山东省菏泽市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题期中答案
高一数学试题（B ）参考答案
一、选择题
1—5 BCADC
6—8 DBA 二、多项选择题
9．BC
10．AC 11．ABD 12．BD 三、填空题
13．(,3)−∞−
14．[1,2)(2,)+∞∪ 15．1± 16．9(,4−∞ 四、解答题
17．解：
（1
）由(1)f x +=
得()f x =，……………………………2分
(1)1f ===，
得1a =；……………………………4分
所以()f x =；……………………………5分
（2）该函数的定义域为[0,)+∞，……………………………6分 令12x x <，所以210x x −>，
所以21()()f x f x −=
==，……………………………8分 因为210x x −>
0+>，
所以21()()0f x f x −>，……………………………9分
所以()f x 在其定义域为单调增函数. ……………………………10分 18．解：
（1）2a =−，
所以[3,1]A =−−，……………………………1分
[3,2]A B =−−∩，……………………………2分
(,1][5,)A B =−∞−+∞∪∪；……………………………4分
（2）若A ∩B ＝A ，得A B ⊆；……………………………5分
当A =Ø时，2135a a +>+，得4a <−；……………………7分
当A ≠ Ø时，
2135,352,a a a +≤+ +≤− 或2135,215,a a a +≤+ +≥
……………………10分 得743
a −≤≤或2a ≥，.……………………………11分 综上所述，73a ≤
或2a ≥，…………12分 19．解：
（1）由题意知，生产x 件产品的仓储费用为88x +x =288
x x +，………………2分 所以28800(0)8
x x y x +=+>；………………………………………5分 （2）由题意知，平均费用为288008y x x x x x
+=+，……………6分 因为0x >，
28800800188x x x x x x ++=+
+121≥+=，……………10分 当且仅当8008x x
=，即80x =时取得；………………………………………11分 所以当每批生产80件时，平均费用最小为21元. …………………12分
20．解：
（1）因为()0f x ≥，
即关于x 的不等式2(1)10x m x m −+++≥恒成立，
所以2(1)4(1)0m m ∆=+−+≤；………………2分 解得13m −≤≤；………………4分 （2）原不等式转化为()10f x −<, 即2(1)x m x m −++()(1)0x m x =−−<,………………6分 当1m >时，1x m <<；………………8分
当1m <时，1m x <<；………………10分
公众号：潍坊高中数学
当1m =时，不等式无解；………………11分
综上可得，当1m >时，不等式解集为{1}x x m <<；
当1m <时，不等式解集为{1}x m x <<；
当1m =时，不等式无解. ………………12分
21．解：
（1）由f (x )＝x ，得x ax ＋b ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0. ……………………………1分
因为方程f (x )＝x 有唯一解，
所以∆＝(b －1)2＝0，即b ＝1，…………………………3分
因为f (2)＝1，所以22a ＋b ＝1，……………………………4分
所以a ＝12，…………………………5分 所以f (x )＝112
x
x +＝2x x ＋2；……………………………6分 （2）因为2x <−，所以()y xf x =2222122x x x x
==++，……………………7分 而22121112()48
x x x +=+−，……………………………9分 当
114x =−，即4x =−时， 21112()48x +−取得最小值18
−，……………………………11分 此时()()g x xf x =取得最大值16−.……………………………12分
22．解：
（1）令0x y ==，
得(00)(0)(0)f f f +=+，得(0)0f =，……………………………………1分 令1,1x y =−=，
得(0)(1)(1)f f f =−+，
得(1)2f −=−；………………………………………2分
令y x =−，
得(0)()()f f x f x =+−，
即()()f x f x =−−，
所以()f x 为奇函数；………………………………………4分
（2）令12x x <，所以210x x −>，
所以212111()()()()f x f x f x x x f x −=−+−
2111()()()f x x f x f x =−+−
21()f x x =−，………………………………………4分
因为210x x −>，所以21()0f x x −>，
所以21()0f x x −>，……………………………………5分
即()f x 在R 上为增函数；……………………………………7分
（3）因为2(3)()2f ax x f x −+<−，
即2(2)2f ax x −<−，
又(1)2f −=−，所以2(2)(1)f ax x f −<−，……………………………………8分 又因为()f x 在R 上为增函数，
所以221ax x −<−在[1,2]x ∈上恒成立；
得2210ax x −+<在[1,2]x ∈上恒成立， 即221a x x <
−在[1,2]x ∈上恒成立，………………………………………9分 因为22211(1)1x x x
−=−−+， 当2x =时，
221x x −取最小值34， 所以34a <
；………………………………………11分 即34a <
时满足题意. ………………………………………12分 公众号：潍坊高中数学。
潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)
关于 的不等式 解集包含 ，令 ，
，解得 ，
故选： ．
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9.下列命题中是假命题的是（）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
举反例即可判断选项A、C，解方程 即可判断选项B、D.
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；
（2）分集合C为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得所求的范围.
【详解】解：（ 时，满足 ，即 ，解得 ．
【详解】对于A选项，函数 为奇函数，且该函数在定义域上不单调，A选项中的函数不合乎要求；
对于B选项，函数 为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B选项中的函数合乎要求；
对于C选项，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
又 ，所以，函数 为奇函数，
当 时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递减.
由于函数 在 上连续，所以，函数 在 上为减函数，C选项中的函数合乎要求；
画出函数的图象，如图所示：
对于 ：根据函数的图象， 的定义域为 ，值域为 ，故 错误；
山东省菏泽市2023-2024学年高三上学期期中考试数学答案
f ′( x) = 2 − 2(a +1) x − 2a = −2 (a +1) x −1 ( x +1) ，
x
x
当 a ≤ −1 时， f ¢(x) > 0 恒成立， f ( x) 单调递增，所以 f ( x) 不可能有 2 个零点；
……………4 分
当 a > −1时，当 0 < x < 1 时， f ¢(x) > 0 ， f ( x) 单调递增， ……………5 分
高三数学答案（A）第 3 页（共 5 页）
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此时 c = 1+ 1 不合题意舍去，或 c = 1− 1 ∈ (0.8,0.99) ，……………9 分
10 5a
10 5a
将 c = 1− 1 代入 x = 5c − 4 , y = a(99 −100c) ，
20.（12 分）
( ) 解:（1）
f
′(x)
=
1 x
+1，
f
′′(x)
=
−
1 x2
，所以
K1
=
f ′′(1) 1+ [ f ′(1)]2
3 2
=
1
3
(1 + 22 )2
=
1
3
，…………3 分
52
1
( ) g′(x) =
1
，
g′′(x)
=
−
1
−3
x2
，
K2
=
2x
4
g′′(1) 1+ [g′(1)]2
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷及答案解析
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 23．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．35．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M6．已知a =312，b =log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B ．C．D．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（）A．f（0）＝0B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝a t．关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（）A．92B．98C．0D．1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润．15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为．16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．（1）求f（0），f（1）；（2）若对于任意x∈[12，3]都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝2x−12x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2解：命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是特称命题； ∴￢p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”． 故选：D ．3．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：p ：|m +1|＜1等价于﹣2＜m ＜0，∵幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减， ∴m 2﹣m ﹣1＝1，且m ＜0， 解得m ＝﹣1，∴p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．