s),,0[+∞∈t 则弹簧振动的周期为 ，频率为 ，振幅为____，相位是____，初相是 ．课堂设计题型一 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像【例1】已知函数⋅+=)32sin(2πx y(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明)32sin(2π+=x y 的图像可由x y sin =的图像经过怎样的变换而得到．题型二 由图像求三角函数的解析式及对称元素【例2】已知函数++=)sin()(ϕωx A x f )2||,0,0(πϕω<>>A b 的图像的一部分如图所示．(1)求)(x f 的表达式；(2)试写出)(x f 图像的对称轴方程； (3)求)(x f 图像的对称中心，题型三 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质的综合问题【例3】 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示．(1)求函数)(x f 的解析式； (2)令),67()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由，技法巧点1．图像变换的一般规律(1)平稳变换：①沿x 轴平移时，由)(x f y =变为)(ϕ+=x f y 时，“左加右减”即,0>ϕ左移；,0<ϕ右移， ②沿y 轴平移：由)(x f y =变为k x f y +=)(时，“上加下减”即,0>k 上移；,0<k 下移． (2)伸缩变换：①由x 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x f y ω=时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的||1ω倍②沿y 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x Af y =时，点的横坐标不变，横坐标变为原来的｜A ｜倍． 2．确定b x A y ++=)sin(ϕω的解析式的步骤 (1)求A ，b ．确定函数的最大值M 和最小值m ， 则⋅+=-=2,2mM b m M A(2)求w 确定函数的周期T ，则,2Tπω= 由图像可观察出4432T T T T 、、、等． (3)求鼽常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入1.)sin(++=ϕωx A y （此时，A ，w ，b 已知）或代入图像与直线b y =的交点求解．此法适用于ϕ的范围已知的情况． ②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点”中的第一零点)0,(ωϕ-作为突破口．具体如下：失误防范1．由函数)(sin R x x y ∈=的图像经过变换得到函数=y )sin(ϕω+x A 的图像，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把z 前面的系数提取出来．2．函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法，函数=y )0,0)(sin(>>+ωϕωA x A 的单调区间的确定，基本思想是把φω+x 看做一个整体，在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性，随堂反馈1．已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图像不可能是 ( )2．使奇函数)2(3)2sin().(θθ+∞++=x s x x f 在]0,4[π-上为减函数的护的值为 ( )3.π-A 6.π-B 65.πc 32.πD 3．若函数,,sin )2cos 1()(2R x x x x f ∈+=则)(x f 是 （ ）A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数4．电流I(A)随时间)(s t 变化的函数)sin(ϕω+=t A I )20,0,0(πϕω<<>>A 的图像如图所示，则当s t 1001=时，电流是( )A A 5.- AB 5. AC 35. AD 10.5．若),0(1)sin()(πϕωϕω<>++=x A x f 对任意实数t ，都有),3()3(ππ+-=+t f t f 记,1)cos()(-+=ϕωx A x g 则=)3(πg课后作业一、选择题1．已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图像如图所示，则( )6,1.πϕω==A 6,1.πϕω-==B 6,2.πϕω==c 6,2.πϕω-==D2．已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的图像与1-=y 的图像的相邻两交点间的距离为π ，要得到)(x f y =的图像，只需把x y 2cos =的图像 ( )A ．向右平移⋅12π个单位 B ．向右平移⋅125π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移125π个单位3．将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( ) x y A 2cos 2=⋅ x y B 2sin 2=⋅ )42sin(1π++=⋅x y C x y D 2cos =⋅4．关于函数),42sin()(π-=x x f 有下列命题：①其表达式可写成)42cos()(π+=x x f ；②直线8π-=x是)(x f 图像的一条对称轴；③)(x f 的图像可由x x g 2sin )(=的图像向右平移4π个单位得到；④存在∈α),,0(π使)3()(α+=+x f a x f 恒成立，其中真命题为( )A ．②③ B．①② C ．②④ D．③④ 5．已知函数)20,0()sin()(πϕωϕω<<>++=h x A x f 的图像如图所示，则=)(x f ( )2)42sin(4.++πx A 2)42sin(4.+--πx B 4)42(2.++πx ms C 4)42sin(2.++-πx D6.函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，且其图像向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图像 ( ) A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点125π=x 对称C ．关于点)0,125(π对称 D ．关于点12π=x 对称 二、填空题7．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=为常数，）0,0>>ωA 的部分图像如图所示，则)0(f 的值是8．已知函数),0)(sin()(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像如图所示，则=)(x f 9．若将函数)3sin(2ϕ+=x y 的图像向右平移4π个单位后得到的图像关于点)0,3(π对称，则｜ϕ｜的最小值是三、解答题 10．已知函数+=ϕsin 2sin 21)(x x f )2sin(21cos 2ϕπϕ+-∞x s ),0(πϕ<<⋅其图像过点⋅)21,6(π (1)求ϕ的值；(2)将函数)(x f y =的图像上各点的横坐标缩短到原来的,21纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值.11．已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中,0,0>>ωA )20πϕ<<的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为,2π且图像上一个最低点为⋅-)2,32(πM (1)求)(x f 的解析式； (2)当]2,12[ππ∈x 时，求)(x f 的值域．12．已知函数)0(1)cos (sin cos 2)(>+-=ωωωωx x x x f的最小正周期为π. (1)求函数)(x f 图像的对称轴方程和单调递减区间； (2)若函数，)4()()(x f x f x g --=π求函数)(x g 在区间]43,8[ππ上的最小值和最大值.。
《3.4第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》 学案
由∠MNP∈(0，π)，得 sin∠MNP＝
课堂运用 【基础】 1．(2012· 浙江高考)把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是( )
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π 2.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h(ω>0，0<φ<2)的图象如图所示，则 f(x)＝( x π A．4sin2＋4＋2 x π B．－4sin2－4＋2 x π C．2sin2＋4＋4 x π D．－2sin2＋4＋4
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知横坐标分别为－1、1、5 的三点 M、N、P 都在函数 f(x)的图象上，求 sin∠MNP 的值．
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【解析】(1)由图可知， 2π π 最小正周期 T＝4× 2＝8，所以 T＝ ω ＝8，ω＝4. π π π 又 f(1)＝sin4＋φ＝1，且－2＜φ＜2， π π 3π π π π π 所以－4＜4＋φ＜ 4 ，所以4＋φ＝2，φ＝4.所以 f(x)＝sin4(x＋1)． π (2)因为 f(－1)＝sin4(－1＋1)＝0， π π f(1)＝sin4(1＋1)＝1，f(5)＝sin4(5＋1)＝－1， 所以 M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)， 所以|MN|＝ 5，|MP|＝ 37，|PN|＝ 20， 从而 cos∠MNP＝ 5＋20－37 2 5× 20 3 ＝－5， 4 1－cos2∠MNP＝ . 5
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课程小结
1.确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法： 在由图象求解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A＝ φ 由特殊点确定． 2．由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的 |φ| 量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 ω (ω>0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针 对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是于 ωx 加减多少值． M－m M＋m 2π ， k ＝ ， ω 由周期 T 确定，即由 2 2 ω ＝T 求出，
人教a版高考数学(理)一轮课件：4.4函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
