三角函数及不等式练习题
三角函数不等式练习题及解答
三角函数不等式练习题及解答一、简介三角函数是数学中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在解三角函数不等式时，我们需要运用这些函数的性质和相关的数学知识。
本文将为大家提供一些三角函数不等式的练习题及解答，帮助大家更好地掌握这一内容。
二、练习题与解答1. 解不等式sin(x) > 0的解集。
解析：根据正弦函数的性质可知，当角度x在区间(0, π)和(2π, 3π)等以π为周期的区间时，sin(x) > 0。
因此，该不等式的解集为S = {x | x∈ (0, π) ∪ (2π, 3π)}。
2. 解不等式cos(2x) ≥ 0的解集。
解析：将不等式转化为等价形式，cos(2x) = 0。
则有2x = π/2 + kπ (k 为整数) 或2x = 3π/2 + kπ (k为整数)。
化简得x = π/4 + kπ/2 或x = 3π/4+ kπ/2。
因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ [π/4 + kπ/2, 3π/4 + kπ/2]，k为整数}。
3. 解不等式tan(x) < 2的解集。
解析：tan(x) < 2可转化为tan(x) - 2 < 0。
根据正切函数的性质可知，tan(x) - 2 < 0的解集为角度x在区间(-π/4, arctan(2))和(arctan(2) + kπ, π/4+ kπ)，其中k为整数。
因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ (-π/4, arctan(2)) ∪ (arctan(2) + kπ, π/4 + kπ)，k为整数}。
4. 解不等式sin(3x) ≤ cos(2x)的解集。
解析：将不等式转化为等价形式得sin(3x) - cos(2x) ≤ 0。
对于这种类型的不等式，我们可以使用图像法和代数法来求解。
图像法解析：将sin(3x)和cos(2x)的图像绘制在同一坐标系中，找到它们的交点，即满足sin(3x) - cos(2x) ≤ 0的解集。
三角函数的方程与不等式练习题
三角函数的方程与不等式练习题1. 解方程：a) 解方程sin(x) = 0.5，其中0 ≤ x ≤ π。
解答：根据 sin(x) = 0.5 的定义，可以推导得到x = π/6 或x = 5π/4。
然而，由于题目给定了0 ≤ x ≤ π 的范围限制，因此只有x = π/6 符合条件。
b) 解方程3sin(2x) + 2 = 0，其中0 ≤ x ≤ 2π。
解答：将方程转化为 sin(2x) = -2/3。
根据 sin(2x) = -2/3 的定义，可以推导得到 x = (7π/6 + 2kπ)/2 或 x = (11π/6 + 2kπ)/2，其中 k 是整数。
然而，由于题目给定了0 ≤ x ≤ 2π 的范围限制，需要筛选符合条件的解。
将 k 代入方程中，可得x = (7π/6, 11π/6, 19π/6, 23π/6)。
其中，只有x = 7π/6 和x = 11π/6 在0 ≤ x ≤ 2π 的范围内。
因此，方程3sin(2x) + 2 = 0 的解为x = 7π/6 和x = 11π/6。
2. 解不等式：a) 解不等式sin(x) > 0.5，其中0 ≤ x ≤ 2π。
解答：首先，解方程sin(x) = 0.5，得到x = π/6 或x = 5π/6。
然后，通过画图或查表可以确定 sin(x) > 0.5 的解在0 ≤ x ≤ 2π 范围内为(π/6, π/2) 和(5π/6, 3π/2)。
因此，不等式sin(x) > 0.5 的解为 x 属于开区间(π/6, π/2) 和(5π/6, 3π/2)。
b) 解不等式2cos(3x) ≤ 1，其中0 ≤ x ≤ 2π。
解答：将不等式转化为cos(3x) ≤ 1/2。
根据cos(3x) ≤ 1/2 的图像或查表可以得到，解在整个定义域内为 (-∞, π/3] ∪ [5π/3, +∞)。
然而，由于题目给定了0 ≤ x ≤ 2π 的范围限制，需要筛选符合条件的解。
高一数学 不等式、基本不等式与三角函数复习题(解析版)
0,a,b
的等比中项为
2，则
a
+
1 b
+
b
+
1的最小值为（
a
）
A．3
B．4
C．5
D．4 2
【答案】C
【详解】
∵ a + 1 + b + 1 = (a + b) + a+b = (a + b)(1 + 1 ) = 5 (a + b) ≥ 5 ⋅ 2 ab = 5，
b
a
ab
ab 4
4
等号成立当且仅当 a = b = 2，∴原式的最小值为 5.
