复变函数讲义 (4)
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复变函数 复习讲义
1
( r cos θ + ir sin θ )n = r n ( cos nθ + i sin nθ ) .
在几何上 , n z的n个值就是以原点为中心 , n r为半径 的圆的内接正 n边形的n个顶点.
五、区域及相关概念* 四、复平面与复球面
1. 用复数方程表示平面曲线 （给出平面曲线要求用复数方程表示，给出方程 要求描述曲线）
6
三、Cauchy积分定理及其应用 １.Thm（柯西－古萨基本定理）
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 , 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零 :
∫
z1 z0
f (ζ )dζ = G ( z1 ) − G ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.
要求：会计算各初等函数，掌握其基本性质 注意：与实函数的区别
2、多值函数
第三章
a b = e bLna
复变函数的积分
Lnz=ln|z|+iArgz = lnz+2kπi
一、积分的计算法与性质 Thm 如果 f ( z ) 是连续函数而 C ：z = z( t )=x( t ) + iy( t )
(t ∈ （α，β ）α 为起点，β 为终点)是光滑曲线, 则积分
一、求Laplce变换
Laplace变换
+∞
1 +∞ f ( t ) = F −1 [ F (ω )] = F (ω )e jω t d ω (1.9) 2π ∫−∞ 2）、Fourier变换的性质
4、单位脉冲函数（狄拉克函数）的性质
1）、用Lapce变换式
F(s)= ℒ [f(t)] = ∫
复变函数课件第一章第4节
可微性
如果函数的导数在定义域内的任意一 点都存在，则称该函数是可微的。
周期性
如果存在一个非零实数p，使得对于定义域 内的任意点z，都有$f(z+p) = f(z)$，则称 该函数是周期的，p是它的周期。
03 复变函数的积分
复变函数的积分定义
实部和虚部积分
复变函数的积分定义为实部和虚 部的积分之和，即$int f(z) dz = int f(x, y) dx + i int f(x, y) dy$。
洛朗兹级数展开的收敛性
洛朗兹级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，例如在复平面上的区域内 的收敛性。
洛朗兹级数展开的应用
洛朗兹级数展开在复变函数的研究中有着广泛的应用，例如求解微分方程、积分方程等。 此外，它还可以用于近似计算和数值分析等领域。
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感谢您的观看
-1$。
复变函数
如果对于每个复数$z$，都存在一 个复数与它对应，那么这个复数就 是复变函数。
定义域
复变函数的定义域是所有输入值的 集合，这些输入值在实数轴上形成 一个区间或多个区间的集合。
复变函数的性质
连续性
如果对于定义域内的任意一点，函数 值都存在且连续，则称该函数是连续 的。
有界性
如果函数的值在定义域内有界，即存在一个正 数M，使得对于定义域内的任意点z，都有 $|f(z)| leq M$，则称该函数是有界的。
泰勒级数展开的应用
泰勒级数展开在复变函数的研究中有着广泛的应用，例如 求解微分方程、积分方程等。此外，它还可以用于近似计 算和数值分析等领域。
洛朗兹级数展开
洛朗兹级数展开的定义
洛朗兹级数展开是复变函数的一种表示方法，它将一个复数函数表示为无穷级数的形式， 其中每一项都是函数值的幂次方和阶乘的乘积，并且每一项都乘以一个特定的系数。
复变函数课件章节
复变函数(第四版)课件 章节大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
《复变函数》第4章.
n
1 2n
i
解:1)
an
1 发散.
n1
n 1n
原级数发散
(尽管 bn
n1
1
n 1n2
收敛)
2019/5/13
《复变函数》(第四版) 第4章
第9页
解: 2)
(8i)n
8n
n0 n! n0 n!
(不易分实部,虚部)
对正项级数
n0
n n an bn
n1
ii ) | n| 收敛
| an |与 |bn |都收敛.
2019/5/13
《复变函数》(第四版) 第4章
第6页
iii ) n绝对收敛 重排 n的各项次序所 得到的级数 n也绝对收敛,且其和不变.
iv) n , n , 都绝对收敛 级数 n也绝对收敛,且 n ,
( 2)n ( 2 )n cos in
1 chn
en
2 en
2 en
而
2
n1 en
2
n1
1 e
n
收敛.