例 1 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是
【解】(1)∵ x= 是函数 y=f(x)图象的对称轴, ∴ sin 2 × + φ =± 1.∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∵ -π<φ<0,∴ φ=- . (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin 2x������ 2 3������ 4 ������ 2 3������ 4 3������ 4 3������ 4 ������ 8 ������ 4 ������ 2
π 0
ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
ω 3������ 2
ω
2π 0
A
-A
3.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤:
4.解三角函数应用题的一般步骤: (1)阅读理解材料:将文字语言转化为符号语言; (2)建立变量关系:抽象成数学问题,建立变量关系; (3)讨论变量性质:根据函数性质讨论变量性质; (4)作出结论.
π 6 π 6
的图象,则 φ 等于( B.
5π 6
) C.
7π 6
D.
11π 6
【答案】D 【解析】 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ≤2π)个单位长度得到函数 y=sin(x+φ)的图象,在 A,B,C,D 四个选项中,只有 φ=
11π 6 11π 时有 6
y=sin ������ +
5π 8
1
7π 8
0
π
2 2
y
-
-
高考数学总复习 专题03 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 文
66
36 3 6 3
x 7 ，所以当 x 时，最小值为 2sin( ) 3 ，
36 3 6
63 3
3
当 x 时，最大值为 2sin 2，所以最大值与最小值之和
6 32
2
为 2 3 ，选 A.
练习巩固
1.
函数y=sin 2x
3
的简图是A( )
在区间
2
解析：x=-
2
时，y= 3
2
，排除B、D；
x=- 时，y=- 3 ，排除C.
2. 已知简谐运动f(x)=2sin
3
x
F
|
F
|
2
的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正
周期T和初相F分别为( A )
A. T=6，F=
B. T=6，F=
6
C. T=6，F=
3
D. T=6，F=
6
6 32
所以周期为T＝2(5 － )＝，所以＝2 ＝2.
63
T
此时解析式为y＝ 3sin(2x＋)．
以点( ，0)为"五点法"作图的第一个零点，
3
则有2 ＋＝0，故＝－ 2 .
3
3
所以所求函数的解析式为y＝ 3sin(2x－ 2 ).
3
11.如图，函数y＝2cos(x＋q )(x R, 0 q )
的函数解析式．
分析：(1)根据几何关系列出h与q的函数关系式；
(2)求得角速度
30
，求出q代入即可．
解：(1)由题意可作图如下．
过点O作地面平行线ON，过点
B作当Oq>N的时垂，线∠BBMO交MO=Nq-于M点．
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高三数学 第3章 第4节 函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用解析含教学设计
第四节函数y＝Asinωx＋φ的图像及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ表所示x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A0先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图341，则ω＝( )【导学号：57962155】图341A ．5B ．4C ．3D ．2B [由图像可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.] 4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )【导学号：57962156】A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数的解析式为：y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.又因它为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3分(2)先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像.12分[规律方法] 1.变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位． 2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )【导学号：57962157】A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像图342如图342所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A. (2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (·南昌二模)如图343是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像，则f (π)＝( )【导学号：57962158】图343A.22 B ．－22 C.12D ．－12A [由图像可知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－π2＝4π，则ω＝2πT ＝12，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1代入函数解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1，结合0＜φ＜π，得φ＝π4，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，所以函数f (π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝cos π4＝22，故选A.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(·天津高考)已知函数f (x )＝4t an x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . 2分f (x )＝4t an x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 8分 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【导学号：57962159】[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 3分因为y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，所以周期为π.又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分 (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分三角函数的简单应用数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？【导学号：57962160】[解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12. 9分 又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分 [规律方法] 1.三角函数在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (·陕西高考)如图344，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图344A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.][思想与方法]1．由图像确定函数解析式由图像确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图像的最值点代入；若选零点代入，应根据图像升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图像上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图像得出y ＝A sin t 的值域．第11页共11页。
第4讲 三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用
第20讲 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用知识梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要把ωx ＋φ看成一个整体，要找五个特征点，如表格所示.x ____ ____ ____ ____ ____ ωx ＋φ 0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 02．图象变换(1)y ＝sin x ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． 例 已知2()3sin cos sin f x x x x =-，把()f x 的图象向右平移12π个单位，再向上平移2个单位，得到()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g x g x αα-=+成立， 则()()44g g ππα++= _____________3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中各个量的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表： 简谐振动振幅周期 频率 相位 初相 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)____________________4．三角函数模型的简单应用对具有周期变化规律的实际问题用三角函数模型进行表示，根据三角函数的图象和性质得到实际问题的结论．■ 链接教材1．[教材改编] 把函数y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．[教材改编] 将某函数的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝sin(x ＋π4)的图像，则原函数的解析式是________．3．[教材改编] 已知简谐运动y ＝2sin(π3x ＋φ)|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．