常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版
常用的求导积分公式及解法
常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。
特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(x x-='，xx 21)(='。
⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。
⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。
3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα；（2） C x dx x +=⎰||ln 1； C e dx e x x +=⎰； )1,0( ln ≠>+=⎰a a C aa dx a x x； （3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=bab abax du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数 特殊矩阵的概念（1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I (3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij (5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211 下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h gf ed c b a AB 7、MATLAB 软件计算题例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。
积分公式和求导公式
积分公式和求导公式
积分公式是一种用于求函数积分的数学公式，它们使我们能够将一个函数从一个区间上的点积累为一个数值。
下面是一些常见的积分公式：
1.基本积分公式：
∫x^ndx=(x^(n+1))/(n+1)+C（n≠1）
∫1/xdx=ln|x|+C
∫e^xdx=e^x+C
2.三角函数积分公式：
∫sin(x)dx=cos(x)+C
∫cos(x)dx=sin(x)+C
∫sec^2(x)dx=tan(x)+C
3.求和与积分公式：
∫af(x)dx=a∫f(x)dx（a是常数）
∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
求导公式是一种用于求函数导数的数学公式，它描述了函数在每个点的变化率。
下面是一些常见的求导公式：
1.基本求导公式：
d/dx(x^n)=n*x^(n1)
d/dx(e^x)=e^x
d/dx(ln(x))=1/x
2.三角函数求导公式：
d/dx(sin(x))=cos(x)
d/dx(cos(x))=sin(x)
d/dx(tan(x))=sec^2(x)
3.求导法则：
乘法法则：若f(x)=u(x)*v(x)，则
f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
除法法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则
f'(x)=(u'(x)*v(x)u(x)*v'(x))/(v(x))^2
链式法则：若f(x)=g(u(x))，则f'(x)=g'(u(x))*u'(x)。
不定积分求导公式
不定积分求导公式如下
如果对不定积分式子∫f（x）dx进行求导，那么得到的当然还是f（x），而如果是∫f（x-t）dx 这样的式子，就还要先转换积分变量，再进行求导。
求导是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
导数公式：
1.C'=0(C为常数)；
2.(Xn)'=nX(n-1) (n∈R)；
3.(sinX)'=cosX；
4.(cosX)'=-sinX；
5.(aX)'=aXIna （ln为自然对数)；
6.(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna) (a\u003e0，且a≠1)；
7.(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2
8.(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2
9.(secX)'=tanX secX；
10.(cscX)'=-cotX cscX；。
常用求导积分公式及不定积分基本方法
常用求导积分公式及不定积分基本方法常用求导公式：1.一元函数求导公式：- 反函数求导法则：若y=f(u)，则u=f^(-1)(y)，则有(dy)/(dx) =1/(du/dy)- 常数乘法法则：若y=kf(x)，则(dy)/(dx) = kf'(x)-基本初等函数求导法则：- 常数函数求导法则：若y=c，则(dy)/(dx) = 0- 幂函数求导法则：若y=x^n，则(dy)/(dx) = nx^(n-1)- 指数函数求导法则：若y=a^x，则(dy)/(dx) = (lna) * a^x- 对数函数求导法则：若y=loga(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (xlna)- 三角函数求导法则：若y=sin(x)、cos(x)、tan(x)、cot(x)、sec(x)、csc(x)，则(dy)/(dx) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x)tan(x)、-csc(x)cot(x)，对应地还有反三角函数的求导公式- 反函数求导法则：若y=f^(-1)(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (dx/dy)-两个函数的和、差、积、商求导法则：- 和、差法则：若y=u+v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) + (dv)/(dx)，若y=u-v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) - (dv)/(dx)- 积法则：若y=uv，则(dy)/(dx) = u(dv)/(dx) + v(du)/(dx)- 商法则：若y=u/v，则(dy)/(dx) = (v(du)/(dx) - u(dv)/(dx))/ v^22.多元函数求导公式：-偏导数：对多元函数，其对其中其中一个自变量求导，其它自变量当作常数，即得到偏导数-偏导函数的求导法则：对偏导函数重复使用一元函数求导公式常用不定积分基本方法：1.基本初等函数的不定积分法则：- 幂函数积分法则：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1- 指数函数与对数函数积分法则：∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C，∫(1/x) dx = ln，x， + C-三角函数与反三角函数积分法则：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C- ∫(1/√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C，∫(1/√(1+x^2)) dx = arctan(x) + C- 反函数的不定积分法则：若F'(x) = f(x)，则∫f^(-1)(x) dx =x * f^(-1)(x) - F(f^(-1)(x)) + C-特殊函数的不定积分法则：包括指数函数幂倍积分法则、二次函数积分法则等2.基本不定积分运算：- 基本线性运算：若∫f(x) dx = F(x) + C₁，∫g(x) dx = G(x) +C₂，则∫(af(x) + bg(x)) dx = aF(x) + bG(x) + C₃，其中a、b为实数- 递推公式：若∫f(x) dx = F(x) + C，则∫f(x)Ⓓ(x) dx = FⒹ(x) - ∫FⒹ(x) fⒹd(x) dx + C3. 分部积分法：设u(x)和v(x)具有连续一阶导数，根据分部积分公式，有∫u(x)v(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)uⒹ(x) dx4.换元积分法（含有待定变量）：设y=f(u)，u=g(x)，当g(x)可导、f(u)的原函数可积时5.改线积分法：将不定积分中的自变量换成关于自变量的函数。
