复变函数第3讲x
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复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数第二章(第三讲)PPT课件
解 (2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y u v
y v
e x cos y
x v
y u
在R
2成立，
y
x y
且u, v在R2上偏导数连续
故 f (z) e x (cos y i sin y)在复平面C上可导，解析; 且f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z)。
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微 ,
z0处可导 (2)
u x
v ,
y
u y
v x
在(
x0
,
y0
)成立.
定义 方程
u v v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
1.导数的概念
定义2.1.1 设函数f (z)在z0的某邻域N( z0 ,δ)内有定
义, 且极限 lim f (z0 z) f (z0 )存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数
记作
dw f '(z0 ) dz zz0
lim z0
f (z0 z) z
z
z
x x x x x iy x iy
当z取实数趋于0时, f z 1; 当z取纯虚数趋于0时, f z
0;
第三讲 复变函数 解析函数1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
一、解析函数的概念
1 复变函数的导数 定义：
函数w = f ( z ), z ∈ D; z 0 , z 0 + ∆z ∈ D
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ∆w lim 若极限 lim = ∆z →0 ∆z → 0 ∆ z ∆z
f ( z ) ' f ' ( z ) g ( z ) − f ( z ) g' ( z ) , ( g ( z ) ≠ 0) g( z ) = 2 g (z)
由以上讨论 ⇒ P ( z ) = a 0 + a1 z + ⋯ + a n z n 在整个复平面上处处可 导； P(z) R( z ) = 在复平面上（ 点外） 在复平面上（除分母为 0点外）处 Q( z ) 处可导 .
(3)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模 在D上取到最大值与最小值;
例题2 讨论
f (z) = arg z
π
2
的连续性。
argz在区域 −π < argz < π内连续，
π
2
−π
−
π
θ
0 0
x
在负实轴 argz = π上不连续。
π
2
−
π
2
第二章 解析函数
第一节 第二节 第三节 解析函数的概念 函数解析的充要条件 初等函数
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f (z +∆z) − f (z) [解] 这里 lim ∆z→0 ∆z ( x + ∆x) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi ∆x + 2∆yi = lim = lim ∆z →0 ∆z → 0 ∆x + ∆yi ∆x + ∆yi ∆x + 2∆yi ∆x = lim = 1. 取∆z = ∆x → 0 , lim ∆z→0 ∆ + ∆ x yi ∆z→0 ∆x ∆x + 2∆yi 2∆y 取∆z = i∆y → 0, lim = lim = 2. ∆z→0 ∆ + ∆ x yi ∆z→0 ∆y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
复变函数第3讲
z3 z2 等式说明： 等式说明： w2 w3
z1 − z 2 w1 − w 2
=
z3 − z 2 w3 − w 2
z1 − z 2 w1 − w 2 arg = arg z3 − z2 w3 − w2
所以表示二三角形相似！ 所以表示二三角形相似！
z → z0
lim f ( z ) = A， 或者 当z → z0时, f ( z ) → A。
注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数 从形式上来看， 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是 因为在复平面上，变量z趋于z 的方式有无穷多种， 因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点 跟二元函数的极限又有相似之处。 跟二元函数的极限又有相似之处。
z n − 1 = ( z − z1 )( z − z 2 )L ( z − z n )
然后呢？ 然后呢？
比较两端n-1次幂的系数！ 比较两端 次幂的系数！ 次幂的系数
由此还可看出， 由此还可看出，n 个根的乘积为 （-ห้องสมุดไป่ตู้)n+1
z1 − z 2 w1 − w 2 3. 分析 = 的几何意义 z3 − z2 w3 − w2 w1 z1
3.函数的极限 3.函数的极限 定义：设函数 定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果对于 在 的去心邻域内有定义， 任意给定的ε>0, 相应地总有 相应地总有δ>0存在，使得当 存在， 任意给定的 存在 使得当0<|z-z0|<δ时， 时 恒有|f(z)-A|<ε成立，则称 为f(z)当z趋向于Z0时的极限。 成立， 恒有 成立 则称A为 当 趋向于 时的极限。 记作： 记作：
z1 − z 2 w1 − w 2
=
z3 − z 2 w3 − w 2
z1 − z 2 w1 − w 2 arg = arg z3 − z2 w3 − w2
