2020年天津市部分区中考数学一模试卷
中考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.计算6×（-9）的结果等于（）A. -15B. 15C. 54D. -542.cos60°的值等于（）A. B. C. D.3.据《人民日报》报道，1月9日在京举行的2019年全国科技工作会议传来好消息，我国研发人员总量预计达到4 180 000人，居世界第一，将4 180 000用科学记数法（）A. 0.418×107B. 4.18×106C. 41.8×105D. 418×1044.下列图形中，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A.B.C.D.6.下列整数中，与最接近的是（）A. 4B. 5C. 6D. 77.方程组的解是（）A. B. C. D.8.下列等式成立的是（）A. B.C. =-D. =9.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段BN的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 610.已知反比例函数y=-，下列结论错误的是（）A. y随x的增大而减小B. 图象位于二、四象限内C. 图象必过点（-2，4）D. 当-1＜x＜0时，y＞811.如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l的某点P处修建一个向A，B供水的水站，现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道一定最短的是（）A. B.C. D.12.已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0），其对称轴是x=1，与x轴的一个交点在（2，0），（3，0）之间，有下列结论：①abc＜0；②a-b+c=0；③若此抛物线过（-2，y1）和（3，y2）两点，则y1＜y2．其中，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.计算（x+2）（x-2）的结果等于______．14.计算（4-）的结果等于______．15.不透明袋子中装有17个球，其中有8个红球、6个黄球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率______．16.若一次函数的图象与直线y=-3x平行，且经过点（1，2），则一次函数的表达式为______.17.如图，△ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为______．18.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点．（1）线段AC的值为______；（2）在如图所示的网格中，AM是△ABC的角平分线，在AM上求一点P，使CP+DP 的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.解不等式组：请结合题意填空，完成本题的解答（1）解不等式①，得______；（2）解不等式②，得______；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为______．20.为了解某校八年级体育科目训练情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）图1中∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整．（2）抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在______级；（3）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，请计算抽取的这部分学生体育的平均成绩．21.已知四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BCD=148°．（1）如图①，若E为AB上一点，延长DE交⊙O于点P，连接AP，求∠AFD的大小；（2）如图②，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线交于点P，求∠APD的大小．22.某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验，以便与遥控器显示的高度数据进行对比．如图，在E处测得无人机C的仰角∠CAB=45°，在D处测得无人机C的仰角∠CBA=30°，已知测角仪的高AE=BD=1m，E，D两处相距50m，请根据数据计算无人机C的高（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）．23.一辆汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，已知该汽车平均耗油量为0.1L/km．（1）计算并填写表：x（单位：km）10100300…y（单位：L）______ ______ ______ …（2）写出表示y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）若A，B两地的路程约有230km，当油箱中油量少于5L时，汽车会自动报警，则这辆汽车在由A地到B地，再由B地返回A地的往返途中，汽车是否会报警请说明理由．24.如图①，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是正方形，点P为正方形AOBC对角线的交点，点O（0，0），点A（2，0）点B（0，2）分别延长PC到D，PA到F，使PD=2PC，PF=2PA，再以PD，PF为邻边作平行四边形PDEF．（1）求点D的坐标；（2）如图②，将四边形PDEF绕点P逆时针旋转得四边形PD′E′F′，点D，E，F旋转后的对应点分别为D′，E′，F′，旋转角为（0°＜α＜360°）；①在旋转过程中，当∠PBD=90°时，求点D′的坐标；②在旋转过程中，求BE′的取值范围（直接写出结果即可）．25.函数y=-+mx+1（x≥0，m＞0）的图象记为C1，函数y=--mx-1（x＜0，m＞0）的图象记为C2，其中m为常数，C1与C2合起来的图象记为C．（1）若C1过点（1，1）时，求m的值；（2）若C2的顶点在直线y=1，求m的值；（3）设C在-4≤x≤2上最高点的纵坐标y0，当≤y0≤9时，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】原式利用乘法法则计算即可求出值．此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．【解答】解：原式=-6×9=-54，故选：D．2.【答案】A【解析】解：cos60°=．故选：A．根据特殊角的三角函数值解题即可．本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．3.【答案】B【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.【解答】解：4 180 000用科学记数法表示成：4.18×106，故选B.4.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．考查了中心对称图形及轴对称图形的知识，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．5.【答案】D【解析】解：这个几何体的主视图为：．故选：D．画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．6.【答案】C【解析】解：∵52=25，62=36，∴5＜＜6，25与35的距离大于36与35的距离，∴与最接近的是6．故选：C．根据5＜＜6，25与35的距离小于36与35的距离，可得答案．本题考查了估算无理数的大小，两个被开方数的差小，算术平方根的差也小是解题关键．7.【答案】B【解析】解：，①×2+②，得11x=11解得，x=1，将x=1代入①，得y=-1，故原方程组的解是，故选：B．根据解二元一次方程组的方法可以解答本题．本题考查解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法．8.【答案】D【解析】接：A、两边不相等，故本选项不符合题意；B、=，两边不相等，故本选项不符合题意；C、==-，两边不相等，故本选项不符合题意；D、==，故本选项符合题意；故选：D．根据分式的基本性质逐个判断即可．本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵D是AB中点，AB=6，∴AD=BD=3，∵折叠∴DN=CN，∴BN=BC-CN=9-DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（9-DN）2+9，∴DN=5∴BN=4，故选：B．由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可求BN的长．本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．10.【答案】A【解析】解：反比例函数y=-中k=-8＜0，在每个象限内y随着x的增大而增大，故A错误，符合题意，故选：A．利用反比例函数的性质判断后即可确定错误的选项．本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据比例系数的符号确定其性质，难度不大．11.【答案】A【解析】解：如图，作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P点，则此时为所求，故选：A．先作点A关于直线l的对称点A，再连接A′B，即可得出答案．本题天考查了轴对称-最短路线问题，能正确画出图形是解此题的关键．12.【答案】C【解析】解：①由a＜0，对称轴是x=1，可知b＞0，由抛物线与x轴的一个交点在（2，0），（3，0）之间，可知另一交点位于（0，0）与（-1，0）之间，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，故①正确；当x=-1时，a-b+c＜0，故②错误；③抛物线上点（-2，y1）关于对称轴x=1的对称点为（4，y1 ），在对称轴的右侧y随x 的增大而减小，4＞3，所以y1＜y2，故③正确；正确的是①③，共2个，故选：C．由抛物线的对称轴x=1和a＜0可判断b＞0，由抛物线与x轴的一个交点在（2，0），（3，0）之间，可知另一交点位于（0，0）与（-1，0）之间，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，由此判断结论①，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，求出当x=-1时，a-b+c＜0，判断结论②；利用对称性先找到（-2，y1）关于对称轴x=1的对称点为（4，y1 ），再利用增减性判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数图象的性质是解题的关键．13.【答案】x2-4【解析】解：（x+2）（x-2）=x2-4．故答案为：x2-4．平方差公式特点是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，计算结果是相同项的平方减去相反项的平方．本题考查了平方差公式，正确运用平方差公式是解题的关键．14.【答案】4-【解析】解：原式=4-．故答案为4-．利用二次根式的除法法则进行计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15.【答案】【解析】解：∵袋子中共有17个小球，其中绿球有3个，∴摸出一个球是绿球的概率是，故答案为：．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．16.【答案】y=-3x+5【解析】【分析】设一次函数的表达式为：y=kx+b，根据两直线平行求出k，利用待定系数法计算即可．本题考查的是两条直线的平行问题，若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．【解答】解：设一次函数的表达式为：y=kx+b，∵一次函数的图象与直线y=-3x平行，∴k=-3，∵一次函数经过点（1，2），∴-3+b=2，解得，b=5，则一次函数的表达式为y=-3x+5，故答案为y=-3x+5.17.【答案】【解析】解：如图，连接CE，∵AD是等边△ABC的高∴∠BDA=90°∵△ABC，△ADE是等边三角形∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AE=AD∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ADB=∠AEC=90°，∵F为AC中点，∴EF=AC=故答案为：由“SAS”可得△ABD≌△ACE，可得∠ADB=∠AEC=90°，由直角三角形的性质可求EF的长．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形性质，证明∠AEC=90°是本题的关键．18.【答案】（1）5；（2）如图，取格点E，连接AE交BC于M，取格点F，连接DF交AM于点P，点P 即为所求．【解析】解：（1）AC==5，故答案为5．（2）见答案.【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题．（2）如图，取格点E，连接AE交BC于M，取格点F，连接DF交AM于点P，点P 即为所求．本题考查作图-复杂作图，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】（1）x≥-3 （2）x≤2（3）见解析（4）-3≤x≤2【解析】解：（1）解不等式①，得x≥-3，（2）解不等式②，得：x≤2，（3）不等式①和②的解集在数轴上表示为：（4）原不等式组的解集为-3≤x≤2．故答案为：x≥-3；x≤2；-3≤x≤2．（1）根据不等式的性质求出即可；（2）根据不等式的性质求出即可；（3）把不等式的解集在数轴上表示出来即可；（4）根据数轴求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．20.【答案】解：（1）54°；C级学生有：40-6-12-8=14（人），补全的条形统计图如图所示，（2）C；（3）=72（分），答：抽取的这部分学生体育的平均成绩是72分．【解析】解：（1）本次抽查的学生有：12÷30%=40（人），∠α的度数是：360°×=54°，C级学生有：40-6-12-8=14（人），补全的条形统计图如右图所示，故答案为：54°；（2）由统计图可得，抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在C级，故答案为：C；（3）见答案.【分析】（1）根据统计图中的数据可以计算出本次抽查的学生数，从而可以求得∠α的度数和C 级的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据（1）中补充完整的条形统计图和中位数的定义可以解答本题；（3）根据题意和统计图中的数据可以计算出抽取的这部分学生体育的平均成绩．本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：（1）连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BCD=148°，∴∠BAD=32°，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=58°，∴∠APD=∠ABD=58°；（2）连接AD，由（1）知∠BAD=32°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD=32°，∵DP切⊙O于A，∴OA⊥PA，∴∠PAO=90°，∴∠PAD=∠PAO+∠OAD=122°，∵∠PAD+∠ADO+∠APD=180°，∴∠APD=26°．【解析】（1）如图①，连接BD，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD=180°，求得∠BAD=32°，根据圆周角定理得到∠BDA=90°，求得∠BAD+∠ABD=90°，于是得到结论；（2）由（1）知∠BAD=32°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠OAD=32°，根据切线的性质得到OA⊥PA，求得∠PAO=90°，根据三角形的内角和即可得到结论．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，伊能静三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：如图，过点C作点CH⊥AB于H．∵∠CAB=45°，∴AH=CH，设CH=x，则AH=x，∵∠CBA=30°，∴，由题意知：AB=ED=50，∴，解得：．18.3+1=19.3，答：计算得到的无人机的高约为19.3m．【解析】如图，过点C作点CH⊥AB于H．设AH=CH=x，根据AB=50，构建方程即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】（1）49 40 20 ；（2）y与x的函数关系式：y=50-0.1x，根据题意，50-0.1x≤0，解得x≤500．故x的取值范围为：0≤x≤500，（3）当y=5时，50-0.1x=5，解得x=450．因此当汽车行驶450km就会报警，而往返路程为：230×2=460km．∵450＜460，∴汽车会报警．【解析】解：（1）根据题意，当x=10时，y=50-0.1×10=49；当x=100时，y=50-0.1×100=40；当x=300时，y=50-0.1×300=20；故答案为：49，40，20；（2）见答案；（3）见答案．【分析】（1）根据题意，分别把行驶10，100，300km的好友里算出来，然后在用50减去耗油量，即可得到剩余油量；（2）剩余油量=50-耗油量；当x应当大于等于0，但行驶的路程小于50L所行驶的路程；（3）先算出45L所行驶的总路程，然后算出往反路程，进行比较．本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练一次函数的应用以及将一次函数与实际问题联系起来是解答此题的关键．24.【答案】解：（1）过点D作DH⊥x轴于H，如图①所示：∵点O（0，0），点A（2，0），点B（0，2），∴OA=OB=2，∴正方形AOBC的边长为2，∴AC=2，AB⊥OC，PC=PA，∵PD=2PC，PF=2PA，∴PD=PF，∴平行四边形PDEF是正方形，∵四边形AOBC是正方形，点P为正方形AOBC对角线的交点，∴∠COA=45°，OP=PC=PB=PA，OC===2，∴OP=PC=PB=PA=，∵PD=2PC，∴OD=OP+PD=3PC=3，∵∠COA=45°，DH⊥x，∴△OHD是等腰直角三角形，∴OH=DH=OD=×3=3，∴点D的坐标为（3，3）；（2）①过点B作PB⊥l，则点D落在直线l上，如图②所示：当α=30°时，在Rt△PBD′中，∵PD′=2PB，∴∠BD′P=30°，过D′作D′K⊥BC于K，∵∠PBD′=90°，∠PBC=45°，∴∠D′BK=45°，∴△BD′K是等腰直角三角形，∴BK=D'K=BD'，由勾股定理得：BD'===，∴BK=D'K=BD'=，∴点D'的坐标为（，2+）；当α=150°时，在Rt△PBD′中，∵PD′=2PB，∴∠BD′P=30°，过D′作D′K⊥BC于K，∵∠PBD′=90°，∠PBC=45°，∴∠D′BK=45°，∴△BD′K是等腰直角三角形，∴BK=D'K=BD'，由勾股定理得：BD'===，∴BK=D'K=BD'=，∴点D'的坐标为（-，2-）；综上所述，在旋转过程中，当∠PBD=90°时，点D′的坐标为（，2+）或（-，2-）；②连接PE'，如图③所示：由勾股定理得：PE'=PD'=4，当PE'与PB重合时，BE'为最小值=PE'-PB=4-，当PE'与PA重合时，BE'为最大值=PE'+BPP=4+，∴BE'的取值范围是4-≤BE'≤4+．【解析】（1）过点D作DH⊥x轴于H，由题意得出OA=OB=2，AC=2，由正方形的性质得出∠COA=45°，OP=PC=PB=PA，由勾股定理得出OC==2，得出OP=PC=PB=PA=，求出OD=OP+PD=3PC=3，证出△OHD是等腰直角三角形，得出OH=DH=3，即可得出答案；（2）①过点B作PB⊥l，则点D落在直线l上，当α=30°时，在Rt△PBD′中，证出∠BD′P=30°，过D′作D′K⊥BC于K，证出△BD′K是等腰直角三角形，得出BK=D'K=BD'，由勾股定理得：BD'=，得出BK=D'K=BD'=，即可得出答案；当α=150°时，在Rt△PBD′中，证出∠BD′P=30°，过D′作D′K⊥BC于K，证出△BD′K 是等腰直角三角形，得出BK=D'K=BD'，由勾股定理得：BD'=，得出BK=D'K=BD'=，即可得出答案；②连接PE'，由勾股定理得：PE'=PD'=4，当PE'与PB重合时，BE'为最小值=PE'-PB=4-，当PE'与PA重合时，BE'为最大值=PE'+BPP=4+，即可得出答案．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、旋转变换的性质、直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．25.【答案】解：（1）将点（1，1）代入y=-+mx+1，∴m=；（2）C2的顶点为（-m，-1），∵顶点在直线y=1，∴-1=1，∴m=±2，∵m＞0，∴m=2；（3）∵y=-+mx+1的顶点为（m，+1），y=--mx-1的顶点为（m，-1），当0＜m≤2时，≤y0=+1≤9，∴1≤m≤2；当2＜m≤4时，当x=2时，y0=2m-1，∴≤y0=2m-1≤9，∴2＜m≤4；当m＞4时，当x=-4时，y0=-9+4m，∴≤y0=-9+4m≤9，∴1≤m≤；综上所述：1≤m≤；【解析】（1）将点（1，1）代入y=-+mx+1，即可求解；（2）C2的顶点为（-m，-1），-1=1；（3）y=-+mx+1的顶点为（m，+1），y=--mx-1的顶点为（m，-1），分三种情况讨论：当0＜m≤2时，≤y0=+1≤9，当2＜m≤4时，≤y0=2m-1≤9，当m＞4时，≤y0=-9+4m≤9；本题考查二次函数的图象及性质；掌握函数图象的特点，熟练在给定区间内求函数的最值，数形结合解题是关键．。