3解：∵幂函数f （x ）＝x 2m ﹣1的图象经过点（2，8），∴22m ﹣1＝8，∴m ＝2， 故选：C ．5．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M解：①当n ＝2m ，m ∈Z 时，x ＝4m +1，m ∈Z ， ②当n ＝2m +1，m ∈Z 时，x ＝4m +3，m ∈Z ， 综合①②得：集合N ＝{x |x ＝4m +1或x ＝4m +3，m ∈Z }， 又集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }， 即M ⫋N ， 故选：A ． 6．已知a =312，b=log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解；∵a =312∈（1，2），b=log 2√3＞log 2√2=12，∵log 2√3＜log 22=1， ∴12＜b ＜1，c ＝log 92＜log 93=12， 则a ＞b ＞c ， 故选：A ． 7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B．C．D．解：函数y=4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）=4xx2+1，则f（﹣x）=−4xx2+1=−f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②正确；③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．故恒成立的个数是2．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅解：在A 项中，依题意可得a ＝0，且3b +3＝0，解得b ＝﹣1，此时不等式为﹣x +3＞0，解得x ＜3，故A 项错误；在B 项中，取a ＝1，b ＝2，可得x 2+2x +3＝（x +1）2+2＞0，解集为R ，故B 项正确； 在C 项中，依题意可得a ＜0，且{−1+3=−ba −1×3=3a ，解得{a =−1b =2，符合题意，故C 项正确．在D 选中，当x ＝0时，ax 2+bx +3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D 选错误； 故选：BC ．10．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A ．f （0）＝0B ．若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1C ．若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D ．若x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ＝0时，有f （0）＝﹣f （0），变形可得f （0）＝0，A 正确，对于B ，若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x ≥0时，f （x ）≥﹣1，则有﹣x ≤0，f （﹣x ）＝﹣f （x ）≤1，即f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1，B 正确，对于C ，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C 错误，对于D ，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ，D 正确， 故选：ABD ．11．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系为y ＝a t ．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过80m 2D ．若浮萍蔓延到2m 2，4m 2，8m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 2＝t 1+t 3 解：图象可知，函数过点（1，3）， ∴a ＝3，∴函数解析式为y ＝3t ， ∴浮萍每月的增长率为：3t+1−3t3t=2×3t 3t=2，故选项A 正确，∵函数y ＝3t 是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B 错误， 当t ＝4时，y ＝34＝81＞80，故选项C 错误，对于D 选项，∵3t 1=2，3t 2=4，3t 3=8，∴t 1＝log 32，t 2＝log 34，t 3＝log 38， 又∵2log 34＝log 316＝log 32+log 38，∴2t 2＝t 1+t 3，故选项D 正确， 故选：AD ．12．若集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．92B ．98C ．0D ．1解：∵A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，∴若a ＝0，方程等价为﹣3x +2＝0，解得x =23，满足条件． 若a ≠0，则方程满足△＝0，即9﹣8a ＝0，解得a =98．故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数f （3﹣2x ）的定义域为 [12，52] ． 解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]， ∴由﹣2≤3﹣2x ≤2，解得12≤x ≤52．∴函数f （3﹣2x ）的定义域为[12，52]．故答案为：[12，52]．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 11.5 元/桶时能获得最大利润． 解：由表可知，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为（6+x ）元，公司日利润为y 元，则y ＝（6+x ﹣5）（480﹣40x ）﹣200＝﹣40x 2+440x +280＝﹣40(x −112)2+1490， 所以当x ＝5.5时，y 取得最大值，所以每桶水定价为11.5元时，公司日利润最大． 故答案为：11.5．15．不等式0.1x ﹣ln （x ﹣1）＞0.01的解集为 （1，2） ． 解：设函数f （x ）＝0.1x ﹣ln （x ﹣1）， ∵y ＝0.1x 和y ＝﹣ln （x ﹣1）均为减函数， ∴函数f （x ）为减函数，∵f （2）＝0.01，且函数的定义域为（1，+∞）， ∴原不等式等价于f （x ）＞f （2）， ∴1＜x ＜2，∴不等式的解集为（1，2）． 故答案为：（1，2）．16．对于函数f （x ），若在定义域存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有解； 即4﹣x ﹣m •2﹣x ﹣3＝﹣（4x ﹣m •2x ﹣3）有解；变形可得4x +4﹣x ﹣m （2x +2﹣x ）﹣6＝0，即（2x +2﹣x ）2﹣m （2x +2﹣x ）﹣8＝0有解即可；设2x +2﹣x ＝t （t ≥2），则方程等价为t 2﹣mt ﹣8＝0在t ≥2时有解；设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣8＝0，必有g （2）＝4﹣2m ﹣8＝﹣2m ﹣4≤0， 解可得：m ≥﹣2，即m 的取值范围为[﹣2，+∞）； 故答案为：[﹣2，+∞）．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a−2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927． 解：（1）∵a ≤2， ∴√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12， ＝2﹣a +a +3+2＝7；（2）3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927， =12+log 610⋅lg6+32， =12+1+32=3．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：（1）∵集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}∴A ∪B ＝{x |1≤x ＜8}，（∁U A ）＝{x |x ＜1或x ≥5}，（∁U A ）∩B ＝{x |5≤x ＜8}（2）∵“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}∴C ⫋A ，∴{a +3＜5a ≥1，解得1≤a ＜2，故a的取值范围是[1，2）．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．解：（1）当a＝4时，f（x）=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x−2≥2√x×4x−2＝2，当且仅当x=4x即x＝2时等号成立，所以f（x）的最小值为2．（2）根据题意可得x2﹣2x+a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，等价于a＞﹣x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，因为g（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a＞1．（3）f（x）＝x+ax−2，设0＜x1＜x2＜√a，f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ax1−a x2=（x1﹣x2）（1−ax1x2）=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵0＜x1＜x2＜√a，∴x1x2＜a，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，√a）单调递减，同理可证f（x）在（√a，+∞）单调递增，当0＜a≤4时，0＜√a≤2，函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（2）=a 2，当a＞4时，√a＞2，函数f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a−2．所以f（x）min={a2(0＜a＜4)2√a−2(a＞4)．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%． 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种． ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x ．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x 2+3200x+40，x ∈[70，100]，而x2+3200x +40≥2√x 2⋅3200x+40=2×40+40＝120，当且仅当x2=3200x，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低．