中考复习：A字型相似与8字型相似练习(无答案)
专题01 相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(原卷版)
专题01 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1. “A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“A ”字模型 条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC.2）反“A ”字模型 条件：如图2，∠AE D ＝∠B ；结论：△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AEF ∽△ABC ，△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AG BD CD AD ==例1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．例2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片ABC 中，C Ð3BC =，若沿AB 的垂直平分线的长为 ．例3．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在ABC V 中，AD BC ^，垂足为D ，5AD =，10BC =，四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形，且点E 、F 、G 、H 、N 、M 都在ABC V 的边上，那么AEM △与四边形BCME 的面积比为______．例4.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在ABC D 中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC D D ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD =．模型2. “X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD ＝OA OC ＝OB OD.2）反“8”字模型条件：如图2，∠A ＝∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD ＝OA OD ＝OB OC .3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE BE AB DF CF CD==4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3＝∠4.例1．（2022·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC ，BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为( )A ．8B ．10C ．12D ．14例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（ ）A ．DH CH FH BH =B ．GE CG DF CB =C ．AF HG CE CG =D ．=FH BF AG FA例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB V 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12×=×S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S值．例4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ，则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG··=··=．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB××=．(2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．模型3. “AX ”字模型（“A 8”模型）【模型解读与图示】图1 图2 图31）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△DEF ∽△CBF ⇔AD AE DE DF FE AB AC BC FC BF ====2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF +=.3）四“A ”一“8”模型条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG+==；结论：AF =AG 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC V 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A ．AD AE DB EC =B ．DE DF BC FC =C ．DE AE BC EC =D ．EF AE BF AC =例2．（2020·浙江·杭州启正中学九年级期中）如图，ABC V 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AG GF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA V 相似的三角形，并挑出一个进行证明．例3.（2023·安徽·九年级期中）图，AB GH CD ∥∥，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE ⊥BC ，求证：OE ＝CD ．（2）如图②，若AB ∥CD ，过点O 作EF ∥AB 分别交BC 、AD 于点E 、F ．求证：＝2．（3）如图③，若OC 平分∠AOB ，D 、E 分别为OA 、OB 上的点，DE 交OC 于点M ，作MN ∥OB 交OA 于一点N ，若OD ＝8，OE ＝6，直接写出线段MN 长度．课后专项训练1．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC V 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12Ð=Ð．若4BC =，2AF =，3CF =，则EF =______．3．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且2AE DE =，BD 与CE 相交于点F ，若DEF V 的面积是3，则BCF △的面积是______．4．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG ：GD ＝BG ：GE ＝CG ：GF ＝2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为 _____．5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，在ABC D 中，点,D E 分别在边,BA BC 上，且32AD CE DB EB ==，DBE D 与四边形ADEC 的面积的比为__________．6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 是AB 边上一点，3AE =，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且12F EDC Ð=Ð，则CF =_________．7．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，过点B 作BD CB ^，垂足为B ，且3BD =，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN CB ^，垂足为N ．若2AC =，则MN 的长为__________．8．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中1111//////AA BB CC DD ，且AB BC CD ==．为使其更稳固，在A ，1D 间加绑一条安全绳（线段1AD ），量得0.4m AE =，则1AD =________m ．9．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若8BE =，则GE =___．10．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在ABC V 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △∽AED V ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值．11．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D ，E ，F 依次是△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CF DB EC FA××=．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交△ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ．过点C 作CM ∥DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AF DM FC=（依据），∴BE AD EC DM ×＝BD AF DM FC×，∴BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CF DB EC FA××=．情况②：如图2，直线DE 分别交△ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ．…（1）情况①中的依据指： ；（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :FA ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．12．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC V 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =×V ，12DBC S BC h =×△．∴ABC DBC S S =V V ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h ¢，则ABC DBC S h S h =¢△△．证明：∵ABC S V(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ^，垂足为E ，过点D 作DF BM ^，垂足为F ，则90AEM DFM Ð=Ð=°，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM=．由【探究】（1）可知ABC DBCS S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．13．（2023·江苏连云港·校考三模）【阅读材料】教材习题：如图，AB 、CD 相交于点O ，O 是AB 中点，ACBD ∥，求证：O 是CD 中点．问题分析：由条件易证AOC BOD ≌V V ，从而得到OC OD =，即点O 是CD 的中点方法提取：构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．【基础应用】已知ABC V 中，90B Ð=°，点E 在边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，连接D ．(1)如图1，若AB BC =，AE CF =，求证：点D 是EF 的中点；(2)如图2，若2AB BC =，2AE CF =，探究CD 与BE 之间的数量关系；【灵活应用】如图3，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上一点，点E 是AB 上一点，点小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得m AC a =，m BC b =；（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得3a CM m =，m 3b CN =；测得m MN c =．求解过程：15.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中, 5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADES △ODB 的值；（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长；（3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ÐÐ=、, 求线段OC 的长．16．（2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝6，点E 在对角线AC 上，且满足AE ＝2EC ，点F 在线段CD 上，作直线FE ，交线段AB 于点M ，交直线BC 于点N ．（1）当CF ＝2时，求线段BN 的长；（2）若设CF ＝x ，△BNE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME 能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x 的值．17．（2023·上海奉贤·二模）已知：如图，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，∠DAB ＝90°，对角线AC 、BD 相交于点E ，AC ⊥BC ，垂足为点C ，且BC 2＝CE •CA ．（1）求证：AD ＝DE ；（2）过点D 作AC 的垂线，交AC 于点F ，求证：CE 2＝AE •AF ．18．（2023·河南省淮滨县九年级期中） 如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将ABE △沿直线AE 翻折，点B 落在点B ¢处．（1）当1BE CE=时，如图1，延长AB ¢，交CD 于点M ，①CF 的长为________；②求证：AM FM =． （2）当点B ¢恰好落在对角线AC 上时，如图2，此时CF 的长为________；BE CE =________； （3）当3BE CE =时，求DAB ¢Ð的正弦值．。
中考专题6,A字型,8字型相似教师版
似，那么 BF 的长度是
.
【分析】①由折叠可知 BF=B’F；②文字相似要分类讨论
【答案】：
①当 B' FC∽ ABC 时，有 B ' F = CF AB BC
∵
AB
=
AC
=
3, BC
=
4, BF
=
B'F
,∴
BF 3
=
4 − BF 4
，解得
BF
=
12 7
②当 B 'CF∽ BCA 时， B = C = CB ' F ，∴ B ' F = FC
2. 如图 OA =12,OB = 6 ，点 P 从点 O 开始沿 OA 边向 A 匀速移动，点 Q 从点 B 开始沿 OB 边向 O 匀速移动，它们的速度都是每秒 1 个单位，如果 P,Q 同时出发，用 t （秒）表示移
动的时间 (0 t 6) ， t 为何值时，以 P、Q、O 三点为顶点的三角形与 AOB 相似？
【答案】： t = 4 或 2 3. 如右图，作 DH / /BF 交 AC 于 H ， ∵AD 是的中线，FH = HC
DH / /BF， AF : FH = AE : DE = 1: 3， AF : FC = 1: 6
【答案】：D
10
【B 组】
1. （1） EF / /BC ，AEF∽ABC ， AG = EF ，即 AG = x ，
∴ CDF∽ CFA ， CF = CD ，即 5 = CD ，
CA CF
85
CD = 25 8
【总结】 ①折叠性质：折痕垂直平分对应点连线； ②反 A 字型，选择对应边成比例关系时，选择有公共边的比例.