(公比 | q | 1 1) e
∴ 原级数绝对收敛.
2019/5/13
《复变函数》(第四版) 第4章
第14页
补例:
判别级数
i
n
和
ei n
2
i sin )n
2 5
n
cos(
复变函数论讲义
这个映射通常简称为由 函数 w f ( z ) 所构成的映射.
如果 E 中的点 z 被映射 w f ( z ) 映射成 F 中的点 w , 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
y
A
B
z1 2 + 3i z 2 1 2i
x
C
v
w 2 1 + 2i
o
B
C
o
u
A
w1 2 3i
(3). 两个特殊的映射:
1) 函数 w z 构成的映射 .
将 z 平面上的点 z a + ib 映射成 w 平面上 的点 w a ib .
y
A
B
z1 2 + 3i z 2 1 2i
x
C
v
w 2 1 + 2i
o
定理
设 lim f ( z ) A, lim g ( z ) B , 那末
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
（2）复变函数的几何意义:
取两张复平面，分别称为z平面和w平面
如果用 z 平面上的点表示自变量 的值, z 而用另一个平面 平面上的点表示函数 的 w w 值, 那末函数w f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 (定义集合) 变到 E w 平面上的一个点集 (函数值集合的映射 F ) (或变换).
当 z 沿直线 y kx 趋于零时, x x lim u( x , y ) lim lim 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x +y x + ( kx ) y kx y kx
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
复变函数(第四版)课件章节--4.4
cn =
1 2π i
∫
Γ2
c−n
1 = 2π i 1 = 2π i
f (ξ ) ∫Γ (ξ − a ) n +1 d ξ ( n = 0 ,1, 2 ,⋅ ⋅ ⋅) f (ξ ) ∫Γ1 (ξ − a ) − n +1 d ξ
f (ξ ) dξ n +1 (ξ − a )
1 f (ξ ) = ∫Γ (ξ − a) −n +1 dξ (n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅), 2πi
1 f (ζ ) cn = ∫ (ζ − z0 )n+1 dζ (n = 0, ± 1, ± 2,L) 2πi C
然后写出
f (z) =
n= −∞
∑ cn ( z − z0 ) Nhomakorabea∞
n
.
缺点: 计算往往很麻烦. 缺点 计算往往很麻烦
2. 间接展开法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 .
| z −a |
< 1,
于是上从 上从可以展成一致收敛的级数 上从
f (ξ ) f (ξ ) ∞ ξ − z n −1 = ∑( z − a) . z − ξ z − a n =1
沿Γ1逐项求积分,两端同乘以
1 2πi
∞ c−n 1 f (ξ ) ∫Γ1 z −ξ dξ = ∑(z − a)n , (4.4.7) 2πi n=1 1 f (ξ ) c−n = ∫Γ (ξ − a ) − n+1 dξ ( n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅) (4.4.8) 2πi
Γ2 :| ξ − a |= ρ2 ,
北京大学复变函数讲义第四章：无穷级数
lim zn = z
n→∞
(即 zn 属于 z 的
Theorem 4.1 (序列收敛的 Cauchy 充要条件) 序列极限存在 (序列收敛) 的充要条件为 ∀ > 0, ∃N ( ) > 0, 使得 ∀正整数n > N, m > N , 有
|zn − zm| <
(2)
复数级数 一个复数级数即为一个复数序列的求和.
un+1 ≥ 1
(7)
un
时, 级数 un 发散.
Theorem 4.6 (根式判别法) 如果
1
|un| n ≤ ρ < 1
(8)
则级数 |un| 收敛. 如果
1
|un| n ≥ 1
(9)
则级数 un 发散. Note 如果
|un| > α > 0
则级数不仅绝对发散, 而且级数本身也发散!
由于级数的前面有限项与整个级数的收敛无关, 判别可从第 N 项开始. 令 N → ∞ 可得:
uk(z)dz
逐项求积分
=
uk(z)dz = 0
由Morera定理, f (z) 在邻域内解析. 所以 f (z) 在 z0 点解析.