因为80＜100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．（Ⅱ）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，y 1=100x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+60x −900=−12(x −60)2+900， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为850元． 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，y 2=130x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+90x −3200=−12(x −90)2+850， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝90吨时，企业获得最大利润，为850元．结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，当日加工处理量为90吨时，获得最大利润， 由于最大利润相同，所以选择两种方案均可．21．（12分）定义在R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）（x ，y ∈R ）． （1）求f （0），f （1）；（2）若对于任意x ∈[12，3]都有f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）因为R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）．令x ＝y ＝0可得f （0）＝2f （0）， 所以f （0）＝0，令x ＝1，y ＝1，可得f （2）＝2f （1），令x ＝2，y ＝1可得f （3）＝f （1）+f （2）＝3f （1）＝6， 所以f （1）＝2；（2）∵f （x ）是奇函数，且f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0在x ∈[12，3]上恒成立， ∴f （kx 2）＜f （1﹣2x ）在x ∈[12，3]上恒成立，且f （0）＝0＜f （1）＝2； ∴f （x ）在R 上是增函数，∴kx 2＜1﹣2x 在x ∈[12，3]上恒成立， ∴k ＜(1x )2−2(1x )在x ∈[12，3]上恒成立， 令g(x)=(1x )2−2(1x )=(1x −1)2−1． 由于12≤x ≤3，∴13≤1x≤2．∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1，∴k ＜﹣1，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x −12x ，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ）． （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围；解：（1）f（x）＞0⇔2x−12x＞0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．∴实数x的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．∵f（x）＝2x−12x在[1，+∞）上单调递增，∴A＝[32，+∞）．∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4（b∈R）．∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，依题意可得A∩B≠∅，∴b+4≥32，即b≥−32．∴实数b的取值范围为[−32，+∞）．。
山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学(A卷)含答案
2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y += B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y +=B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.12016.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.567.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0B.1C.2D.1或28.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A .两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B 共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为3y x =±C.若1MF =，则C 的渐近线方程为y =D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.14.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB .16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且||||7BC AB =，求直线l 的方程．19.若平面内的曲线C 与某正方形A 四条边的所在直线均相切，则称曲线C 为正方形A 的一条“切曲线”，正方形A 为曲线C 的一个“切立方”.（1）圆221x y +=的一个“切立方”A 的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A 四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A 的方程为2x y +=，且正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e 的取值范围；（3）设函数312y x x =-的图象为曲线C ，试问曲线C 是否存在切立方，并说明理由.2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y +=B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=【答案】D 【解析】【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断12210A B A B -=是否成立，注意分析重合情况.【详解】:571:5710l x y l x y +=⇔+-=，对于A ：101425710x y x y +=⇔+-=，可知两直线重合，不符合；对于B ：()57750⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于C ：()55770⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于D ：5217150⨯-⨯=，1152115703x y x y +=⇔+-=，且113-≠-，所以两直线平行，符合；故选：D.2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与9,m 之间的关系式可得结论.【详解】若34m =可得221934x y +=得一个焦点坐标为()0,5，即充分性成立；若“点()0,5为C 的一个焦点”，则可得295m -=，即34m =，可知必要性成立，因此，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的充要条件.故选：C3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y += B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=【答案】B 【解析】【分析】由向量找到三点的关系，设所求点N 的坐标，由三点关系得到P 的坐标，然后代入曲线2216x y +=，得到点N 的轨迹方程.【详解】∵14PN PP'= ，∴,,'P N P 三点共线，且3''4P N PP =又∵'PP y ⊥轴，∴设(),N x y ，则()'0,P y ，4,3P x y ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点P 在2216x y +=上，∴224163x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221916x y +=.故选：B.4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线l 所过定点A 的坐标，分析可知，当OA l ⊥时，圆心到直线l 的距离最大，此时，直线l 截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解.【详解】因为不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=的方程可化为()0ax a c y c -++=，即()()10a x y c y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩可得1x y ==，即直线l 过定点()1,1A ，因为22115+<，即点A 在圆内，圆225x y +=的圆心为原点O ，半径为r =，当OA l ⊥时，圆心到l 的距离取最大值，且最大值为OA ==，所以，直线l 被圆截得的弦长的最小值为==故选：B.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.1201【答案】D 【解析】【分析】由条件知椭圆的焦点在x 轴上，半焦距长7c =，短半轴长24b =，根据,,a b c 的关系，可求,m n .【详解】椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，过点()0,24A ，∴24924m n n -=⎧⎨=⎩，∴625576m n =⎧⎨=⎩，∴1201m n +=.故选：D.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.56【答案】A 【解析】【分析】由已知列方程组求得,a b ，再由离心率公式计算．【详解】点()6,5P 在C 上，右焦点为()6,0F ，0,0a b >>，则22223625136a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以离心率为6342c e a ===，故选：A ．7.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2D.1或2【答案】C 【解析】【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论.