7
模型40 相似形：“A”、“8”字模型(老师版)
相似形模型（四十）——“A”、“8”字模型◎结论1：如图，已知∠1=∠2.结论∶△ADE∽△ABC AD AB＝AE AC＝DE BC3组A字模型∶A－DE－BC,A－DN－BM,A－NE－MC;3组8字模型∶DE－O－BC，DN－O－MC,NE－O－BM.粽子模型：由A字型可推导出：EH＝AD∙BC AD+BC，三角形内的正方形边长＝高×底高＋底○巧○记○口○诀1．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（）A ．DH CH FH BH =B ．GE CG DF CB =C ．AF HG CE CG =D ．=FH BF AG FA 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴DH CH FH BH=，∴A 选项正确，不符合题目要求；∵AE ∥DF ，∴∠CGE=∠CHD ，∠CEG=∠D ，∴△CEG ∽△CDH ，∴GE CG DH CH =，∴EG DH CG CH=，∵AB ∥CD ，∴CH DH CB DF=，∴DH DF CH CB=，∴GE DF CG CB=，∴GE CG DF CB =，∴B 选项正确，不符合题目要求；∵AB ∥CD ，AE ∥DF ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴AF=DE ，∵AE ∥DF ，DE GH1．（2021·海南海口·九年级期末）如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则DEF S △：EFBC S 四边形为（）A ．1：5B ．4：25C ．4：31D ．4：35【答案】A 【分析】根据平行四边形对边互相平行可得//AB DE ，然后求出DEF 和BAF △相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设DEF SS =，4BAF S S =，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出2ADF SS =，然后表示出ABD S 的面积，再根据平行四边形的性质可得DBC ABD S S =，然后相比计算即可得解．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，//AB DE ∴，AB=CD∵E 为CD 的中点，∴DE ：CD=1：2∵AB//DEDEF ∴∽BAF △，设DEF S S =，则4BAF S S =，EF ：1AF =：2，DEF S ∴：ADF S EF =：1AF =：2，2ADF SS ∴=，426ABD BAF ADF S S S S S S ∴=+=+=，BD Q 是平行四边形ABCD 的对角线，DBC ABD SS ∴=，6DBC SS ∴=，DEF S ∴：EFBC S S =四边形：51S =：5．故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用．2．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC=．（1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝ADE ∽△AEB ．两点重合），连接BE ，过点C 作CH ⊥BE 于点F ，交对角线BD 于点G ，交AD 边于点H ，连接GE ．（1）求证：CH ＝BE ；（2）如图2，若点E 是CD 的中点，当BE ＝12时，求线段GE 的长；（3）设正方形ABCD 的面积为S 1，四边形DEGH 的面积为S 2，点E 将CD 分成1∶2两部分，求12S S 的值．1．（2020·安徽·合肥市第四十八中学一模）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AE AF EB FC =，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝14CE 时，EP +BP 的值为（）A ．9B ．12C ．18D ．24为（）A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5。
15--培优3 A型、8型相似
时,
O
Q
Bx
Rt△POQ∽Rt△AOB
②当
t 6
6
8
t
解得 t 12 5
时,Rt△QOP∽Rt△AOB
解得
t
18 11
∴当
t
为
12 5
或
18 11
时,Rt△POQ
与
Rt△AOB
相似.
过点 B 作 BE//CD,交 CA 的延长线于点 E.E 求证: OC2 OA OE . 证明:∵CD//BE
∴ DCO E,CDO EBO ∴△OCD∽△OEB
AD
O
B
C
∴ OD OC OB OE
∵AD//BC
∴ OAD OCB,ODA OBC
3.如图,四边形 ABCD 中,AD//BC,AC 与 BD 相交于 O 点,
培优 3 A 型、8 型相似
类型一 8 型相似
1.如图,AB、CD 交于点 O,AC//BD,AO 2,
BO 4,AC 3,求 DB 的长.
解:∵AC//BD
D
∴∠A ∠B,∠C ∠D
∴△AOC∽△BOD
∴
AO BO
AC BD
∴
2 4
3 BD
∴DB 6.