2020年天津市部分区中考数学一模试卷
2020年天津市部分区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算﹣2﹣7的结果等于（）A．5B．﹣5C．﹣9D．92．（3分）计算tan60°的值等于（）A．B．C．1D．3．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（）A．7.5×104B．7.5×105C．7.5×108D．7.5×1095．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．（3分）计算﹣的结果为（）A．1B．x C．D．8．（3分）方程组的解是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y111．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）A．1B．2C．D．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A （﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3，对称轴为x＝l，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x＞3时，y＞0；③﹣1≤a≤．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算：x5•x3的结果等于．14．（3分）计算（+2）2的结果等于．15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有4个红球．3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．16．（3分）已知一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是．（写出一个即可）17．（3分）如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S1，平行四边形的面积记为S2，则的值为．18．（3分）如图，在每个小正力形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，D为小正方形边中点．（Ⅰ）AD的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个点P，使其满足S△P AD＝S四边形ABCD，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）某校初级中学数学兴趣小组为了解本校学生年龄情况，随机调查了本校部分学生的年龄，根据所调查的学生的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．21．（10分）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，（Ⅰ）如图①，连接AC，AD，若∠ADC＝55°，求∠CAB的大小；（Ⅱ）如图②，C是半圆弧AB的中点，AD的延长线与过点B的切线相交于点P，若CD＝，求∠APB的大小．22．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．23．（10分）某儿童游乐园推出两种门票收费方式：方式一：购买会员卡，每张会员卡费用是200元，凭会员卡可免费进园5次，免费次数用完以后，每次进园凭会员卡只需10元；方式二：不购买会员卡，每次进园是20元（两种方式每次进园均指单人）设进园次数为x（x为非负整数）（Ⅰ）根据题意，填写下表：进园次数（次）51020……方式一收费（元）200350……方式二收费（元）200……（Ⅱ）设方式一收费y1元，方式二收费为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；（Ⅲ）当x＞30时，哪种进园方式花费少？请说明理由．24．（10分）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），C是AB中点，连接OC，将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN，记旋转角为α，点O，C的对应点分别是M，N．连接BM，P是BM中点，连接OP，PN．（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP＝PN且OP⊥PN；（Ⅲ）当△AOC旋转至点B，M，N共线时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）已知抛物线C的解析式为y＝x2+2x﹣3，C与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点为P．（Ⅰ）求点A，B，D，P的坐标；（Ⅱ）若将抛物线C沿着直线PD的方向平移得到抛物线C′；①当抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点时，求抛物线C′的解析式；②点M（x m，y m）是①中抛物线C′上一点，若﹣6≤x m≤2且y m为整数，求满足条件的点M的个数．2020年天津市部分区中考数学一模试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．解：﹣2﹣7＝﹣2+（﹣7）＝﹣9．故选：C．2．解：原式＝，故选：D．3．解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．解：75000万＝750000000＝7.5×108吨．故选：C．5．解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形．故选：A．6．解：∵2＝，＜＜，∴估计的值在3和4之间，故选：B．7．解：﹣＝＝1．故选：A．8．解：，把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，整理得：7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为．故选：C．9．解：如图，连接BD，∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，∴△BDE中，∠E＝（180°﹣∠DBE）＝（180°﹣50°）＝65°，故选：A．10．解：∵反比例函数y＝的k＝﹣1＜0，∴x＞0时，y＜0，y随着x的增大而增大，x＜0时，y＞0，y随着x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜0，∴0＜y1＜y2，∵3＞0，∴y3＜0，∴y3＜0＜y1＜y2，故选：B．11．解：如图，连接BE交AD于点P′，∵，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，∴AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，∴P′B＝P′C，P′E+P′C＝P′E+P′B＝BE，根据两点之间线段最短，点P在点P′时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长．BE＝＝，所以P′E+P′C的最小值为．故选：C．12．解：∵（﹣1，0）关于直线的x＝1的对称点是（3，0），由于与y轴的交点C在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），∴抛物线的开口向下，∴x＞3时，y＜0，故②错误；∵抛物线经过A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2≤c≤3，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，故③正确；③由对称轴可知：﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．解：x5•x3＝x5+3＝x8故答案为：x8．14．解：（+2）2＝3+4+4＝7+4，故答案为：7+4．15．解：从袋子中随机取出1个球有7种等可能结果，其中它是绿球的有3种可能，∴它是绿球的概率为，故答案为：．16．解：∵一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2（答案不唯一）．17．解：如图，则S阴影＝2（S△BEF+S四边形FGMN），设正六边形的边长为a，由于正六边形的存在，所以∠BEF＝60°，则可得BE＝EF＝2a，BC＝4a，AB＝3a，则在Rt△BEF中可得其高EP＝a，同理可得FQ＝a，∴S1＝2（S△BEF+S FGMN）＝2（•BF•EP+FG•FQ）＝2（•2a•a+a•a）＝3a2，而S2＝BC•h＝4a•a＝6a2，∴＝，故答案为：．18．解：（Ⅰ）AD的长等于＝；故答案为：；（Ⅱ）如图，取格点E，连接BE，延长DC，与BE交于点P，点P即为所求．S△P AD＝S△AEF＝8S四边形ABCD＝20﹣1﹣﹣﹣（1+5）×2＝8．故答案为：取格点E，连接BE，延长DC，与BE交于点P，点P即为所求．三、解答题（共7小题，满分66分）19．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥0；（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为0≤x≤4．故答案为：x≥0，x≤4，0≤x≤4．20．解：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为：14÷28%＝50（人），m%＝×100%＝12%，则m＝12；故答案为：50，12；（Ⅱ）这组学生年龄数据的平均数是：＝14（岁），∵15岁出现的次数最多，出现了18次，∴众数是15岁；将这组数据按从小到大排列，处于中间的两个数都是14，则这组数据的中位数是＝14岁．21．解：（I）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠AB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵∠ADC＝55°，∴∠ABC＝∠ADC＝55°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝35°；（II）连接AC，OC，DO，∵CD＝AB＝OC＝OD，∴△COD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠CAD＝∠COD＝30°，∵C是半圆弧AB的中点，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵AO＝CO，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝15°，∵AD的延长线与过点B的切线相交于点P，∴BP⊥AB，∴∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°﹣∠BAP＝75°．22．解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得∠ABD＝67°，AB＝520，∠CBD＝30°，在Rt△ABD中，AD＝AB•sin67°，BD＝AB•cos67°，在Rt△CBD中，CD＝BD•tan30°，∴AC＝AD+CD＝AB•sin67°+AB•cos67°•tan30°≈520×0.92+520×0.38×≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路AC的长592km．23．解：（Ⅰ）进园次数为5时，方式二收费为5×20＝100（元），进园次数10时，方式一收费为200+10×（10﹣5）＝250（元），进园次数为20时，方式二收费为20×20＝400（元），故答案为：250；100；400．（Ⅱ）由题意可得，当0＜x≤5时，y1＝200，当x＞5时，y1＝200+10（x﹣5）＝10x+150，由上可得，y1＝，y2＝20x；（Ⅲ）当x＞30时，方式一进园方式花费少，理由：令10x+150＝20x，解得，x＝15，∵x＞30，∴方式一进园方式花费少，即当x＞30时，方式一进园方式花费少．24．解：（Ⅰ）如图①中，过点M作MD⊥OA于D．∵A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵C是AB的中点，∴OC＝CB＝CA＝AB，且OC⊥AB，∴△AOC是等腰直角三角形，∴当α＝45°时，点M在AB上，由旋转可知：△AOC≌△AMN，∴AM＝OA＝4．MD＝AD＝AM＝2，∴OD＝OA＝AD＝4﹣2，∴M（4﹣2，2）．（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，∵∠BNM＝∠BOM＝90°，P是BM的中点，∴OP＝PN＝PB＝PM，∴∠PMN＝∠PNM，∠POB＝∠PBO，∵∠NPM＝180°﹣2∠PMN，∠BPO＝180°﹣2∠PBO，∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（∠PMN+∠PBO）∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（45°+∠PMO+∠PBO），∵∠PMO+∠PBO＝90°，∴∠MPN+∠BPO＝90°，∴∠OPN＝180°﹣（∠MPN+∠BPO）＝90°，∴OP⊥PN．（Ⅲ）①如图③﹣1中，当点M在线段BN上时，在Rt△ABN中，∵AB＝4，AN＝2，∴AB＝2AN，∴∠ABN＝30°，∴BN＝AN＝2，BM＝BN＝MN＝2﹣2，过点M作MK⊥OB于K，在MK上截取一点J，使得BJ＝MJ，设BK＝a，∵∠ABO＝45°，∴∠MBK＝75°，∠KMB＝15°，∵JB＝JM，∴∠JBM＝∠JMB＝15°，∴∠BJK＝∠JBM+∠JMB＝30°，∴BJ＝JM＝2a，KJ＝a，∵BM2＝BK2+KM2，∴（2﹣2）2＝a2+（2a+a）2，解得a＝4﹣2（负根已经舍弃），∴KM＝2a+a＝2，OK＝2，∴M（2，2），②如图③﹣2中，当点N在线段BM上时，同法可得M（2，﹣2），综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．25．解：（I）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝﹣3或1，故点A、B、D的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），函数的对称轴为x＝﹣1，故点P（﹣1，﹣4）；（II）①设直线PD的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线PD的表达式为：y＝x﹣3，则设平移后抛物线的顶点坐标为：（m，m﹣3），故平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）2+m﹣3，又抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点，则y＝（x﹣m）2+m﹣3＝2x﹣5，△＝0，解得：m＝1，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1；②由①知平移后抛物线的顶点为（1，﹣2），当x＝﹣6时，y＝x2﹣2x﹣1＝47，当x＝2时，y＝﹣1，故当﹣6≤x m≤1时，﹣2≤y m≤47，此时y m有50个整数；当1＜x m≤2时，此时y m有1个整数；∵抛物线是连续的，故满足条件的点M的个数为51个．。
天津市河西区2020年中考数学一模试卷
2020年天津市河西区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算8﹣（2﹣5）的结果等于（）A．2B．11C．﹣2D．﹣82．（3分）sin60°的值为（）A．B．C．D．3．（3分）下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A．72×104B．7.2×105C．7.2×106D．0.72×1065．（3分）如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．6．（3分）化简+的结果是（）A．B．C．x+2D．x+47．（3分）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是（）A．﹣1B．﹣C．﹣1.2D．﹣38．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）29．（3分）下列关于反比例函数y＝的说法正确的是（）A．y随x的增大而增大B．x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．x＞0时，y随x的增大而减小10．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（x，﹣y）向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（x+3，2﹣y）B．（x+3，﹣y﹣2）C．（x﹣3，2﹣y）D．（x﹣3，﹣y﹣2）11．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝12．（3分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与直线y＝2有两个不同的交点．下列结论：①c＜4；②当x＝1时，y有最小值c﹣2；③方程2x2﹣4x+c﹣2＝0有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则c＝．其中正确的结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）使式子有意义的a的取值范围是．14．（3分）计算（a+b）（c+d）的结果等于．15．（3分）在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母，选中字母“a”的概率为．16．（3分）直线y＝x+2与x轴的交点坐标为．17．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN的长为．18．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答：（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买150双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？21．（10分）如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线CF交BD延长线于点C．（Ⅰ）若∠C＝25°，求∠BAF的度数；（Ⅱ）若AB＝AC，CD＝2，求AB的长．22．（10分）建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60°观察底部B的仰角为45°，求旗杆的角度（精确到0.1m）．23．（10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过20kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过20kg时，其中有20kg的价格仍为7元/kg，超过20kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．（Ⅰ）根据题意填空：①若一次购买数量为10kg时，在甲批发店的花费为元，在乙批发店的花费为元；②若一次购买数量为50kg时，在甲批发店的花费为元，在乙批发店的花费为元；（Ⅱ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；（Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为30kg，则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了260元，则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买数量多．24．