【详解】由22124360x y x y +---=整理得：()()226276x y -+-=，可知圆22124360x y x y +---=圆心坐标为()6,2，半径为r =，再由直线l ：60x ay --=恒过点()6,0，由圆心()6,2到点()6,0的距离为2，可知2<所以点()6,0在圆的内部，即直线l 与圆一定有两个交点.故选：C.8.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=【答案】C 【解析】【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中121tan 2PF F ∠=，得到122PF PF =，由面积求出12,PF PF 的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出,m n 的值，得到椭圆方程.【详解】∵121PF PF k k ⨯=-，∴12π2F PF ∠=，∵12112PF PF k PF ==，∴设112,PF n PF n ==，则12212112422PF F S PF PF n n n ==⋅== ，∴2n =，∴126PF PF =+=，∴9m =，∵122c F F ===，∵c ==∴4n =，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A.两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆【答案】CD 【解析】【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆.【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.故选：CD10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案；对于B ，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案；对于C ，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案；对于D ，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案.【详解】对于A ，由抛物线21:4C y x =，即24x y =，则准线:1l y =-，由圆22:8150A x y x +-+=整理可得()2241x y -+=，则圆心()4,0A ，半径=1，由圆心A 到直线=−1的距离为1r =，则圆A 与直线l 相切，故A 错误；对于B ，由题意作图如下：由,,P A B 共线，且()4,0A ，当4x =时，21444y =⨯=，则()4,4P ，()4,1B -，4PA =，PQ ===，故B 正确；对于C ，由2PB =，则令1y =，2114x =，解得2x =±，当()2,1P 时，PAB 的高为422-=，面积为1222PB ⨯⨯=，如下图：当()2,1P -时，PAB 的高为()426--=，面积为1662PB ⨯⨯=，如下图：故C 正确；对于D ，由题意可作图如下：.由抛物线21:4C y x =整理可得24x y =，则其焦点()0,1F ，易知PF PB =，由直线AF 的斜率011404k -==--，线段AF 中点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则线段AF 的中垂线方程为()1422y x -=-，整理可得1542y x =-，联立2154214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消y 可得216300x x -+=，()2164301360∆=--⨯=>，所以线段AF 的中垂线与抛物线存在两个交点，故D 正确.故选：BCD.11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率2e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为33y x =±C.若16MF OM =，则C 的渐近线方程为2y x=±D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±【答案】AC 【解析】【分析】利用2tan a MF O b∠=可得l ak b =-，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率e ，知A 正确；根据斜率关系可知直线OM 为双曲线C 的一条渐近线，利用2cos QOF ∠可构造方程求得B 正确；分别利用1cos MOF ∠和cos QOF ∠可构造方程求得CD 正误.【详解】对于A ，2OM MF ⊥ ，2OF c =，OM a =，2MF b ∴==，2tan a MF O b ∴∠=，l ak b∴=-，又l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，a bb a ∴->-，即2222a bc a <=-，222c a ∴>，c e a∴=>，A 正确；对于B ，由A 知：l ak b =-，又2OM MF ⊥，OM b k a∴=，∴直线OM 即为双曲线C 的一条渐近线，22::OF MF OQ QM = ，::OQ QM c b ∴=，又222OQ QM a -=，OQ c ∴=，QM b =，2222222242cos 2c c b c b QOF c c+--∴∠==，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，2222c b ac c -∴=-2222c b a c c-∴=-，整理可得：()2222222c b c c a ac -=--=-，2220c ac a ∴--=，()()22210e e e e ∴--=-+=，2e ∴=，2=，解得：b a =C ∴的渐近线方程为y =，B 错误；对于C ，1MF == ，22222165cos 22a c a c a MOF ac ac +--∴∠==，12tan tan b MOF MOF a ∠=-∠=- ，1cos aMOF c∴∠=-，2252c a aac c -∴=-，整理可得：22252c a a -=-，即22223c a b a =+=，222b a ∴=，ba∴=，C ∴的渐近线方程为y =，C 正确；对于D ，2244QF MF b == ，3QM b ∴=，OQ ∴=22222222cos QOF ∴∠=，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，222ac=-，整理可得：()()22222239a b a a b -=+，422915b a b ∴=，2253b a ∴=，3b a ∴=，C ∴的渐近线方程为3y x =±，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于,,a b c 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.【答案】98-【解析】【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案.【详解】由圆的方程整理可得圆()2232514216x y λ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭，则圆心3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =，由圆与x 1=，解得98-.故答案为：98-.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.【答案】①.4②.22【解析】【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点F 坐标和a 的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得P 点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果.【详解】∵圆的标准方程：()22215x y +-=，∴圆心为0,1，半径=5r ，∴114a =，即14a =，即抛物线C ：24x y =，0,1联立方程组22242240x y x y y ⎧=⎪⎨⎪+--=⎩，解得4y =或y =-6（∵204xy =≥舍去）∴4x =±∴()4,4P 或()4,4P -∵直线OF 与y 轴重合，∴点P 到直线OF 的距离为4，由对称性可知，无论取哪个点P ，点F 到直线OP 的距离相等，∴取()4,4P ，直线:0OP x y -=，∴点F 到直线OP的距离2d ==，故答案为：①414.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.【详解】由椭圆2211612x y +=，则4,a b ==，2c =，易知,A B 为椭圆的左右焦点，由P 为椭圆上的点，则28PA PB a +==，可得8PB PA =-，所以28PA PB PA -=-，联立22221161213x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2249x y ⎧=⎨=⎩，当()2,3P 时，PA5=，则PA PB -取得最小值2如下图：；当()4,0P 时，PA 取得最大值()426--=，则PA PB -取得最大值4，如下图：.所以PA PB -的最大值与最小值的比值为2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB.【答案】（1）（2）487【解析】【分析】（1）由椭圆C 的方程可知,a b 的值，代入椭圆的面积公式即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.【小问1详解】由椭圆C 的方程可知4a =，b =所以，椭圆C的面积πS ab ==；【小问2详解】联立22112162x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2712360x x +-=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12127x x +=-，12367x x =-，∴122427x x -==，所以，122424877AB x =-==.16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.【答案】12-【解析】【分析】根据1F AB 与2F AB 同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式∆求解出m 的值.【详解】解：将直线y x m =+与椭圆联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2234220x mx m ++-=，因为直线与椭圆相交于,A B 点，则()22Δ1643220m m =-⨯->，解得m <<，设1F 到AB 的距离为1d ，2F 到AB 的距离为2d ，易知1−1,0，21,0，则1d =，2d =所以12131F AB F ABS m S m-+===+ ，解得12m =-或2-(舍去)，故12m =-.