（1）∵
a
1
sin
x,
sin
x
，
b
cos
x,1
∴ f x 1 sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x 1 sin 2x
2 ∴ T 2 .
2
（2） g x (1 sin x)cos x sin x sin x cos x sin x cos x
4
8
由图可得 x1 与 x2 关于 x
3 8
对称，
x1 x2
2 3 8
3 4
故选：A
9．已知
sin
6
3 5
，则
cos
4 3
（
）
4
A．
5
【答案】B
3
B．
5
C． 4 5
【详解】
D．- 3 5
cos
4 3
cos(3 2
(
6
)]
sin(
6
综合算式专项练习题三角函数与不等式组
综合算式专项练习题三角函数与不等式组在数学中，三角函数与不等式组是高中阶段的重要知识点，它们广泛应用于几何、代数和数学分析等领域。
通过综合算式专项练习题，我们能够更好地理解和掌握三角函数与不等式组的概念和解题方法。
本文将为大家带来一些综合算式专项练习题，帮助读者加深对此类题型的理解。
练习题一：求解三角函数的值1. 若角A的终边经过点（3，4），则sinA、cosA、tanA的值分别为多少？解析：根据勾股定理可知，当一个角A的终边经过点（3，4）时，其对应的直角三角形的斜边为5（3²+4²=5²）。
因此，sinA=4/5，cosA=3/5，tanA=4/3。
练习题二：解三角方程2. 解方程sinx+cosx=1的解集。
解析：将方程sinx+cosx=1转化为tan(x/2)的方程，有tan(x/2+π/4)=1。
根据解三角方程的一般步骤，解得x=2nπ+π/2和x=2nπ+7π/4，其中n为整数。
练习题三：求解不等式组3. 求解不等式组{sinx>0, cosx≤0}的解集。
解析：首先求解sinx>0的解集，得到x∈(2kπ, (2k+1)π)，其中k为整数。
其次求解cosx≤0的解集，得到x∈[(2k+1)π/2, 2kπ+(3π/2)]，其中k 为整数。
最后求解不等式组的解集，即求解两个不等式的交集，得到x∈(2kπ, (2k+1)π/2]，其中k为整数。
练习题四：变量替换求解4. 求解不等式组{sin^2x+2cos^2x≤1, sinx≥0}的解集。
解析：首先，将sin^2x+2cos^2x≤1转化为2cos^2x≤1-sin^2x，再将其化简为cos^2x+sin^2x≥1/2。
由于cos^2x+sin^2x=1，所以不等式组化简为1≥1/2，因此该不等式组的解集为全体实数。
练习题五：综合运用三角函数与不等式组5. 求解不等式组{tanx<1, cosx>0}的解集。
基本不等式三角函数客观题
考点一线性规划求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画平行线、解方程组、求最值.例题1 设z=2x+y中x,y满足下列条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩求z的最大值和最小值.解：作出二元一次不等式组43 35251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域（如图阴影部分所示）即可行域.考虑z=2x+y，将它变形为y=-2x+z，这是斜率为-2,随z变化的一簇平行直线,z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时,z的值最大.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x+y取得最大值；当直线截距最小时，z的值最小，即在满足约束条件时目标函数z=2x+y取得最小值.由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大.解方程组43035250x yx y-+=⎧⎨+-=⎩得A的坐标为(5,2).∴zmax=2×5+2=12.当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小.解方程组4301x yx-+=⎧⎨=⎩得B的坐标为(1,1).∴zmin=2x+y=2×1+1=3.习题1设实数,x y满足不等式组250270,x yx yx+-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y≥0，若,x y为整数，则34x y+的最小值是A．14 B．16 C．17 D．19 【答案】B习题2 设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，1 B ．（1+∞）C ．（1,3 ）D ．（3，+∞）【答案】A习题3 若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】-6考点二 基本不等式1、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b+≥． ()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭； 2a b+称为正数a 、ba 、b 的几何平均数． 2、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
三角函数练习题含答案
三角函数练习题含答案一、填空题1．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.2．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.有下列结论： ①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②若5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③ω的取值范围为(]0,4；④函数()f x 在区间[)0,2π上最多有6个零点. 其中所有正确结论的编号为________.3．已知函数23tan ,,,2332()2,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 4．已知()()()cos sin 0f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.5．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.6．已知函数()[)[]243,0,3,92sin ,3,156x x y f x x x π⎧⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.7．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan 3θ________．