2. 仍然任取 G 内一点 z0, 有一邻域 |z − z0| ≤ r 属于 G. 选择积分围道为 |z − z0| = r, 由解析函数的高阶 导数公式
n
S(z) − uk(z) <
(22)
k=1
则称函数级数
∞ k=1
uk (z )
在
G
内一致收敛.
闭一致收敛 若函数级数
∞ k=1
uk (z )
在区域
G
内的任一闭圆盘中一致收敛,
n→∞
(即 zn 属于 z 的
Theorem 4.1 (序列收敛的 Cauchy 充要条件) 序列极限存在 (序列收敛) 的充要条件为 ∀ > 0, ∃N ( ) > 0, 使得 ∀正整数n > N, m > N , 有
|zn − zm| <
(2)
复数级数 一个复数级数即为一个复数序列的求和.
un+1 ≥ 1
(7)
un
时, 级数 un 发散.
Theorem 4.6 (根式判别法) 如果
1
|un| n ≤ ρ < 1
(8)
则级数 |un| 收敛. 如果
1
|un| n ≥ 1
(9)
则级数 un 发散. Note 如果
|un| > α > 0
则级数不仅绝对发散, 而且级数本身也发散!
由于级数的前面有限项与整个级数的收敛无关, 判别可从第 N 项开始. 令 N → ∞ 可得:
uk(z)dz
逐项求积分
=
uk(z)dz = 0
由Morera定理, f (z) 在邻域内解析. 所以 f (z) 在 z0 点解析.
2. 仍然任取 G 内一点 z0, 有一邻域 |z − z0| ≤ r 属于 G. 选择积分围道为 |z − z0| = r, 由解析函数的高阶 导数公式
n
S(z) − uk(z) <
(22)
k=1
则称函数级数
∞ k=1
uk (z )
在
G
内一致收敛.
闭一致收敛 若函数级数
∞ k=1
uk (z )
在区域
G
内的任一闭圆盘中一致收敛,
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Cr
Cr
Cr
r 0
g(z)dz 0, 即
eiz dz
π
i
0
π
i,
Cr
Cr z
2i R sin xdx eizdz eiz dz 0,
rx
CR z
Cr z
2i
0
sin x
xdx
π
i,
所以
sin x dx π .
0x
2
30
例7 证明 sin x2dx cos x2dx 1 π .
第三节 留数在定积分计算上的应用
一、形如
2π
0
R(cos
的, sin积 分)d
二、形如
R(
x的)d积x 分
三、形如
R(
x
)e
aixdx的(a积分0)
四、小结与思考
一、形如
2π
0
R(cos ,s的in积)d分
思想方法 : 把定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分 .
两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化
由于 cos 2 1 (e2i e2i ) 1 (z2 z2 ),
2
2
I
z2
z 1
z2 2
1 2p
1 z
z 1
p2
dz iz
2
9
I
z2
z 1
z2 2
1
12p z
z 1
p2
dz iz
2
z
1 2iz2(1
1 z4 pz)(z
dz p)
f (z)dz.
z 1
被积函数的三个极点z 0, p, 1 , p
在上半平面有二级极点 z ai, 一级极点 z bi.
Res[R(z),ai]
(z
1 ai )2 (
z
2
b2
)
1 2bi(a2
b2
)2
,
zai
18
Res[R(z),bi]
(z2
1 a2 )2(z
bi)
zbi
b2 4a 3i (b 2
3a 2 a2 )2
,
所以
dx
( x2 a2 )2( x2 b2 )
CR
CR
R CR
令 x Rcos , y Rsin
则 z R(cos i sin )
0 π
ds dz d(Rei ) Rd .
2
R
eai( xiy) ds
CR
2 R
eaxi eay ds 2 π eaRsin d
CR
0
21
4
π
2 eaRsin d
4
π
2 eaRsin d
34
思考题
计算积分
π 2
d
0 a2 cos2
(a
0).