高等数学导数、微分、不定积分公式
高等数学导数、微分、不定积分公式 - 1 - 一、基本导数公式：()()()()()()()()()()()()()()()''1'''''''2'2'''''21.2.3.ln 4.15.log ln 16.ln 7.sin cos 8.cos sin 9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 13.arcsin 14.arccos 115.arctan 11n n xxxxa kx k x nx aaae e x x ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x -========-==-==-==-=+()'216.a cot 1rc x =-+ 二、基本微分公式：()()()()()()()()()()()()()12221.2.3.ln 4.15.ln 16.log ln7.sin cos8.cos sin9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 113.arcsin n n xxxxad kx kdx nx dxd a a adx de e dxd x dx xd x dxx a dx xdxd x xdxd x xdxd x xdxd x x xdxd x x xdxd x dx -========-==-==-=()()()()()()229.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 13.arcsin 14.arccos dx xdxd x xdx d x x xdx d x x xdxd x dxd x ==-==-=()()22115.arctan 1116.cot 1dxd x dx xd arc x dx x=-=+=-+三、不定积分基本公式：11.2.13.14.ln 15.ln ||6.sin cos7.cos sin8.tan ln |cos |9.cot ln |sin |10.csc ln |csc cot |11.sec ln |sec tan |n nx x x x kdx kx c x x dx cn e dx e c a dx a c adx x c xxdx x c xdx x c xdx x c xdx x cxdx x x c xdx x x c+=+=++=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222222112.c cot sin 113.sec tan cos 114.arctan 115.arcsin 16.sec tan sec 17.csc cot csc 118.arctan 119.ln ||2dx cs xdx x c x dx xdx x c x dx x cx dx x cx xdx x c x xdx x c dx x c x a a a dx x ac x a a x a ==-+==+=++=+=+=-+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰高等数学导数、微分、不定积分公式 - 2 -222216.sec tan sec 17.csccot csc 118.arctan 119.ln ||220.x xdx xcx xdx x c dx xcx a a a dx x ac x a a x a=+=-+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰arcsin 21.ln ||22.ln |xca x cx c=+=++=++⎰⎰⎰()221ln 112x dx x c x =+++⎰ 21arctan 1dx x c x =++⎰五、三角函数的和差化积公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos .sin22cos cos 2cos .cos22cos cos 2sin .sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=+-+=+--= 六、三角函数的积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⋅=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ⋅=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ⋅=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⋅=+--⎡⎤⎣⎦ 幂的公式:21cos 2sin 2a α-=21cos 2cos 2αα+=七、万能公式： 令 tan2xt = 则x=2arctant 221dx dt t =+ 22222sin cos 2tan2222sin 2sin cos 221sin cos 1tan 222x x x x x t x x x t α====+++ 22222222cos sin 1tan 1222cos 1cos sin 1tan 222x x xt x x x x t ---===+++ 222tan22tan 11tan 2x t x x t ==-- 八、平方关系：222222sin cos 11tan sec 1cot csc αβαααα+=+=+=九、导数关系：tan .cot 1sin .csc 1cos .sec 1αααααα===十、商的关系：sin sec tan cos csc ααααα==csc csc cot sin sec ααααα==十一 、x →0时的等价无穷小1e ~1)ln(x ~arctanx ~tanx ~arcsinx ~sinx ~x ++x 221~cos -1xx()nx x n ~11-+。
不定积分基本公式表(经典实用)