（10分）将一个正方形纸片AOBC放置在平面直角坐标系中，点A（0，4），点O（0，0），B（4，0），C（4，4）点．动点E在边AO上，点F在边BC上，沿EF折叠该纸片，使点O的对应点M始终落在边AC上（点M 不与A，C重合），点B落在点N处，MN与BC交于点P．（Ⅰ）如图①，当∠AEM＝30°时，求点E的坐标；（Ⅱ）如图②，当点M落在AC的中点时，求点E的坐标；（Ⅲ）随着点M在AC边上位置的变化，△MPC的周长是否发生变化？如变化，简述理由；如不变，直接写出其值．25．（10分）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点．（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E，点A的坐标；（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足P A+PE值最小时，求b的值．参考答案与试题解析1．B．2．D．3．A．4．B．5．B．6．B．7．A．8．D．9．D．10．C．11．D．12．B．13．a≥1．14．ac+ad+bc+bd．15．16．（﹣2，0）．17．．18．﹣1．19．解：（I）解不等式①，得x≥0．故答案为：x≥0；（II）解不等式②，得x≤1．故答案为：x≤1；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示为：；（IV）原不等式组的解集为：0≤x≤1．故答案为：0≤x≤1．20．解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：6+12+10+8+4＝40（人），图①中m的值为：100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；故答案为：40；15；（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，∴这组样本数据的众数为35号；∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，∴中位数为＝36；（Ⅲ）根据题意得：150×30%＝45（双），答：建议购买35号运动鞋45双．21．解：（Ⅰ）连接OA，AD，∵CF是⊙O的切线，∴OA⊥CF，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝25°，∴∠COA＝65°，∵∠COA＝∠B+∠OAB，OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∴∠OAB＝32.5°，∴∠BAF＝∠OAF﹣∠OAB＝90°﹣32.5°＝57.5°；（Ⅱ）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠COA＝2∠B，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝OC，∵OA＝OD，∴，∴．22．解：∵∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∴∠A＝30°，∴AD＝2CD．∵CD＝40m，∴AD＝80m，在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝40．∵∠BDC＝45°，∴∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD＝40m，∴AB＝40﹣40≈29.3m．∴旗杆的高度为29.3m．23．解：（I）①根据题意得，在甲批发店的花费为：6×10＝60（元），在乙批发店的花费为：7×10＝70（元）；故答案为：60；70；②根据题意得，在甲批发店的花费为：6×50＝300（元）；在乙批发店的花费为：7×20+5×（50﹣20）＝290（元）；故答案为：300；290；（II）根据题意得，y1＝6x（x＞0）；当0＜x≤20时，y2＝7x；当x＞20时，y2＝7×20+5（x﹣20）＝5x+40．即；（III）①设他在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg，根据题意得6x＝7×20+5（x﹣20），解得，x＝40，故答案为40；②在甲店的花费为：6×30＝180（元），在乙店的花费为：7×20+5×（30﹣20）＝190（元），则在甲店批发购买花费较少，故答案为：甲；③在甲店购买苹果数量为：260÷6＝（kg），设在乙店购买苹果数量为ykg，由题意得，5x+40＝260，解得，x＝44（kg），则在乙店批发购买的苹果数量较多．故答案为：乙．24．解：（Ⅰ）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAM＝90°．由折叠知OE＝EM．设OE＝x，则EM＝OE＝x，AE＝x，∴AE+OE＝OA，即x+x＝4，∴x＝16﹣8．∴E（0，16﹣8）；（Ⅱ）如图②，∵点M是边AC的中点，∴AM＝AC＝2．设OE＝m，则EM＝OE＝m，AE＝4﹣m，在Rt△AEM中，EM2＝AM2+AE2，即x2＝22+（4﹣x）2，解得x＝．∴E（0，）；（Ⅲ）△MPC的周长不变，为8．理由：设AM＝a，则OE＝EM＝b，MC＝4﹣a，在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2+AM2＝EM2，（4﹣b）2+a2＝b2，解得16+a2＝8b．∴16﹣a2＝8（4﹣b）∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D，∴Rt△AEM∽Rt△CMP，∴＝，即＝，解得DM+MP+DP＝＝＝8．∴△CMP的周长为8．25．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E 为抛物线顶点，x1＝﹣1，x2＝3，∴点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象上，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点A的坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；（Ⅱ）①∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣（x﹣）2+，∴点E的坐标为（，），∵顶点E在直线y＝x上，∴＝，∴c＝；②由①知，c＝＝﹣+b＝﹣（b﹣1）2+，则点A的坐标为（0，﹣（b﹣1）2+），∴当b＝1时，此时点A的位置最高，函数y＝﹣x2+x+，即在①的前提下，当点A的位置最高时，抛物线的解析式是y＝﹣x2+x+；（Ⅲ）∵x1＝﹣1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（x1，0），∴﹣1﹣b+c＝0，∴c＝1+b，∵点E的坐标为（，），点A的坐标为（0，c），∴E（，），A（0，b+1），∴点E关于x轴的对称点E′（，﹣），设过点A（0，b+1）、P（1，0）的直线解析式为y＝kx+t，，得，∴直线AP的解析式为y＝（﹣b﹣1）x+（b+1）＝﹣（b+1）x+（b+1）＝（b+1）（﹣x+1），∵当直线AP过点E′时，P A+PE值最小，∴﹣＝（b+1）（﹣+1），化简得：b2﹣6b﹣8＝0，解得：b1＝3+，b2＝3﹣，∵b＞0，∴b＝3+，即b的值是3+．。
2020年天津市西青区中考数学一模试卷
2020年天津市西青区中考数学一模试卷一、选择题1．（3分）计算6÷（﹣3）的结果是（）A．﹣B．﹣2C．﹣3D．﹣182．（3分）计算2cos30°的结果等于（）A．B．C．D．3．（3分）我国自行设计、制造的第一颗人造卫星“东方红一号”的运行轨迹距地球最近点439000m，将439000用科学记数法表示应为（）A．4.39×105B．4.39×106C．0.439×106D．439×103 4．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）估算的值（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间7．（3分）化简+的结果是（）A．x B．x﹣1C．﹣x D．x+18．（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为（4，1），点D的坐标为（0，1），则菱形ABCD的周长等于（）A．B．4C．4D．209．（3分）二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．10．（3分）若点（x1，﹣1），（x2，1），（x3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x2＜x1＜x3D．x1＜x3＜x2 11．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4B．5C．6D．712．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞5D．a＜5二、填空13．（3分）计算6x2•3xy的结果等于．14．（3分）计算（2﹣）2的结果等于．15．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．16．（3分）将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位的长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为．17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为．18．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．（1）边AC的长等于．（2）以点C为旋转中心，把△ABC顺时针旋转，得到△A'B'C'，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出旋转后的图形，并简要说明作图的方法（不要求证明）．三、解答题19．解不等式．请结合题意填空，完成本题的解答（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为．20．某校为了解九年级学生每周平均课外阅读时间（单位：h），随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：（I）该校抽查九年级学生的人数为，图①中的a值为．（2）求统计的这组每周平均课外阅读时间的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）若该校九年级共有400名学生，根据统计的这组每周平均课外阅读时间的样本数据，估计该校九年级每周平均课外阅读时间为3h的学生人数．21．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．22．如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1m；参考数据：sin35°＝0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）23．甲、已两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折．设原价购物金额累计为x元（x＞0）（1）根据题意，填写下表：（单位：元）130300700……原价购物金额累计/元104560……甲商场实际购物金额/元130270……乙商场实际购物金额/元（2）设在甲商场实际购物金额为y甲元，在乙商场实际购物金额为y乙元，分别写出y甲，y乙关于x的函数解析式：（3）根据题意填空：①若在同甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为元；②若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为800元，则在甲、乙两家商场中的商场实际购物花费金少；③若在同一商场实际购物金额为400元，则在甲、乙两家商场中的商场商品原价购物累计金额多．24．将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点C在x 轴上，点B的坐标是（8，6），点P是边AB上的一个动点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处．（1）如图①．当点Q恰好落在OB上时．求点P的坐标；（2）如图②，当点P是AB中点时，直线OQ交BC于M点；（a）求证：MB＝MQ；（b）求点Q的坐标．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C（4，0）两点，与y 轴交于点B．（1）求这条抛物线的顶点坐标；（2）已知AD＝AB（点D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t（s）的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
2020年天津市西青区中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年天津市西青区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.计算(−6)÷(−13)的结果是()A. −18B. 2C. 18D. −22.cos45°的值等于()A. √33B. √3 C. 12D. √223.光的传播速度约为300000km/s，太阳光照射到地球上大约需要253min，则太阳到地球的距离用科学记数法可表示为()A. 15×107kmB. 1.5×109kmC. 1.5×108kmD. 15×108km4.如图图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.用4个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的主视图是()A.B.C.D.6.估算√75在()A. 5与6之间B. 6与7之间C. 7与8之间D. 8与9之间7.化简：x21−x −x1−x=()A. 1B. −xC. xD. xx−1 8.如图，四边形ABCD是菱形，A(2,0)，B(0,2√3)，则点C的坐标为()A. (−4,2√3)B. (−2√3,2√3)C. (4,2√3)D. (−2√3,4)9. 关于x 、y 的方程组{2x +y =5x −2y =0的解是( ) A. {x =2y =1 B. {x =2y =−2 C. {x =−2y =−2D. {x =2y =2 10. 若点(−1,y 1),(−2,y 2),(1,y 3)都在反比例函数y =−2x 的图象上，则( )A. y 1>y 2>y 3B. y 2>y 1>y 3C. y 3>y 1>y 2D. y 1>y 3>y 211. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点M 在AC 边上，且AM =1，MC =4，动点P 在AB 边上，连接PC ，PM ，则PC +PM 的最小值是( )A. √17B. 6C. √26D. 712. 将抛物线y =2x 2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得的解析式为( )A. y =2(x −3)2+4B. y =2(x +4)2+3C. y =2(x −4)2+3D. y =2(x −4)2−3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 计算2x 2⋅(−3xy 2)的结果等于______．14. 计算(√5−√3)2的结果等于________． 15. 一个不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为______ ．16. 将y =2x −3的图象向上平移2个单位长度得到的直线表达式为______．17. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC =6√2，则另一直角边BC 的长为__________．18.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得线段A′B，点A的对应点为A′，连接AA′交线段BC于点D．(Ⅰ)作出旋转后的图形；(Ⅱ)BD=______．三、解答题（本大题共7小题，共54.0分）19.解不等式组：{3(x−2)≤x−41+2x3>x−1并将其解集表示在数轴上．20.为了解学生的课外阅读情况，在九年级四个班的180名学生中随机抽取45名学生，对他们一周的课外阅读时间进行统计，其中，一周的阅读时间如条形图(1)所示，各班抽取的人数占被调查人数的百分比如扇形图(2)所示，请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)随机抽取的学生中，一班的人数是______；(Ⅱ)求本次调查所得样本数据的众数、中位数和平均数；(Ⅲ)根据样本数据，估计该校九年级一周课外阅读时间大于10h的约有多少人．21.已知四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BCD=148°．(1)如图①，若E为AB上一点，延长DE交⊙O于点P，连接AP，求∠AFD的大小；(2)如图②，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线交于点P，求∠APD的大小．22.成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．(结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)23.某超市对A、B两种商品开展“2018⋅元旦”促销活动，活动方案有如下两种(同一种商品不可同时参与两种活动)：方案一A B标价(单位：元)100110每件商品返利按标价的30%按标价的15%例：买一件A商品，只需付款100(1−30%)元方案二若所购商品达到或超过101件(不同商品可累计)，则按标价的20%返利．若某单位购买A商品x件(x为正整数)，购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多2件，方案一付款金额为W1，方案二付款金额为W2．(1)请写出W1、W2与x之间的函数表达式；(2)该单位该如何选择活动方案，才能获得最大优惠？请说明理由．(3)该单位购买A商品50件，B商品多少件？此时按最大优惠的付款金额为多少元？24.如图，平面直角坐标系中，已知点A(0,10)，点B(m,10)在第一象限，连接AB、OB．⑴如图1，若OB=12，求m的值．⑴如图2，当m=10时，过B作BC⊥x轴于C，E为AB边上一点，AE=10，把△OAE沿直线3 OE翻折得到△OFE(点A的对应点为点F)，连接BF、CF，求证：BF⊥CF．⑴如图3，将△AOB沿直线OB翻折得到△GOB(点A的对应点为点G)，若点G到x轴的距离不大于8，直接写出m的取值范围为_____________．25.如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1,4)，抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F(0,−3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求△PON的面积．【答案与解析】1.答案：C)=(−6)×(−3)=18．解析：解：(−6)÷(−13故选：C．根据有理数的除法法则计算即可，除以一个数，等于乘以这个数的倒数．本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．2.答案：D解析：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．．解：cos45°=√22故选：D．3.答案：C解析：【详解】×60=300000×500=150000000=1.5×解：依题意得：太阳到地球的距离=300000×253108(km)．故选C．本题考查学生对科学记数法的掌握和对题意的理解．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解析：此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据中心对称图形的概念求解．解：A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．5.答案：A解析：解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形．故选：A．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．6.答案：D解析：本题考查的是无理数的估算.根据64<75<81，可得8<√75<9，进而得出答案．解：∵64<75<81，∴8<√75<9，故选D．7.答案：B解析：解：原式=x(x−1)1−x =−x(1−x)1−x=−x．故选：B．原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：解：∵A(2,0)，B(0,2√3)，∴OA =2，OB =2√3，∴AB =√OA 2+OB 2=4，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =AD =AB =4，∴点C 的坐标为(−4,2√3)故选：A ．