35
思考题答案
I
1 2
解 令 z ei , 则
sin z2 1, cos z2 1, dz iei d ,
2zi
2z
2π
0a
sin2 d bcos
(z2 1)2 z 1 4z2
a
b
1 z
2 2z
1
dz iz
z
1
2iz
2
(z2 (bz
1)2 2 2az
b)
dz
5
(z2 1)2dz
z 1 2iz2b z a
1 1
a1z1 b1z1
anzn bm zm
当 z 充分大时, 总可使
a1z1
anzn
1, 10
b1z1
bm zm
1, 10
16
因为 m n 2，
所以
R(z)
1 z mn
1 1
a1 z 1 b1 z 1
anzn bm zm
2 z2
R(z)dz CR
CR
R(z)ds
. R
的在上半平面的半圆周) x
C
与
R
R,
R一起构成封闭曲线C
,
R(z)在C及其
内部(除去有限孤立奇点）处处解析.
15
根据留数定理得 :
R
R
R(
x)dx
CR
R(
z)dz
2π
i
Res[
R( z ),
zk
],
R(z)
1 z mn
1 a1z1 anzn 1 b1z1 bm zm
z
1
mn
2 pz
p2 )
1 p2 2ip2
,
11
Res[
f
(z),
p]
lim
z p
(
z
p)
1 z4 2iz2(1 pz)(z
p)
因此
1 2ip2 (1
p4 p2
)
,
I
2π
i
1 p2 2ip2
1 2ip2 (1
p2 p2
)
2π 1
p2 p2
.
12
二、形如
R(
x)dx
的积分
若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次,
2
1 2
2π
0
a
dt 1
cos
t
1 2
z
1 a
1
1 (z2
1)
dz 2z iz
2
2
2i
z
1
z2
dz 2(2a
1)z
. 1
7
极点为 : z1 2a 1 (2a 1)2 1 (在单位圆内) z2 2a 1 (2a 1)2 1 (在单位圆外)
所以 π dx
0 a sin2 x
2 R2
R
2π R
,
R
R : CR R(z)dz 0 ; R R(z)dz R(z)dz,
所以
R(z)dz
2π i Res[R(z), zk ]
17
例4 计算积分
dx
( x2 a2 )2( x2 b2 )
(a 0,b 0,a b)
解
R(z)
(z2
a2
1 )2 ( z 2
b2 )
由柯西-古萨定理得:
y
CR Cr
R r o r R x
eizdz r eixdx
e
iz
dz
R
e
ix
dx
0,
CR z
R x
Cr z
rx
令 x t，
r
eix dx
r
eit dt
R eix dx,
R x
Rt
rx
由 sin x eix eix , 2i
27
知 2i R sin xdx
R
CR
Res[R(z)eaiz , zk ]
R :
R(
x)eaixdx
2π
i
Res[R(z)eaiz , zk ]
eiax cosax i sinax
R( x)cosaxdx i R( x)sin axdx
2π i Res[R(z)eaiz , zk ].
23
例5
计算积分
0
上无孤立奇点.
25
例6
计算积分
sin x
0
dx. x
分析 sin x 是偶函数, 所以 x
sin xdx 1 sin xdx .
0x
2 x
sin z
, 某封闭曲线
z
因
sin z z
在实轴上有一级极点 z 0, 应使封闭路
线不经过奇点, 所以可取图示路线:
26
解 封闭曲线C:
CR R,r Cr r, R
2. 积分区域的转化:
取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间
一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有
限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”)
14
取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点
zk 都包在这积分路线内.
y
这里可补线 CR
CR
(以原点为中心 , R为半径
. R 0
a2 b
b2
z
a
a b
2
b2
2π
i
Res
f
(
z),0
Res
f
(
z),
(a
a2 b2 )
b
2aπ b2
2π
a2 b2 b2
2 b2
(a
a2 b2 ).
6
例2
计算
π
0
a
dx sin
2
(a x
0).
解
π
0
a
dx sin2
x
π
0
a
1
dx cos
2
x
2
1 2
π
0
a
d2x 1 cos
2x
令 2x t,
4
π aR( 2 )
2 e π d ,
0
0
0
y
y 2
π
2 (1 eaR ). aR
y sin
o 2
R 0
从而
R(z)eaizdz 2π (1 eaR ) 0.
CR
aR
R(z)eaizdz 0 . CR
22
由留数定理:
R R( x)eaixdx R(z)eaizdz 2π i
e
iz
dz
eiz dz 0,
rx
CR z
Cr z