常见函数的图像及函数不等式
函数、方程、不等式以及它们图像_课件 共90页
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解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
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解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
函数、方程、不等式 以及它们的图像
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函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
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和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
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解：（2）
由题意可知方程组
y
a
x
有解
ax x
y x
显然 x 0 不是方程 ax x 的解，所以存在非零常数T，使得 aT T
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解：
对于 f(x) ax ，有
f( x T ) a x T a T a x T a x T ( x )f f(x)axM
f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
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证明（2）：
f(x1)
f(1)1 2
f(xn1)f(12xxnn2) f(1x nx nx x nn)f(xn)f(xn)
2f(xn)
f (xn1) 2 f (xn )
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证明（2）：
y x的图像有公共点，证明： f(x) ax M；（3）若函数
常见函数图像作图
立，则实数 t 的取值范围是__(_－__∞__，__－____2_]__． 解析 设 x<0，则－x>0. f(－x)＝(－x)2，又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－x2. ∴f(x)在 R 上为增函数，且 2f(x)＝f( 2x)． 故 f(x＋t)≤2f(x)＝f( 2x)⇔x＋t≤ 2x 在[－2－ 2，2＋ 2] 上恒成立， 由于 x＋t≤ 2x⇔( 2－1)x≥t， 要使原不等式恒成立，只需( 2－1)(－2－ 2)≥t ⇒t≤－ 2即可．
>0
⇔
f(x)
在
[a
，
b]
上
是
增
函
数
；
(x1
－
x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(xx1)1－ －fx(2x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)若函数 f(x)和 g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)
是减函数；若函数 f(x)和 g(x)都是增函数，则在公共定义域内，
如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：
lo g aM Nlo g aMlo g aN M
loga N logaM-logaN
logaMn nlogaM
logam Nn
n mlogaN 2、换底公式：
lo g abllo o g g c cb a (a0 且 a1 ,c0 且 c 1 ,b0 )
第二十七页，共43页。
y=
第二十八页，共43页。
第二十九页，共43页。
函数y= 与函数y=f(x) 图象间的关系:
第10讲 函数的图像
5
m 的取值范围是
0, 2
.
③ 4.[教材] 函数 y= |1-������2|的图像大致 .(号)
图 1-10-1
课堂考点探究
变式题 分别画出 解:(1)先画出函数 y=x2-4x+3 的图像,再将其 x 轴下方的图像翻
下列函数的图像:
折到 x 轴上方,如图①所示.(2)y=2������+1=2- 1 的图像可由 y=-1的
得到曲线 C1,而且曲线 C1 与函数 g(x)的图像关于
y 轴对称,则 g(x)的解析式为
A.g(x)=e2-x C.g(x)=ex
( C)
B.g(x)=ex-2 D.g(x)=e-x
探究点二 识图与辨图的常见方法
例2
函数 f(x)=x2-
1 2
������
的图像大致是
(B
)
图 1-10-2
微点2 性质检验法
B.y=2|x|-2 D.y=2|x|-x2
图1-10-10
微点2 求不等式的解集
例 6 已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,
A f(x)=
cos π������,������∈ 0, 1 ,
2
2������-1,������∈
1 2
,
+
∞
则不等式 f(x-1)≤1的解集为(
,
2
)
A.
1 4
,
第10讲 函数的图像
1.描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:①确定函数的定义域;
②化简函数解析式;
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小
2.7 函数的图像
∴x - <a 在x∈(-1,1)恒成立,
2
2 1
x
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第二章 2.7 函数的图像
令g(x)=x - ,φ(x)=a ,
2
2 1
x
当x∈(-1,1)时,g(x)的图象在φ(x)的图象的下方.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
-1
第二章 2.7 函数的图像
当a>1时,结合图象可知a ≥ ,即1<a≤2;当0<a<1时,结合图
5.若定义在R上的函数f(x)关于点(a,c)成中心对称,关于直线x =b(b>a)成轴对称,则函数f(x)为周期函数,4b-4a是它的一个周 期.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第二章 2.7 函数的图像
1.方程log2(x+4)=3 的实根的个数为 ( (A)0个. (B)1个. (C)2个.
x
) (D)3个.
【解析】借助图形,由图可知.