不定积分基本公式表（经典实用）以下是一些经典的不定积分公式：1. 基本导数公式：$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$, （当$n≠-1$）$\int e^xdx=e^x+C$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$, （$x≠0$）$\int \cos xdx=\sin x+C$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$\int \sec^2xdx=\tan x+C$$\int \csc^2xdx=-\cot x+C$$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+C$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$2. 三角函数公式：$\int \tan xdx=\ln|\sec x|+C$$\int \cot xdx=\ln|\sin x|+C$$\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C$$\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C$$\int \sin^2 xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$$\int \cos^2 xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$$\int \sin^3 xdx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+\cos x+C$$\int \cos^3 xdx=\frac{1}{3}\sin^3 x+\sin x+C$3. 特殊公式：$\int e^{ax}\cos bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C$$\int e^{ax}\sin bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$ $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$其中，$C$为常数。
导数微分不定积分公式
导数微分不定积分公式一、导数1.定义导数是函数在其中一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
对于函数$f(x)$，在点$x=a$处的导数表示为$f'(a)$或$\frac{{df}}{{dx}}\bigg，_{x=a}$。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
2.基本导数公式常见函数的导数公式如下：常值函数的导数为零：$\frac{{d}}{{dx}}(C) = 0$，其中$C$为常数。
幂函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$，其中$n$是实数。
指数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(a^x) = a^x \ln{a}$，其中$a>0$。
对数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\log_a{x}) = \frac{{1}}{{x \ln{a}}}$，其中$a>0$且$a\neq 1$。
三角函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\sin{x}) = \cos{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cos{x}) = -\sin{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\tan{x}) = \sec^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cot{x}) = -\csc^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\sec{x}) = \sec{x}\tan{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\csc{x}) = -\csc{x}\cot{x}$二、微分1.定义微分表示函数在其中一点附近的变化情况，主要有全微分和偏微分两种。
全微分：对于函数$z=f(x,y)$，在点$(x_0,y_0)$处全微分表示为$dz=\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$，其中$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$分别表示对于$x$和$y$的偏微分。
积分求导公式表
1x11x，， 4dx,arcsin，C ，，3dx,arctan，C,,2222aaaa，xa,x
11x,a ，，5dx,ln，C,222ax，ax,a
bba
f(x)dx,f(t)dtf(x)dx,0,,,aaa (1) (2)
bcb
f(x)dx,f(x)dx，f(x)dxba,,,aac (3) (4) ，，，，fxdx,,fxdx,,ab
4、积分定理:
,x，，(1) ，，，，ftdt,fx,,,a，，
,bx，，，，,,(2)，，，，，，，，，， ,,,,ftdt,fbxbx,faxax,,，，,ax，，
bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a)a,a(3)若F(x)是f(x)的一个原函数，则
5、积分方法
ax，b,t;设: ，，，，1fx,ax，b
22x,asint;设: ，，，，2fx,a,x
22 ;设: x,asect，，fx,x,a
22x,atant ;设: ，，fx,a，x
udv,uv,vdu分部积分法: ，，3,,
积分求导公式表
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常用求导积分公式及不定积分基本方法
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、基本求导公式
1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x
'= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=-
3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=-
4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=-
5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '=
6. ()
2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= ()
2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +⎰， 1ln ||+dx x C x
=⎰ 2. d ln x
x
a a x C a =+⎰，d x x e x e C =+⎰ 3. sin d cos x x x C =-+⎰， cos d sin x x x C =+⎰
4. 2sec d tan x x x C =+⎰ 2csc d cot x x x C =-+⎰
5. tan d ln |cos |x x x C =-+⎰ cot d ln |sin |x x x C =+⎰
6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰ csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰
7.