所以表示二三角形相似！ 所以表示二三角形相似！
z → z0
lim f ( z ) = A， 或者 当z → z0时, f ( z ) → A。
注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数 从形式上来看， 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是 因为在复平面上，变量z趋于z 的方式有无穷多种， 因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点 跟二元函数的极限又有相似之处。 跟二元函数的极限又有相似之处。
z n − 1 = ( z − z1 )( z − z 2 )L ( z − z n )
然后呢？ 然后呢？
比较两端n-1次幂的系数！ 比较两端 次幂的系数！ 次幂的系数
由此还可看出， 由此还可看出，n 个根的乘积为 （-ห้องสมุดไป่ตู้)n+1
z1 − z 2 w1 − w 2 3. 分析 = 的几何意义 z3 − z2 w3 − w2 w1 z1
3.函数的极限 3.函数的极限 定义：设函数 定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果对于 在 的去心邻域内有定义， 任意给定的ε>0, 相应地总有 相应地总有δ>0存在，使得当 存在， 任意给定的 存在 使得当0<|z-z0|<δ时， 时 恒有|f(z)-A|<ε成立，则称 为f(z)当z趋向于Z0时的极限。 成立， 恒有 成立 则称A为 当 趋向于 时的极限。 记作： 记作：
《复变函数第3讲》课件
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几何意义
复变函数的导数定义为函 数在复平面上的切线的斜 率。
STEP 03
计算方法
通过极限定义，利用实部 和虚部的导数计算复变函 数的导数。
导数表示函数在某一点的 切线斜率，即函数在该点 的变化率。
复数函数的积分
定义
复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面 积。
几何意义
积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个 区间上的增量。
幂级数的性质
幂级数具有很多重要的性质，如 收敛性、可导性、可积性等。这 些性质使得幂级数在数学和物理 中有广泛的应用。
幂级数的应用
幂级数在数学分析、微积分、复 变函数等领域有广泛的应用。例 如，它可以用来求解微分方程、 积分方程，以及研究函数的性质 等。
泰勒级数
泰勒级数的定义
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式。
复变函数的连续性
定义
如果对于任意给定的正数 ε，存在一个正数 δ，使得当 |z - z0| < δ 时，有 |f(z) - f(z0)| < ε，则称 f(z) 在 z0 处连续。
性质
连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复 合性。
判定方法
利用连续性的定义和性质进行判定。
复数函数在无穷远点的极限
柯西积分公式
对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算 其在任意点的值。
全纯函数的积分表示
积分公式
全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分。
柯西积分定理
对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零。
柯西积分公式与全纯函数的积分表示
全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到。
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
u v 1 u v iii) 求导数： f' ( z ) i x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
复变函数PPT第三章
2
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
复变函数讲x
6
主要内容
1、复数及其表示方法 2、复数运算 3、平面点集 4、复变函数的连续性
7
§1 复数及其四则运算
1、复数的概念
形如 z xiy 的表达式，称为复 其中 x, y为 实 数 .
其中
i 1 .
2
z ); ( z ); ( 虚部 yIm 实部 xRe
为 xiy 的共轭复数，记为 z. 共轭 x iy
点 P 表. 示
基于这样一种原因，我们把此时的坐标平 面称为复平面. 11
复数 zx iy 可用平面( 上 x ， y 坐 ) 的 标
y
y
Pz=x+iy
q
zx iy 点 P ( x ， y ) OP , 可 用 OP 向 表 量 示 zx iy .
称向量的长度为复数 z=x+iy 的模或绝对值；
9
容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、 结合律. 另外，还经常用到以下性质：
( 1 )z z z z ; 1 2 1 2
( 2 ) z z z z 1 2 1 2;
(4 )zz 2Re z( ), z z 1 1 (3 ) ( ) (z ); 2 0 z z zz 2 i Imz ( ). 2 2
然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形 式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生. 例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.
4
序 言
•
复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不 可接受的虚数. 直到十七和十八世纪，有两个主要原 因促使了这种状况的改变：
1. 2.