A
C
O
B
2.如图,圆内两条弦 AB、CD 相交于点 P,
解:(1)∵点 A(0,6),B(8,0)
O
Q
Bx
∴ OA 6 , OB 8 ∵点 Q 从 O 出发,以每秒 2 个单位
的速度沿 OB 运动当 Q 点到达 B 时,Q 两点同时停止运动 ∴ 2t 8 解得 t 4 ∴0≤t ≤4 ；
中考复习：A字型相似与8字型相似练习(无答案)
A 字型相似与8字型相似1、如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在D C 、的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米。
甲身高8.1米，乙身高5.1米，则甲的影长是多少？CAD2、如图：AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：BD ABDC AC=．（构造A 字型和8字型）B3、矩形DGFE 内接于ABC ∆，5:3:=DE DG ，260cm S DGFE =矩形，cm AH 10=，求：ABC S ∆。
4、设21M M 、是ABC ∆的BC 边上的点，且21CM BM =。
任作一直线分别交21AM AM AC AB 、、、于21N N Q P 、、、，试证：AP AB ＋AQAC＝11AN AM ＋22AN AM 。
5、如图，在ABC ∆中，点Q E D 、、分别在BC AC AB 、、上，且BC DE //，AQ 交DE 于点P .求证：DP PEBQ QC=。
BC6、如图，DE ∥BC ，（1）如果2=AD ，3=DB ，求BC DE :的值；（2）如果8=AD ，12=DB ，15=AC ，7=DE ，求AE和BC 的长。
7、如图，AEB ∆和FEC ∆是否相似？说明理由．8、在梯形ABCD 中，F E DC AB BC AD 、，，=//分别是AB 和BC 边上的点；如图，连接EF 并延长与DC 的延长线交于点G ，如果EFk FG ⋅=（k 为正数），试猜想BE 与CG 有何数量关系？写出你的结论并证明之。
9、已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．如图，连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠，求AS 和OR 的长。
10、如图，G 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的一点，连接AG 与CD BD 、分别交于F E 、两点，若2=AE ，3=FG ，求EF 的长。
巩固练习1、如图，ABC Rt ∆中，AC AB ⊥，3=AB ，4=AC ，P 是BC 边上一点，作AB PE ⊥于E ，ACPD ⊥于D ，设x BP =，则=+PE PD （ ）A CD EA 、35+xB 、54x -C 、27D 、25125122x x - 2、如图，B A 、两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接BC AC 、，在AC 上取点M ，使MC AM 3=，作MN ∥AB 交BC 于N ，量得m MN 38c=，则AB 的长为多少？3、如图，D ，E 是AB 边上的三等分点，F ，G 是AC 边上的三等分点，写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比。
中考复习数学几何训练：相似模型-“8字型”
2021年中考复习数学几何训练：相似模型-“8字型”一．8字二．正8（共7小题）1．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．2．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE＝AB，AB＝9，AO＝6，求DE和AE的长．3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：14．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF 的面积比为．5．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC．DE交AB于点E，那么DE的长为．6．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝（）A．B．C．D．7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．三．练习（共7小题）8．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝（）A．B．C．D．9．如图，在▱ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（）A．4 B．6 C．5.2 D．4.810．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：211．如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC中点，BE与AC相交于点O，如果△EOC 的面积是1，那么△ABC的面积是．12．如图平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，则＝（）A．B．C．D．13．如图，点G是△ABC的重心，BG、CG的延长线分别交AC、AB边于点E、D，则△DEG 和△CBG的面积比是（）A．1：4 B．1：2 C．1：3 D．2：914．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25四．反8（共1小题）15．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝五．练习（共1小题）16．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝六．双8（共5小题）17．如图，AB∥CD，AD、EF、BC交于点O，则（）A．B．C．D．18．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC 于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：719．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD 的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A．B．C．D．20．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF＝32，GE＝8，求BE．21．如图所示，在△ABC中，BC＝4，E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ＝CE时，EP+BP ＝．七．练习（共5小题）22．如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC交于N、M，则下列式子中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝23．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：124．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE＝2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）A．B．C．D．25．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AC，AB的中点，动点P在射线EF上，∠CBP 的平分线交CF于点Q，当CQ＝3QF时，BP﹣FP＝．26．已知：如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC分别交于点N，M．（1）已知点M是BC的中点．求证：DN＝EN；（2）已知ON：OM＝2：5，四边形BCED的面积为42，求△ABC的面积．八．试题九．Aor8（共5小题）27．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（）A．B．C．D．28．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH 的长为．29．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB＝6cm，CD＝12cm，求EF．30．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，过O作BC的平行线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝3，BC＝4，求EF的长．31．如图，梯形ABCD的对角线交于O，过O作两底的平行线分别交两腰于M、N．若AB＝18，CD＝6，则MN的长为．一十．练习（共5小题）32．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（）A．12 B．9 C．6 D．1633．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝4，则GH的长为．34．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6厘米，CD＝9厘米．求EF．35．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，过点O作EF分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC，求证：OE＝OF．36．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于O，过O作AD的平行线交AB 于M，交CD于N．若AD＝3cm，BC＝5cm，求ON．一十一．梅式模型（共5小题）37．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝．38．已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝．39．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：640．如图，BD＝CD，AE：DE＝1：2，延长BE交AC于F，且AF＝4cm，则AC的长为（）A．24cm B．20cm C．12cm D．8cm41．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．发现：如图1，点D在BC边上，CD：BD＝1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，易得的值为．解决问题：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC＝1：2．求的值：应用：若CD＝2，AC＝6，则BP＝．一十二．练习（共5小题）42．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC＝1：2，BE交AD于P，则AP：PD等于（）A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．4：343．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝1.2cm，则AB＝cm．44．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：345．如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且，则＝．46．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．探究：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，求的值．应用：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，若CD＝2，AC＝6，则PE＝．参考答案一．8字二．正8（共7小题）1．