2
1d arctan 1x x C x =++⎰ arcsin x x C =+
2211d arctan x x C a x a a =++⎰ arcsin x x C a =+
8.
ln x x C =+
(
ln x x C =++ 9. 221
1d ln 2x a
x C a x a x a -=+-+⎰
三、常用三角函数关系
1. 倍角公式
21cos 2sin 2x
x -= 21cos 2cos 2x
x +=
2. 正余切与正余割
正割 1
sec cos x x = 22sec 1tan x x =+
余割 1csc sin x x = 22
csc 1cot x x =+
四、常用凑微分类型 1.
1
1
()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+⎰⎰;
2.1()d ()d() (0)f ax b x f ax b ax b a a
+=++≠⎰⎰; 3.11()d ()d (0)f x x x f x x μμμμμμ-⋅=≠⎰⎰; 4.1()d ()d (0,1)ln x x x x f a a x f a a a a a
=>≠⎰⎰; (e )e d (e )de x x x x f x f =⎰⎰; 5. 1(ln )d (ln )d ln f x x f x x x
⋅=⎰⎰; 6. (sin )cos d (sin )dsin f x x x f x x = ⎰⎰;
(cos )sin d (cos )dcos f x x x f x x =-⎰⎰;
7. 2(tan )sec d (tan )d tan f x x x f x x =⎰⎰;
2(cot )csc d (cot )dcot f x x x f x x =-⎰⎰;
8.(sec )sec tan d (sec )dsec f x x x x f x x ⋅=⎰⎰;
(csc )csc cot d (csc )dcsc f x x x x f x x ⋅=- ⎰⎰; 9.
(arcsin )(arcsin )d arcsin f x x f x x = ⎰⎰;
21(arctan )d (arctan )d arctan 1+f x x f x x x
⋅= ⎰⎰. 五、第二类换元法常用的代换方法
t a x sin =； (2) 22x a +，可作代换t a x tan =；
(3) 22a x -，可作代换t a x sec =；
(4) 分母中次数比较高时，常用倒代换代换1x t
=；
，可作代换t =
t = 六、分部积分
基本公式 udv uv vdu =-⎰⎰
基本方法： ()f x dx ⎰
()()()f x u x v x '=−−−−−→分解()()u x v x dx '⎰−−−→凑微分()()u x dv x ⎰ −−−−→分部积分()()()()u x v x v x du x =-⎰
使用分部积分法的关键是将()f x dx 恰当地凑成()()u x dv x 的形式，其遵循的一般原则是：
（1）()v x 容易求得；（2）()()v x du x ⎰要容易积分；
一般地，按“反 对 幂 指 三”的顺序，前者取为)(x u ，后者取为()v x '. 反三角函数 对数函数 幂函数 指数函数 三角函数
1. ()11cos 2d cos 22d cos d()2222x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰ （1cos d 2u u ⎰
） 1sin 22
x C =+ 2. ()331(25)d (25)25d 2
x x x x x '+=+⋅+⎰⎰ 31(25)d(25)2x x =++⎰ （31d 2
u u ⎰） 41(25)8
x C =++ 3. ()22222
2d d d x x x xe x e x x x e '=⋅=⎰⎰⎰ （d u u e u e C =+⎰） 2
x e C =+
类似地， ()344411d 12d 12812x x x x x x
'=⋅+++⎰⎰ 444111d(1+2)ln(12)8128
x x C x ==+++⎰ 4. sin 1tan d d (cos )d cos cos x x x x x x x x
'==-⋅⎰⎰⎰ cos 1d ln |cos |cos x x C x =-=-+⎰
5. ()32231sin d sin 1c sin d d co os cos cos .3
s x x x x x x x x x C = =-=-+-⎰⎰⎰ 6. 33421tan tan tan sec d d tan 4
x x x C x x x = =+⎰⎰ 7. 2524sin cos d sin co cos d s x x x x x x x = ⎰⎰
()2
22sin 1sin dsin x x x =-⎰ ()246357sin 2sin sin d sin 121sin sin sin .357x x x x
x x x C =-+=-++⎰ 8. 2222111
1d d d arctan 11x x u u C x a a a u x a ⎛⎫⎡⎤= =+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰利用 1arctan .x C a a
=+ 9. 1cos 1d (sin )d sin sin x x x x x x x x x
+'=⋅+ ++⎰⎰1d(sin )sin x x x x =+ +⎰ln sin +C x x =+。