根据点A ，B 的坐标由勾股定理可求出AB 的长，由菱形的性质得出BC 的长，即可得出点C 的坐标． 本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键． 9.答案：A解析：解：{2x +y =5 ①x −2y =0 ②， ①×2得：4x +2y =10③，②+③得：5x =10，x =2，将x =2代入①得：y =1，所以原方程组的解为：{x =2y =1． 故选：A ．用加减消元法解此方程组即可．此题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的方法有加减消元法和代入消元法． 10.答案：A解析：解：∵反比例函数y =−2x 的k =−2<0，∴函数y =−2x 的图象位于二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大．∵−2<0，−1<0，1>0，∴点(−1,y 1),(−2,y 2)位于第二象限，(1,y 3)位于第四象限，∴0<y2<y1，y3<0，∴y1>y2>y3．故选A．根据题意，可得函数y=−2的图象位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，进行求x解即可．本题考查反比例函数的性质，属于基础题．11.答案：C解析：解：如图，过点作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接MC′，交AB于P，此时MC′=PM+PC′=PM+PC的值最小，连接AC′，∵CO⊥AB，AC=BC，∠ACB=90°，×90°=45°，∴∠ACO=12∵CO=OC′，CO⊥AB，∴AC′=CA=AM+MC=5，∴∠OC′A=∠OCA=45°，∴∠C′AC=90°，∴C′A⊥AC，∴MC′=√AM2+AC′2=√12+52=√26，∴PC+PM的最小值为√26．故选C．根据平面内线段最短，构建直角三角形，解直角三角形即可．本题考查了线路最短的问题，确定动点P为何位置时，使PC+PM的值最小是关键．12.答案：C解析：本题考查了二次函数的几何变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键．用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式可得新抛物线的解析式．由抛物线y=2x2的图象先向上平移3个单位可得到y=2x2+3，再向右平移4个单位可得y=2(x−4)2+3．故选C．13.答案：−6x3y2解析：解：2x2⋅(−3xy2)=−6x3y2．故答案为：−6x3y2．直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．14.答案：8−2√15解析：解：原式=5−2√15+3=8−2√15．故答案为8−2√15．利用完全平方公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15.答案：617解析：解：∵不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，∴摸出的小球是红球的概率为6；17故答案为：6．17分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．16.答案：y=2x−1解析：解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=2x−3的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为y=2x−3+2，即y=2x−1．故答案为：y=2x−1根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．17.答案：7解析：解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△OBF中，{∠AMO=∠OFB=90°∠OAM=∠BOFOA=OB，∴△AOM≌△OBF(AAS)，∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6√2，∴CF=OF=6，∴FB=OM=OF−FM=6−5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB，∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6√2，∴CM=ON=6．∴MA=CM−AC=6−5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由∠AMO为直角三角形，得其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△OBF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF−MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的判定，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．18.答案：5√24解析：解：(Ⅰ)图形如图所示：(Ⅱ)构建如图平面直角坐标系．易知直线BC 的解析式为y =x ，直线AA′的解析式为y =−13x +53． 由{y =xy =−13x +53，解得{x =54y =54， ∴D(54,54). ∴BD =54√2．故答案为54√2．(Ⅰ)根据要求画出图形即可；(Ⅱ)构建平面直角坐标系，求出点D 坐标即可解决问题；本题考查作图−旋转变换、一次函数的应用、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系解决问题，属于中考常考题型． 19.答案：解：解不等式3(x −2)≤x −4，得：x ≤1，解不等式1+2x3>x −1，得：x <4，所以不等式组的解集为：x ≤1，其解集在数轴上表示为：解析：分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.答案：18解析：解：(Ⅰ)∵一班人数所占比例为1−(20%+20%+20%)=40%，∴一班人数为45×40%=18人，故答案为：18；(Ⅱ)∵9出现了15次，次数最多，∴众数为9；∵共有45个数据，其中位数是第23个数据，∴中位数是10，=10；平均数为8×3+9×15+10×12+11×9+12×645=60人．(Ⅲ)估计该校九年级一周课外阅读时间大于10h的约有180×9+645(Ⅰ)由百分比之和为1求得一班百分比，再用总人数乘以所得百分比即可得；(Ⅱ)根据众数、中位数和平均数的定义求解；(Ⅲ)用总人数乘以样本中阅读时间大于10h的人所占比例即可得．本题考查的是扇形统计图与条形统计图的综合运用，涉及到众数、中位数和平均数的求法．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．21.答案：解：(1)连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BCD=148°，∴∠BAD=32°，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=58°，∴∠APD=∠ABD=58°；(2)连接AD，由(1)知∠BAD=32°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD=32°，∵AP切⊙O于A，∴OA⊥PA，∴∠PAO=90°，∴∠PAD=∠PAO+∠OAD=122°，∵∠PAD+∠ADO+∠APD=180°，∴∠APD=26°．解析：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，伊能静三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．(1)如图①，连接BD，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD=180°，求得∠BAD=32°，根据圆周角定理得到∠BDA=90°，求得∠BAD+∠ABD=90°，于是得到结论；(2)由(1)知∠BAD=32°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠OAD=32°，根据切线的性质得到OA⊥PA，求得∠PAO=90°，根据三角形的内角和即可得到结论．22.答案：解：过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，∴DE=BC，BE=DC=61米，在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，∴AE=DE，∴AE=DE=BC，在Rt△BDE中，∠BDE=22°，∴DE=BEtan22∘≈610.40≈152.5，∴AB=AE+BE=DE+CD=152.5+61≈214(米)．答：观景台的高AB的值约为214米．解析：过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，DE=BC，BE=DC=61，再根据锐角三角函数可得DE的长，进而可得AB的值．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．23.答案：解：(1)w1=100(1−30%)x+110(1−15%)(2x+2)=257x+187；w2=[100x+110(2x+2)](1−20%)=256x+176；(2)由题意x+2x+2=101，解得x=33，①当总件数不足101，即x<33时，只能选择方案一比较优惠；②当总件数大于等于101，即x>33时，w1−w2=(257x+187)−(256x+176)=x+11>0，∴选择方案二比较优惠．(3)当x=50时，2x+2=102(件)，选择方案二比较优惠，此时w2=256×50+176=12976(元)，答：购买B商品102件时，此时按最大优惠的付款金额为12976元．解析：本题考查了一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．(1)根据两种优惠方案，分别构建函数关系式即可；(2)分两种情形讨论求解即可解决问题；(3)利用(2)中结论计算即可解决问题；24.答案：解：(1)∵A(0,10)，B(m,10)(m>0)，∴AB⊥y轴于A，OA=10，AB=m，∴OA2+AB2=OB2，∴102+m2=122，∴m=2√11；(2)证明：延长EF 交BC 于M ，连接OM ，∵A(0,10)，B(10,10))，∴AB ⊥y 轴于A ，∵BC ⊥x 轴于C ，∴∠BAO =∠BCO =90°，OA =AB =OC =BC =10，∴四边形ABCO 是正方形，∴∠ABC =90°，∴BE 2+BM 2=EM 2，∵△OFE≌△OAE ，∴EF =AE = 103，OF =OA =10=OC ，∠OFE =∠BAO =90°，∴∠OFM =90°=∠OCM ，在Rt △OFM 和Rt △OCM 中，∵{OF =OC OM =OM ， ∴Rt △OFM≌Rt △OCM(HL)，∴可设FM =CM =x ，∴BM =10−x ，EM =x +103， ∴(10−103)2+(10−x)2=(x +103)2， 解得：x =5，∴CM =BM =MF =5，∴∠MFC =∠MCF ，∠MFB =∠MBF ，∵∠MFC +∠MCF +∠MFB +∠MBF =180°，∴∠MFC +∠MFB =90°，即∠BFC =90°，∴BF ⊥CF ；(3)10≤m≤30．3解析：本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题关键．(1)根据点A和点B的坐标得出OA和AB，再利用勾股定理求出m的值即可；(2)延长EF交BC于M，连接OM，根据题意得出四边形ABCO是正方形，进步一利用HL证得Rt△OFM≌Rt△OCM，然后设FM=CM=x，用含x的式子表示出BM和EM，再利用勾股定理求出相等值，进而利用等腰三角形的性质求解即可；(3)分点G在x轴上方和x轴下方两种情况求解即可．解：(1)见答案；(2)见答案；(3)由条件可知点G的纵坐标大于或等于−8小于或等于8，①当点G的纵坐标为8时，如图，过点G作GS⊥x轴于S，交直线AB的延长线于P，在Rt△OGS中，OG=OA=10，GS=8，可求OS=AP=6，PG=2，∵AB=BG=m，PB=6−m，在Rt△PBG中，由22+(6−m)2=m2，解得：m=10；3②当点G的纵坐标为−8时，如图，过点G作GS⊥x轴于S，交直线AB于P，在Rt△OGS中，OG=OA=10，GS=8，PG=18，∴OS=AP=6，∴BP=m−6，由勾股定理得：BG2=BP2+PG2，即m2=(m−6)2+182，解得m=30．≤m≤30时，点G到x轴的距离不大于8．综上所述：当103≤m≤30．故答案为10325.答案：解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−1)2+4，把(0,3)代入得：3=a(0−1)2+4，a=−1，∴抛物线的表达式为：y=−(x−1)2+4=−x2+2x+3；(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG+FG 的值最小，∵E(0,3)，∴E′(2,3)，易得E′F的解析式为：y=3x−3，当x=1时，y=3×1−3=0，∴G(1,0)(3)如图2，过N点作NH⊥x轴，交AB于点Q，交x轴于点H，∵A(1,4)，B(3,0)，易得AB的解析式为：y=−2x+6，设N(m,−m2+2m+3)，则Q(m,−2m+6)，(0≤m≤3)，∴NQ=(−m2+2m+3)−(−2m+6)=−m2+4m−3，∵AD//NH，∴∠DAB=∠NQM，∵∠ADB=∠QMN=90°，∴△QMN∽△ADB，∴QNMN =ABBD，∴−m2+4m−3MN =2√52，∴MN=−√55(m−2)2+√55，∵−√55<0，∴当m=2时，MN有最大值；过N作NG⊥y轴于G，∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，∴△NGP∽△ADB，∴PGNG =BDAD=24=12，∴PG=12NG=12m，∴OP=OG−PG=−m2+2m+3−12m=−m2+32m+3，∴S△PON=12OP⋅GN=12(−m2+32m+3)⋅m，当m=2时，S△PON=12×2(−4+3+3)=2．解析：(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式；(2)根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG+FG 的值最小，先求E′F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；(3)如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=−2x+6，设N(m,−m2+2m+3)，则Q(m,−2m+6)，(0≤m≤3)，表示NQ=−m2+4m−3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题(3)的关键．。
2020年天津市中考数学模拟试卷及答案解析
2020年天津市中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）计算：﹣4÷2的结果是（）A．﹣8B．8C．﹣2D．22．（3分）下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°②sin245°+cos245°＝1③（tan60°）2＝④tan30°＝A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）截止到2019年9月3日，电影《哪吒之魔童降世》的累计票房达到了47.24亿，47.24亿用科学记数法表示为（）A．47.24×109B．4.724×109C．4.724×105D．472.4×105 4．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）估计的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间7．（3分）解分式方程＝时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+1＝2（x﹣1）B．x﹣1＝2（x+1）C．x﹣1＝2D．x+1＝28．（3分）已知二元一次方程组，则a的值是（）A．3B．5C．7D．99．（3分）在反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k＞0C．k≥2D．k＜210．（3分）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，若点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（）（1）△OGE是等边三角形；（2）DC＝3OG；（3）OG＝BC；（4）S△AOE＝S矩形ABCDA．1个B．2个C．3个D．4个11．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（）A．3B．4C．5D．612．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x 轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③a+b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤已知图象上点A（4，y1），B（1，y2），则y1＞y2．其中，正确结论的个数有（）A．5B．4C．3D．2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知a m＝22，b m＝4，则（a2b）m＝．14．（3分）分解因式：a2b2﹣5ab3＝．15．（3分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为．16．（3分）在一次函数y＝（k﹣1）x+5中，y随x的增大而增大，则k的取值范围是．17．（3分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝CE ＝3，则AD＝．18．（3分）如图，P是长方形ABCD内部的动点，AB＝4，BC＝6，△PBC的面积等于9，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值为．三．解答题（共5小题，满分46分）19．（8分）中考体育体测试前，雁塔区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中的信息，解答下列问题：（1）写出扇形图中a＝，并补全条形图；（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是个、个；（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有2400人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？20．（8分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD 的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于E．（1）求证：DE⊥BC；（2）若⊙O的半径为5，BE＝2，求DE的长度．22．（10分）如图所示，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD 向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，已知长方形OABC的周长16．（1）若OA长为x，则B点坐标可表示为；（2）若A点坐标为（5，0），求点D和点E的坐标．23．（10分）已知：二次函数y＝（2m﹣1）x2﹣（5m+3）x+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，这个二次函数有最大值．2020年天津市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）计算：﹣4÷2的结果是（）A．﹣8B．8C．﹣2D．2【分析】根据有理数的除法法则计算可得．【解答】解：﹣4÷2＝﹣2，故选：C．2．（3分）下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°②sin245°+cos245°＝1③（tan60°）2＝④tan30°＝A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据特殊锐角的三角函数值分别计算等式的左右两边，据此即可对每个等式作出判断．【解答】解：①sin60°﹣sin30°＝﹣，sin30°＝，错误；②sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝+＝1，正确；③（tan60°）2＝（）2＝，错误；④tan30°＝，＝＝，错误；故选：C．3．（3分）截止到2019年9月3日，电影《哪吒之魔童降世》的累计票房达到了47.24亿，47.24亿用科学记数法表示为（）A．