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.【答案】（1）[)16,20（2）12【解析】【分析】（1）由椭圆定义得到ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，求出[)6,10AB =，求出周长的取值范围；（2）表达出2ABD A B S x x =- ，结合06A B x x <-≤，得到面积的最大值.【小问1详解】由题可得5a =，3b =，则22216c a b =-=，故4c =，所以()0,4D 为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为()0,4E -，连接,AE BE ，由对称性可知，DB AE =，故210AD DB AD AE a +=+==，则ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈，因为,,A B D 三点构成三角形，故,,A B D 不共线，所以π3π,22θ≠，故[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，则222229cos 25sin 2916sin AB AO θθθ==+=+因为[)2sin0,1θ∈，故[)22916sin 6,10AB θ=+，所以ABD △的周长[)1016,20AB +∈；【小问2详解】114222ABD AOD BOD A B A B A B S S S OD x x x x x x =+=⋅-=⨯⋅-=- ，,,A B D 不共线，故06A B x x <-≤，所以(]20,12ABD A B S x x =-∈ ，S 的最大值为12.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且7||||7BC AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（252250x y --=【解析】【分析】（1）利用给的条件列方程求得,a b 的值，进而得到椭圆的标准方程；（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点C 的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．【小问1详解】由题可知2c a =，其中222c a b =-，所以12b a =,又点1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b+=，即22131a a +=，解得224,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由椭圆E 的方程2214x y +=，得(2,0)B ，所以2AB ==，设()00,C x y ，其中00[2,2),[1,1]x y ∈-∈-，因为||||17BC AB ==，所以()220021x y -+=，又点()00,C x y 在椭圆22:14x E y +=上，所以220014x y +=，联立方程组()20022002114x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得200316160x x -+=，解得043x =或04x =（舍），当043x =时，03y =±，即4,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或4,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以当C的坐标为4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，直线l20y +-=；当C的坐标为4,33⎛⎫-⎪⎪⎝⎭时，直线l20y --=．综上，直线l的方程为20y+-=20y--=.19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.（1）圆221x y+=的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A的方程为2x y+=，且正方形A为双曲线22221x ya b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；（3）设函数312y x x=-的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.【答案】（1）y x=±，y x=-±（2）(（3）曲线C存在切立方，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”A的四条边所在直线的方程即可；（2）根据“切立方”的定义，联立2x y+=与双曲线22221x ya b-=，由于相切，则∆=，根据0∆=，即可求出双曲线的离心率e的取值范围；（3）设第一个切点为()3111,12x x x-，则切线为()23113122y x x x=--，根据函数312y x x=-的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为()23113122y x x x=-+，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.【小问1详解】根据“切立方”的定义，设直线方程y x m=+，y x n=-+可得1d==，m=，1d ==，n =y x =，y x =-±；【小问2详解】由正方形A 的方程为2x y +=，则2y x =±+，由正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，则222212x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=±+⎩，联立整理得22222112110x x a b b b ⎛⎫-±--= ⎪⎝⎭，则422216114Δ410b a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得224b a =-，即2224c a =-，由图可知2a >，则()22222224421,2c a e a a a -===-∈，所以(e ∈【小问3详解】由曲线312y x x =-，设切点为()3111,12x x x -，联立()()311131212y x x k x x y x x ⎧--=-⎪⎨=-⎪⎩，得()()331111212x x x x k x x ---=-，即2211120x x x x k ++--=，点()3111,12x x x -在曲线和直线上，整理得21312k x =-，则过该点的一条切线方程为()()()32111112312y x x x x x --=--，即()23113122y x x x =--，由函数312y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C 是存在“切立方”，则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：()23113122y x x x =-+，设第三个切点为()3222,12x x x -（20x >），同理可得另两条切线为()33223122y x x x =-±，若存在正方形，即()()2212333123121x x ⎧--=-⎪⎪=由此可设()10,2x ∈，22x>，3310x -=，设()33f x x =，由()1.90f >，()1.950f <，且在()1.9,1.95x ∈上，函数图象连续不间断，则由零点存在性定理可知()0f x =在()1.9,1.95x ∈上有解，因此曲线C 存在切立方.【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明.。
山东省菏泽市2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式 的解集为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
22．已知数列 是首项为 ，公比 的等比数列，设 ， ，数列 满足 .
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）设数列 的前 项和为 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
A． ，则当a=0或者b=0时，结论就不成立了，故选项不对．
B．当a=0或者b=0时，结论不成立了；或者当两者都不为0时 ，不等号不同向，不能直接相加，故不一定有 ，故选项不对．
11．B
【解析】
∵ = + = + ≥ +2 = ，（当且仅当 ，即a= ，b= 时取到等号）
∴ ≤﹣ （当且仅当 ，即a= ，b= 时取到上确界）
故答案选：B．
点睛：本题考查了学生的知识迁移能力，理解题干中的知识并学以致用；这是二元问题；一般解决二元问题常用的方法有：基本不等式的应用；二元化一元的方法，需要求两个变量有等量关系；线性规划的方法；变量集中。
故答案选B．
10．C
【解析】
根据不等式画出可行域，得到三条直线交于三点 ，
目标函数 化简可得 ，根据图像得到当目标函数过点B时，有最小值2，此时
故答案为C．
点睛：这个题目考查的是线规问题，目标函数是线性的，截距式．常见的目标函数有截距式，斜率式，距离式，面积式，点线距式，解决的方法就是通过变形，发现目标函数是哪一类型，对应求最值即可．注意可行域中直线是实线还是虚线，关系到最值能否取到．
山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期期中考试物理试题
菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三物理试题本试卷共8页，18题．全卷满分100分．考试用时90分钟．憶 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．物体做直线运动的v t -图像如图所示，关于对该图像的理解，下列说法正确的是（ ）A ．0~t 时间内物体的速度和加速度均为负值B ．0~t 时间内物体的速度和位移均不断减小C ．0~2t 时间内物体的速度方向和加速度方向都发生了变化D ．在2t 时刻物体回到了出发点2．如图所示，质量相等的物块A 、B 通过轻质弹簧连接．物块A 的另一端与轻绳连接，手提轻绳使系统向上做加速度大小为g 的匀加速运动．已知重力加速度为g ,若突然松手，则在松开手的瞬间，物块A 、B 的加速度大小分别为（ ）A ．0,AB a a g == B ．,0A B a g a ==C ．2,0A B a g a ==D ．3,A B a g a g ==3．某汽车司机驾驶汽车正以10m /s 的速度行驶，在距离人行横道停车线30m 处看到有行人通行，司机需要一定反应时间采取制动措施，制动后，汽车做匀减速运动的加速度大小为22m /s ．为了在停车线前停车，该司机的反应时间不应超过（ ）A ．0.3sB ．0.4sC ．0.5sD ．0.6s4．北京时间8月3日，在巴黎奥运会乒乓球女单决赛中我省运动员陈梦夺得金牌．假设某次击球时，乒乓球以30m/s 的速度垂直击中球拍，0.01s 后以20m/s 的速度反向弹回，不考虑乒乓球的旋转，乒乓球的质量2.7g m =,则乒乓球撞击球拍的过程中（ ）A ．乒乓球对球拍的作用力大于球拍对乒乓球的作用力B ．乒乓球对球拍的冲量小于球拍对乒乓球的冲量C ．乒乓球的动量变化量大小为0.027kg m /s ⋅D ．乒乓球对球拍的平均作用力大小为13.5N5．如图甲所示，轻质弹簧上端固定，下端悬挂一个质量0.5kg m =的物块，处于静止状态，以物块所在处为原点，以竖直向下为正方向建立x 轴，重力加速度210m /s g =．现对物块施加竖直向下的拉力F 使物块做匀变速运动，F 随x 变化的情况如图乙所示（弹簧处于弹性限度内）．在物块下移0.4m 的过程中，动能的增量为（ ）甲 乙A ．4JB ．3.5JC ．2JD ．1.5J6．如图所示为某赛车比赛中的精彩瞬间．赛车正在倾斜轨道上转弯，假设赛车运动的轨道平面始终在水平面内，赛车的速度为v ，倾斜轨道与水平方向夹角为θ，赛车转弯的半径为R ,重力加速度为g ,则下列说法正确的是（ ）A ．v =B ．v =C ．v >D ．v <7．如图所示，内壁光滑的半圆形轨道竖直放置，A 为最低点，B 为右侧最高点．现用力F 将小球从A 点沿轨道缓慢拉至B 点，且保持力F 的方向与竖直方向的夹角始终为45︒．关于该过程下列说法正确的是（ ）A ．力F 先增大后减小B ．力F 一直增大C ．轨道对小球的支持力先增大后减小D ．轨道对小球的支持力一直增大8．如图所示，内壁光滑的三圆弧管道固定在竖直面内，O 点为圆心，A 、B 两点分别为管道端口，OA 连线水平，OB 连线竖直，直径略小于管道内径、完全相同的两小球a 、b 通过轻质细绳连接，a 球处于A 点，b 球处于B 点．已知圆弧半径为0.6m ,重力加速度()210m /s ,cos 1rad 0.54g ==,不计空气阻力．现由静止释放两小球，小球a 落地瞬间被锁定，则小球b 能够到达的最大高度为（ ）A ．0.162mB ．0.438mC ．0.276mD ．0.6m二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题目要求．全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．如图所示，在光滑水平面上停放着质量为m ,装有半径为R 的14光滑弧形槽的小车，质量为m 的小球以水平速度v 从弧形槽的右端点P 沿弧形槽向上滑去，到达某一高度后，小球又返回P 点．已知重力加速度为g ,则下列说法正确的是（ ）A ．小球返回到P 点后将做自由落体运动B ．小球返回到P 点后将向右做平抛运动C ．小球沿弧形槽上升的最大高度为24v gD ．若小球以4v 的水平速度滑上弧形槽，小球能上升的最大高度为24v g10．现在很多小区安装了自主洗车房，假设洗车房内的高压水枪喷出的水在空中为圆柱形，且直径为D ,水流的速度大小为v ，水柱能垂直冲击汽车．在冲洗时若有一半的水在汽车表面顺流而下，另一半的水以原速率返回．已知水的密度为ρ，下列说法正确的是（ ） A ．高压水枪单位时间内喷出的水的质量为2vD ρπ B ．人手持高压水枪的力应大于2214v D ρπ C ．水柱对汽车的平均压强为2v ρ D ．水柱对汽车的平均冲击力大小为2238v D ρπ 11．某时刻，两卫星a 、b 和地球球心在同一条直线上且在地球两侧，两卫星a 、b 的轨道在同一平面，两轨道的交点为A 和B ,如图所示．已知卫星a 的近地点和远地点的距离为2r ,卫星b 的运行轨道半径为r ,只考虑地球对卫星的引力，下列说法正确的是（ ）A ．卫星a 和b 分别运动到A 点时，加速度相同B ．卫星a 在A 、B 两点时的速度相同C ．图示位置时，卫星a 的线速度小于卫星b 的线速度D ．运行中两卫星可能会相撞12．如图所示，倾角为θ的传送带以速率v 顺时针匀速转动．现将质量为m 的物块（可视为质点），轻轻的放在传送带的A 点，经过时间1t 与传送带共速，再经过时间2t 到达传送带的B 点，两过程中物块的位移分别为12x x 、,传送带的位移分别为12 s s 、．已知物块与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ,下列说法正确的是（ ）A ．动摩擦因数需满足tan μθ>B ．1t 时间段内，一定有112s x =C ．全程摩擦力对物块所做的功为()12cos mg x x μθ⋅+D ．全程传送带因传送物块而多消耗的电能为12cos sin mg s mg s μθθ⋅+⋅三、非选择题：本题共6小题，共60分．13．（6分）某同学用如图甲所示的装置探究加速度与力、质量的关系．甲（1）平衡摩擦力时_____（填“需要”或“不需要”）连上细绳，带着钩码一起运动． （2）实际上平衡摩擦力后，小车所受合力_____（填“大于”“等于”或“小于”）钩码重力．（3）若某次打出的纸带点迹如图乙所示，已知打点计时器所接电源的频率为f ,则可计算出小车的加速度a =___________________．乙14．（8分）“验证动量守恒实验”的装置的简化示意图如图甲所示，人射小球的质量为1m ，被碰小球的质量为2m ．甲 乙（1）对于该实验的要求及对应目的，下列说法正确的是_____（填正确答案标号）． A ．为了保证碰撞过程中两小球动量守恒，两小球的质量应满足12m m < B ．为了保证碰后2m 能向右飞出，两小球的质量应满足12m m >C ．实验中使用的斜槽不需要光滑，但是为了保证两小球能做平抛运动，需要斜槽末端水平（2）多次从同一位置由静止释放入射小球，小球在纸上留下很多个痕迹，如图乙所示，为了确定落点，三个圆中最合理的是_____（填正确答案标号）． A ．a B ．b C ．c（3）如果碰撞过程满足动量守恒，则需要验证的表达式为______________（用12m m OM OP ON 、、、、表示），若进一步验证该碰撞是否为弹性碰撞，则还需要满足的表达式为__________．（用OM OP ON 、、表示） 15．（8分）甲、乙两人骑自行车沿同一直线同向行驶，甲的速度为4m /s v =甲,乙在甲前方3m 处，乙的速度为3m/s v =乙,甲经过10.5s t =的反应时间后，开始以加速度20.5m/s a =做匀减速直线运动． （1）试通过计算判断甲、乙是否会相撞；（2）若甲一直匀减速直至停下，求甲匀减速运动的位移0x ． 16．（8分）如图所示，某同学在篮球比赛中直入篮筐投中一个三分球．已知出手点的高度 2.05m h =,篮筐的高度3.05m H =,篮球的出手速度010m/s v =,方向与水平方向间的夹角为37︒，重力加速度210m /s g =, sin37=0.6cos37=0.8︒︒，，求：（1）篮球从出手到进入篮筐所用的时间； （2）出手点到篮筐的距离．（结果保留根式） 17．（14分）如图所示，高度8m h =、倾角30θ=︒的斜面固定在水平地面上，斜面的右侧有一劲度系数100N /m k =的弹簧，弹簧右端与墙面拴接，原长时左端位于B 点，斜面最低点A 与B 点间的距离110m x =．将一质量2kg m =的小物块（可视为质点）以初速度0v =水平向右抛出，下落高度H 后恰好无碰撞的从斜面最高点进入斜面，然后从A 点无机械能损失地进入水平地面，滑行一段时间后挤压弹簧．已知物块与斜面和水平地面间的动摩擦因数分别为121=2μμ,弹簧始终在弹性限度内，其弹性势能212p E kx =（x 为弹簧的形变量），重力加速度210m/s g =,求：（1）H 的大小； （2）弹簧的最大压缩量；（3）物块最终停止的位置与A 点的距离． 18．（16分）如图所示，半径0.8m R =的光滑14圆弧轨道AB 与光滑水平地面相切于B 点，右侧有一质量3kg M =的长木板静置于光滑水平地面上，木板上表面左、右两端点分别为C 、D ,BC 间距离足够大，质量1kg m =的滑块a 静置在D 点．现将一质量1kg m =的滑块b 从A 点由静止释放，一段时间后，滑块b 与木板发生弹性碰撞，当木板与滑块a 共速后，滑块b 再次与木板发生弹性碰撞，最终滑块a 与木板共速时恰好位于C 点．已知滑块a 与木板间的动摩擦因数为0.1，重力加速度210m/s g =,求：（1）滑块b到达B点瞬间对圆弧轨道的压力大小；（2）木板与滑块a第一次共速时的速度大小；（3）滑块b与木板第二次碰撞后1s时两者间的距离；（4）木板的长度．菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三物理参考答案及解析一、单项选择题1．D 【解析】v t -图像的斜率表示加速度，0~t 时间内物体的速度为负值，但加速度为正值，A 项错误；v t -图像与时间轴围成的面积表示位移大小，0~t 时间内物体的速度越来越小，但是位移不断增大，B 项错误：0~2t 时间内物体的速度方向发生了变化，但加速度方向没变，C 项错误；结合上述分析可知，在2t 时刻物体回到了出发点，D 项正确．2．D 【解析】弹簧的弹力不突变，物块B 受力不受影响，因此B a g =,B 、C 项错误；设弹簧的弹力为F ,对物块A 进行受力分析，有A mg F ma +=,对物块B 进行受力分析，有F mg mg -=,所以物块A 的加速度为3g ,A 项错误，D 项正确．3．C 【解析】汽车从刹车到停止的位移225m 2v x a ==,所以匀速位移最多为5m ,即反应时间不应超过5s 0.5s 10t ==,C 项正确． 4．D 【解析】乒乓球撞击球拍的过程中，根据牛顿第三定律可得，乒乓球对球拍的作用力与球拍对乒乓球的作用力等大反向，故A 项错误；根据冲量公式I Ft =,结合A 项分析可知，乒乓球对球拍的冲量与球拍对乒乓球的冲量等大反向，故B 项错误；乒乓球的动量变化量大小0.135kg m /s p m v ∆=∆=⋅,故C 项错误；乒乓球对球拍的平均作用力大小0.135N 13.5N 0.01I p F t t ∆====∆∆,故D 项正确． 5．C 【解析】当0x =时，有,F mg T ma T mg +-==,解得210m /s a =,结合运动学公式202v ax -=,可得在物块下移0.4m 的过程中，动能的增量2k 12J 2E mv ∆==,故C 项正确．6．C 【解析】赛车只受重力和支持力的情况下，2tan mv mg Rθ=,解得v =故A 、B 项错误；v >时，赛车需要更大的向心力，需要摩擦力沿倾斜轨道向下；v <<故赛车需要较小的向心力，需要摩擦力沿倾斜轨道向上，故C 项正确，D 项错误．7．B 【解析】对小球进行受力分析如图所示，轨道对小球的支持力由竖直向上变为水平向左，整个过程中，支持力先变小后变大，力F 一直增大，故B 项正确，A 、C 、D 项错误8．B 【解析】设小球a 落地瞬间小球b 与圆心O 连线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律可得21(1cos )22mgR mgR mv θ=-+⨯,其中1rad RR θ==,小球a 落地后小球b 继续向上运动至最大高度的过程中，由机械能守恒定律可得212mv mgh =,小球b 能够到达的最大高度(1cos )H R h θ=-+,联立方程解得0.438m H =,B 项正确． 二、多项选择题9．