【答案】C
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第二章 2.7 函数的图像
2.函数f(x)=
ln | x | x
的图象大致是(
)
【解析】f(-x)= 排除A、B、C. 【答案】D
ln | x | ln | x | =- x x
=-f(x),故f(x)为奇函数;又f(1)=0,故
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第二章 2.7 函数的图像
变式训练3 已知f(x)是R上的单调函数,且对任意的实数a∈ R,有f(-a)+f(a)=0恒成立,若f(-3)=2. (1)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由; (2)解关于x的不等式:f(
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
2019/11/28
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解： 由于x的任意性，则只有当 T1的时候可能恒成立 ①当 T1时，sik ( n x 1 ) sik n x k () sik nx 恒成立 k2m ，mZ
②当T1时，
sik (n x 1 ) sik n x k () sikn 恒x 成立
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解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
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解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
abc2c，且 ab1c
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解： 即a,b是一元二次方程 x2(1c)xc2c0的两个不相等 的根，且两根都大于c，令 f(x)x2(1c)xc2c，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内， 又图像开口向上
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解：
函数、方程、不等式 以及它们的图像
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函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
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和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
2
f(x)f(y)f1xxyy 。（1）证明： f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
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（2）对于数列 {x n } ，若
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
函数图像专题PPT课件图文
2．(2011·福州质检)函数y＝log2|x|的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选C.
答案 A
4．(08·山东)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案 A 解析 ∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)．即3＋|2－a|＝1＋|a|，用代入法知选A.
思考题1 将函数y＝lg(x＋1)的图象沿x轴对折，再向右平移一个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】 y＝－lgx
题型二 知式选图或知图选式问题 例2 (2011·合肥模拟)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
【解析】 首先分析奇偶性，知函数为偶函)＝1，∴选A.
1.函数图象的三种变换 (1)平移变换：y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－b)(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移b个单位而得到；y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位，得到y＝f(x)－b的图象；y＝f(x)＋b(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减上加下减．
【答案】 C
题型三 函数图象的对称性 例3 (1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________________． (2)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
二次函数及一元二次不等式
一、一元二次函数及一元二次不等式一、二次函数1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac ab x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac ab --，对称轴是直线ab x 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min -=，无最大值。
② 当0<a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab --∞上是增函数。
【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y【练习1】（1）求作函数362++=x x y 的图象。
（2）求作函数342+--=x x y 的图像【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x （二）一元二次函数性质【例2】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时， 7min -=y 函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。
【练习2】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
103)5(232=-⨯-=-ab ，2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-ab ac∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029=x05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值2029=maz y函数在区间]103,(-∞上是增函数，在区间),3[+∞-上是减函数。
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常见函数的图像及函数不等式
图像图像
图像图像
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图像图像2/ 25
图像图像
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图像图像4/ 25
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常用的放缩公式
对数放缩
1.放缩成一次函数
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()
ln1
x x
+≤ln x x
≤2.放缩成双撇函数
()
ln1
x x
<>
()
ln01
x x
><<()
11
ln,01
2
x x x
x
⎛⎫
>-<<
⎪
⎝⎭
()
11
ln,1
2
x x x
x
⎛⎫
<->
⎪
⎝⎭
3.放缩成二次函数
2
ln x x x
≤-()()
2
1
ln1,10
2
x x x x
+≤--<<()()
2
1
ln1,0
2
x x x x
+≥->
4.放缩成反比例函数
1
ln1
x
x
≥-()1
ln1
1
x
x
+≥
+
()
()
21
ln,1
1
x
x x
x
-
>>
+
()
()
21
ln,01
1
x
x x
x
-
<<<
+
()()
2
ln1,10
1
x
x x
x
+<-<<
+
()()
2
ln1,0
1
x
x x
x
+>>
+
指数放缩
1.放缩成一次函数1
x
e x
≥+x e ex
≥x e x
>
2.放缩成反比例函数
()
1
,0
1
x
e x
x
≤≤
-
()
1
,0
x
e x
x
<-<
3.放缩成二次函数
()
2
1
1,0
2
x
e x x x
≥++>23
11
1
26
x
e x x x
≥+++
指对数放缩
()()
ln112
x
e x x x
-≥+--=
三角函数放缩
tan sin,0
2
x x x x
π
⎛⎫
>><<
⎪
⎝⎭
2
1
sin
2
x x x
≥-22
11
1cos1sin
22
x x x
-≤≤-
以直线1
y x
=-为切线的函数
ln
y x
=11
x
y e-
=-2
y x x
=-
1
1
y
x
=-ln
y x x
=
对数平均值不等式链
a b
>>
若
，则
22
11ln ln2
ab a b a b
a b
a b a b
a b
-+
<=<<<<
+-
+
裂项放缩
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分式放缩
姐妹不等式，即
()0,0b b m a b m a a m +<>>>+；()0,0b b m b a m a a m
+>>>>+； 记忆口诀：“小者小，大者大”；
解释：看字母b ，b 小，则不等式的符号是小于号，反之大于号。
对数平均值不等式链
a b
>>
若，则
22 22
11ln ln22
ab a b a b a b
a a
b b
a b a b
a b
-++
<=<<<<<
+-
+
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16/ 25
18 / 25
20/ 25
22 / 25
24/ 25。