8．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23,3a A π==．若mb nc +（0,0m n >>）有最大值，则nm的取值范围是__________． 10．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.二、单选题11．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤B ．f (cos A )≤f (cos B )C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )12．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A ．3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()02f =，若函数()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）A ．5571,2424⎛⎤⎥⎝⎦B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦15．设函数()211f x x =-，()122x f ex --=，()31sin 23f x x π=，99i ia =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ） A ．123I I I << B ．321I I I << C ．132I I I <<D ．213I I I <<16．如图，设1F ，2F 是双曲线()22210xy a a-=>的左、右焦点，过点2F 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点A ，若12AF F △的面积为54，离心率满足12e <<，则双曲线的方程为（ ）A ．2215x y -=B ．2214x y -=C ．2213x y -=D ．2212x y -=17．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)22,⎡+∞⎣18．已知函数()2sin cos 3cos2f x x x x =+，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④19．设函数()sin cos f x a x b x ωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()3y g x x π=-+零点的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．720．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC 3OB =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．33C ．63D ．93三、解答题21．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A 为31-海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间. 22．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.23．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.24．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.25．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos 32)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.26．已知向量 22(2,22()),(,)2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 27．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 22220C C ++=． （1）求角C 的大小；（2）若2b a =，ABC ∆2sin A B ，求sin A 及c 的值．28．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 29．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题122．①②④3．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭4．140325．11 6．()135,216 7．2rr h-+ 8．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭9．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．25二、单选题 11．D 12．A 13．A 14．A 15．D 16．B 17．C 18．B 19．D 20．C 三、解答题21．（1）=BC C 船在B 船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北30才能最快追上走私船． 【解析】（1）在ABC 中根据余弦定理计算BC ，再利用正弦定理计算ABC ∠即可得出方位； （2）在BCD △中，利用正弦定理计算BCD ∠，再计算BD 得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知1=AB ，2AC =，120BAC ∠=︒， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos1206BC AB AC AB AC =+-︒=，BC ∴，由正弦定理得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即2sin ABC∠解得：sin ABC ∠=， 45ABC ∴∠=︒，C ∴船在B 船的正西方向．（2）由（1）知=BC 120DBC ∠=︒， 设t 小时后缉私艇在D 处追上走私船，则10BD t =，CD =，在BCD △10sin tBCD∠， 解得：1sin 2BCD ∠=， 30BCD ∴∠=︒，BCD ∴△是等腰三角形，10t ∴=，即t =∴缉私艇沿东偏北30【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．22．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长3a==，综上可得，能放.