ACD 【解析】设小球离开小车时，小球和小车的速度分别为12 v v 、，整个过程系统水平方向动量守恒，有12mv mv mv =+,由机械能守恒定律可得22212111222mv mv mv =+,联立解得120,v v v ==，即小球与小车分离后二者交换速度，所以小球以后将做自由落体运动，A 项正确，B 项错误；当小球与小车的水平速度相等时，小球沿弧形槽上滑到最大高度，此时2mv mv '=,机械能守恒定律可得2211222mv mv mgh '=⨯+,联立解得小球沿弧形槽上升的最大高度24v h g=,C 项正确；不论小球是否从弧形槽上端飞出，小球在最高点时的水平速度总与弧形槽的速度相同，有42x m v mv ⨯=,由机械能守恒定律可得2211(4)222x m v mv mgh '=⨯+,联立解得小球能上升的最大高度24v h g'=,D 项正确10．BD 【解析】高压水枪单位时间内喷出的水的质量22124D v tm vD t ρπρπ⎛⎫⋅∆ ⎪⎝⎭∆==∆,A 项错误；由动量定理可得1F t m t v ∆=∆⋅∆⋅,解得喷水枪对水的作用力22114F v D ρπ=,人对喷水枪的力为1F 的反作用力与喷水枪重力的合力，所以应大于2214v D ρπ,B 项正确；以汽车对水的作用力方向为正，由动量定理222111)244F t vD t v vD t v ρπρπ⎛⋅∆=⋅⋅∆⋅--⋅∆⋅ ⎝,解得水柱对汽车的平均冲击力大小22238F v D ρπ=,D项正确；水柱对汽车的压强22222338124v D F P v S D ρπρπ===,C 项错误． 11．AC 【解析】由2Mm G ma r =,可知2M a G r∝,卫星a 和b 在A 处的加速度相同，A 项正确；由椭圆轨道的对称性可知，卫星a 在A 、B 两点时，速度的大小相同，但方向不同，B 项错误；设椭圆轨道为轨道1，卫星b 所在圆轨道为轨道2，以地球球心为圆心、卫星a 在图中位置到地球球心的距离为半径做圆，记为轨道3，如图所示，由33 b a v v v v >>远、，可知b a v v >远，C 项正确；因为卫星a 所在椭圆轨道的半长轴与卫星b 所在圆轨道的半径相同，所以运行周期相同，所以不会相撞，D 项错误．12．ABD 【解析】传送带能让物体向上运动，说明动摩擦力大于重力沿传送带向下的分力，即cos sin mg mg μθθ>,A 项正确；1t 时间段内1111,2v x t s vt ==，B 项正确；由功的定义式W Fx =,1t 时间段内，摩擦力对物块所做的功为1cos mg x μθ⋅,2t 时间段内，摩擦力对物块所做的功为2sin mg x θ⋅,C 项错误；传送带多消耗电能的原因是摩擦力对其做负功，因此多消耗电能的大小等于全程传送带克服摩擦力做功的大小．第一阶段摩擦力为动摩擦力，大小为cos mg μθ,传送带位移为1s ,做负功；第二阶段摩擦力为静摩擦力，大小为sin mg θ,传送带的位移为2s ,做负功，D 项正确．三、非选择题13．（1）不需要（2分）（2）小于（2分）（3）()245612336x x x x x x f ++---（2分）【解析】（1）需要被平衡的摩擦力是纸带与限位孔之间的摩擦力和小车与轨道之间的摩擦阻力，因此需要连接纸带，但不需要系上细绳．（2）对钩码由牛顿第二定律：mg T ma -=,可知细绳拉力小于钩码重力．（3）由逐差法()()24561231(6)x x x x x x a f++---=⋅，解得()245612336x x x x x x f a ++---=14．（1）C （2分）（2）C （2分）（3）112m OP m OM m ON =+（2分） OP OM ON +=（2分）【解析】（1）碰撞过程中两小球动量守恒，与小球的质量关系无关，A 项错误；碰撞过程中，小球2m 受到向右的冲量，会向右飞出，与小球的质量关系无关，B 项错误；只要小球1m 每次由静止释放的位置相同，就能保证每次碰前速度相同，因此不需要斜槽光滑，但是为了保证两小球能做平抛运动，需要斜槽末端水平，C 项正确．（2）根据突出主要矛盾，忽略次要矛盾的原则，确定平均落点时，三个圆中最合理的是c ,C 项正确．（3）小球碰后均做平抛运动，水平方向有x x v t =⋅,竖直方向有21·2h g t =,可知满足动量守恒时应满足表达式112m OP m OM m ON =+,若碰撞为弹性碰撞则还应满足表达式222112m OP m OM m ON =+,结合动量守恒表达式可得OP OM ON +=．15．【解析】（1）设从甲开始减速到共速所需的时间为2t ,对该过程有2v v at -=甲乙 （1分） 解得22s t =甲在反应时间内运动的距离1 12m x v t ==甲 （1分） 甲、乙共速前二者的相对位移() m 1212 1.5m 2v v x x t v t t +∆=+-+=甲乙乙 （2分） m x d ∆<,所以甲、乙不会相撞 （1分）（2）甲一直匀减速至速度减为零的过程中，有2 02v ax =甲 （2分）解得016m x = （1分）16． 【解析】（1）设篮球从出手到进入篮筐所用的时间为t ,在竖直方向上，有201sin 372h v t gt ∆=⋅-︒ （2分）其中1m h H h ∆=-= （1分） 解得1s t =或0.2s t =（舍去） （2分）（2）水平方向上，有0cos37x v t =︒⋅ （1分）出手点到篮筐的距离d =（1分）解得d = （1分）17． 【解析】（1）对物块的平抛过程，竖直方向有22y v gH = （1分） 物块恰好无碰撞地进人斜面可得0tan 30y v v =︒ （2分） 联立解得5m H = （1分）（2）设弹簧的最大压缩量为2x ,对物块从抛出到第一次减速到零过程，由动能定理可得()2212122011()cos 0sin 22h mg H h mg mg x x kx mv μθμθ+--+-=- （3分） 解得22m x =或 2.2m -（舍） （1分）（3）对物块从第一次减速到零至反弹回到A 点过程，由动能定理可得()22212kA 102kx mg x x E μ-+=- （2分）解得k 80J A E =设物块从A 点冲上斜面后，运动距离3x 后速度减为零，对该过程，由动能定理可得313kA sin cos 0mgx mg x E θμθ--⋅=- （2分） 解得3 3.2m 16m sin h x θ=<= 由1tan μθ>可知，此后物块将保持静止 （1分） 所以物块最终停在斜面上，最终停止的位置到A 点的距离为3.2m （1分）18． 【解析】（1）滑块b 从A 点到B 点过程，由动能定理可得212mgR mv =（1分） 在B 点，由牛顿第二定律可得2mv F mg R-= （1分） 结合牛顿第三定律可得，滑块b 到达B 点瞬间对圆弧轨道的压力大小30N F F '== （1分）（2）滑块b 第一次与木板发生弹性碰撞过程，有12mv mv Mv =+ （1分） 22212111222mv mv Mv =+ （1分） 联立解得122m /s,2m /s v v =-=滑块a 与木板第一次共速过程，有21()Mv M m v =+共 （1分）解得1 1.5m /s v =共 （1分）（3）滑块b 与木板碰撞后反向，到达圆弧最高点再次反向，回到水平地面，速度大小变为2m /s ,追击速度为1.5m /s 的木板，由于BC 间距离足够远，在追上前，滑块a 与木板已经共速，滑块b 与木板再次碰撞，仍旧为弹性碰撞，有()134¹ 1m v Mv mv Mv -+=+共 （1分） 2222134 111112222mv Mv mv Mv +=+共 （1分） 滑块a 与木板再次共速过程，有412()mv Mv M m v +=+共共 （1分） 41 2v v at =-共 （1分） mg Ma μ= 解得13s 1s 16t =< （1分） 3b x v t = （1分）()24111 212x v t at v t t =-+-板共 （1分） 解得 227m 512b d x x =-=板 （1分） （4）由于3 2527m /s m /s 416v v =<=共,故滑块b 不再与木板发生第三次碰撞，木板的长度为滑块a 与木板两次相对位移之和，第一次相对位移2 1 1 11022v v v v x g μ++⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭共共共 （1分） 第二次相对位移4 21 22122v v v v x t ++⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭共共共 （1分） 木板的长度12195 m 128L x x =∆+∆=（1分）。
山东省菏泽市高一数学上学期期中试题
山东省菏泽市2021-2021学年高一数学上学期期中试题（扫描版）高一期中考试数学答案一、选择题一、D 二、B 3、B 4、B 五、D 六、B 7、A八、C 九、C 10、B二、填空题1一、(-1,1) 1二、 2 13、x 2+2x+314、 20 1五、(-∞,0)三、解答题16[解析]（1）原式=24b 35.——6分(2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg5lg2·－4lg2lg3·－2lg3lg5＝16.————12分 17[解析] （1）因为B A ，B 是A 的子集，由图1得a ≤3. ________________6分（2）因为AB ，A 是B 的子集.由图2得a ≥3.— —12分18[解析] (1)a ＝1，f (x )＝x 2+2x ＋2.对称轴x ＝-1，f (x )min ＝f (-1)＝1，f (x )max ＝f (5)＝37∴f (x )max ＝37，f (x )min ＝1————————6分(2)对称轴x ＝－a ，当－a ≥5时，f (x )在[－5,5]上单调减函数，∴a ≤－5.————————————9分当－a ≤-5时，f (x )在[－5,5]上单调增函数，∴a ≥5.————————————11分因此a 的1九、[解析] (1)当0≤x ≤100时，y ＝0.57x ；当x >100时，y ＝0.5×(x －100)＋0.57×100＝0.5x －50＋57＝0.5x ＋7. 因此所求函数式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ， 0≤x ≤100，0.5x ＋7， x >100.——6分 (2)据题意，一月份：0.5x ＋7＝76，得x ＝138(度)，二月份：0.5x ＋7＝63，得x ＝112(度)，三月份：0.57x ＝45.6，得x ＝80(度)．因此第一季度共用电：138＋112＋80＝330(度)．故小明家第一季度共用电330度．——12分20[解析] （1）（-2,4）——6分（2）（1,4）——13分21[解析]： （1）∵f(-x)=-f(x), ∴即∴a=1,∴f(x)= . —— 5分（2）函数f(x)为R 上的减函数，∵f(x)的概念域为R ，∴任取x 1 ，x 2 ∈R ，且x 2 ＞x 1 , ∴f(x 2 )-f(x 1 )==∵x 2 ＞x 1 ,∴.∴f(x 2 )-f(x 1 )＜0即f(x 2 )＜f(x 1 ).∴函数f(x)为R 上的减函数.————11分（3）【-3/5,0】——————————14分。
山东省菏泽市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题A卷 Word版含答案
