二轮复习 函数零点的性质问题 学案(全国通用)

微专题11 函数零点的性质一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。

三者转化：函数()f x 的零点⇒方程()0f x =的根−−−−→方程变形方程()()g x h x =的根⇒函数()g x 与()h x 的交点 2、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t ，从而用t 可表示出12,,x x L ，将关于12,,x x L 的表达式转化为关于t 的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x 关于x a =轴对称，则122x x a +=；同理，若12,x x 关于(),0a 中心对称，则也有122x x a +=。

将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 二、典型例题：例1：已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A. ()+∞ B. )⎡+∞⎣C. ()3,+∞D. [)3,+∞思路：先做出()f x 的图像，通过图像可知，如果()()f a f b =，则01a b <<<，设()()f a f b t ==，即()lg 0lg a tt b t=⎧⎪>⎨=⎪⎩，由,a b 范围可得：lg 0,lg 0a b <>，从而lg lg tta t a eb t b e-⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩，所以122tta b e e+=+，而0t e >，所以()123,t t e e+∈+∞ 答案：C小炼有话说：（1）此类问题如果()f x 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点 （2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t ，从而用t 表示出,a b ，达到消元效果，但是要注意t 是有范围的（通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点）；一个是通过图像判断出,a b 的范围，从而去掉绝对值。

例2：已知函数()[]()2015cos ,0,2log ,,x x f x x x ππππ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+∞⎪⎩，若有三个不同的实数,,a b c ，使得()()()f a f b f c == ，则a b c ++的取值范围是________思路：()f x 的图像可作，所以考虑作出()f x 的图像，不妨设a b c <<，由图像可得：()()()0,1f a f b =∈[],0,a b π∈，且关于2x π=轴对称，所以有22a b a b ππ+=⇒+=，再观察c π>，且()()()2015log 0,1c f c f a π==∈，所以20150log 12015cc πππ<<⇒<<，从而()()2,2016a b c c πππ++=+∈答案：()2,2016ππ小炼有话说：本题抓住,a b 关于2x π=对称是关键，从而可由对称求得a b π+=，使得所求式子只需考虑c 的范围即可例3：定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A. 21a -B. 12a -C. 21a --D. 12a -- 思路：()f x 为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当0x >时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。

()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点。

观察图像可得有5个交点：12,x x 关于3x =-对称，126x x +=-，30x <且满足方程()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132log 1x a -+=，解得：312a x =-，45,x x 关于3x =轴对称，456x x ∴+= 1234512a x x x x x ∴++++=-答案：B 例4：已知113k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为（ ）A. 1B. 2log 3C. 2log 6D. 3 思路：从()(),f x g x 解析式中发现12,x x 可看做21xy =-与y k =的交点，34,x x 可看做21xy =-与21ky k =+的交点，且12340,0x x x x <<<<，从而1234,,,x x x x 均可由k 进行表示，所以()()4321x x x x -+-可转化为关于k 的函数，再求最小值即可解：由图像可得：12340,0x x x x <<<<3124121221,212121x xx x k k k k k k ⎧-=⎪⎧-=⎪⎪+∴⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎪+⎩()()1222log 1,log 1x k x k ∴=-=+322422131log 1log ,log 1log 21212121k k k k x x k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()43212222311314log log log log 31111k k k x x x x k k k k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=+==-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1,13k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭Q [)433,1k ∴-+∈+∞-()()[)43212log 3,x x x x ∴-+-∈+∞答案：B例5：已知函数()()31log 113xf x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭有两个不同的零点12,x x ，则（ ）A. 121x x <B. 1212x x x x ⋅=+C. 1212x x x x ⋅>+D. 1212x x x x ⋅<+思路：可将零点化为方程()31log 113xx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭的根，进而转化为()()3log 1g x x =-与()113xh x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的交点，作出图像可得1212x x <<<，进而可将()31log 113xx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭中的绝对值去掉得：()()1231321log 1131log 113x x x x ⎧⎛⎫--=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩①②，观察选项涉及1212,x x x x ⋅+，故将②-①可得：()()2132111log 1133xxx x ⎛⎫⎛⎫--=-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，而13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，且21x x >，从而()()()()()321211212log 1101110x x x x x x x x --<⇒--<⇒-+<⎡⎤⎣⎦，即1212x x x x <+答案：D例6：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤<=)(,3)0(|,ln |)(333e x x e e x x xf ，存在321x x x <<，)()()(321x f x f x f ==，则23)(x x f 的最大值为 思路：先作出()f x 的图像，观察可得：312301x x e x <<<<<，所求23)(x x f 可先减少变量个数，利用()()32f x f x =可得：()232222()ln f x f x x x x x ==，从而只需求出ln x y x =在()31,e 的最小值即可：'21ln x yx -=，所以函数ln xy x=在()1,e 单增，在()3,e e 单减。

从而max ln 1e y e e==答案：1e例7：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ）A. 5-B. 6-C. 7-D. 8- 思路：先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。

从而做出()f x 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看()g x 图像，()251222x g x x x +==+++，可视为将1y x=的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至()2,2-，刚好与()f x 对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点123x x x <<，其中23x =-，1x 与3x 关于()2,2-中心对称，所以有134x x +=-。

所以1237x x x ++=- 答案：C例8：函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，有以下四个结论①[)3,4m ∈ ② )40,abcd e ⎡∈⎣③ 562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭④ 若关于x 的方程()f x x m +=恰有三个不同实根，则m 的取值唯一 则其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④ 思路：本题涉及到m 的取值，及4个交点的性质，所以先作出()f x 的图像，从而从图上确定存在4个交点时，m 的范围是[)3,4，所以①正确。