47.24×109B．4.724×109C．4.724×105D．472.4×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：47.24亿＝4724 000 000＝4.724×109．4．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项不符合题意；B、是中心对称图形，本选项符合题意；C、不是中心对称图形，本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，本选项不符合题意．故选：B．5．（3分）如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是：故选：A．6．（3分）估计的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【分析】直接利用已知无理数得出的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴4＜+1＜5，∴+1在4和5之间．7．（3分）解分式方程＝时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+1＝2（x﹣1）B．x﹣1＝2（x+1）C．x﹣1＝2D．x+1＝2【分析】分式方程两边乘以最简公分母（x+1）（x﹣1），去分母即可得到结果．【解答】解：去分母得：x+1＝2，故选：D．8．（3分）已知二元一次方程组，则a的值是（）A．3B．5C．7D．9【分析】利用加减消元法求出a的值即可．【解答】解：，①+②得：4a＝20，解得：a＝5，故选：B．9．（3分）在反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k＞0C．k≥2D．k＜2【分析】根据反比例函数的性质，可求k的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，∴k﹣2＜0，∴k＜2故选：D．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，若点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（）（1）△OGE是等边三角形；（2）DC＝3OG；（3）OG＝BC；（4）S△AOE＝S矩形ABCDA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG＝AG＝GE＝AE，再根据等边对等角可得∠OAG＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE＝60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（1）正确；设AE＝2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3a，从而判断出（2）正确，（3）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG＝AG＝GE＝AE，∵∠AOG＝30°，∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，∴△OGE是等边三角形，故（1）正确；设AE＝2a，则OE＝OG＝a，由勾股定理得，AO＝＝＝a，∵O为AC中点，∴AC＝2AO＝2a，∴BC＝AC＝×2a＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a，∴DC＝3OG，故（2）正确；∵OG＝a，BC＝a，∴BC≠BC，故（3）错误；∵S△AOE＝a•a＝a2，S ABCD＝3a•a＝3a2，∴S△AOE＝S ABCD，故（4）正确；综上所述，结论正确是（1）（2）（4），共3个．故选：C．11．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，在Rt△BCM中，BM＝＝＝5，故DN+MN的最小值是5．故选：C．12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x 轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③a+b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤已知图象上点A（4，y1），B（1，y2），则y1＞y2．其中，正确结论的个数有（）A．5B．4C．3D．2【分析】由图象可知当x＝0时，y＜0，所以c＜0；函数与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0；当x＝1时，y＞0，所以a+b+c＞0；由函数的对称性可知，对称轴为x ＝﹣1，0＜x1＜1，则另一个交点为﹣3＜x2＜﹣2；由函数在对称轴的右侧y随x值的增大而增大，可求y1＞y2．【解答】解：由图象可知，当x＝0时，y＜0，∴c＜0，∴①不正确；∵对称轴为x＝﹣1，0＜x1＜1，∴﹣3＜x2＜﹣2，∴②正确；当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∴③不正确；∵函数与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴④正确；由点A（4，y1），B（1，y2）可知，点A、B在对称轴的右侧，∴y随x值的增大而增大，∴y1＞y2，故⑤正确；故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知a m＝22，b m＝4，则（a2b）m＝64．【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则解答即可．【解答】解：∵a m＝22＝4，b m＝4，∴（a2b）m＝a2m•b m＝（a m）2•b m＝42×4＝16×4＝64．故答案为：64．14．（3分）分解因式：a2b2﹣5ab3＝ab2（a﹣5b）．【分析】直接提取公因式ab2，进而得出答案．【解答】解：a2b2﹣5ab3＝ab2（a﹣5b）．故答案为：ab2（a﹣5b）．15．（3分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为．【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，故答案为：．16．（3分）在一次函数y＝（k﹣1）x+5中，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＞1．【分析】根据比例系数大于0时，一次函数的函数值y随x的增大而增大列出不等式求解即可．【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+1的函数值y随x的增大而增大，∴k﹣1＞0，解得k＞1．故答案为：k＞1．17．（3分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝CE ＝3，则AD＝6．【分析】首先证明△ABE≌△CED，得到∠AEB＝∠EDC，在利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理计算即可．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°，∴∠AEB＝∠CDE＝30°，∵30°所对的直角边是斜边的一半，AB＝CE＝3，∴AE＝6，DE＝6，在△ABE和△CED中，，∴△ABE≌△CED（ASA），∴∠AEB＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°根据勾股定理∴AD＝＝6，故答案为：6．18．（3分）如图，P是长方形ABCD内部的动点，AB＝4，BC＝6，△PBC的面积等于9，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值为6．【分析】首先证明动点P在与CD平行且与CD的距离是3的直线l上，过点B作直线l 的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离．【解答】解：设△BPC中BC边上的高是h．∵S△PBC＝9，BC＝6，∴•BC•h＝9∴h＝3，∴动点P在与CD平行且与CD的距离是3的直线l上，过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵BC＝6，B′B＝6，∴B′C＝＝6，故答案为：6．三．解答题（共5小题，满分46分）19．（8分）中考体育体测试前，雁塔区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中的信息，解答下列问题：（1）写出扇形图中a＝25，并补全条形图；（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是5个、5个；（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有2400人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？【分析】（1）根据扇形统计图可以求得a的值，根据扇形统计图和条形统计图可以得到做6个的学生数，从而可以将条形图；（2）根据（1）中补全的条形图可以得到众数和中位数；（3）根据统计图可以估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的人数．【解答】解：（1）由题意可得，a＝1﹣30%﹣15%﹣10%﹣20%＝25%，做6 个的学生数是60÷30%×25%＝50，补全的条形图，如图所示，故答案为：25%；（2）由补全的条形图可知，这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是5个，5个，故答案为：5，5；（3）该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有：2400×（25%+20%）＝1080（名），即该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有1080名．20．（8分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD 的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）【分析】在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据锐角三角函数求出AD、BD，即可求出AB．【解答】解：如图，由题意得，在△ABC中，CD＝100，∠ACD＝30°，∠DCB＝20°，CD⊥AB，在Rt△ACD中，AD＝CD•tan∠ACD＝100×≈57.73（米），在Rt△BCD中，BD＝CD•tan∠BCD≈100×0.36≈36（米），∴AB＝AD+DB＝57.73+36＝93.73≈93.7（米），答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于E．（1）求证：DE⊥BC；（2）若⊙O的半径为5，BE＝2，求DE的长度．【分析】（1）连接OD，由切线的性质得到OD⊥DE，求得∠ODE＝90°，根据三角形的中位线定理得到OD∥BC，于是得到结论；（2）过B作BF⊥OD，推出四边形DFBE为矩形，得到DF＝BE＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∵D是AC的中点，O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥BC；（2）解：过B作BF⊥OD，∵BF⊥OD，∴∠DFB＝90°，∴∠DFB＝∠DEB＝∠ODE＝90°，∴四边形DFBE为矩形，∴DF＝BE＝2，∴OF＝OD﹣DF＝5﹣2＝3，∴DE＝BF＝4．22．（10分）如图所示，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD 向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，已知长方形OABC的周长16．（1）若OA长为x，则B点坐标可表示为（x，8﹣x）；（2）若A点坐标为（5，0），求点D和点E的坐标．【分析】（1）根据OA长为x直接写出B点坐标；2）根据勾股定理求出BE，求出CE，设OD＝x，则DE＝OD＝x，DC＝3﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出x2＝12+（3﹣x）2，求出即可．【解答】解：（1）（x，8﹣x），故答案为（x，8﹣x）；（2）在△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝3，AE＝5，由勾股定理得BE＝4，故E（1，3）设OD＝x，则DE＝x，在△DCE中，DE2＝CD2+CE2，x2＝12+（3﹣x）2，解得，故．23．（10分）已知：二次函数y＝（2m﹣1）x2﹣（5m+3）x+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，这个二次函数有最大值．【分析】（1）若抛物线必与x轴相交于两个不同的点，则△＞0，且2m﹣1≠0；（2）若抛物线与x轴的两个交点在原点的左右两边，则需＜0即可；（3）若抛物线的对称轴是y轴，则b＝0；（4）根据a＜0时，二次函数的最大值是进行求解．【解答】解：（1）∵△＝（5m+3）2﹣4（2m﹣1）（3m+5）＝m2+2m+29＞0，∴当时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）根据题意，得＜0，则；（3）根据题意，得3m+5＝0，则m＝﹣；（4）根据题意，得＝﹣，化简，得m2﹣8m+34＝0，此方程无实数根，则不存在．。
2020年天津市东丽区中考数学一模试卷(解析版)
2020年天津市东丽区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算：﹣7+1的结果是（）A．6B．﹣6C．8D．﹣82．（3分）sin60°等于（）A．B．C．D．13．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）作为长沙地铁“米”字型构架西南﹣东北方向的地铁3号线一期工程线路全长约36400米，则数据36400用科学记数法表示为（）A．364×102B．36.4×103C．3.64×104D．0.364×105 5．（3分）如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的附视图是（）A．B．C．D．6．（3分）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．（3分）计算﹣的结果是（）A．B．C．D．18．（3分）方程组的解为（）A．B．C．D．9．（3分）如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°10．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 11．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P 是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（3分）对于二次函数y＝x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（）A．m≥﹣2B．﹣4≤m≤﹣2C．m≥﹣4D．m≤﹣4或m≥﹣2二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置13．（3分）计算：（﹣p）2•（﹣p）2＝．14．（3分）计算：（﹣）2＝．15．（3分）在一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中2个蓝色，3个红色，从袋中随机摸出1个，则摸到的是蓝色小球的概率是．16．（3分）已知一次函数y＝kx+b经过（﹣1，2），且与y轴交点的纵坐标为4，则它的解析式为．17．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，四边形DCEF为矩形，P，Q分别为DE，AB的中点，若BD＝1，DC＝2，则PQ ＝．18．（3分）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，点P，Q为线段AB上的动点，且满足PQ＝1．（Ⅰ）当点Q为线段AB中点时CQ的长度等于．（Ⅱ）当线段CQ+CP取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点Q，并简要说明你是怎么画出点Q的：．三、解答题：本大题共7小題，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答：（I）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为：．20．（8分）在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）这次调查获取的样本容量是（直接写出结果）；（Ⅱ）求这次调查获取的样本数据的人数众数，中位数，平均数；（Ⅲ）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．21．（10分）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（1）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝28°，求∠P的大小；（2）如图②，D为的中点，连接OD交AC于点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝12°，求∠P的大小．22．（10分）如图，高楼顶部有一信号发射塔（FM），在矩形建筑物ABCD的D、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°、64.5°，矩形建筑物高度DC为22米．求该信号发射塔顶端到地面的距离FG．（精确到1m）（参考数据：sin64.5°≈0.90，cos64.5°≈0.43，tan64.5°≈2.1）23．（10分）某社区准备五一组织社区内老年人去蓟县参加采摘节，现有甲、乙两家旅行社表示对老年人优惠，甲旅行社的优惠方式为：在原来每人100元的基础上，每人按照原价的60%收取费用；乙旅行社的优惠方式为：在收取一个600元固定团费的基础上，再额外收取每人40元，设参加采摘节的老年人有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1元、y2元，（Ⅰ）根据题意，填写如表：老年人数量（人）51020……甲旅行社收费（元）300……乙旅行社收费（元）800……（Ⅱ）求y1、y2关于x的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；（Ⅲ）如果x＞50，选择哪家旅行社合算？24．（10分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（2，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．（Ⅰ）如图①，当旋转后满足DC∥x轴时，求点C的坐标．（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当DP+AP′取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（I）求A，B两点坐标；（Ⅱ）连结AC，若点P在第一象限的抛物线上，P的横坐标为t，四边形ABPC的面积为S．试用含t的式子表示S，并求t为何值时，S最大？（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点G，H分别为抛物线及其对称轴上的点，点G的横坐标为m，点H的纵坐标为n，并使得以A，G，H，P四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的m，n的值．2020年天津市东丽区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算：﹣7+1的结果是（）A．6B．﹣6C．8D．﹣8【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣（7﹣1）＝﹣6，故选：B．【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键．2．（3分）sin60°等于（）A．B．C．D．1【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得．【解答】解：sin60°＝，故选：B．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值或其推导过程．3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（3分）作为长沙地铁“米”字型构架西南﹣东北方向的地铁3号线一期工程线路全长约36400米，则数据36400用科学记数法表示为（）A．