（3）()1214sin60sin4sin sin2d dθθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos2222sin23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭.060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin23012θ≤+≤，所以()02sin23011θ≤+-≤，又10d>，2d>，所以(]120,1d d⋅∈.【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．（1）23CADπ∠=；（2）6π.【解析】【分析】（1）在ABD∆中，由正弦定理得，sin sinBD ABDα=，再结合在直角ABC∆中，sinAB BC C=，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos2sin22D Dαααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可.【详解】解：（1）设BAD∠=α，在ABD∆中，由正弦定理得，sin sinBD ABDα=，而在直角ABC∆中，sinAB BC C=，所以sinsin sinBD BC CDα=，因为AC AD=，所以C D=，又因为2CB BD=，所以1sin2α=，所以6πα=，所以23CADπ∠=；（2）设BAD∠=α，在ABD∆中，由正弦定理得，sin sinBD ABDα=，而在直角ABC∆中，()cos cosAB BC ABC BC Dα=∠=+，所以()()cos cos cos sin sinsin sin sinBC D BC D DBDD Dαααα+-==，因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.24．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max 2f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max 2f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．25．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12. 【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间（2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++ 2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增， 解得：36k x k ππππ-≤≤+， 故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈. （2）∵02x π≤≤， ∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.26．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1． ∵0＜φ2π＜，∴φ4π=．∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin 2x π， 由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4．而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数， 即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点；③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．27．（1）34C π=（2）10sin A =1c = 【解析】【分析】（1）化简等式，即可求出角C ．（2）利用角C 的余弦公式，求出c 与a 的关系式，再由正弦定理求出角A 的正弦值，再结合面积公式求出c 的值．【详解】（1）∵cos 22220C C ++=， ∴222cos 2s 10C C +=+，即)2210C +=， ∴2cos C = 又()0,C π∈，∴34C π=. （2）∵2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=， ∴5c a =，即sin 5C A =， ∴10sin 5A C = ∵1sin 2ABC S ab C ∆=，且2in sin ABC S AB ∆=， ∴12sin sin 22ab C A B =， ∴sin 2sin sin ab C A B= 2sin 2sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭1c =. 【点睛】本题考查利用解三角形，属于基础题．28．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】【分析】 （1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ） 当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+ 当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+ 故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.29．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a =【解析】【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值.【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+--- 令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤ 1t ≤①当2a <a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a ≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a >，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a -=，解得6a = 综上，2a =-或6a =【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.30．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
