第3讲函数依赖和公理

律： RESULT →Z
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例： F={A→D, AB→E, BI→E，CD→I，E→C} 求： AE+ 解： AE0 = AE AE1 = AED AE2 = AEDC (第一轮扫描后的结果） 第一轮扫描后的结果） … AE+ = ACDEI 练习： 属性集U 为ABCD，
F={A→B, B→C, D→B}
推论3 伪传递规则） 推论3（伪传递规则）
若X→Y，YZ→W，则XZ→W。 X→Y，YZ→W， XZ→W。
增广和传递律） 增广和传递律 XZ→W（增广和传递律
证明： 证明： X→Y ⇒ XZ→Y Z YZ→ W
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示例： 示例：SC(SNO,CNO,SNAME,GRADE,DEPT,MN)
SNO,CNO→GRADE， F={ SNO,CNO→GRADE， SNO → SNAME，DEPT， SNAME，DEPT， DEPT → MN} SNAME，DEPT， SNO → SNAME，DEPT，MN （分解规则，传递律，合成规则） 分解规则，传递律，合成规则）
第三章 数 据 依 赖
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本章的主要内容： 本章的主要内容：
函数依赖的概念及函数依赖公理 函数依赖集的等价和覆盖 多值依赖及多值依赖公理 连接依赖
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函数依赖( 3.1 函数依赖(Functional dependency FD)
定义1(FD) 定义1(FD) 1( 设关系模式R(U)， R(U)上的任一关系 上的任一关系， 设关系模式R(U)，X,Y ⊆ U，r是R(U)上的任一关系， R(U) 对任意t [Y]， 对任意t1、t2∈r, 如果 t1[X]=t2[X] 有t1[Y]=t2 [Y]，称X 函数决定Y X→Y。 函数决定Y，或Y函数依赖于X，记为：FD X→Y。 函数依赖于X 记为：
例：设F={AB→C，C→B}。 F={AB→C，C→B}。 求F+
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设F={AB→C，C→B}。 F={AB→C，C→B}。 F + 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B, AB→B, BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC，BC→BC, ABC→BC, AB→ABC， ABC→ABC, AB→C, AB→AC, AB→BC, AB→ABC，C→B, C→BC， C→BC，AC→B ，AC→AB}
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为了判定函数依赖集F是否蕴涵X→Y， 为了判定函数依赖集F是否蕴涵X→Y，引入的属性闭包： 判定函数依赖集 X→Y
定义(属性集X的闭包X 定义(属性集X的闭包X
+
)
设关系模式R(U, F)， 设关系模式R(U, F)，U=A1A2…An ,X ⊆ U, 所有用公理 和F推出的函数依赖X→Ai中Ai的集合，称X对于函数依赖集 的集合， 推出的函数依赖X→A F的闭包，记作：X+ 的闭包，记作： X+ ={ Ai | F |= X→Ai 且Ai ∈ U}
函数依赖、完全依赖、 函数依赖、完全依赖、传递依赖等基本概念是第四章关系 数据库范式的基础。 数据库范式的基础。
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函数依赖的例子
学校数据库的语义： 学校数据库的语义： ⒈ 一个系有若干学生， 一个学生只属于一个系； 一个系有若干学生， 一个学生只属于一个系； 一个系只有一名主任； ⒉ 一个系只有一名主任； 一个学生可以选修多门课程， 每门课程有若干学生选修； ⒊ 一个学生可以选修多门课程， 每门课程有若干学生选修； 每个学生所学的每门课程都有一个成绩。 ⒋ 每个学生所学的每门课程都有一个成绩。
即：F所蕴涵的函数依赖X→Y一定能被公理推出。
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例：
设F={AB→E，AG→J，BE→I，E→G，GI→H} F={AB→E，AG→J，BE→I，E→G，
试证： 试证：F|= AB→GH 证明：用公理系统和F中的函数依赖，推导过程如下： 证明：用公理系统和F中的函数依赖，推导过程如下： AB→E， 1. 已知 AB→E，E→G 2. 已知 AB→E BE→I， 3. 已知 BE→I，又 AB→BE AB→G， 4. 由1和3有AB→G， AB→I AB→GI， 5. 由4有 AB→GI，又 GI→H AB→H， 6. 由1和5有 AB→H，AB→G 则：AB→G； AB→G； 则：AB→BE； AB→BE； 则：AB→I 则：AB→GI 则：AB→H 则：AB→GH
R(SNO,CNO,SNAME,GRADE,DEPT,MNG) 找出其中的函数依赖？ （1）找出其中的函数依赖？ 哪些是平凡依赖？指出哪些是完全依赖？哪些是部分依赖？ （2）哪些是平凡依赖？指出哪些是完全依赖？哪些是部分依赖？哪 些是传递依赖 ？ SNO → DEPT, SNO,CNO→SNO; SNO→MNG SNO→MNG DEPT → MNG; SNO,CNO→SNAME SNAME; SNO,CNO→SNAME; SNO,CNO→GRADE; SNO,CNO→GRADE; GRADE