解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC＝AD，∴△DEF∽△BCF，∴＝，设ED＝k，则AE＝2k，BC＝3k；∴＝＝，故选：A．2．解：∵△AOB∽△EOD，∴AB：DE＝OA：OE，∵DE＝AB，AB＝9，AO＝6，∴DE＝×9＝6，OE＝OA＝4，∴AE＝OA+OE＝6+4＝10．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，∴S△DFE：S△BFA＝9：16．故选：B．4．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB的中点，∴BE＝AB＝CD；∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴△BEF与△DCF的面积比＝，故答案为：1：4．5．解：∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：x＝2.4，∴DE＝2.4，故答案为：2.4．6．解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝，故选：D．7．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴＝，∴S△DOE：S△AOC＝＝，故选：D．三．练习（共7小题）8．解：∵ABCD是平行四边形∴△BFE∽△DFA∴BE：AD＝BF：FD＝1：3∴BE：EC＝BE：（BC﹣BE）＝BE：（AD﹣BE）＝1：（3﹣1）∴BE：EC＝1：2故选：A．9．解：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AE：DE＝2：1，∴AE＝AD，∴AE＝AD＝BC∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CBF，∠FAE＝∠FCB，∴△AFE∽△CFB，∴＝，∵AC＝12，∴AF＝×12＝4.8．故选：D．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝4：25，∵AB＝CD，∴DE：EC＝2：3．故选：A．11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE＝EC，∴＝＝＝，∴OB＝2OE，OA＝2OC，∵△EOC的面积是1，∴△BOC的面积为2，△AOB的面积为4，∴△ABC的面积为2+4＝6．故答案为6．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，故选：A．13．解：∵点G是△ABC的重心，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，△DEG∽△CBG，∴＝＝（）2＝1：4．故选：A．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴＝，∵DE∥AC，∴＝＝，∴＝，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选：B．四．反8（共1小题）15．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴，A正确；∴，B错误；∴OA：OC＝3：2，D错误；故选：A．五．练习（共1小题）16．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴＝＝，＝（）2＝，∴选项C正确，选项D错误，∵无法确定，的值，故选项A，B错误，故选：C．六．双8（共5小题）17．解：选项A、∵AB∥CD，∴△BOE∽△COF，∴，不符合题意；选项B、∵AB∥CD，∴△AOE∽△DOF，△BOE∽△COF，∴，，∴，即，不符合题意；选项C、∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴，不符合题意；选项D、∵AB∥CD，∴△AOE∽△DOF，△BOE∽△COF，∴，，∴，即，符合题意；故选：D．18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．19．解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴＝＝＝，故选：C．20．解：∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，∵GC∥AB，∴△CGE∽△ABE，∴＝，∴＝，∴BE2＝EF•GE＝32×8＝256，解得：BE＝±16（负数舍去），故BE＝16．21．解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．∵EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝2CQ，∵EG∥BC，∴＝＝2，∵BC＝4，∴EG＝8，∴EP+PB＝EG＝8，故答案为8七．练习（共5小题）22．解：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴＝，＝，＝，所以A、B、C正确；∵DE∥BC，∴△AEN∽△ACM，∴＝，∴＝，所以D错误．故选：D．23．解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴，∵O为对角线的交点，∴DO＝BO，又∵E为OD的中点，∴DE＝DB，则DE：EB＝1：3，∴DF：AB＝1：3，∵DC＝AB，∴DF：DC＝1：3，∴DF：FC＝1：2；故选：C．24．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，故选：A．25．解：如图延长BQ交EF于M．∵AF＝FB，AE＝EC，∴EF∥BC，∴△FMQ∽△CBQ，∴FM：BC＝FQ：CQ＝1：3，∵BC＝6，∴FM＝2，∵BM平分∠CBP，∴∠CBM＝∠PBM，∵EF∥BC，∴∠PMB＝∠MBC，∴∠PMB＝∠PBM，∴PB＝PM，∴PB﹣PF＝PM﹣PF＝FM＝2，故答案为2．26．（1）证明：如图，∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM同理＝，∴＝．又∵点M是BC的中点，∴BM＝CM，∴DN＝EN；（2）∵DE∥BC，∴△EON∽△BOM，则＝＝＝．∵△DOE∽△COB，则＝＝，∴＝，∴设S△ADE＝4x，则S△ABC＝25x．∵四边形BCED的面积为42，∴25x﹣4x＝42，解得，x＝2，∴S△ABC＝50．八．试题九．Aor8（共5小题）27．解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴＝，＝，∴+＝+＝＝1．∵AB＝1，CD＝3，∴+＝1，∴EF＝．故选：C．28．解：∵AB∥GH，∴＝，即＝①，∵GH∥CD，∴＝，即＝②，①+②，得+＝+＝＝1，∴+＝1，解得GH＝．故答案为．29．解：∵AB∥CD，∴＝＝＝2，∴＝＝＝，∵AB∥EF，∴＝，即＝，解得EF＝4cm．30．（1）证明：∵AD∥BC，∴△AOE∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴＝，＝，又∵由AD∥BC得，△ACD∽△OCF，∴＝，∴＝，∴OE＝OF；（2）解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△BOC，∴＝＝，∴＝＝，∵BC＝4，∴＝＝，解得OE＝，∴EF＝OE+OF＝+＝．31．解：∵MN∥CD∴△AOM∽△ACD，△BON∽△BCD，△COD∽△AOB ∴，，，又AB＝18，CD＝6，∴＝＝＝，即OM＝×18＝4.5，＝＝，即ON＝×6＝4.5，∴MN＝OM+ON＝9．故答案为9．一十．练习（共5小题）32．解：AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABE，∠CDE＝∠A，∴△ABE∽△DCE，∴，AB＝4，∴BE•CD＝4EC∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴，EF＝3，∴BE•CD＝3BC＝3（BE+EC），∴4EC＝3BE+3EC，∴EC＝3BE，∴BC＝4BE，，∴CD＝12．答：CD的长为12．故选：A．33．解：∵AB∥CH∥CD，∴，，∴+＝+＝1，∵AB＝2，CD＝4，∴+＝1，解得：GH＝；故答案为：．34．解：在△ABC中，因为EF∥AB，所以＝①，同样，在△DBC中有＝②，①+②得+＝+＝1③．设EF＝x厘米，又已知AB＝6厘米，CD＝9厘米，代入③得+＝1，解得x＝．故EF＝厘米．35．解：∵AD∥BC，EF∥BC，∴，∵AD∥BC，∴△BOE∽△BDA，△COF∽△CAD，∴，，∴，∴OE＝OF．36．解：∵MN∥AD，AD∥BC，∴MN∥AD∥BC，∵ON∥AD，∴＝①，∵ON∥BC，∴＝②，①+②得+＝+＝1，即+＝1，∴ON＝．一十一．梅式模型（共5小题）37．解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，∴＝，＝，∵EF∥BC，＝，∴＝．故答案为：．38．解：过点D作DF∥BE交AC于F，∵DF∥BE，∴△AME∽△ADF，∴AM：MD＝AE：EF＝4：1＝8：2∵DF∥BE，∴△CDF∽△CBE，∴BD：DC＝EF：FC＝2：3∴AE：EC＝AE：（EF+FC）＝8：（2+3）∴AE：EC＝8：5．39．解：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴FH＝HC，∵DH∥BF，∴＝＝，∴AF：FC＝1：6，故选：D．40．解：过D作DG∥BF交AC于G，则△AEF∽△ADG，∵BD＝CD，∴CG＝GF，AF：FG＝AE：ED＝1：2，∵AF＝4cm，∴FG＝2AF＝8cm＝CG，∴AC＝AF+FG+CG＝20cm．故选：B．41．解：发现：如图1中，∵AF∥BC，∴∠F＝∠EBC，∵∠AEF＝∠BEC，AE＝EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF＝BC．设CD＝k，则DB＝2k，AF＝BC＝3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到＝＝．故答案为：；解决问题：如图2中，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC＝k，由DC：BC＝1：2得BC＝2k，DB＝DC+BC＝3k．∵E是AC中点，∴AE＝CE．∵AF∥DB，∴∠F＝∠1．在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF＝BE，AF＝BC＝2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴＝＝＝＝．当CD＝2时，BC＝4，AC＝6，∴EC＝AC＝3，EB＝＝5，∴EF＝BE＝5，BF＝10．∵＝（已证），∴＝，∴BP＝BF＝×10＝6．故答案为6．一十二．练习（共5小题）42．解：过点D作DF∥BE，交AC于F，∴AD是BC边上的中线，即BD＝CD，∴EF＝CF，∴AE＝EF＝FC，∴AE：EF＝1：1，∴AP：PD＝AE：EF＝1：1．故选：A．43．解：作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理，得BG＝FG，根据平行线分线段成比例定理，得：，AG＝3.6cm，则FG＝2.4cm，所以AB＝1.2+4.8＝6cm．44．解：如图，过O作OG∥BC，交AC于G，法一：∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD：DC＝1：2，∴AD＝DG＝GC，∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，∴S△AOB：S△BOE＝2设S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四边形CDOE＝7S，∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，∴法二：过点D作DF∥AE交BC于F．∵O为BD中点，∴OB＝OD，∴BE＝EF，，又∵AD：DC＝1：2，∴EF：FC＝1：2，∴BE：EC＝1：3．故选：B．45．解：过B作BF∥AC，交DE于点F，∵BF∥AC，∴∠FBO＝∠C，∠BFO＝∠CEO，又O为BC的中点，∴BO＝CO，在△OBF和△OCE中，，∴△OBF≌△OCE（AAS），∴BF＝CE，∵＝，∴＝，又∵BF∥AE，∴＝＝，∴＝，则＝＝．故答案为：．46．解：探究：如图①，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝1，∵BD：BC＝2：3，∴BD：AF＝2：3，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴；应用：过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图②，设DC＝k，则BC＝2k，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝1，即AF＝BC＝2k，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴，∵CE＝AC＝3，BC＝2CD＝4，在Rt△BCE中，BE＝＝＝5，∴BF＝2BE＝10，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴，∴BP＝BF＝×10＝6，∴PE＝BP﹣BE＝6﹣5＝1．故答案为：1．一十三．111。