■ 易错问题4．正弦型函数的最小正周期若函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，则ω＝________． 5．自变量的系数为负值的函数单调性函数y ＝sin(π4－2x )的单调递增区间是________．6．函数图像变换的先后次序 把y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数____________的图像；把y ＝sin x 的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π4个单位长度，得到函数____________的图像． ■ 通性通法图3-19-17．由图像求函数解析式已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图3-19-1所示，则函数的解析式是________________________________________________________________________．8．利用换元法研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质函数f (x )＝sin(4x ＋π4)的对称轴方程为________．► 探究点一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 (1)使用五点法作出函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤－2π3，10π3内的图像，并说明如何由函数y ＝sin x 的图像经过变换得到函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图像．(2)[2017·郑州二模] 将函数f (x )＝cos x －3sin x (x ∈R )的图像向左平移a (a >0)个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则a 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 (3)将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到函数x x f y cos )(⋅=的图象，则)(x f 的表达式可以是( )A ．x x f sin 2)(-=B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += (4)[2015·湖南卷] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6变式题 (1)使用五点法作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4在区间[－1，7]内的图像，并说明由y ＝sin x 的图像得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4的图像的变换过程．(2)[2017·太原模拟] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为________．(3)设函数f (x )＝2＋2 6sin x cos x －2 2sin 2x (x ∈R )，对f (x )的图象作如下变换：先将f (x )的图象向右平移π12个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝________．(4)函数)cos 3(sin sin 21)(x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是( ) A ．)22sin(2)(π-=x x g B ．x x g 2cos 2)(= C ．)322cos(2)(π+=x x g D ．)2sin(2)(π+=x x g► 探究点二 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式的求法 例2 (1)[2017·哈尔滨模拟] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω>0，0＜φ＜π)的图象的两个相邻零点为⎝⎛⎭⎫－π6，0和⎝⎛⎭⎫π2，0，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为______________________．(2)函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．)48sin(4π-π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C ．)48sin(4π+π=x y D ．)48sin(4π+π-=x y(3)[2017·宜昌高三质检] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的部分图象如图3－19－1所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R 的坐标为(2，0)．若∠PRQ ＝2π3，则y ＝f (x )的最大值及φ的值分别是( )A ．23，π6 B.3，π3 C.3，π6 D ．23，π3图3－19－1 题4图 (4)已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑___ (5)已知点3,,,,,444M A N A P A πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是函数 ()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的图象上相邻的三个最值点，MNP ∆是正三角形，且x π=-是函数()f x 的一个零点，若函数()f x 的导函数为()'f x ，则函数()()()23'h x f x f x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是( )A ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3,22ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦ C.3,32ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．3,32ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦6π 512π1-1变式题 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图3-19-2所示，则此函数的解析式为( )图3-19-2 图3-19-3A ．y ＝3sin(π4x ＋π4)B ．y ＝3sin(π4x ＋3π4)C ．y ＝3sin(π2x ＋π4)D ．y ＝3sin(π2x ＋3π4)(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图3-19-3所示，为了得到g (x )＝3sin 2x 的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移2π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度题3图 题4图(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的图像如图3所示，则f (x )的表达式是f (x )＝( )A.52sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B.52sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 C.32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 D.32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋1 (4)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．(5)已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移11π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移11π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度(6)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34(7)如图，函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0,0πϕω≤>>A ）与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足)2,2(),0,1(-M P 为线段QR 的中点，则=A ()题7图 题6图A. 32B.337 C.338D. 34► 探究点三 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用例3 (1)函数)0,2)(2sin()(>≤+=A x A x f πφφ部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则( ) A ．)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B ．)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C ．)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D ．)(x f 在)65,3(ππ上是增函数 (2)已知函数2()cos ()1f x A x ωϕ=++（0A >，0ω>，02πϕ<<）的最大值为3，2ab xy O()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 (1)(2)(3)(2016)f f f f ++++…的值为( )A ．2468B ．3501C ．4032D ．5739(3)设函数()Asin(),f x x x R ωϕ=+∈(其中0,0A ω>>)在(,)62ππ上既无最大值，也无最小值，且()(0)()26f f f ππ-==，则下列结论成立的是( )A ．若12()()()f x f x f x ≤≤对x R ∀∈恒成立，则21min x x π-=；B ．)(x f y =的图象关于点2(,0)3π-中心对称； C ．函数()f x 的单增区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π. (4)已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为_______(5)已知函数x x x x y 22sin cos cos sin 32+-=的图象在],0[m 上恰有两个点的纵坐标为1，则实数m 的取值范围是 ．