微积分的发展； 复数与平面向量联系起来解决实际问题.
z ( x x y y ) i ( x y x y ); 乘 法： z 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
主要内容
1、复数及其表示方法 2、复数运算 3、平面点集 4、复变函数的连续性
7
§1 复数及其四则运算
1、复数的概念
形如 z xiy 的表达式，称为复 其中 x, y为 实 数 .
其中
i 1 .
2
z ); ( z ); ( 虚部 yIm 实部 xRe
为 xiy 的共轭复数，记为 z. 共轭 x iy
点 P 表. 示
基于这样一种原因，我们把此时的坐标平 面称为复平面. 11
复数 zx iy 可用平面( 上 x ， y 坐 ) 的 标
y
y
Pz=x+iy
q
zx iy 点 P ( x ， y ) OP , 可 用 OP 向 表 量 示 zx iy .
称向量的长度为复数 z=x+iy 的模或绝对值；
9
容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、 结合律. 另外，还经常用到以下性质：
( 1 )z z z z ; 1 2 1 2
( 2 ) z z z z 1 2 1 2;
(4 )zz 2Re z( ), z z 1 1 (3 ) ( ) (z ); 2 0 z z zz 2 i Imz ( ). 2 2
然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形 式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生. 例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.
4
序 言
•
复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不 可接受的虚数. 直到十七和十八世纪，有两个主要原 因促使了这种状况的改变：
1. 2.
微积分的发展； 复数与平面向量联系起来解决实际问题.
z ( x x y y ) i ( x y x y ); 乘 法： z 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
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uv, vu. x y x y
注：如何验证一个实函数的可微性？
由高数中定理，只要它具有连续的一阶偏导数
即可. 另外注意，初等函数的性质.
20
下面,我们讨论几个题目.
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： (1)f(z)ex(cyo isiyn )； 解 (1 ) ： u e xco y , s v e xsiy ， n
(3)若z0为f(z)和g(z)的奇点z0， 也则 是 f(z)g(z)， f(z)的奇点； g(z)
2.若f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2) 问常a数 ,b,c,d取何值 , f(时 z)在复平面内处 ?
25
思考题
实函数 , f(x中 )x2在( , )内可; 导 复函数 , f(z中 )z2的可导 ? 性
提示： 函数f(z) z2仅在 z0处可导， 处处连. 续
11
事实上 注意z到 2 zz,
f f(z 0 z ) f(z 0 ) (z 0 z )(z 0 z ) z 0 z 0
z
z
其l中 i m (Δ z)0 . Δ z 0
因此, |(z)z|是|z|的高阶无穷小量.
而f '(z0)z是 w=f(z) 的改变量w的线性部分, 称为函数 w=f(z) 在点 z0 的微分, 记作
dw=f '(z0)z. 如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f(z) 在z0可微.
由此可见 f(z， )在点 z可导与可微是.等价
7
思考 f ( z ) Re z 的连续性如何？
例2 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
解 limf(zz)f(z)
z0
z
limxx2(yy)i (x2yi)
z0
xiy
故 函f(数 z)x2y处 i 处 不. 可 导
注：一个复变函数的可导性要求条件比较高！！
8
3、 求导法则
由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在 形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：
系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求
出导数来.
18
注（3）利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
例如，我们容f(易 z)知 z处道处不可导！
注（ 4）关于 CauchyRieman方n 程的记忆问 若f (z) f (xi y) u(x, y)iv(x, y)可导，有 f'(z) f'(xiy) ux ivx, f'(z) f'(xiy)i uy ivy,
解 (2 )： ux3y3, v2x2y2 ， u 和 v可微
u 3x2, x v 4xy2, x
u 3y2, y v 4x2 y, y
故由C- R条件知道f (z)仅在(0,0)和(3 , 3)处可导， 44
处处不解析。
例 2设 f(z)aln x2(y2)iarcx tya )在 n x(0时
提示： 根据解析的条件f'， (z)得 0.到
23
小结
1、导数的概念，复变函数求导法则.
2、解析的概念，解析与可导的关系.
3、判别复变函数解析性的有效方法： 柯西—黎曼定理.
f(z)在区域D内解析
f(z)在区域D内可导
f(z)在z0点解析
f(z)在z0点可导
f(z)在z0点连续
24
练习： 1. 判别真、假： (1 )若 f'(z0)存在 f(z， )在 z0解 则 ;析 (2)若 z0为 f(z)的奇f点 (z)在 z， 0处则 不 ; 可
f(z0 Δz)f(z0)都趋于同一 . 个数 Δz
4
若上述极限不存在，则称函数在z0点不可导.