专题 三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型(学生版)
专题03三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①A B C D+<+。
∠+∠=∠+∠；②AB CD AD BC8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D∠例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC +与AB CD +的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF =，连接PE ，PF ．求证：PE PF =；(3)如图3，在ABC 中，AB AC >，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC BD CD ->-．七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，说明：(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，度数．②在图4中，AP 平分BAD ∠的外角∠模型2、“A”字模型例4．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，DAE ∠的两边上各有一点,B C ，连接BC ，求证180DBC ECB A +∠=︒∠+∠．例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在ABC 中，40A ∠=︒，现将一块直角三角板放在ABC 上，使三角板的两条直角边分别经过点,B C ，直角顶点D 落在ABC 的内部，则ABD ACD +=∠∠（）．A ．90︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒例6．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，ABC 为直角三角形，90A ∠=︒，若沿图中虚线剪去A ∠，则12∠+∠=__________；（2）如图2，在ABC 中，40A ∠=︒，剪去A ∠后成为四边形，则12∠+∠=__________；（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳12∠+∠与A ∠的关系是______________；（4）若没有剪去A ∠，而是将A ∠折成如图3的形状，试探究12∠+∠与A ∠的关系，并说明理由．解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．∠模型3、三角板模型【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
相似三角形中的“8”字模型(3种题型)(解析版)--中考物理数学专项训练
相似三角形中的“8”字模型(3种题型)一、【知识梳理】8字_平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字_不平行型条件：∠CDP=∠BAP.结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);二、【考点剖析】8字-平行型1.直接利用“8”字型解题1如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若DE :EC =1:2，则BF :BE =．【答案】3:5．【解析】DE :EC =1:2，可知CE CD =CE AB =23，由CE ⎳AB ，可知BF EF =AB CE=32，故BF :BE =3:5．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型．2如图，P 为▱ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ ∙PI =PR ∙PS ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴RB ⎳DI ，SD ⎳BQ ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PR =PD PB =PS PQ，∴PQ ⋅PI =PR ⋅PS ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．3如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交AD 于点G ．求证：BF 2=FG ∙EF ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴AB ⎳CE ，AG ⎳BC ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF BF =CF AF=BF FG ，∴BF 2=FG ∙EF ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．4如图，点C 在线段AB 上，ΔAMC 和ΔCBN 都是等边三角形．求证：(1)MD DC =AM CN；(2)MD ∙EB =ME ∙DC ．【解析】证明：(1)∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴∠ACM =∠NCB =∠AMC =60°．∵点C 在线段AB 上，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠NCB =60°=∠AMC ．∴AM ⎳CN ，∴MD DC =AM CN．(2)同(1)易证得CM ⎳BN ，则有ME EB =MC NB．∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴MC =AM ，NB =CN ，∴MD DC=ME EB ，∴MD ∙EB =ME ∙DC ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．5如图，已知AB ⎳CD ⎳EF ．AB =m ，CD =n ，求EF 的长．(用m 、n 的代数式表示)．【答案】mn m +n ．【解析】由AB ⎳CD ⎳EF ，则有EF AB =CF BC ，EF CD =BF BC ，即EF m +EF n =1，得EF =mn m +n．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．6如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE EC=13，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求BF :FG 的值．【答案】1:2．【解析】由AF ⎳BC ，可得AF BC =AE EC =13，即AF AD=13，故AF FD =12，由AB ⎳DG ，可得：BF :FG =AF :FD =1:2．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．7如图，l 1⎳l 2，AF :FB =2:5，BC :CD =4:1，求AE :EC 的值．【答案】2:1．【解析】由l 1⎳l 2，得：AG BD =AF FB =25，又BC :CD =4:1，可得AG CD=21，故AE :EC =AG :CD =2:1．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．2.添加辅助线构造“8”字模型解题8过ΔABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．求证：AE ED =2AF FB．【解析】过点D 作DG ⎳AB 交CF 于点G ．∵DG ⎳AB ∴AE ED =AF GD ，DG BF =CD CB ；∵AD 是中线， ∴BC =2CD ， ∴DG BF =12；∴AE ED =2AF BF．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．9如图，AD 是ΔABC 的内角平分线．求证：AB AC=BD DC ．【解析】过点C作CM⎳AB交AD的延长线于点M．∵CM⎳AB ∴AB CM=BDDC，∠BAD=∠M∵AD是角平分线∴∠BAD=∠DAC；∴∠M=∠DAC∴AC=CM∴AB AC=BD DC．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．8字-不平行型1如图，∠BEC=∠CDB，下列结论正确的是()A.EF•BF=DF•CFB.BE•CD=BF•CFC.AE•AB=AD•ACD.AE•BE=AD•DC【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC=∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．【解答】解：∵∠BEC=∠CDB，∠EFB=∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EF DF=FB FC，∴EF•FC=DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴BE CD=BF FC，∴BE•CF=CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC=∠CDB，∠BEC+∠AEC=180°，∠BDC+∠ADB=180°，∴∠AEC=∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴AB AC=AD AE，∴AB•AE=AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．1.【过关检测】一、选择题(共3小题)1(2023•静安区校级一模)如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是()A. B. C. D.【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG=DE：AB=1：2，BG：EG=AB：DE，==，∴DG=AG，∵BG：EG=AB：DE=2：1，∴GB：BE=2：3，∴S△AGB：S△AEB=2：3，∵AE=EC，∴S△AEB=S△ABC，∴S△AGB=S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴==，∴S △CDE =S △ABC ，∴=，结论成立的是=，故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．2(2023•徐汇区一模)如图，点D 在△ABC 边AB 上，∠ACD =∠B ，点F 是△ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且AF =2EF ，则下列选项中不正确的是()A. B. C. D.