364×102B．36.4×103C．3.64×104D．0.364×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：36400＝3.64×104，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的附视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：俯视图如选项A所示，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．6．（3分）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案．【解答】解：∵5＜＜6，∴的值在5和6之间．故选：D．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．7．（3分）计算﹣的结果是（）A．B．C．D．1【分析】直接利用分式加减运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣＝＝1．故选：D．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．8．（3分）方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】根据解二元一次方程组的方法可以解答本题．【解答】解：②﹣①，得x＝4，将x＝4代入①，得y＝﹣3，故原方程组的解为，故选：C．【点评】本题考查解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法．9．（3分）如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据折叠前后对应角相等可知．【解答】解：设∠ABE＝x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE＝∠CBE＝50°+x，所以50°+x+x＝90°，解得x＝20°．故选：B．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．10．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【分析】分别把各点代入反比例函数y＝求出y1、y2、，y3的值，再比较出其大小即可．【解答】：∵点A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝﹣；y2＝﹣2；y3＝，∵＞﹣＞﹣2，∴y3＞y1＞y2．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．11．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P 是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．12．（3分）对于二次函数y＝x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（）A．m≥﹣2B．﹣4≤m≤﹣2C．m≥﹣4D．m≤﹣4或m≥﹣2【分析】分三种情况进行讨论：对称轴分别为x＜0、0≤x＜2、x≥2时，得出当0＜x≤2时所对应的函数值，判断正误．【解答】解：对称轴为：x＝﹣＝﹣，y＝＝1﹣，分三种情况：①当对称轴x＜0时，即﹣＜0，m＞0，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；②当0≤﹣＜2时，0≤﹣＜2，﹣4＜m≤0，当1﹣≥0时，﹣2≤m≤2，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；当1﹣＜0时，不能满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；∴当﹣2≤m≤0时，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，③当对称轴﹣≥2时，即m≤﹣4，如果满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则有x＝2时，y≥0，4+2m+1≥0，m≥﹣，此种情况m无解；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，根据其自变量的取值确定字母系数的取值范围，解决此类问题：首先要计算出顶点坐标，再根据对称轴的位置并与图象相结合得出取值．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置13．（3分）计算：（﹣p）2•（﹣p）2＝p4．【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n＝a m+n（m，n是正整数），据此计算即可．【解答】解：（﹣p）2•（﹣p）2═（﹣p）4＝p4，故答案为p4．【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键．14．（3分）计算：（﹣）2＝5﹣2．【分析】根据二次根式的运算法则结合完全平方式的展开式即可得出结论．【解答】解：原式＝+﹣2×＝3+2﹣2＝5﹣2．故答案为：5﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是能够熟练的运用二次根式的运算法则解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先利用完全平方式的展开式将原代数式展开，再利用二次根式的混合运算法则进行运算即可．15．（3分）在一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中2个蓝色，3个红色，从袋中随机摸出1个，则摸到的是蓝色小球的概率是．【分析】根据概率公式列出算式计算即可求解．【解答】解：∵5个小球中，有2个蓝色小球，∴P（蓝色小球）＝．故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．16．（3分）已知一次函数y＝kx+b经过（﹣1，2），且与y轴交点的纵坐标为4，则它的解析式为y＝2x+4．【分析】根据点的坐标，利用待定系数法即可求出该一次函数的解析式．【解答】解：将（﹣1，2）、（0，4）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴该一次函数的解析式为y＝2x+4．故答案为：y＝2x+4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．17．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，四边形DCEF为矩形，P，Q分别为DE，AB的中点，若BD＝1，DC＝2，则PQ ＝．【分析】连接AP并延长AP交FD的延长线于点G，连接BG，由“AAS”可证△DPG≌△EPA，可得DG＝AE＝2，PG＝AP，由勾股定理可求BG的长，由三角形中位线定理可得结论．【解答】解：如图，连接AP并延长AP交FD的延长线于点G，连接BG，∵BD＝1，CD＝2∴BC＝3∵AC＝BC，∠C＝90°，∴AC＝3，∠ABC＝45°∵四边形DFEC是矩形∴CE＝DF，FD⊥BD，DF∥CE∴∠ABC＝∠BFD＝45°∴BD＝DF＝1，∴CE＝1，∴AE＝AC﹣CE＝2，∵DF∥CE∴∠DGP＝∠EAP，且DP＝PE，∠DPG＝∠APE∴△DPG≌△EPA（AAS）∴DG＝AE＝2，PG＝AP在Rt△DBGz中，BG＝＝∵AQ＝BQ，PG＝AP∴QP＝故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．18．（3分）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，点P，Q为线段AB上的动点，且满足PQ＝1．（Ⅰ）当点Q为线段AB中点时CQ的长度等于 2.5．（Ⅱ）当线段CQ+CP取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点Q，并简要说明你是怎么画出点Q的：取格点D，E，F，连接CD，EF，它们相交于点G，取格点H，I，J，K，连接HI，JK，它们相交于点M，连接GM，取格点L，N，连接LN 且延长，交GM于T，连接TC交AB于Q，点Q即为所求．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理直角三角形斜边的中线的性质求解即可．（Ⅱ）取格点D，E，F，连接CD，EF，它们相交于点G，取格点H，I，J，K，连接HI，JK，它们相交于点M，连接GM，取格点L，N，连接LN且延长，交GM于T，连接TC交AB于Q，点Q即为所求．【解答】解：（I）当点Q为线段AB中点时CQ的长度等于2.5；故答案为2.5．（Ⅱ）线段CQ+CP的值最小时，点P，Q必在△ABC的AB边上的高线的垂足的两侧，并且关于垂足对称，即离垂足的距离为0，5．所以先找到C关于ABD的对称点H，连接CH交AB于点O，下一步取格点D，使得AB ∥CD，AB＝CD，取格点E，F，连接EF，则CG＝1，取格点N，L，使得BN＝3，NL∥AB，NL＝AB，此时直线LN与直线CD到直线AB的距离相等，取格点H，T，使得HT∥AB，TH＝AB，取格点J，K，连接JK交TH于M，此时HM＝CG＝1，连接GM，此时GM∥CH，设直线LN交MG于T，交CH于R，此时TR＝CG＝1，OR＝OC，矩形CGTR关于直线AB对称，连接CT交AB于Q，此时OQ＝0.5，点Q即为所求．故答案为：取格点D，E，F，连接CD，EF，它们相交于点G，取格点H，I，J，K，连接HI，JK，它们相交于点M，连接GM，取格点L，N，连接LN且延长，交GM于T，连接TC交AB于Q，点Q即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，矩形的判定和性质，轴对称，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．三、解答题：本大题共7小題，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答：（I）解不等式①，得x≤2；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x≤2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤2；（Ⅱ）解不等式②，得：x≥﹣1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，故答案为：x≤2；x≥﹣1；﹣1≤x≤2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．（8分）在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）这次调查获取的样本容量是40（直接写出结果）；（Ⅱ）求这次调查获取的样本数据的人数众数，中位数，平均数；（Ⅲ）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．【分析】（Ⅰ）根据条形统计图中的数据可以求得这次调查获取的样本容量；（Ⅱ）根据条形统计图中的数据可以得到这次调查获取的样本数据的众数，中位数，平均数；（Ⅲ）根据条形统计图中的数据可以得到该校本学期计划购买课外书的总花费．【解答】解：（Ⅰ）样本容量是：6+12+10+8+4＝40；（Ⅱ）由统计图可得，这次调查获取的样本数据的众数是30，中位数是50，平均数＝＝50.5；（Ⅲ）50.5×1000＝50500（元）．答：该校本学期计划购买课外书的总花费是50500元．故答案为：40．【点评】本题考查众数、中位数、加权平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（10分）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（1）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝28°，求∠P的大小；（2）如图②，D为的中点，连接OD交AC于点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝12°，求∠P的大小．【分析】（1）连接OC，根据三角形的外角的性质求出∠POC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，根据三角形内角和定理计算即可；（2）根据垂径定理得到OD⊥AC，根据圆周角定理，三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∴∠POC＝56°，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝34°；（2）∵D为的中点，OD为半径，∴OD⊥AC，∵∠CAB＝12°，∴∠AOE＝78°，∴∠DCA＝39°，∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，∴∠P＝27°．【点评】本题考查的是垂径定理，切线的性质，圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．22．（10分）如图，高楼顶部有一信号发射塔（FM），在矩形建筑物ABCD的D、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°、64.5°，矩形建筑物高度DC为22米．求该信号发射塔顶端到地面的距离FG．（精确到1m）（参考数据：sin64.5°≈0.90，cos64.5°≈0.43，tan64.5°≈2.1）【分析】在Rt△FDE中，根据tan45°＝，tan64.5°＝，得到FG＝FE+EG，列方程解答即可．【解答】解：设DE＝x，由题意得EG＝DC＝22米，CG＝DE＝x米．在Rt△FDE中，tan45°＝，∴FE＝DE•tan45°＝x米，在Rt△FCG中，tan64.5°＝，∴FG＝CG•tan64.5°＝2.1x米，∵FG＝FE+EG，∴2.1x＝x+22，解得x＝20，FG＝2.1x＝42米．答：该信号发射塔顶端到地面的距离FG约为42米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．23．（10分）某社区准备五一组织社区内老年人去蓟县参加采摘节，现有甲、乙两家旅行社表示对老年人优惠，甲旅行社的优惠方式为：在原来每人100元的基础上，每人按照原价的60%收取费用；乙旅行社的优惠方式为：在收取一个600元固定团费的基础上，再额外收取每人40元，设参加采摘节的老年人有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1元、y2元，（Ⅰ）根据题意，填写如表：老年人数量（人）51020……3006001200……甲旅行社收费（元）80010001400……乙旅行社收费（元）（Ⅱ）求y1、y2关于x的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；（Ⅲ）如果x＞50，选择哪家旅行社合算？【分析】（1）根据两家的收费标准计算即可解决问题；（2）根据两家的收费标准，列出函数关系式即可解决问题；（3）比较y1、y2的大小即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）根据已知得：当人数为10时，甲旅行社收费：10×60＝600元，乙旅行社收费：600+40×10＝1000元，当人数为20时，甲旅行社收费：20×60＝1200元，乙旅行社收费：600+40×20＝1400元，故答案为：600；1200；1000；1400；（Ⅱ）根据已知得：y1＝60x，y2＝600+40x；（Ⅲ）当y1＝y2即60x＝600+40x，解得x＝30，当y1＞y2即60x＞600+40x，解得x＞30，当y1＜y2即60x＜600+40x，解得x＜30，∴当x＞50时，y1＞y2，选择乙旅行社合算．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（10分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（2，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．（Ⅰ）如图①，当旋转后满足DC∥x轴时，求点C的坐标．（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当DP+AP′取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）【分析】（1）如图1中，作CH⊥x轴于H．只要证明四边形ADCH是矩形，利用矩形的性质即可解决问题；（2）如图2中，作DK⊥AC于K．在Rt△ADC中，求出DK、AK即可解决问题；（3）如图3中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．由题意PA＝AP′，推出AP′+PD＝PA+PD，根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．只要求出直线A′D的解析式即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥x轴于H．∵CD∥AH，∠D＝∠AHC＝90°，∴∠DAH＝90°，∴四边形ADCH是矩形，∴AD＝OA＝CH＝2，CD＝OB＝AH＝4，∴OH＝6，∴C（6，2）．（2）如图2中，作DK⊥AC于K．在Rt△ADC中，∵AD＝2，CD＝4，∴AC＝2，∵•AD•DC＝•AC•DK，∴DK＝，AK＝，∴OK＝2+，∴D（2+，）．（3）如图3中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．由题意PA＝AP′，∴AP′+PD＝PA+PD，根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．∵A′（﹣2，0），D（2+，），∴直线A′D的解析式为y＝x+，∴点P坐标（0，）．【点评】本题考查了几何变换综合题、解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（I）求A，B两点坐标；（Ⅱ）连结AC，若点P在第一象限的抛物线上，P的横坐标为t，四边形ABPC的面积为S．试用含t的式子表示S，并求t为何值时，S最大？（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点G，H分别为抛物线及其对称轴上的点，点G的横坐标为m，点H的纵坐标为n，并使得以A，G，H，P四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的m，n的值．【分析】（I ）令y ＝0，建立方程求解即可得出结论；（Ⅱ）设出点P 的坐标，利用S ＝S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ，即可得出结论；（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论．【解答】解：（1）针对于抛物线y ＝﹣x 2+x +2，令y ＝0，则﹣x 2+x +2＝0， 解得x ＝﹣或x ＝2， ∴A （﹣，0），B （2，0）；（2）针对于抛物线y ＝﹣x 2+x +2， 令x ＝0，∴y ＝2，∴C （0，2），如图1，点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∵P 的横坐标为t ，∴设P （t ，p ），∴p ＝﹣t 2+t +2，PQ ＝p ，BQ ＝2﹣t ，OQ ＝t ， ∴S ＝S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB＝××2+（2+p ）×t +×（2﹣t ）×p ＝+t +pt +p ﹣pt ＝p +t +（﹣t2+t+2）+t+＝﹣（t﹣）2+4（0＜t＜2），∴当t＝时，S＝4；最大（3）由（2）知，t＝，∴P（，2），∵抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴为x＝，∴设G（m，﹣m2+m+2），H（，n）以A，G，H，P四点构成的四边形为平行四边形，A（﹣，0），①当AP和HG为对角线时，∴（﹣）＝（m+），（2+0）＝（﹣m2+m+2+n），∴m＝﹣，n＝；②当AG和PH是对角线时，∴（m﹣）＝（+），（﹣m2+m+2+0）＝（n+2），∴m＝，n＝﹣；③AH和PG为对角线时，∴（﹣+）＝（m+），（n+0）＝（﹣m2+m+2+2），∴m＝﹣，n＝．综上所述，m＝﹣，n＝或m＝，n＝﹣或m＝﹣，n＝．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。
2020年天津市和平区中考数学一模试题
11.如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠COD＝84°，CA平分∠OCD，则∠ABD+∠CAD＝（ ）
A.68°B.66°C.60°D.52°
【答案】B
【详解】解：在△COD中，
∵OC＝OD（⊙O 半径），
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵∠COD+∠OCD+∠ODC＝180°，∠COD＝84°，