高一数学试题（A ）（必修一）（满分150分 时间 120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数1()3f x x=-的定义域为M ，()1g x x =+的定义域为N ，则M ∩N =（ ） A ．{x |x ≥－1}B ．{x |x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜3}D ．{x |－1 ≤ x ＜3}2．函数21()1f x x =+的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知f （x －1）＝x 2＋1 ，则f （x ）的表达式为 （ ）． A ．f （x ）＝x 2＋1B ．f （x ）＝（x ＋1）2＋1C ．f （x ）＝（x －1）2＋1D ．f （x ）＝x 24．下列图象是函数2, 01, 0x x y x x ⎧<=⎨-≥⎩的图象的是5．三个数60.70.530.3, 6, log 2a b c ===的大小关系为（ ）． A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b6．若偶函数f （x ）在[1，2]上为增函数，且有最小值0，则它在[－2，－1]上（ ）． A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0D ．是增函数，有最大值07．函数223, 0()2ln x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>0⎩的零点个数为（ ）．A ． 3B ．2C ．1D ．08．函数31()log ()2x f x x =-若实数x 0是函数f （x ）的零点，且0＜x 1＜x 0，则f （x 1）的值为（ ）．A ．恒为正B ．等于零C ．恒为负D ．不小于零9．下列函数中，随x 的增大，其增大速度最快的是（ ）. A ．0.001x y e =B ．1000ln y x =C ．1000y x =D ．10002x y =10．某学校要召开同学代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）.A ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）11．已知集合2{|log ,1}A y y x x ==>，1|,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则集合A ∩B ＝__________．12．已知函数f （x ）＝x 2－2kx ＋8在区间 [5，20] 上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．13．现测得（x ，y ）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y =x 2＋1，乙：y =3x －1，若又测得（x ，y ）的一组对应值为（3，10.2），则应选用______作为函数模型．14．已知函数2()2x f x a -=-的图象恒过点P ，且对数函数()y g x =的图象过点P ，则()g x =__________． 15．已知函数22, 2()log , 2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数y ＝f （x ）－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{ x |－1 ≤ x ＜3}，B ＝{x | x －k ≤ 0}. （1）若k ＝1，求则集合A ∩ （B ）.（2）若A ∩B≠∅，求k 的取值范围.17．（12分）已知函数23, [1,2]()3, [2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩，（1）在直角坐标系内画出f （x ）的图像， （2）写出f （x ）的单调增区间， （3）写出f （x ）的值域．18．（12分）不用计算器求下列各式的值. （1）设11223x x-+=，求1x x -+的值；（2）若3log 41x =，求44x x -+的值； （3）26666[(1l g 3)log 2log 18]log 4o -+⋅÷ （4）00.544139(2)5421e -⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭19．（12分） 商场销售某一品牌的豆浆机，购买人数是豆浆机标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每台300元．现在这种豆浆机的成本价是100元／台，商场以高于成本价的统一价格（标价）出售．问：（1）商场要猎取最大利润，豆浆机的标价应定为每台多少元？（2）通常状况下，猎取最大利润只是一种“抱负结果”，假如商场要获得最大利润的75％，那么豆浆机的标价应为每台多少元？20．（13分）已知函数()log (1),()log (1),(0,1)a a f x x g x x a a =+=->≠. （1）求()()()F x f x g x =+的定义域，（2）设2a =，函数()f x 的定义域为[3，63]，求()f x 的最值， （3）求使()()0f x g x ->的x 的取值范围.21．（14分）已知定义在实数集R 的偶函数f （x ）在区间 [0，＋∞）上是单调增函数． （1）求证：函数f （x ）在区间 （－∞，0]上是单调减函数； （2）若f （1） ＜f （ lg x ） ，求x 的取值范围.高一数学试题（A ）参考答案（必修一）一、DABCC ABCAB二、11．1(0,)2， 12．520k k ≤≥或， 13．甲 ， 14．12log x ， 15．（0，1）三、16．解：（1）当k ＝1时， B ＝{x | x －1 0}＝{x | x 1}，∴B ＝{x | x > 1}，…………………………………… 3分 ∴ A ∩（B ）＝{ x |1 ＜ x ＜3}；…………………………… … 6分（2） ∵A ＝{ x |－1 ≤ x ＜3}，B ＝{x | x k }且A ∩B≠∅ ∴k －1…………………………………… 12分17．解：（1）函数的图象如图所示：yxC(5,2)B(2,-1)A(-1,2)1234–1–112345O …………………………………… 6分（2）函数f （x ）的单调递增区间为 [－1，0] 和 [2，5]. … ….… 9分 （3）函数f （x ）的值域为[－1，3]. ……………………………… 12分 18．（1） 7 ， （2）103， （3） 1 ， （4）23e + . （每个结果3分） 19．解：设购买人数为z ，豆浆机的标价为每台x 元，则z 是x 的一次函数，有z =ax +b （a ＜0）， 又当x =300时，z =0，所以0=300a +b ，所以b =－300a ， 所以z = ax －300a . （1）设商场要获得最大利润，豆浆机的标价为每台x 元，此时所获利润为y. 则y ＝（x －100）（ax －300a ） ＝a （x 2－400x ＋30000），（100＜x ＜300）.又由于a ＜0，所以x =200时，y 最大，所以，豆浆机每台标价为每台200元时，所猎取的利润最大. （2）x =200时，y max =－10000a ，令y = －10000a ⨯ 75%，即a （x 2－400x ＋30000） = －10000a ⨯ 75%，解得x =150，或x =250. 所以豆浆机每台标价为每台150元或150元时，所获利润为最大利润的75%.20．解：（1）要使F （x ）有意义，须1010x x +>⎧⎨->⎩， ∴－1＜x ＜1，∴函数的定义域为（－1，1） …………………………………… 3分（2）当2a =时，()log (1)a f x x =+在[3，63]上为增函数，因此当3x =时，()f x 有最小值 为2，当63x =时，()f x 有最大值为6. ………………………………… 7分 （3） ()()0f x g x ->即()()f x g x >，当a ＞1时，log (1)log (1)a a x x +>-，满足11,10,10,x x x x +>-⎧⎪+>⎨⎪->⎩所以0＜x ＜1，当a 0<<1时，log (1)log (1)a a x x +>-，满足11,10,10,x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩所以－1＜x ＜0，综上，1a >时，解集为｛x | 0＜x ＜1｝，01a <<时，解集为｛x | －1＜x ＜0｝. ………………………… 13分21．解：（1）设x 1＜x 2≤0，则－x 1＞－x 2≥0，∵f （x ）在区间[0，＋∞）上是单调增函数，∴ f （－x 1） ＞f （－x 2）. 又∵f （x ）是偶函数，∴f （－x 1） ＝f （x 1），f （－x 2） ＝f （x 2），∴f （x 1） ＞f （x 2），∴函数f （x ）在区间 （－∞，0]上是单调减函数. ……… 8分 （2） ∵f （x ）为偶函数且在区间[0，＋∞）上是单调增函数， 由f （1）＜f （ lg x ） 得 |lg x| ＞1 ，∴lg x ＞1 或lg x ＜－1∴x ＞10或0＜x ＜110 ∴不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………… 14分。
2020-2021学年山东省菏泽市八年级上期中数学试卷及答案解析
∴AD ．
故选：C．
6．实数 a 在数轴上的位置如图所示，则
⺁
െ 化简后为（ ）
A．7
B．﹣7
C．2a﹣15
D．无法确定
解：由数轴上点的位置，得
4＜a＜8．
⺁ 故选：A．
െ a﹣3+10﹣a＝7，
7．已知点 P（mn，m+n）在第四象限，则点 Q（m，n）关于 x 轴对称的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
D．与 y 轴的交点坐标为（0，1）
解：A、当 x＝﹣1，y＝﹣3x+1＝﹣3×（﹣1）+1＝4，则点（﹣1，3）不在函数 y＝﹣3x+1
图象上，所以 A 选项错误；
B、由于 k＝﹣3＜0，则 y 随 x 增大而减小，所以 B 选项错误；
C、由于 k＝﹣3＜0，则函数 y＝﹣3x+1 的图象必过第二、四象限，b＝1＞0，图象与 y
A．①②③④
B．①②④
C．①②
D．②③④
二．填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）
11．如图所示，一次函数 y＝ax+b 的图象与 x 轴相交于点（2，0），与 y 轴相交于点（0，4），
结合图象可知，关于 x 的方程 ax+b＝0 的解是
．
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12．算术平方根等于它本身的数是
车行驶路程 x（km）之间的关系式是
．
15．如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯，已知地
毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要
元钱．
16．如图，已知直线 l：y ⺁⺁x，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直 线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂
浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。