【分析】过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，由条件可以证明△ACF ≌△GCE (ASA )，得到AF =EG ，CF =CE ，由△ADF ∽△GCF ，再由平行线分线段成比例，即可解决问题．【解答】解：过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，∴∠G =∠BAE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴∠G =∠CAE ，∴CG =CA ，∵∠ACD =∠B ，∠ECG =∠B ，∴∠ACF =∠ECG ，∴△ACF ≌△GCE (ASA )，∴CF =CE ，AF =EG ，∵AF =2FE ，∴EG =2FE ，令EF =k ，则AF =EG =2k ，AE =GF =3k ，∵△ADF∽△GCF，∴AD：CG=AF：FG=2k：(3k)=2：3，∴=，故A正确．∵AB∥CG，∴CE：BE=GE：AE=2k：(3k)=2：3，∴=，故B正确．∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴==，故C正确．∵=，AC和BD不一定相等，∴不一定等于．故选：D．【点评】本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形．3(2022秋•闵行区期末)如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB．如果==3，且量得CD=4cm，则零件的厚度x为()A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵==3，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=2，∵CD=4cm．∴AB=8cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-8)÷2=1(cm)，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．二、填空题(共8小题)4(2022秋•奉贤区期中)如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为4．【分析】由AE∥BC，可得△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD推出==，又有BC的值，再由==1，得出AE=CF，代入即可求解AE的长．【解答】解：∵AE∥BC，∴△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD，∴==，==1，即AE=CF，又BC=8，∴=AE=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．5(2022•浦东新区校级模拟)如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC=2：3，设=，试用向量表示向量，=- ．【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ACB，由DE：BC=2：3，可得DA=CD，即可表示，从而得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∵DE：BC=2：3，∴DA：CA=DE：BC=2：3，∵CD=DA+CA，∴DA=CD，∵=，∴=，∴=-，故答案为：-．【点评】本题考查向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算的解题的关键．6(2022•静安区二模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，AO：OC=1：4，设=，那么= ．(用含向量的式子表示)【分析】由相似三角形性质可得=4=4，再根据梯形中位线定理即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=4=4，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴=(+)=(+4)=，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，平面向量等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．7(2023•静安区校级一模)在矩形ABCD内作正方形AEFD(如图所示)，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，且PE=2，那么PF= -1．【分析】先根据黄金分割的定义可得=，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF=AE，从而可得=，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，∴==，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF=AE，∴=，∵DC∥AB，∴∠FCP=∠PAE，∠CFP=∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴==，∵PE=2，∴PF=-1，故答案为：-1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．8(2022春•浦东新区校级期中)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是2：3．【分析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，根据已知易得DM=BN，再根据S△BCD=2S△ABD，从而可得BC=2AD，然后再证明8字模型相似三角形△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可得==，从而可得=，最后根据△BOC与△BDC 的高相等，即可解答．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，∵AD∥BC，∴BN=DM，∵S△BCD=2S△ABD，∴BC•DM=2×AD•BN，∴BC=2AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=，∵△BOC与△BDC的高相等，∴==，故答案为：2：3．【点评】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2022秋•虹口区校级月考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E为边BC的中点，点F在边CD上且3CF=CD，EF交对角线AC于点G，则AG：GC=7：2．【分析】如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，首先利用AD∥BC，，点E 为边BC的中点，可以得到AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，然后利用MH∥EF，DH：HF= DM：ME=3：2=6：4，最后利用又3CF=CD即可求解．【解答】解：如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，∵AD∥BC，，点E为边BC的中点，∴△ADM∽△CME，∴AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，∵MH∥EF，∴DH：HF=DM：ME=3：2=6：4，又3CF=CD，∴DF=2CF，∴CF：HF=5：4，∴CG：MG=5：4，∴CG=CM，MG=CM，而AM：CM=3：2，∴AM=CM，∴AG=AM+MG=CM，∴AG：GC=CM：CM=7：2．故答案为：7：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质于判定，同时也利用了平行线的性质，解题的关键是会进行比例线段的转换，有一定的难度．10(2022秋•黄浦区期末)如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去测量零件的内孔直径AB．如果==，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是0.5cm．的值．【解答】解：∵==，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=3，∵CD=3cm．∴AB=9cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-9)÷2=0.5(cm)，故答案为：0.5．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．11(2022春•闵行区校级月考)如图，梯形ABCD中，∠D=90°，AB∥CD，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果AB=4，且=，那么梯形ABCD的中位线等于7．【分析】过点B作BG⊥EC，利用同高的两个三角形的面积的比先求出EF：BF，再利用相似三角形的性质求出ED、EG，最后利用梯形中位线与上下底的关系得结论．【解答】解过点B作BG⊥EC，垂足为G∵=，∴=．∵AB∥CD，∴△EDF∽△BAF．∴==，∴ED=2，=．∵AD∥BG，∴=．∴EG=6．∵CB绕着点B按顺时针方向旋转，点C落在CD延长线上的点E处，∴BE=BC．∵BG⊥EC，∴EG=GC=6．∴DC=DG+CG=4+6=10．∴梯形ABCD的中位线=(AB+CD)=(4+10)=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的三线合一、等高的两个三角形的面积比等于底边的比、梯形的中位线等于上下底的和的一半是解决本题的关键．三、解答题(共12小题)1(2023•普陀区一模)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD=1：3．(1)求的值；(2)联结FC，设，，那么= ，= .(用向量、表示)【分析】(1)根据题意可证明四边形AECD为平行四边形，得到AE=CD，则EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，易证明△BEF∽△DAF，由相似三角形的性质即可求解；(2)由AF=2EF得，，由三角形法则求出和，再求出，最后利用三角形法则即可求出．【解答】解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE=CD，∵EF：CD=1：3，∴EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；(2)联结FC，如图，由(1)可得AF=2EF，∵，∴，，∴=，=，∵，AD=EC，∴，∴==，∴==．故答案为：，．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．2(2023•奉贤区一模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD=∠BDC．(1)求证：AE•BD=AD•DC；(2)如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．【分析】(1)利用平行线的性质证明∠ADB=∠DBC，然后利用已知条件可以证明△ADE∽△DBC，由此即可解决问题；(2)利用(1)的结论和已知条件可以证明△DEF∽△DBC，接着利用相似三角形的在即可求解．【解答】证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠EAD=∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD=DC：BD，∴AE•BD=AD•DC；(2)∵AE：AD=DC：BD，且，∴=，而∠EDF=∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF=∠DBC，∴EF∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例的基本性质，有一定的综合性．