(6)(G196) 若函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值 是_________________．(7)(G198)若函数x x f ωtan )(=的图像在线段)100(0π≤≤=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(8)已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0sin x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调函数，求ω和ϕ的值．(9)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.①求函数f (x )的最小正周期；②若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．变式题 (1)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f fππ<，则下列结论正确的是( )A ．11()112f π=-B ．7()()105f f ππ>C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈(2)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中A 、C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为___________．(3)已知函数()2sin()1(0,||)f x x ωϕωϕπ=--><的一个零点是,3x π=直线6x π=-函数图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调增区间是( ) A. [3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ B. 5[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C. 2[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D. [2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ (4)已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．(5)已知函数()()cos2sin R f x x a x a =+∈在()0n π，内恰有2017个零点，则正整数n 的值 为 ．(6)存在实数ϕ，使得圆面224x y +≤恰好覆盖函数sin()y x kπϕ=+图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是 ．(7)已知函数()x a x a x f cos 123sin 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，将()x f 图像向右平移3π个单位 长度得到函数()x g 的图像，若对任意R x ∈，都有()⎪⎭⎫⎝⎛≤4πg x g 成立，则a 的值为 ．(8)(G198) 若函数24tan 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=πωx x f 的图像在线段)100(2π≤≤-=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(9)(G199) 若函数x y ωsin =在区间]2,0[上恰好出现100次最大值和99次最小值，求正数ω的取值范围．(10)已知函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6与函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像的对称轴相同，求实数a 的值．(11)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (0<ω<1，a ∈R)，f (x )的图像向左平移π4个单位后得到函数g (x )，若g (x )的图像关于y 轴对称，解答以下问题：①求ω的值．②如果f (x )在区间⎣⎡⎦⎤34π，54π上的最小值为3，求a 的值．(12)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x . ①求函数f (x )的最小正周期及图像的对称轴方程；②设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域．(13)已知函数()4sin cos 2424f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3124x g x -=+，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则()1ni i i y x =-=∑ ．► 探究点四 三角函数模型的简单应用例4 湄洲湾港被誉为“世界不多，中国少有”的天然良港．港口各泊位每天的水深(水面与洋底的距离)f (x )(单位：m)与时间x (单位：h)的函数关系近似地满足f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋B (A ，B >0，0≤φ<2π)．在通常情况下，港口各泊位能正常进行额定吨位的货船的装卸货任务，而当货船的吨位超过泊位的额定吨位时，货船需在涨潮时驶入航道，靠近码头卸货，在落潮时返回海洋．该港口某五万吨级泊位接到一艘七万吨货船卸货的紧急任务，货船将于凌晨0点在该泊位开始卸货．已知该泊位当天水深的最小值为12 m ，水深的最大值为20 m ，并在凌晨3点达到最大水深．(1)求该泊位当天的水深f (x )的解析式．(2)已知该货船的吃水深度(船底与水面的距离)为12.5 m ，安全条例规定，当船底与洋底距离不足1.5 m 时，货船必须停止卸货，并将船驶向较深的水域．据测算，一个装卸小队可使货船吃水深度以每小时0.1 m 的速度减少．①如果只安排一个装卸小队进行卸货，那么该船在什么时间必须停止卸货，并将船驶向较深的水域(精确到小时)?②如果安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，问能否连续不间断地完成卸货任务？说明你的理由．变试题1．如图3－20－4，为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；图3－20－4(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？2．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t时03691215182124y米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝A sin ωx＋b的图像．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；(2)一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?(3)[2017·广州模拟] 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.课时作业(二十A) 第20讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟 分值：100分)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．12C ．－12D ．12．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图K191所示，则ω＝( )图K191A ．5B ．4C ．3D ．2 3．[2017·青岛质检] 函数y ＝2sin 2x 的图像的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝34π D ．x ＝π4．[2017·内蒙古通辽模拟] 将函数y ＝sin(x ＋π6) (x ∈R )图像上所有点的横坐标向左平行移动π6个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则得到的图像的解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋π3)B ．y ＝sin(x 2＋π3)C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x25．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________．6．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是________．7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值为( )A ．α＝π6，β＝－π12B ．α＝π6，β＝π12C ．α＝π3，β＝－π6D ．α＝π3，β＝π68．将函数y ＝f (x )sin x 的图像向右平移π4个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图像，则f (x )＝( )A ．2sin xB ．sin xC ．2cos xD ．cos x9．[2017·赣州四校联考] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋2π3)＋sin(ωx －2π3) (ω＞0)的最小正周期为π，则( )A ．f (x )在区间(0，π4)上单调递增B ．f (x )在区间(0，π4)上单调递减C ．f (x )在区间(0，π2)上单调递增D ．f (x )在区间(0，π2)上单调递减10．图K192是函数y ＝sin(ωx ＋φ)，0<φ<π2的图像的一部分，A ，B 分别是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )图K192 图K193A ．12πB ．19π2＋1C ．19π2－1D ．13π2－111．[2017·郑州二检] 已知直线x ＝5π12和点(π6，0)恰好是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像的相邻的对称轴和对称中心，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝2sin(2x －π6)B ．f (x )＝2sin(2x －π3)C ．f (x )＝2sin(4x ＋π3)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π6)12．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图K193所示，则φ＝________．13．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________(填序号)．①y ＝4sin4(x ＋π6)；②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2；③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2；④y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.14．