∴∠OCD＝48°，∠CAD＝ COD＝42°，
∵CA平分∠OCD，
∴∠ACO＝∠ACD＝24°，
∵∠ABD＝∠ACD＝24°，
∴∠ABD+∠CAD＝66°．
12.若抛物线 与 轴只有一个公共点，且过点 ， ，则 的值为（）
A.9B.6C.3D.0
【答案】A
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m+6，n)，
∴点E1的坐标为（1， ）；
当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限．
同理可求：点E2的坐标为（1，﹣ ）．
综上所述，当OE1∥CF1时，点E1的坐标为（1， ）或（1，﹣ ）．
25.已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标，并求出n的值；
（Ⅱ）求点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求此时点Q的坐标；
∴△CEF∽△ADF；
∵∠E是公共角，∠B＝∠FCE，
∴△ABE∽△CEF；
∴△ABE∽△ADF．
故有3对．
10.如图， 是中心为原点 ，顶点 ， 在 轴上，半径为4的正六边形，则顶点 的坐标为（）
A. B. C. D.
2020年天津市和平区中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年天津市和平区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.tan45°的值等于()A. √33B. √22C. √32D. 12.已知反比例函数y=kx (k≠0)，当x=12时，y=−2，则k的值为()A. −1B. −4C. −14D. 13.小明和小李投掷一枚质地均匀的骰子各一次，则小明和小李掷到点数和为6的概率是()。
A. 536B. 16C. 736D. 194.如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A、C重合)，DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是()A. △BFEB. △BDCC. △BDAD. △AFD5.如图，在△ABC中，AB=BC，∠C=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE，若∠CAD=90°，则△ABC旋转的度数为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 1.下列四个几何体中，主视图是三角形的是()A. B. C. D.7.下列立体图形①长方体②圆锥③圆柱④球中，左视图可能是长方形的有()A. ①B. ①②C. ①③D. ①④8.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm(已标注在图中)，则可以列出关于x的方程是()A. x(26−2x)=80B. x(24−2x)=80C. (x−1)(26−2x)=80D. x(25−2x)=809.10.矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点M、N分别从顶点A、B同时出发，且分别沿着AD、BA运动，点N的速度是点M的2倍，点N到达顶点A时，则两点同时停止运动，连接BM、CN交于点P，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为()A. 12B. √2−1 C. √5−12D. √2+1210.如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0,6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为()A. 3B. 4−√3C. 4D. 6−2√311.如图，已知A、B、C在⊙O上，∠COA=100°，则∠CBA=()A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 200∘12.已知抛物线y=x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A(a,b)，B(a−4,b)，则b的值为()A. 4B. 2C. 6D. 9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.一次函数y=−x−1的图像经过点P(m,m−1)，则m=___________．14.如图，甲、乙两个转盘分别被平均分成4份和3份，每个转盘分别标有不同的数字．转动两个转盘，当转盘停止后，甲转盘指针指向的数字作为m，乙转盘指针指向的数字作为n，则mn为非负整数的概率为_________．15.已知反比例函数y=6，当−1<x<3时，y的取值范围是________．x16.如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，AO交⊙O于点B，连接BC，若∠C=32°，则∠A=______°.17.已知在四边形ABCD中，AD//BC(BC>AD)，∠D=90°，BC=CD=6，点E在线段DC上，且∠ABE=45°，若AE=5，则CE的长为____．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=6，在AC上取一点D，使AD=4，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，当点P旋转至CA的延长线上时，CF的长是______，在旋转过程中，CF的最大长度是______三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.解方程．(1)(x−4)2=9；(2)x2+2x−3=0．20.已知，平面直角坐标系中，关于x的二次函数y=x2−2mx+m2−2(1)若此二次函数的图象过点A(−1,−2)，求函数的表达式；(2)若(x1,y1)，(x2,y2)为此二次函数图象上两个不同点，且x1+x2=4时y1=y2，试求m的值；(3)点P(−2,y3)在抛物线上，求y3的最小值．21.如图，AB为⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE．(1)试判断OE与AC的关系，并说明理由．(2)填空：①当∠BAC=________时，四边形ODEB是正方形；②当∠BAC=30°时，AD的值为____________．DE22.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE．(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)23.如图所示，购买一种苹果，所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．24.如图所示，∠DBC=90°，∠C=45°，AC=2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．(1)求证：△ABC≌△ABE；(2)连接AD，求AD的长．x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．25.如图，抛物线y=−12(1)求抛物线的解析式．(2)点D(2,2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(3)连接AD并延长，过抛物线上一点Q(Q不与A重合)作QN⊥X轴，垂足为N，与射线AD交于点M，使得Q M=3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
2020-2021学年天津市中考数学第一次模拟试题及答案解析
最新天津市中考数学一模试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．12．tan30°的值等于（）A．B．C．D．3．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．根据海关统计，2015年1月4日，某市共出口钢铁1488000吨，148000这个数用科学记数法表示为（）A．1.488×104B．0.1488×107C．14.88×106D．1.488×1065．如图是由5个相同的正方体组成的一个立体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．6．方程的解为（）A．x=﹣2B．x=2 C．x=﹣1D．x=7．某校260名学生参加植树活动，要求每人值4﹣7棵，活动结束后随机调查了部分学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图，根据统计图提供的信息，可估算出该校植树量达到6棵的学生有（）A．26名 B．52名 C．78名 D．104名8．正六边形的边心距是，则它的边长是（）A．1 B．2 C．2D．39．反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，﹣5），则当1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣10＜y＜﹣5 B．﹣2＜y＜﹣1 C．5＜y＜10 D．y＞1010．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）A．4B．6C．2D．811．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A．105°B．150°C．75°D．30°12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（）个．A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．计算（﹣a2）3的结果等于．14．在一个不透明布袋里面装有11个球，其中有4个红球，7个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率是．15．一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m= ．16．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，那么抛物线的对称轴为直线．17．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为．18．如图，将三角形ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C，点P 均落在格点上．（1）计算三角形ABC的周长等于．（2）请在给定的网格内作三角形ABC的内接矩形EFGH，使得点E，H分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上，且使矩形EFGH的周长等于线段BP长度的2倍，并简要说明你的作图方法（不要求证明）三、解答题（共7小题，满分66分）19．解不等式请结合题意填空，完全本题的解答（1）解不等式①，得．（2）解不等式②，得．（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．（4）原不等式组的解集为．20．某校开展社团活动，准备组件舞蹈、武术、球类（足球、篮球、乒乓球、羽毛球）．花样滑冰四类社团，为了解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜爱的社团”调查，依据相关数据绘制以下的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：“你最喜爱的社团”调查统计图表社团类别人数占总人数的比例舞蹈60 25%武术m 10%花样滑冰36 n%球类120 50%（1）被调查的学生总人数是；m= ，n= ．（2）被调查喜爱球类的学生中有12人最喜爱乒乓球，若该校有2600名学生，试估计全校最喜爱乒乓球的人数．21．已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．（1）如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．22．天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶钳着历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕，叠双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学情趣小组实地测量了致远塔的高度AB，如图，在C处测得塔尖A的仰角为45°，再沿CB方向前进31.45m到达D处，测得塔尖A的仰角为60°，求塔高AB（精确到0.1m，≈1.732）23．为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）．x（亩）20 25 30 35z（元）1700 1600 1500 1400（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．24．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E 的对应点为点N），画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长．25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣（3+2）=﹣5，故选A．【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解本题的关键．2．tan30°的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：tan30°=．故选C．【点评】本题考查特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．3．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：C上下折叠能重合，是轴对称图形，故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．根据海关统计，2015年1月4日，某市共出口钢铁1488000吨，148000这个数用科学记数法表示为（）A．1.488×104B．0.1488×107C．14.88×106D．1.488×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：148000这个数用科学记数法表示为1.488×105，故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．如图是由5个相同的正方体组成的一个立体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．6．方程的解为（）A．x=﹣2B．x=2 C．x=﹣1D．x=【分析】观察方程可得最简公分母是：x（x﹣1），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣1）得，2x﹣2=3x，解得：x=﹣2．经检验：x=﹣2是原方程的解；故选A．【点评】此题考查了分式方程的解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．7．某校260名学生参加植树活动，要求每人值4﹣7棵，活动结束后随机调查了部分学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图，根据统计图提供的信息，可估算出该校植树量达到6棵的学生有（）A．26名 B．52名 C．78名 D．104名【分析】用学生总人数乘以植树量为6棵的百分比即可求解．【解答】解：观察统计图发现植树量为6棵的占30%，故植树量达6棵的人数有260×30%=78人，故选C．【点评】本题考查了用样本估计总体及扇形统计图的知识，解题的关键是从扇形统计题中整理出植树量达6棵所占的百分比，难度不大．8．正六边形的边心距是，则它的边长是（）A．1 B．2 C．2D．3【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．【解答】解：∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选B．【点评】本题考查了正六边形和圆，掌握外接圆的半径等于正六边形的边长是解此题的关键．9．反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，﹣5），则当1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣10＜y＜﹣5 B．﹣2＜y＜﹣1 C．5＜y＜10 D．y＞10【分析】将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求出k值，结合反比例函数的性质可知当x＞0时，反比例函数单调递减，分别代入x=1、x=2求出y值，由此即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，﹣5），∴﹣5=，解得：k=10，∴反比例函数解析式为y=．当x＞0时，反比例函数单调递减，当x=1时，y==10；当x=2时，y==5．∴当1＜x＜2时，5＜y＜10．故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由给定点的坐标利用待定系数法求出k的值，再根据反比例函数的性质确定其单调性，代入x 的值即可得出结论．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）A．4B．6C．2D．8【分析】首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴CD=OC=2，∴AC=2CD=4．故选A．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识，难度不大．11．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A．105°B．150°C．75°D．30°【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），∴AB=AB′，∠BAB′=30°，∴∠B=∠AB′B=÷2=75°，∴∠C=180°﹣75°=105°．故选A．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°是解题关键．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（）个．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据已知画出图象，把x=﹣2代入得：4a﹣2b+c=0，2a+c=2b﹣2a；把x=﹣1代入得到a﹣b+c＞0；根据﹣＜0，推出a＜0，b＜0，a+c＞b，计算2a+c=2b﹣2a＞0；代入得到2a﹣b+1=﹣c+1＞0，根据结论判断即可．【解答】解：根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，画出图象为：如图把x=﹣2代入得：4a﹣2b+c=0，∴①正确；把x=﹣1代入得：y=a﹣b+c＞0，如图A点，∴②错误；∵（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1，∴取符合条件1＜x1＜2的任何一个x1，﹣2•x1＜﹣2，∴由一元二次方程根与系数的关系知x1•x2=＜﹣2，∴不等式的两边都乘以a（a＜0）得：c＞﹣2a，∴2a+c＞0，∴③正确；④由4a﹣2b+c=0得2a﹣b=﹣，而0＜c＜2，∴﹣1＜﹣＜0∴﹣1＜2a﹣b＜0∴2a﹣b+1＞0，∴④正确．所以①③④三项正确．故选B．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与X轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子得符号是解此题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．计算（﹣a2）3的结果等于﹣a6．【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案．【解答】解：（﹣a2）3=﹣a6．故答案为：﹣a6．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．14．在一个不透明布袋里面装有11个球，其中有4个红球，7个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率是．【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：∵在一个不透明布袋里面装有11个球，其中有4个红球，7个白球，∴从中任意摸出一个球，是白球的概率是：．故答案为．【点评】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．15．一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m= 2 ．【分析】根据一次函数的增减性列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【解答】解：∵一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，∴，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系及其增减性是解答此题的关键．16．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，那么抛物线的对称轴为直线x=1 ．【分析】根据二次函数的图象具有对称性，由抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，可以得到它的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=，故答案为：x=1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，知道二次函数的图象具有对称性．17．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为88°．【分析】由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC．【解答】解：∵AB=AC=AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，∴∠CAD=2∠BAC=88°．故答案为：88°．【点评】此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关键．18．如图，将三角形ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C，点P 均落在格点上．（1）计算三角形ABC的周长等于3+5 ．（2）请在给定的网格内作三角形ABC的内接矩形EFGH，使得点E，H分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上，且使矩形EFGH的周长等于线段BP长度的2倍，并简要说明你的作图方法（不要求证明）【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、AC即可解决问题．（2）在线段AB上截取BE=AB，作EF⊥BC于F，EH∥BC交AC于H，作HG⊥BC于G，矩形EFGH计算所求作的矩形．作AM⊥BC于M，交EH于N，设EF=x，则MN=EF=x，由△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决．【解答】解：（1）∵AB==，AC==2，BC=5，∴AB+AC+BC=3+5，∴△ABC的周长为3+5．故答案为3+5．（2）在线段AB上截取BE=AB，作EF⊥BC于F，EH∥BC交AC于H，作HG⊥BC于G，矩形EFGH计算所求作的矩形．理由：作AM⊥BC于M，交EH于N，设EF=x，则MN=EF=x，∵矩形EFGH的周长为8，∴EH=4﹣x，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴=，∴，∴x=，∴EF=，∵EF∥AM，∴===，∴BE=AB，∴当BE=AB时，矩形EFGH的周长等于线段BP长度的2倍．【点评】本题考查矩形性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是先利用相似三角形的性质求出矩形的长、宽，然后确定点E位置，属于中考常考题型．三、解答题（共7小题，满分66分）19．解不等式请结合题意填空，完全本题的解答（1）解不等式①，得x≥﹣1 ．（2）解不等式②，得x≤1 ．（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．（4）原不等式组的解集为﹣1≤x≤1 ．