3(2023•青浦区一模)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF=2AF．(1)求EA：AB的值；(2)如果，，试用、表示向量．【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，易证△AEF∽△DCF，则=，由DF=2AF即可求解；(2)先算出，再根据即可求解．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF=2AF，∴，∴；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DF=2AF，∴，∵，，∴，，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键．4(2022秋•金山区校级期末)已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC 分别相交于点F、G，AF2=FG•FE．(1)求证：△CAD∽△CBG；(2)联结DG，求证：DG•AE=AB•AG．【分析】(1)通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG=∠E，由平行线的性质可得∠E=∠EBC=∠FAG，且∠ACD=∠BCG，可证△CAD∽△CBG；(2)由相似三角形的性质可得=，且∠DCG=∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得=，由平行线分线段成比例可得=，可得结论．【解答】证明：(1)∵AF2=FG⋅FE．∴=，∵∠AFG=∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG=∠E，∵AE∥BC，∴∠E=∠EBC，∴∠EBC=∠FAG，∵∠ACD=∠BCG，∴△CAD∽△CBG；(2)∵△CAD∽△CBG，∴=，∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴=，∵AE∥BC，∴=，∴=，∴=，∴DG•AE=AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5(2022•松江区二模)已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．(1)求证：；(2)如果BE2=BF•BD，求证：DF=BE．【分析】(1)根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB=∠EBC，=，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得=，即可解答；(2)根据已知易证△BFE ∽△BED ，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF =∠BDE ，进而可得∠DAF =∠BDE ，然后利用(1)的结论可证△ADF ≌△DBE ，再利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：(1)∵DA =DB ，EB =EC ，∴=，∵∠ADB =∠BEC ，∴△DAB ∽△EBC ，∴∠DAB =∠EBC ，=，∴AD ∥EB ，∴∠DAF =∠AEB ，∠ADF =∠DBE ，∴△ADF ∽△EBF ，∴=，∴；(2)∵BE 2=BF •BD ，∴=，∵∠DBE =∠EBF ，∴△BFE ∽△BED ，∴∠BEF =∠BDE ，∵∠DAF =∠AEB ，∴∠DAF =∠BDE ，∵∠ADF =∠DBE ，AD =DB ，∴△ADF ≌△DBE (ASA )，∴DF =BE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6(2023•宝山区二模)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，OB =OC ．(1)求证：AB =CD ；(2)E 是边BC 上一点，联结DE 交AC 于点F ，如果AO 2=OF •OC ，求证：四边形ABED 是平行四边形．【分析】(1)由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明△AOB 和△DOC 全等，利用全等三角形的性质得结论；(2)先说明△AOB∽△FOD，再说明AB∥DE，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：(1)∵OB=OC，∴∠DBC=∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC．∴∠DAC=∠ADB．∴OA=DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC(SAS)．∴AB=CD．(2)∵AO2=OF•OC，OA=OD，OC=OB，∴AO•OD=OF•OB，即．∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO=∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．7(2022秋•徐汇区期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2=BE•BD．(1)求证：△ABE∽△DCE；(2)AE•CD=BC•ED．【分析】(1)根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC=∠BDC，由此可得出△ABE ∽△DCE；(2)由(1)中的相似可得出AE：DE=BE：CE，再由∠BEC=∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，可得△BCD∽△ADE，进而可得结论．【解答】证明：(1)∵AB2=BE•BD，∴AB：BE=BD：AB，∵∠ABE=∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC=∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=∠BAC，∴△ABE∽△DCE；(2)由(1)中相似可得，AE：DE=BE：CE，∵∠BEC=∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE=CD：ED，AE•CD=BC•ED．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．8(2022春•杨浦区校级期中)如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E=∠ABC．(1)求证：AB2=AC•AE；(2)如图2，D在BC上且BD=3CD，延长AD交BE于F，若=，求的值．【分析】(1)利用两角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；(2)过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，利用(1)的结论可得===，先AC=2a，AB=3a，从而求出AE的长，进而求出的值，再根据已知设CD=m，BD=3m，从而求出BC，BE的长，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性质可得EH=m，再证明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性质可得=，从而求出EF的长，进行计算即可解答．【解答】(1)证明：∵∠E=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△AEB，∴=，∴AB 2=AC •AE ；(2)解：过点E 作EH ∥CB ，交AF 的延长线于点H ，∵△ABC ∽△AEB ，∴===，∴设AC =2a ，AB =3a ，∴=，∴AE =a ，∴==，∵BD =3CD ，∴设CD =m ，则BD =3m ，∴BC =CD +BD =4m ，∴=，∴EB =6m ，∵EH ∥CD ，∴∠ACD =∠AEH ，∠ADC =∠AHE ，∴△ACD ∽△AEH ，∴==，∴EH =m ，∵EH ∥BD ，∴∠BDF =∠DHE ，∠DBF =∠FEH ，∴△BDF ∽△EHF ，∴===，∴EF =BE =m ，∴==，∴的值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2023•崇明区二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．(1)求证：AG2=GF•GM；(2)联结CG，如果∠BAG=∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．【分析】(1)由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性质得结论；(2)利用“两角对应相等”先说明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三线合一说明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得结论．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴=，=．∴=．∴AG2=GF•GM．(2)∵AB∥DM，∴∠BAG=∠M．∵∠BAG=∠BCG，∴∠M=∠BCG．∵∠MGC=∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴=，即CG2=GF•GM．∵AG2=GF•GM，∴CG2=AG2．∴CG =AG ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE =CE ．∴GE ⊥AC ，即BD ⊥AC ．∴平行四边形ABCD 是菱形．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．10(2021秋•虹口区期末)如图，在梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，BC =2AD ，对角线AC 与BD 交于点E ．点F 是线段EC 上一点，且∠BDF =∠BAC ．(1)求证：EB 2=EF •EC ；(2)如果BC =6，sin ∠BAC =，求FC 的长．【分析】(1)先由AD ∥BC 得到△EAD ∽△ECB ，从而得到，然后由∠BDF =∠BAC 、∠AEB =∠DEF 得证△EAB ∽△EDF ，进而得到，最后得到结果；(2)先利用条件得到AC 、AB 的长，然后利用BC =2AD 得到AD 、BD 的长，再结合相似三角形的性质得到EB 、EC 的长，进而得到EF 的长和FC 的长．【解答】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴△EAD ∽△ECB ，∴，即，∵∠BDF =∠BAC ，∠AEB =∠DEF ，∴△EAB ∽△EDF ，∴，∴，∴EB2=EF•EC．(2)解：∵BC=6，sin∠BAC==，BC=2AD∴AC=9，AD=3，∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°，∴AB===3，∴BD===3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC=AC=×9=6，EB=BD=×3=2，∵EB2=EF•EC，即(2)2=6EF，∴EF=4，∴FC=EC-EF=6-4=2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．11(2021秋•嘉定区期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE=2：3，BC=4DE，CE=10．求EH、GE的长．