(10分)[2017·温州二模] 如图K194所示，点P (0，A2)是函数y ＝A sin(2π3x ＋φ) (其中A >0，φ∈[0，π))的图像与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．图K19415．(13分)[2017·湛江二模] 设函数f (x )＝2sin(ωx －π4) (ω>0)，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．16．(12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．课时作业(二十B) 第20讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟 分值：100分)1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π2．[2016·太原五中月考] 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)的部分图像如图K191所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，图K191则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )3．要得到函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的图像，只需将函数y ＝2sin 2x 的图像( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度4．函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调递减区间是________．5．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )在区间[π3，2π3]上的最小值为________．6．一观览车的主架示意图如图K192所示，其中O 为巨轮的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12 min 转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t min ，该吊舱距离地面的高度为h (t )(单位：m)，则h (t )＝( )图K192A ．30sin(π12t －π2)＋30B ．30sin(π6t －π2)＋30C ．30sin(π6t －π2)＋32D ．30sin(π6t －π2)7．[2017·福州三中月考] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图像关于点(－π3，0)中心对称B ．图像关于直线x ＝－π6对称C ．在区间(－5π12，－π6)上单调递增D ．在区间(－π6，π3)上单调递减8．[2017·九江三模] 将函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像向右平移m (m >0)个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图像，若函数y ＝f (x )在区间[－π6，π3]上单调递增，则m 的最小值为( )A.π3B.π4C.π6D.π129．[2017·泰安二模] 将函数f (x )＝sin x cos x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图像，则g (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π2，k π](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )D ．[k π＋π4，k π＋3π4](k ∈Z )10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K193所示，则得到y ＝f (x )的图像需将y ＝cos 2x 的图像( )图K193 图K194A ．向右平移π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度11．[2017·北京朝阳区二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K194所示，则φ＝________．12．[2017·大庆二模] 将函数y ＝14sin x ＋34cos x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________．13．将函数f (x )＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )在区间[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为________．14．(10分)[2017·茂名二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π6)(A >0，ω>0)的部分图像如图K195所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈[－π2，0]，f (3α＋π)＝1013，f (3β＋5π2)＝65，求sin(α－β)的值．图K19515．(13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图像如图K196所示，P 是图像的最高点，Q 为图像与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移2个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，当x ∈(－1，2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．图K19616．(12分)如图K197所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形区域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要面向市政府大楼．设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数． (2)若R ＝45 m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01 m 2)．图K19717．若函数()sin()(0,0)22f x A x A ππωφωφ=+>>-<<，的部分图象如图所示，,B C分别是图象的最低点和最高点， 其中164||2+=πBC .(1)求函数)(x f 的解析式；(2)在锐角ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A 、、的对边，若3)(=A f ,2=a ,求ABC∆周长的取值范围．18．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中70,2312f f ππ⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列结论：①最小正周期为π；②()01f =；③函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数； ④12141113f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤()403f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 其中正确结论的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2yxCBA O3π-125π 第17题19．已知函数()()2.5cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，M ，N 两点之间的距离为13，且()30f =，若将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t 的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.1020. 已知函数()sin()(0,(0,π))f x x ωϕωϕ=+>∈满足π5π()()066f f ==，给出以下四个结论:○1 3ω=； ○26k ω≠，k *∈N ； ○3 ϕ可能等于3π4； ○4符合条件的ω有无数个，且均为整数. 其中所有正确的结论序号是______.21．已知函数()2sin 2f x x =，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像. （Ⅰ）求函数()y g x =的解析式（Ⅱ）若对任何实数x ，不等式()2()mg x m g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围. （Ⅲ）若区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22.若函数1)62sin(2)(-++=m x x f π)(R m ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点21,x x )(21x x ≠，则m x x -+21的取值范围是（ ）.A )13,13(+-ππ .B )13,3[+ππ .C )132,132(+-ππ .D )132,32[+ππ第20讲 例题 4知识聚焦1．－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω3．A T ＝2πωf ＝1T ＝ω2π ωx ＋φ φ正本清源1．y ＝2sin x [解析] 根据函数图像变换法则可得．2．y ＝sin x ＋3π4 [解析] 将函数y ＝sin x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得到函数y＝sin x ＋π2＋π4，即y ＝sin x ＋3π4的图像．3.π6[解析] ∵函数图像经过点(0，1)，∴将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，∴sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.4．±2 [解析]2π|ω|＝π，解得ω＝±2. 5．k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z [解析] sin π4－2x ＝－sin2x －π4，由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，故所求的单调递增区间为k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .6．y ＝sin 12x ＋π4 y ＝sin 12x ＋π8 [解析] y ＝sin x →y ＝sin x ＋π4→y ＝sin 12x ＋π4；y ＝sin x →y ＝sin 12x →y ＝sin 12x ＋π4＝sin 12x ＋π8.7．