【分析】先根据不等式基本性质求出两个不等式的解集，再将不等式解集表示在数轴上，根据解集在数轴上的表示求其公共解．【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣1，（2）解不等式②，得：x≤1，（3）把不等式①和②的解集表示在数轴上，如图：（4）∴原不等式组的解集为：﹣1≤x≤1；故答案为：（1）x≥﹣1；（2）x≤1；（4）﹣1≤x≤1．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．20．某校开展社团活动，准备组件舞蹈、武术、球类（足球、篮球、乒乓球、羽毛球）．花样滑冰四类社团，为了解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜爱的社团”调查，依据相关数据绘制以下的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：“你最喜爱的社团”调查统计图表社团类别人数占总人数的比例舞蹈60 25%武术m 10%花样滑冰36 n%球类120 50%（1）被调查的学生总人数是240 ；m= 24 ，n= 15 ．（2）被调查喜爱球类的学生中有12人最喜爱乒乓球，若该校有2600名学生，试估计全校最喜爱乒乓球的人数．【分析】（1）用“舞蹈”类人数除以其占总人数百分比可得总人数，将“武术”类人数占总人数百分比×总人数可得m的值，将“花样滑冰”类人数除以总人数可得其所占百分比；（2）用乒乓球类人数占样本总数的百分比乘以2600可得．【解答】解：（1）被调查的学生总人数是60÷25%=240（人），“武术”类人数m=240×10%=24（人），“花样滑冰”类人数占总人数百分比n=×100=15；（2）×2600=130（人），答：估计全校最喜爱乒乓球的人数约为130人．故答案为：（1）240，24，15．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．（1）如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．【分析】（1）连接OC，则∠OCP=90°，根据∠CPA=30°，求得∠COP，再由OA=OC，得出∠A=∠ACO，由PD平分∠APC，即可得出∠CDP=45°．（2）由PC是⊙O的切线，得∠OCP=90°．再根据PD是∠CPA的平分线，得∠APC=2∠APD．根据OA=OC，可得出∠A=∠ACO，即∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，则∠COP+∠OPC=90°，从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°．所以∠CDP的大小不发生变化．【解答】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC∴∠OCP=90°．∵∠CPA=30°，∴∠COP=60°∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°∵PD平分∠APC，∴∠APD=15°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．（2）∠CDP的大小不发生变化．∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°．∵PD是∠CPA的平分线，∴∠APC=2∠APD．∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，∴2（∠A+∠APD）=90°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．即∠CDP的大小不发生变化．【点评】本题考查了切线的性质以及角平分线的性质、等腰三角形的性质，要注意各个知识点的衔接．22．天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶钳着历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕，叠双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学情趣小组实地测量了致远塔的高度AB，如图，在C处测得塔尖A的仰角为45°，再沿CB方向前进31.45m到达D处，测得塔尖A的仰角为60°，求塔高AB（精确到0.1m，≈1.732）【分析】先设AB=x米，根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得CB、DB的数值，再根据CD=BC﹣BD=31.45，进而可求出答案．【解答】解：设AB=x米，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∵∠C=45°，∠ADB=60°，CD=31.45m，∴CB=x，BD=x，∵CD=BC﹣BD=x﹣x=31.45，解得：x≈74.4．答：塔高AB约为74.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角；能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．23．为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）．x（亩）20 25 30 35z（元）1700 1600 1500 1400（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．【分析】（1）根据图表的性质，可以得出P关于x的函数关系式和出x的取值范围．（2）根据利润=亩数×每亩利润，可得①当0＜x≤15时②当15＜x＜20时，利润的函数式，即可解题；【解答】解：（1）观察图表的数量关系，可以得出P关于x的函数关系式为：P=（2）∵利润=亩数×每亩利润，∴①当0＜x≤15时，W=1800x+1380（40﹣x）+2400=420x+57600；当x=15时，W有最大值，W最大=6300+57600=63900；②当15＜x＜20，W=﹣20x2+2100x+1380（40﹣x）+2400=﹣20（x﹣18）2+64080；∴x=18时有最大值为：64080元．综上x=18时，有最大利润64080．【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是一次函数的性质．24．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E 的对应点为点N），画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长．【分析】（1）以点O为圆心，以OE为半径画弧，与y轴正半轴相交于点N，以OD为半径画弧，与x轴负半轴相交于点M，连接MN即可；（2）以M为圆心，以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A′，B′与N重合，C′与M重合，然后顺次连接即可；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：（1）△OMN如图所示；（2）△A′B′C′如图所示；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，由作图可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，所以，B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，∵A′C′=AC=5，∴A′F==4，∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8，在Rt△A′B′O中，x2+82=（4+x）2，解得x=6，即OE=6．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，勾股定理，熟练掌握旋转变化与平移变化的性质是解题的关键．25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两个不同交点可知△＞0，求出a的取值范围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标；（2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，进而可得出P点坐标，根据S△PCD=S△PAC﹣S△ADC可得出结论；（3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，联立得，，解得，∴N（，﹣）．∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|x p|﹣|AC|•|x0|=••（3﹣1）=；（3）①当点P在y轴左侧时，∵四边形APCN是平行四边形，∴AC与PN互相平分，N（，﹣），∴P（﹣，）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，∴P1（﹣，）．②当点P在y轴右侧时，∵四边形ACPN是平行四边形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，∴P2（，﹣）．综上所述，当点P1（﹣，）和P2（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、二次函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，难度较大．2016年6月17日。
2020年天津市河西区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45B．﹣45C．4D．﹣142．cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×1065．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1D．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3 10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45B．﹣45C．4D．﹣14【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．解：原式＝﹣9×5＝﹣45，故选：B．2．cos45°的值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：cos45°＝．故选：D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不合题意；故选：C．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．解：将17000用科学记数法可表示为1.7×104．故选：A．5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．故选：B．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间【分析】确定出被开方数23的范围，即可估算出原数的范围．解：∵16＜23＜25，∴4＜＜5，故选：C．7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式＝＝，故选：A．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）【分析】联立两函数解析式解关于x、y的二元一次方程组即可得解．解：解析式联立，解得，所以，交点坐标为（3，6）．故选：A．9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，又∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，且BA＝OC即可得到结论．解：如图，在▱OABC中，O（0，0），C（m，0），∴OC＝BA＝m，又∵BA∥CO，∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，∴B（2+m，3），故选：D．11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H【分析】由折叠的性质可得AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可证△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC．解：∵将△ABC沿直线BC折叠，∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，∵AH⊥A'B，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，∴∠A'BC＝∠HAA'，又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，∴△BHE≌△AHA'（AAS），∴BE＝AA'，∴BE＝2AC，故选：B．12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，分a＞0、a＜0分别求解即可；②△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，即可求解；③当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，即可求解．解：①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，当a＞0时，x＝﹣＞0，解得：a＜﹣3，无解；当a＜0时，x＝﹣＞0，解得：a＞﹣3，故﹣3＜a＜0；故①正确，符合题意；②ax2+bx+3＝2，即ax2+bx+1＝0，△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，故方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根，正确，符合题意；③抛物线y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3，当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，故③正确，符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝a2．【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2．故填a2．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于2．【分析】利用平方差公式计算．解：原式＝3﹣1＝2．故答案为2．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．【分析】根据概率的求法，求出女生的人数与总人数的比值就是其发生的概率．解：∵九年一班共35名同学，其中女生有17人，∴现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率＝，故答案为：．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为y＝x+1．【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解．解：∵一次函数y＝kx+b的图象平行于y＝x，∴k＝1，∴这个一次函数的解析式为y＝x+b．把点（3，4）代入得，4＝3+b，解得b＝1，所以这个一次函数的解析式为y＝x+1，故答案为y＝x+1．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．【分析】先证明△AOG≌△BOF（ASA）、△BOF≌△COH≌DOE≌△AOG，进而证明四边形EGFH为正方形，求出两个正方形的边长，由勾股定理求得AC、GF的长，从而得出OC、OH的长度，由有两个角相等的三角形相似判定△OHM∽△OCH，由相似三角形的性质得出比例式，计算即可求得OM的长．解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD为对角线，∴OA＝OB，∠OAG＝∠OBF＝45°，∴AC⊥BD，又∵EF⊥GH，∴∠AOG+∠BOG＝90°，∠BOF+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠BOF，在△AOG和△BOF中，，∴△AOG≌△BOF（ASA）．∴BF＝AG＝2，OG＝OF，同理可证：△BOF≌△COH，DOE≌△AOG．∴OF＝OH＝OE＝OG，又∵EF⊥GH，四边形EGFH为正方形，∵BF＝AG＝2，FC＝4，∴BC＝6，即正方形ABCD的边长为6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝6，∴OC＝3，∵AG＝2，∴BG＝6﹣2＝4，在Rt△BFG中，由勾股定理得：GF＝＝2，∴小正方形的边长为2．∵GH为小正方形的对角线，∴GH＝×2＝2，∴OH＝，在△OHM和△OCH中，∵∠OHM＝∠COH，∠OHM＝∠OCH＝45°，∴△OHM∽△OCH，∴＝，∴＝，∴OM＝．故答案为：．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为15；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）取格点O，L，连接OB 交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式计算即可．（Ⅱ）取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．解：（Ⅰ）S△ABC＝×5×6＝15，故答案为15．（Ⅱ）如图，正方形ADEF即为所求．故答案为：取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：，（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为25；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．解：（1）根据题意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%；则a的值是25；故答案为：25；（Ⅱ）观察条形统计图，∵＝1.61，∴这组数据的平均数是1.61．∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为1.65，∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.60，有∴这组数据的中位数为1.60，（Ⅲ）能．∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，∴根据中位数可以判断出能否进入前10名；∵1.65m＞1.60m，∴能进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．【分析】（Ⅰ）如图①，连接AD．由切线的性质求出∠BAC＝90°，则可求出∠C的度数，求出∠DAB＝90°﹣∠ABC＝38°，则可求出∠DFB的度数；（Ⅱ）如图②，连接OD．求出∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．得出∠BDO＝∠B＝52°，则∠ODF＝76°﹣52°＝24°，则可求出答案．解：（Ⅰ）如图①，连接AD．∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°．∵∠ABC＝52°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵＝，∴∠DFB＝∠DAB＝38°．（Ⅱ）如图②，连接OD．在△BDE中，DB＝DE，∠B＝52°，∴∠BED＝∠B＝52°，∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．又在△BOD中，OB＝OD，∴∠BDO＝∠B＝52°，∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°．∵OD＝OF，∴∠F＝∠ODF＝24°．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．解：过点C作CD⊥AB垂足为D，在Rt△ACD中，tan A＝tan45°＝＝1，CD＝AD，sin A＝sin45°＝＝，AC＝CD．在Rt△BCD中，tan B＝tan37°＝≈0.75，BD＝；sin B＝sin37°＝≈0.60，CB＝．∵AD+BD＝AB＝63，∴CD+＝63，解得CD≈27，AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，CB＝≈＝45.0，答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，解得x1＝1，x2＝5，当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°．得出AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝DM ＝，进而得出答案；（Ⅱ）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC ＝OB，得出OE＝DC．证出OE∥DC．即可得出结论；（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，证△OBE是等边三角形，得出∠OEB＝60°，求出AG＝，得出CG＝+2，进而得出答案．解：（Ⅰ）∵A（，0），点B（0，1），∴OA＝，OB＝1，在△AOB中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°．∴AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，如图①所示：则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，∴OM＝AO﹣OM＝﹣，∴D（﹣，）．（Ⅱ）延长OE交AC于F，如图②所示：在Rt△AOB中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，∴OE＝BE＝AE．又∠ABO＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴OE＝OB，∴∠BOE＝60°，∴∠EOA＝30°，由旋转性质，DC＝OB，∴OE＝DC．∵α＝60°，∴∠OAD＝60°，由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCA＝∠OFA，∴OE∥DC．∴四边形OECD是平行四边形．（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠OEB＝60°，∴∠AEG＝∠OEB＝60°，在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，sin∠AEG＝，∴AG＝AE×sin∠AEG＝1×＝，∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝+2，∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（+2）＝+1．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【分析】（Ⅰ）点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；（Ⅱ）点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，则m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，即可求解；（III）分a+1＜1、a＜1≤a+1、a≥1三种情况，分别求解即可．解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；∴顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线C′上，且抛物线C′开口向下，形状与由抛物线C相同，于是可得抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；由点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得：m＝；（III）①当a+1＜1时，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1﹣（正值舍去）；②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；③当a≥1时，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；综上，a的值为1﹣或2+．。