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如果A 定理1 如果Ai (i =1, 2, …, n)是关系模式R的属 成立的充要条件是： 性，则 X→ A1 A2 … An 成立的充要条件是： X→ Ai (i =1, 2, …, n) 都成立。 都成立。 3.2.2 公理的完备性 定理2 Armstrong公理是完备的 公理是完备的。 定理2 Armstrong公理是完备的。
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X→Y，X→Z， X→YZ。 推论1 合成规则）： 推论1（合成规则）： 若X→Y，X→Z，则X→YZ。 证明： 证明：若X→Y ⇒ X → XY X→Z ⇒ XY→YZ X→YZ （增广和传递律
X→Y且 X→Z⊆Y，则X→Z。 证明： ⊆ 证明： Z⊆Y ⇒ Y→Z （自反和传递律）
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定义(函数依赖集F的闭包 F +) 定义(函数依赖集F 设F是关系r(R)上的函数依赖集，F所蕴含的所有FD的集 是关系r(R)上的函数依赖集， 所蕴含的所有FD的集 r(R)上的函数依赖集 FD 合称为F 闭包，记作F 合称为F的闭包，记作F +。 F
+
= { X→Y
|
所有F 所有F |= X→Y }
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3.2.1 函数依赖集闭包及成员测试算法
算法1 计算属性集X的闭包X+的算法 输入： 输出： 输入：属性集X和函数依赖集F 输出：X的闭包X+
CLOSURE(X, F) Begin VAR:=φ; RESULT:=X; While RESULT≠VAR do Begin VAR:=RESULT; for every FD W→Z in F do if W⊆RESULT then RESULT:=RESULT∪Z end; return(RESULT) end. //其中的原理：由 W⊆RESULT ,由自反律：RESULT →W，再由传递 //其中的原理 其中的原理： 由自反律： →W，
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3.2 函数依赖公理 3.2.1 函数依赖公理
由关系模式R上的函数依赖组成的集合F称为R 由关系模式R上的函数依赖组成的集合F称为R上 的函数依赖集，记为： 的函数依赖集，记为： FDs 定义(FD的逻辑蕴涵) 定义(FD的逻辑蕴涵) ： 的逻辑蕴涵 设关系模式R(U,F)，X,Y⊆ 设关系模式R(U,F)，X,Y⊆U，如果能从函数依赖 R(U,F) 如果能从函数依赖 X→Y， 集F推导出FD X→Y，则称 F逻辑蕴涵 FD X→Y，或称 推导出FD X→Y， X→Y逻辑蕴涵于F。记为 F|= X→Y。 X→Y逻辑蕴涵于F X→Y。 逻辑蕴涵于
(传递律) 传递律) (增广律) 增广律) (传递律) 传递律) (合成规则) 合成规则) (传递律) 传递律) (合成规则) 合成规则)
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定义(使用集) 用公理从F推出 用公理从 推出 X→Y成立所使用的函数 成立所使用的函数 依赖组成的序列称F上的一个推理序列 依赖组成的序列称 上的一个推理序列。在推 上的一个推理序列。 理序列中出现的且包含在F中的函数依赖的集 理序列中出现的且包含在 中的函数依赖的集 合称推理序列的使用集 合称推理序列的使用集(use set)，记为： 使用集 ，记为： U(F, X→Y) 例：U(F, AB→GH) ={AB→E，E→G， BE→I， GI→H} ， ， ，
的等价定义） 定义2（FD的等价定义） 对X中的任一值x，ΠY(σX=x(r)) 的 值仅有一个元组， 值仅有一个元组，则有X→Y。
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练习
设关系r 如下所示： 设关系 如下所示： r( A B C a1 b1 c1 a1 b2 c2 a2 b1 c3 a2 b1 c4 a3 b2 c5 D E) d1 e1 d2 e1 d3 e1 d3 e1 d1 e1
说明r C→BDE， 说明r上函数依赖： A→D, AB→D, C→BDE，E→A
是否成立？ 是否成立？
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定义(平凡/非平凡的FD):设 X→Y，如果Y 定义(平凡/非平凡的FD) 设FD X→Y，如果Y⊄X，则称 FD FD) X→Y为非平凡的函数依赖；否则， X→Y为 X→Y为非平凡的函数依赖；否则，若Y⊆X，称FD X→Y为平凡 的函数依赖。 的函数依赖。 定义(完全FD): X→Y，如果对任意的X′⊂X →Y都 定义(完全FD): 设FD X→Y，如果对任意的X′⊂X，X′→Y都 不成立，则称X→Y是完全函数依赖；若对X的真子集X X→Y是完全函数依赖 ′⊂X 不成立，则称X→Y是完全函数依赖；若对X的真子集X′有X′⊂X， →Y成立 则称FD X→Y是部分函数依赖 成立， 是部分函数依赖， 函数依赖于X 而X′→Y成立，则称FD X→Y是部分函数依赖，即Y函数依赖于X 的一部分。 的一部分。
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F。 F。