f (x )＝2sin2x ＋π3 [解析] 易知A ＝2，2πω＝2×π3＋π6，∴ω＝2.又函数f (x )的图像过点π3，0，∴2×π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3.∵|φ|<π2，∴φ＝π3.故所求函数的解析式为f (x )＝2sin2x ＋π3.8．x ＝k π4＋π16，k ∈Z [解析] 令4x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π4＋π16，k ∈Z .例1 (1)略 (2) B 函数f (x )＝cos x －3sin x ＝2×12cos x －32sin x ＝2cos x ＋π3，将函数f (x )的图像向左平移a 个单位长度得到函数y ＝2cos x ＋a ＋π3的图像，又该图像关于原点对称，所以a ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得a ＝k π＋π6(k ∈Z )．又a >0，所以a min ＝π6.(3)A (4) D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.变试题 (1)略 (2)π4(3)2 2sin x (4)A例2 (1) y ＝2sin （32x ＋π4） (2)D (3)A (4) B 解析：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()s i n (2)6f x x π=+． 故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=，201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑(5)D 变试题 (1)A (2)B (3)C (4)3 (5)D (6)D (7)C例3 (1)B (2)C (3)B (4)9 解析：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减(5)⎪⎭⎫⎢⎣⎡67,2ππ (6)2197π (7) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,209 (8)解：()x f 是偶函数，∴y 轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， ∴(),1sin ±==ϕx f 又πϕ≤≤0 ，∴2πϕ=．由()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，∴,043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，即043c o s 243s i n ==⎪⎭⎫⎝⎛+⋅ωπππω，又0>ω，∴,2,1,0,243=+=k k ππωπ．∴() ,2,1,0,1232=+=k k ω 当0=k 时，32=ω， ()x x x f 32cos 232sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是减函数；当1=k 时，2=ω，()x x x f 2cos 22sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是减函数； 当2≥k 时， 103ω≥，()x x x f ωπωcos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调函数． 综上所述，32=ω或2=ω，2πϕ=． (9)①ω＝56. 最小正周期是6π5 ②[－1－2，2－2]．变试题 (1)D(2)【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω，0， 设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω ＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝⎛⎭⎫ω⎝⎛⎭⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2. 所以该点在△ABC 内的概率P ＝S△ABCS ＝π22＝π4. (3)B (4)1 (5)1345 (6)⎥⎦⎤ ⎝⎛3,23 (7)2 (8) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4021,4019 (9) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4399,4397ππ (10)a ＝－33. (11)①ω＝13. ②a ＝1＋32. (12)解：（Ⅰ） πϕπω=+⋅3①23127πϕπω=+⋅② 解得2=ω，3πϕ=. （Ⅱ）)32sin()(π+=x x f ，)32sin(2sin π++-=x x kx x x x x 2cos 232sin 213sin2cos 3cos2sin 2sin +-=++-=ππ)32sin(π--=x ，因为]2,12[ππ∈x 时，]32,6[32πππ-∈-x ，由方程恰有唯一实根，结合图象可知 2123≤<-k 或1-=k ． (13) 5例4 解：(1)因为泊位的最小水深为12 m ，最大水深为20 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝12，A ＋B ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4，B ＝16，所以f (x )＝4sin(πx6＋φ)＋16.又当x ＝3时，f (x )取到最大值20，所以f (3)＝4sin （π2＋φ)＋16＝20，又0≤φ<2π，所以φ＝0，f (x )＝4sin πx6＋16，x ∈[0，24]．(2)设货船的吃水深度以每小时a m 的速度下降， 令g (x )＝f (x )－(12.5－ax )－1.5，则g (x )＝4sin πx6＋ax ＋2.要使货船能在泊位正常卸货，只需g (x )≥0.①只安排一个装卸小队进行卸货时，a ＝0.1，g (x )＝4sin πx6＋0.1x ＋2.当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.1x ＋2>0. 又g (8)＝4sin8π6＋0.8＋2＝－2 3＋2.8<0， 所以该船必须在上午7点停止卸货，并将船驶向较深的水域． ②若安排三个装卸小队进行卸货，则能按要求完成卸货的任务． 此时a ＝0.3，g (x )＝4sin πx6＋0.3x ＋2.因为泊位的水深f (x )＝4sin πx6＋16在当天上午9：00时第一次达到水深的最小值，所以要使卸货任务能连续不间断地完成，只需当x ∈[0，9]时能正常卸货．当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.3x ＋2>0.当x ∈[7，9]时，因为4sin πx6≥－4，0.3x ＋2≥0.3×7＋2＝4.1，两式相加得g (x )≥0.1，所以当∈[7，9]时，g (x )>0成立．综上，对任意的x >0，g (x )>0恒成立，即安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，能按要求完成卸货任务． 变试题 1.解：(1)以圆心O 为原点，水平方向为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1得π30t －π2＝π2，∴t ＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s.2．解：(1)由已知数据，易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，所以y ＝3sinπ6t ＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5 m ，所以3sin π6t ＋10≥11.5，所以sin π6t ≥12，解得2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．在同一天内，取k ＝0或k ＝1，所以1≤t ≤5或13≤t ≤17.所以该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时． 3.[答案] 20.5课时作业(二十A)1．C [解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数f (x )的最小值为－12.2．B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4.3．D [解析] y ＝2sin 2x ＝－cos 2x ＋1，由2x ＝k π(k ∈Z )得对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，所以x ＝π是其一条对称轴．4．B [解析] 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin x ＋π3的图像；将所得图像的横坐标扩大为原来的2倍，得y ＝sin 12x ＋π3的图像．5.5π6 [解析] 函数可化为y ＝2sin x －π3，由x ∈[0，2π)得x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，5π3，∴当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数取得最大值2. 6．5 [解析] 函数y ＝sin π2x 的最小正周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现2个波峰，则t ≥54T ＝5.7．D [解析] 由函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，得2×π12＋α＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴α＝π3＋2k π(k ∈Z )．由f (x －β)＝sin(2x －2β＋α)为奇函数，得－2β＋α＝k π(k ∈Z )．令k ＝0，得α＝π3，β＝π6.8．C [解析] 与函数y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图像关于x 轴对称的为函数y ＝－cos 2x的图像，将其向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝－cos 2x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x 的图像，所以有y ＝f (x )sin x ＝2sin x cos x ，所以f (x )＝2cos x .9．B [解析] f (x )＝sin ωx ＋23π＋sin ωx －23π＝－sin ωx ，又其最小正周期为π，所以ω＝2，故f (x )＝－sin 2x ，易知其在区间0，π4上单调递减．10．C [解析] 由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴B 2π3，－1.∵A π6，1，B 2π3，－1，∴OA →·OB →＝π29－1.11．B [解析] 据题意可知14T ＝512π－π6＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2πT＝2.