高一数学三角函数试题
高一数学三角函数试题1.不等式sin()>0成立的x的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】,即,可得,故选D.【考点】解三角不等式2.已知函数（Ⅰ）若求函数的值；（Ⅱ）求函数的值域。
【答案】（1）（2）[ 1 , 2 ]【解析】解：（Ⅰ） 2分6分（Ⅱ） 8分函数的值域为[ 1 , 2 ] 12分【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的化简和性质的运用，属于基础题。
3.若cosθ>0且tanθ<0，则θ所在的象限为 .【答案】四【解析】若cosθ>0，则为第一或四象限角；若tanθ<0，则θ为第二或四象限角，所以θ所在的象限为四。
【考点】象限角点评：当θ为第一、二象限角时，，当θ为第三、四象限角时，；当θ为第一、四象限角时，，当θ为第二、三象限角时，；当θ为第一、三象限角时，，当θ为第二、四象限角时，。
4.如果角θ的终边经过点那么tanθ的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直接根据三角函数的定义，求出tanθ的值．根据角的终边经过点，那么可知=，选D.【考点】正切函数的定义点评：本题是基础题，考查正切函数的定义，是送分题5.设函数图像的一条对称轴是直线.（1）求；（2）画出函数在区间上的图像（在答题纸上完成列表并作图）.【答案】（1）（2）如图。
【解析】解：（1）的图像的对称轴，(2) 由故函数【考点】正弦函数的图像和性质点评：画三角函数的图像时，常用到五点法。
6.已知tanα=2，则3sin2α+5sinαcosα－2cos2α=．【答案】4【解析】∵tanα=2，∴3sin2α+5sinαcosα－2cos2α=【考点】本题考查了三角公式的化简点评：此类问题应首先将所给式子变形，即将其转化成所求函数式能使用的条件，或者将所求函数式经过变形后再用条件7.（本小题满分12分）已知函数(1)写出函数的最小正周期和对称轴；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．【答案】（1）最小正周期，对称轴，；（2）。
三角函数证明不等式集锦
三角函数证明不等式集锦作者：郑彩萍来源：《考试周刊》2012年第43期不等式不仅出现在中学数学各个分支中，而且在以后的继续教育中也会频频露面，它的应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用，所以在中学阶段，学生掌握不等式是十分必要的.而不等式的证明，方法灵活多样，还与很多内容相联系。
它既是中学数学教学中的难点，又是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点。
因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理，非常讲究恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错.本文通过实例利用三角函数归结了一些不等式的证明的方法与技巧.一、如果条件中有a+b=1，且a，b∈R，可作三角代换a=cosα，b=sinα.例1.已知：a，b∈R，且a+b=1，求证：（a+）+（b+）≥.证明：令a=cosα，b=sinα，则（a+）+（b+）=（cosα+）+（sinα+）≥（sinα+cosα++）=（1+）≥二、如果条件中有a+b=r，可作三角代换a=rcosα，b=rsinα.例2.已知：x+y=3，a+b=4（x、y、a、b∈R），求证：|ax+by|≤ 2.证明：设x=sinα，y=cosα，a=2sinβ，b=2cosβ，则|ax+by|=|2sinαsinβ+2cosαcosβ|=2|cos（α-β）|≤2三、如果条件中有a+b≤r（r＞0），可作三角代换a=tcosα，b=tsinα（|t|≤r）.例3.已知：1≤x+y≤2，求证：≤x-xy+y≤3.证明：设x=rcosα，y=rs inα，1≤|r|≤，则x-xy+y=rcosα-rsinαcosα+rsinα=r-rsinαcosα=r（1-sin2α）≤r（1+）≤3又x-xy+y=r（1-sin2α）≥r（1-）=，故：≤x-xy+y≤3.四、如果条件中有a-b=1，且a，b∈R，可作三角代换a=secθ，b=tanθ（0＜θ＜）.例4.已知:a＞1，b＞0，a-b=1，求证:0＜（-）（+）＜1.解析:由于a＞1，b＞0，a-b=1，并且不等式中有，，因此我们联想三角函数的平方关系:secθ-tanθ=1.经过对比，发现a相当于secθ，b相当于tanθ，因而可令：a=secθ，b=tanθ（0＜θ＜）.证明:令a=secθ，b=tanθ（0＜θ＜），则（-）（+）=••=sinθ＜1，故：0＜（-）（+）＜1五、如果条件中有a-b=1，可作三角代换a=secα，b=tanα（α≠kπ+，k∈Z）.例5.已知x-y=1，求证：（x-）（y+）＜1.证明：设x=secα，y=tanα（α≠kπ+，k∈Z），则（x-）（y+）=（secα-cosα）（tanα+cotα）cosα==|sinα|＜1.六、如果条件中有xy=1，则可作三角代换x=tanα，y=cotα.例6.在R中，xy=1，求证：（y-x）≤1.证明：设x=tanα，y=cotα，且tanα＞0，cotα＞0，则（y-x）=2cot2α=2cot2α•sinα•cosα=cos2α≤1.七、利用tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，（A+B+C=kπ）.例7.（1995数学冬令营试题5）设x＞0，i=1，2，…，n，且x+…+x=1，求证：1≤≤.证明：第一不等式用算术平均不等式：≤1）∵•=≤==1∴≥x=1关于第二不等式证明：令θ;sinθ=x+…+x，0＜θ＜，i=1，2，…，n，θ=0.故：θ=0＜θ＜θ＜…＜θ＜θ=.2）∵==∵＞θ，y=cosθ在θ∈（0，）上单调递减，∴＜2sin，又∵sinα＜α，α∈（0，），∴2sin＜θ-θ，∴≤（θ-θ）=θ-θ=.故：原式成立.八．随题应变.依据已知条件适当转化、变形，由形定法.例8.（北京IMO集训班试题，1990）求满足方程组y=4x-3xz=4y-3yx=4z-3z的实数（x，y，z）.解析：由每个方程的形式联想三倍角的余弦式，故用三角法.解：首先证明，|x|≤1，否则|x|＞1，则由y=x（4x-3）推出|y|＞ |x|同理：|z|＞|y|，|x|＞|z|矛盾，因此，设x=cosθ，0≤θ≤π则y=4cosθ-3cosθ=cos3θ，z=cos9θ，x=cos27θ.∴θ是方程cosθ-cos27θ=0的解.即θ满足sin13θ•sin14θ=0.∴θ在［０，π］上有27个解，即θ=π，k=0，1，2， (13)。