例：f(z)z3 .
解：根据定义，得
f(zΔz)f(z)
(zΔz)3z3
lim
lim
Δz 0
Δz
Δz 0
Δz
3z2.
f'(z)3z2.
结果与实函数一样.
思考 :设n为正整(z数 n)'， ? 5
2、 可导与连续之间的关系
主要内容：
1、解析函数的概念； 2、解析函数的判别方法； 3、五类基本初等函数.
2
§1 解析函数的概念
1、导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 limf(z0z)f(z0)存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
u v v u i i
x x y y u v , v u .
x y x y
19
将z0点 换 为 区 域 ， 则 域得 内到 可区 导 因 而 解 条件：
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
dz dt dz （5）反函数的导数 f '(z) 1 ，其中 w=f (z)
'(w) 与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.
这样，我们知道多项式处处可导.例如， (3 z 4 2 z 2 z 6 ) '1z 3 2 4 z 1 .
另外，有理分式在分母不为零的点处可导.
10
例如 f(z ) z 2 1 z,则 z 0 当 , 1 时 f'(z ) ， (z 2 2 z z 1 )2.
u ex cosy, x v ex siny, x
u ex siny u v
y v ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosyisiny)在全平面可导，解析
f'(z ) u i v e xco y isx e siy n f(z ).
x x
21
(2 )f(z) x 3 y 3 2 x 2y 2i.
解析 a的 ， . 值 求
22
例 若 f ' ( z ) 0 ,z D , 则 f ( z ) C ,z D . 3
证明
1
f'(z)ux
ivx
i
uy
vy
0,
ux vx uy vy 0,
uC1, vC2, f(z)C1iC2 C(常数. ）
例 4设 f(z)u(x,y)iv (x,y)解析u ， v2, 且 求 f'(z)的.值
第二章 解析函数
复变函数的主要研究对象是解析函数.因为，一 方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具 有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面 这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平 面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量 和电位，它们皆与解析函数有密切联系.
1
第二章 解析函数
与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立.
事实上, 由在z0点可导的定义, 对于任给的e>0, 相应地有一个d>0, 使当0<|z|<d 时, 有
f
(z0
Δz) Δz
f
(z0 )
f
(z0 )
e,
令(Δz)
f (z0 Δz) Δz
f (z0)
f (z0),
则 lim (Δz) 0. Δz0
设f(z)x2iy,尽u管 x,v2y可微， 但f(z)处处不解析！
于 是 ， 就 自 然 提 的出 问这 题样 ：
f(z)ui v的 可 导 性 u、与 v的 偏 导 数 之 间
怎样的关系？
16
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.
z
(z0 z)z( 0 z z)z0z0z0z0 z z z.
当 z00 时 lz i0 ， m f z0 ,即 f'(0 )0 ;
当z0
0时l， imf 不 z0 z
存.
在
f(z)z2仅z在 0处可 . 导 12
4、 微分
设函数w=f(z)在z0可导, 则有
w=f(z0+z)f(z0)=f '(z0)z+(z)z,
于是 f ( z ) 1 除 z0外可导， z因 0外而 解除
z
并
且f
'(z)
1 z2
.
多项 f(z) 式 anznan 1zn 1a1za0处处 15
§2 函数可导与解析的条件
本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的 非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部 之间的关系.
通过前面的知 学道 习 f(z)， u我 iv的 们连续 与 u和 v的连续性关； 系非常密切
注（ 1）定1理 提供了判别函数 一可 种导 非的 常 有效的方 . 法 使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性；
ii) 验证C-R条件.
注 （ 2） 在 f(z)uiv可 导 的 情 况 下
f'(z)ux ivx ux iuy vy iuy vy ivx
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联
关于这个问题，我们有下面非常重要的结论：
定理1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在点z0x0iy0 可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在(x0, y0) 可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程
u v v u , .
x y x y 17
定理的详细证明请参见课本第19页；下面我 们讨论几个注意的问题.
记作 f'(z0)d dw z zz0 lz i0m f(z0 zz )f(z0).