又f (x )的图像过点π6，0，所以有2sin2×π6＋φ＝0，得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，可知B 满足． 12.9π10 [解析] 由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.13．④ [解析] 因为函数的最大值为4，最小值为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，m －A ＝0，解得A ＝m ＝2.又最小正周期T ＝2πω＝π2，所以ω＝4.又直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，将x ＝π3代入得sin4×π3＋φ＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6.14．解：(1)∵函数图像经过点P 0，A 2，∴sin φ＝12.又∵φ∈[0，π)，且点P 在增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin 2π3x ＋π6，令y ＝0，得sin 2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x ＝－14＋32k (k ∈Z )， ∴Q －14，0，R 54，0.又∵P 0，A2，∴PQ →＝－14，－A 2，PR →＝54，－A 2.∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，∴A ＝52.15．解：(1)由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4，可知π4为函数f (x )的最小正周期的14，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知ω＝2ππ＝2，又函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )， 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点π12，3和点2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 课时作业(二十B)1．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，由题意知49＋14T ≤1，即1974×2πω≤1，∴ω≥197π2.2．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，根据已知可得x B －x A ＝3＝T2，所以T ＝6，x A＝－1，所以f (x )的单调递增区间是[6k －4，6k －1](k ∈Z )．3．C [解析] 函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度得到的．故选C.4．3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z ) [解析] 由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )，所以函数y ＝12sin π4－2x3的单调递减区间为3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z )．5．－22 [解析] g (x )＝sin3x －π3＋π4＝sin3x －3π4，由π3≤x ≤2π3，得π4≤3x －3π4≤5π4，所以当3x －3π4＝5π4时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝sin 5π4＝－22. 6．B [解析] 由题意可设h (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋l (A >0，ω>0)，则2πω＝12，所以ω＝π6.易知初相φ＝－π2，振幅A ＝30，又OM ＝32，AM ＝BP ＝2，故h (t )＝30sin π6t －π2＋30.7．C [解析] y ＝g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋π6＝sin2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得g (x )的图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6＋k π2，0(k ∈Z )，故A 不正确；当x ＝－π6时，g －π6＝sin 0＝0，所以g (x )的图像不关于直线x ＝－π6对称，故B 不正确；当－5π12≤x ≤－π6时，－π2≤2x ＋π3≤0，所以函数g (x )在区间－5π12，－π6上单调递增，故C 正确；当－π6≤x ≤π3时，0≤2x ＋π3≤π，函数g (x )在此区间上先增后减，故D 不正确．故选C.8．C [解析] 根据已知，得f (x )＝sin2(x －m )＋π6＝sin2x －2m ＋π6，由2k π－π2≤2x －2m ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋m －π3≤x ≤k π＋m ＋π6(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )的单调递增区间是k π＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，根据题意，得－π6，π3⊆kπ＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，所以k π＋m －π3≤－π6且k π＋m ＋π6≥π3(k ∈Z )，解得m ≤－k π＋π6且m ≥－k π＋π6(k ∈Z )，故m ＝－k π＋π6(k ∈Z )．由于m >0，取k ＝0，得m的最小值为π6.9．A [解析] f (x )＝12sin 2x ，将其图像向左平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝12sin 2x＋π4＝12cos 2x 的图像，由2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，解得k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间是k π－π2，k π(k ∈Z )．10．A [解析] 7π12－π3＝π4＝14×2πω，解得ω＝2.由sin2×π3＋φ＝1，－π2<φ<π2，得φ＝－π6，即f (x )＝sin2x －π6，又y ＝cos 2x ＝sin2x ＋π2，且sin2x －π6＝sin2x －π3＋π2，故只要把y ＝cos 2x 的图像向右平移π3个单位长度即可得到f (x )的图像．11.π3 [解析] 由图像得14×2πω＝π3－π12＝π4，得ω＝2.再由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，|φ|<π2，得φ＝π3.12.π6 [解析] 把y ＝12sin x ＋π3的图像向左平移m 个单位长度后得到函数y ＝12sin(x ＋m )＋π3＝12sin x ＋m ＋π3的图像，由题意得m ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，取k ＝0，得m 的最小值为π6.13．2 [解析] 函数g (x )的解析式为g (x )＝2sin ωx ＋π3ω－π3＝2sin ωx ，易知函数g (x )的一个单调递增区间是－π2ω，π2ω.又函数y ＝g (x )在区间0，π4上为增函数，则0，π4⊆－π2ω，π2ω，所以π2ω≥π4，得ω≤2.所以ω的最大值为2. 14．解：(1)由图像可知A ＝2，∵34T ＝11π2－π＝92π，∴T ＝6π＝2πω，∴ω＝13， ∴f (x )＝2sin 13x ＋π6.(2)∵f (3α＋π)＝2sin α＋π2＝2cos α＝1013，∴cos α＝513.又∵f 3β＋5π2＝2sin(β＋π)＝－2sin β＝65，∴sin β＝－35.∵α，β∈－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝1－5132＝－1213，cos β＝1－sin 2β＝1－－352＝45，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－1213×45－513×－35＝－3365.15．解：(1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋（5）2－（13）22×4×5＝55，所以P (1，2)，由此可得A ＝2，最小正周期T ＝4×(4－1)＝12，则2πω＝12，得ω＝π6.将(1，2)代入y ＝2sin π6x ＋φ，得sin π6＋φ＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin π6x ＋π3.(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π6（x －2）＋π3＝2sin π6x ，所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋2 3sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x＋3sin π3x ＝1＋2sin π3x －π6.当x ∈(－1，2)时，π3x －π6∈－π2，π2，所以sin π3x －π6∈(－1，1)，即1＋2sin π3x －π6∈(－1，3)．故函数h (x )的值域为(－1，3)．16．解：(1)由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD .设OM 与AD ，BC 的交点分别为E ，F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ，易知△OAE 为等腰直角三角形，OE ＝AE ＝12BC ＝R sin θ，则AB ＝EF ＝OF －OE ＝R cos θ－R sin θ， 所以S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ)＝R 2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝2R 2sin2θ＋π4－R 2，θ∈0，π4.(2)因为θ∈0，π4，所以2θ＋π4∈π4，3π4.所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值，S max ＝(2－1)R 2＝(2－1)×452＝(2－1)×2025≈838.78(m 2)．故当θ＝π8时，矩形ABCD 的面积S 有最大值，其最大值约为838.78 m 2.。
高考数学 3.4 函数y=Asin(wx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 文 新人教A版
(1)定点：先确定五点.即令ωx+φ分别等于0,，π, 3 , 2π，
2
2
得对应的五点为：_(____, 0_)_,_(_2____,_A_)_，_(_____, 0_)_,(_3_2____,__A_)_,
_(_2_____,_0_) _.