【分析】根据题目的已知并结合图形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC=4DE，∴，∵CE=10，∴HC=10-EH，∴，∴EH=2，∵BC=4DE，DE：AE=2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE=∠GBC，∠GEA=∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE=10，∴GC=10+GE，∴，∴GE=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形，熟练掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD<AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．(1)当点D在边AB上时，①求证：∠AFC=45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；(2)联结CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．【分析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90°-2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；(2)分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：(1)①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∴∠ACE=90°-2α，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠AEC=∠EAC=[180°-(90°-2α)]=45°+α，∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，∴∠AFC=45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由(1)知：∠AFC=45°，∴∠BEF=45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G=∠BCD=∠BAG，∵∠G+∠BAG=∠ABC=45°，∴∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BD，BH=BD，∠BHD=45°，∵∠CDH=∠BHD-∠BCD=45°-22.5°=22.5°=∠BCD，∴CH=DH=BD，∵CH+BH=BC=5，∴BD+BD=5，∴BD==5-5，∴线段BD的长为5-5；(2)Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，∴①AM2+CM2=AC2=25，∵S△ACE=AE•CM=12，∴②AM•CM=12，①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，①-②×2，得：(AM-CM)2=49③，∵CM>AM>0，∴AM=3，CM=4，∴AE=6，由(1)知：∠AFC=45°，BE⊥CF，∴∠BEF=45°，∵∠AFC=∠ABC=45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB=180°，∴∠AFB=90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，设EF=BF=x，则AE=x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(x+6)2+x2=50，解得：x=1或x=-7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×6×1=3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由(1)知：∠AFC=45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF=45°，BF=EF，∴∠EBF=∠BEF=45°，∴∠BFE=90°，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，设BF=EF=y，则AF=8-y，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(8-y)2+y2=50，解得：y=1或y=7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×8×1=4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。
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A 字型相似与8字型相似
1、如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在D C 、的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米。
甲身高8.1米，乙身高5.1米，则甲的影长是多少？
2、如图：AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：BD AB DC AC
=．（构造A 字型和8字型） 3、矩形DGFE 内接于ABC ∆，5:3:=DE DG ，260cm S DGFE =矩形，cm AH 10=，求：ABC S ∆。
4、设21M M 、是ABC ∆的BC 边上的点，且21CM BM =。
任作一直线分别交21AM AM AC AB 、、、于21N N Q P 、、、，试证：AP AB ＋AQ
AC ＝11AN AM ＋22AN AM 。
5、如图，在ABC ∆中，点Q E D 、、分别在BC AC AB 、、上，且BC DE //，AQ 交DE 于点P . 求证：DP PE BQ QC
=。
6、如图，DE ∥BC ，（1）如果2=AD ，3=DB ，求BC DE :的值；（2）如果8=AD ，12=DB ，15=AC ，7=DE ，求AE 和BC 的长。
7、如图，AEB ∆和FEC ∆是否相似？说明理由．
8、在梯形ABCD 中，F E DC AB BC AD 、，，=//分别是AB 和BC 边上的点；
如图，连接EF 并延长与DC 的延长线交于点G ，如果EF k FG ⋅=（k 为正数），试猜想BE 与CG 有何数量关系？写出你的结论并证明之。
9、已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．如图，连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC
的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===o
，∠，求AS 和OR 的长。
10、如图，G 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的一点，连接AG 与CD BD 、分别交于F E 、两点，若
2=AE ，3=FG ，求EF 的长。
巩固练习
1、如图，ABC Rt ∆中，AC AB ⊥，3=AB ，4=AC ，P 是BC 边上一点，作AB PE ⊥于E ，AC PD ⊥于D ，设x BP =，则=+PE PD （ ）
A 、35+x
B 、54x -
C 、2
7 D 、25125122x x - 2、如图，B A 、两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接BC AC 、，在AC 上取点M ，使MC AM 3=，作
MN ∥AB 交BC 于N ，量得m MN 38c =，则AB 的长为多少？
3、如图，D ，E 是AB 边上的三等分点，F ，G 是AC 边上的三等分点，写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比。
4、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对三角形给予证明。
5、如图，已知AC EF //，AB GH //，BC IK //，写出图中所有和DGF ∆相似的三角形。
6、如图，将一副三角板按图叠放，则ADE ∆与BGE 相似吗？请说明理由。
7、如图，CD EF AB ////，E 为AD 与BC 的交点，若4=AB ，6=CD ，求EF 的长。
8、如图，CD EF AB ////，E 为AD 与BC 的交点，若10=+BE AE ，20=+ED EC ，12=BD ，求BF 的长。
9、已知如图，平行四边形ABCD 中，2:1:=EB AE 。
（1）求DC AE :的值；
（2）AEF ∆与CDF ∆相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比；
（3）如果26cm S AEF =∆，求CDF S 。
10、如图，ABCD 为四边形，两组对边延长后得交点E 、F ，对角线EF BD //，AC 的延长线交EF 于G 。
求证：GF EG =。
11、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长．
12、如图，已知ABC ∆中，51145AC AB BC ===，，DEGF 为正方形，其中D E ，在边AC BC ，上，F G ，在AB 上，求正方形的边长．
13、已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：1AD AE DC EB
+= 14、
ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S W .
15、如图，已知ABC ∆中，3490AC BC C ==∠=︒，，，
四边形DEGF 为正方形，其中D E ，在边AC BC ，上，F G ，在AB 上，求正方形的边长．
16、如图，已知ABC ∆中，四边形DEGF 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB 上，如果1ADF CDE S S ∆∆==，3BEG S ∆=，求ABC ∆的面积．
17、已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F .
（1）求证：//EF CD
（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长.
18、如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．
19、如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.
20、如图，ABC △内有一点P ，过P 作各边的平行线，把ABC △分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123S S S ，，分别为112，，，则ABC △的面积是 ．
21、如图，梯形ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为22p q ，，求梯形的面积.
22、如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，两条对角线AC 、BD 相交于O ，若:1:9AOD COB S S =△△，那么
:BOC DOC S S =△△ ．
23、已知，如图在三角形ABC 内作正方形EFMN ，F E 、在边BC 上，N M 、分别在边AB AC 、上，AH
为三角形ABC 的边BC 上的高并与线段MN 交与点D 。
（1）若6040==BC AH ，，求正方形EFMN 的边长和三角形AMN 与三角形ABC 的面积比；
（2）若设a =BC ，h AH =，试用含a 、h 的式子表示正方形EFMN 的边长；
（3）若6040==BC AH ，，将已知条件正方形EFMN 改为矩形EFMN ，其他条件不变，求矩形
EFMN 的
面积最大值；
（4）若ο90=∠A ，c FC b EF a BE ===，，，试探究a 、b 、c 三者的数量关系；
（5）若23==AC AB ，，求FC EF BE ::的值；
（6）若MFC BEN AMN ∆∆∆、、的面积分别为
21、23、21，求正方形EFMN 的边长； （7）如图，若ο90=∠A ，在MFC BEN ∆∆、内分别作边长为a 、c 的正方形FGHK PQRE 、，若正方
形EFMN 的边长为b ，试探索a 、b 、c 三者的数量关系；
（8）若AMN ∆与MFC ∆的面积相等，BEN ∆的面积为3，正方形EFMN 的面积为4，求BC 的长。
备用图 （7）问图。