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练习题
1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π
=-
C ．sin(2)3y x π=+
D ．sin(2)3y x π
=-
2.设0a >，对于函数()sin (0)sin x a
f x x x π+=<<，下列结论
正确的是
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值
3.函数y =1+cos x 的图象
（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称
（C ）关于原点对称 （D ）关于直线x =2π
对称
4.已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π
-,4π
]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于
A.32
B.23
C.2
D.3
5.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π
，则)(x f 的最小正周期是
A ．2π
B . π C. 2π D . 4π
6.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝( )
（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1
7为了得到函数R x x
y ∈+=),63sin(2π
的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的
点
（A ）向左平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（B ）向右平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（C ）向左平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D ）向右平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
8.已知函数1
1
()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是
(A)[]1,1- (B) ,12⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦ (C) 1,2⎡-⎢⎣⎦ (D) 1,2⎡--⎢⎣
⎦ 9.函数1|sin(3)|2y x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π
10.函数()tan 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的单调增区间为 A ．,,22k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭
B ．()(),1,k k k Z ππ+∈
C ．3,,44k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
11．（1）将函数1sin(2)24
y x π=-的图象向______平移_______个单位得到函数1sin 22
y x =的 图象(只要求写出一个值) (2)要得到1cos(2)24y x π=-的图象,可以把函数sin()cos()66
y x x ππ=--的图象向______平移_______个单位(只要求写出一个值). 例 4.设x R ∈,函数21()cos ()2f x x ωϕ=+-
(0,)2o πωϕ><<,已知()f x 的最小正周期为π,且1()84
f π
=. (1)求ω和ϕ的值; (2)求的单调增区间. 12 已知函数()2sin(2)4f x x π
=-
（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期；
（4）求函数的最值及相应的x 值集合； （5）求函数的单调区间；
（6）若3[0,]4
x π∈，求()f x 的取值范围； （7）求函数()f x 的对称轴与对称中心；
（8）若()f x ϕ+为奇函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ；若()f x ϕ+为偶函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ。
13.、定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；
1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）
A ．x y y x +
B ．4
522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+
2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y ++的最小值是（ ）
A ．
B ．1+
C ．6
D ．7
3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y
=+++，则,A B 的大小关系是（ ） A ．A B = B ．A B <
C ．A B ≤
D ．A B >
4．若,,x y a R +∈，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ ）
A ．2
B
C ．1
D ．12
5．函数46y x x =-+-的最小值为（ ）
A ．2
B
C ．4
D ．6
6．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）
A ．[2,1)[4,7)-
B ．(2,1](4,7]-
C ．(2,1][4,7)--
D ．(2,1][4,7)-
二、填空题
1．若0a b >>，则1()
a b a b +-的最小值是_____________。
2．若0,0,0a b m n >>>>，则
b a , a b , m a m b ++, n b n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________。
4．设1010101111112212221A =
++++++-，则A 与1的大小关系是_____________。
5．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________。