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次 连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象. (3)扩展：将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ) 在R上的图象.
(2)y＝sin(x－ )的图象是由y＝sinx的图象向_____平移
4
_____个单位得到的.
(3)y＝sin(x－ )的图象是由y＝sin(x＋ )的图象向_____
4
4
平移_____个单位得到的.
(4)y=sin(2x+ )的图象是由y=sin2x的图象向_____平移
3
_____个单位得到的.
在物理学上，当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)
表示简谐运动时，则A叫做__振__幅___，T 2 叫做_周__期____，f 1
T
叫做__频__率___，ωx+φ叫做__相__位___，x=0时的相位φ叫做_初__相____.
【即时应用】 如图，它表示电流I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|＜ )在
y=Asin(ωx+φ)的图象 向上(k>0)或向下(k<0)
平移|k|个单位长度
y=Asin(ωx+φ)+k的图象．
(2)先伸缩后平移
函数f(x)=Asin(wx Φ)的图像及三角函数模型的简单应用
函数(x)Asin(x )f ωϕ=+的图像及三角函数模型的简单应用一、选择题二、1.（2014·浙江高考文科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像（ ）A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位【解题提示】 由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选A.因为sin3cos3)4y x x x π=+=-，故只需将y x =的图象向右平移12π个单位即可.2.（2014·浙江高考理科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位【解题指南】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选D.因为sin3cos3)4y x x x π=+=+，故只需将x y 3sin 2=的图象向左平移12π个单位即可.3.（2014·安徽高考文科·Ｔ7）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A.8π B.4π C.83π D.43π【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。
【解析】选C ，将函数()sin 2cos 2sin(2)4f x x x x p=++的图像向右平移ϕ个单位，所得函数为())](2)]44f x x xp pj j-+=+-，其图像关于y轴对称，则()2f x x=，所以2=+42kp pj p-，所以ϕ的最小正值是38p.4.（2014·四川高考理科·Ｔ3）为了得到函数)12sin(+=xy的图象，只需把函数xy2sin=的图象上所有的点（）A.向左平行移动21个长度单位 B. 向右平行移动21个长度单位C.向左平行移动1个长度单位D. 向右平行移动1个长度单位【解题提示】xy2sin=−−−−−−−−→1向左平行移动个长度单位21sin[2()1]2y x=++sin(21)x=+.【解析】选 A. 将xy2sin=的图象上所有的点向左平行移动21个长度单位得到函数1sin[2()1]2y x=++sin(21)x=+.故选A.5.（2014·四川高考文科·Ｔ3）为了得到函数sin(1)y x=+的图象，只需把函数siny x=的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度【解题提示】siny x=−−−−−−−−→向左平行移动1个长度单位sin(1)y x=+.【解析】选A. 只需把siny x=的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得到函数sin(1)y x=+的图象，选A.二、填空题6.（2014·上海高考文科·Ｔ12）[]sin10,2______.x xπ=方程在区间上的所有解的和等于【解题提示】ωϕ首先将左边函数化为Asin(x+)的形式，再根据三角函数的图像特点可求.【解析】152sin()1,sin(),2+332366117.2637.3x x x xππππππππππ=+=+=+=令所以即或解得x=或，所以所有解的和为答案：7.（2014·重庆高考文科·Ｔ13）将函数()sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到sin y x = 的图象，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解题提示】先根据三角函数图象变换求出,ωϕ的值，然后求出实数6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】函数()sin()f x x ωϕ=+ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为sin(2)y x ωϕ=+，再向右平移6π个单位长度得到的函数为sin 2sin 2sin 63y x x x πωωϕωπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以212,3k k Z ωωπϕπ=⎧⎪⎨-+=∈⎪⎩ 又因为0,22ππωϕ>-≤<可求得1,26πωϕ== ，所以1()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以1sin sin 62664f ππππ⎛⎫⎛⎫=∙+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：三、解答题8. (2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h )的变化近似满足函数关系: f (t ),t ∈[0,24). (1)求实验室这一天上午8时的温度. (2)求实验室这一天的最大温差. 【解题指南】(1)将f (t )=10-cosπ12t-sint 化为y=Asin (ωx+φ)+b 的形式,然后代入x=8求值. (2)由(1)可求得这一天的温度最大值和最小值,进而求得最大温差.【解析】(1)f (8)cos-sin π812⨯() =10-cos 2π3-sin 2π3=10. 故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f (t )=π1π10sin )12212t t -+ =10-2sin ππ()123t +.又0≤t<24, 所以t+π3<7π3,-1≤sin ≤1. 当t=2时,sin=1; 当t=14时,sin=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.9. （2014·湖北高考理科·Ｔ17）某实验室一天的温度（单位：oC ）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系：(t)10sin,[0,24).1212f t t t ππ=-∈(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于11oC ，则在哪段时间实验室需要降温？【解题指南】（Ⅰ）将ππ()10sin 1212f t t t =-化为错误！未找到引用源。