(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明(最新整理)
正余弦定理重要知识点(经典)
正余弦定理重要知识点本张武林秘籍，乃武林之精髓所在，得此天书者，细细研习，来日方长，必成大器。
下星期一需要全部背住，不然你不知道我要出哪一招。
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B （R 是三角形外接圆半径）． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B3、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-4、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=． 5、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B 两边夹角的正弦值两边之积⨯⨯=∆21ABC S 高底⨯=∆21ABC S 6、①如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角； ②如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；③如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。
（课本第6页右下角）例如a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若①222a b c +=，则90C =；②若222a b c +<，则．︒︒<<18090C ，C 为钝角③若222a b c +>，则︒︒<<900C ；C 为锐角7、在三角形中一些重要的知识点；1.2.π=++C B A ,)0(,,π，∈C B A3.4.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
最新正弦定理和余弦定理(含解析)
第七节正弦定理和余弦定理[知识能否忆起]1．正弦定理 分类 内容定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 是△ABC 外接圆的半径) 变形 公式 ①a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ，②sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ③sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R解决的 问题 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角， ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2．余弦定理 分类 内容定理在△ABC 中，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 变形 公式 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab解决的 问题 ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°解析：选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：选B ∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________. 解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b ＝2. 答案：25．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2－10x cos 120°， 整理得x 2＋5x －24＝0，即x ＝3.因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝1534.答案：1534(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .(2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角 或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <ba ≥ba >b解的个数一解两解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形典题导入[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.在本例(2)的条件下，试求角A 的大小． 解：∵a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝a sin Bb ＝3·sin π33＝12. ∴A ＝π6.由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，即 sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝ 2sin A ，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，∵0<A <180°，∴A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34.又sin B ＋sin C ＝1， 解得sin B ＝sin C ＝12.∵0°<B <60°，0°<C <60°，故B ＝C ， ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．以题试法2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A2，cos 2A ， ∴m ·n ＝4cos 2A2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3.又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．与三角形面积有关的问题典题导入[例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[自主解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.由题悟法1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．以题试法3．(2012·江西重点中学联考)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2A －cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC .解：(1)由已知得12(2cos 2A －1)＝cos 2A －cos A ，则cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由b sin B ＝c sin C ，可得sin B sin C ＝b c＝2， 即b ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12，解得c ＝3，b ＝23，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b，则C ＝( )A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°解析：选B 由1＋tan A tan B ＝2c b 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin Aa ＝3sin π33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin Csin B＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：22 69．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 答案：410．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64.故a ＝b ×sin Asin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u ur 的值．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r |·|AC u u ur |cos A ＝cb cos A＝2×7×714＝1. 12．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34， 因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72， 所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72， 2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0， 解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab， ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 答案：3323．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. 法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.解析：在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又∵sin A ＝a sin B b ＝12，∴A ＝30°或150°(舍)，∴C ＝90°，∴sin C ＝1.答案：12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知：sin A ＝2sin B cos C ，又A ＝π－(B ＋C )，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴sin(B －C )＝0.又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C .法二：(化角为边)由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a， ∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c .3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，且0<C <π， 所以sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26，c ＝4.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53. (2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，得4＝a2＋c2－82＋c2－16，5ac＝a即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以a＋c＝210.。
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析] (1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝a b ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________． 解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba ＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D.6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sinC sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A.5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12， 又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BD sin A， ∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3， ∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2， 由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.。
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法——王彦文青铜峡一中1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝，c＝；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝ .若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝ .若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a，(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sin A2＝__________，cosA2＝__________，tan A2＝＋tan B＋tan C＝__________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sin B2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tan C2＝13.【自查自纠】1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin C2．(1)b2＋c2－2bc cos A c2＋a2－2ca cos Ba2＋b2－2ab cos C a2＋b2(2)b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab><(3)互化sin2C＋sin2A－2sin C sin A cos Bsin2A＋sin2B－2sin A sin B cos C3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②二解③一解④一解(3)余弦(4)余弦4．(1)12ab sin C12bc sin A12ac sin Babc4R12(a＋b＋c)r(2)π－(B＋C)π2－B＋C2sin(B＋C) －cos(B＋C)－tan(B＋C)cosB＋C2sinB＋C21tanB＋C2tan A tan B tan C(3)a＋c sin A＋sin C在△ABC中，A>B是sin A>sin B的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C.在△ABC中，已知b＝6，c＝10，B＝30°，则解此三角形的结果有( )A．无解B．一解C．两解D．一解或两解解：由正弦定理知sin C＝c·sin Bb＝56，又由c>b>c sin B知，C有两解．也可依已知条件，画出△ABC，由图知有两解．故选C.(2013·陕西)设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若b cos C＋c cos B＝a sin A, 则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C＋sin C cos B＝sin A·sin A，即sin(B＋C)＝sin A sin A，亦即sin A＝sin A sin A.因为0<A<π，所以sin A＝1，所以A＝π2.所以三角形为直角三角形．故选B.(2012·陕西)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________．解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B＝22＋()232－2×2×23×cos π6＝4，b＝2.故填2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A 的大小为________．解：∵sin B＋cos B＝2，∴2sin⎝⎛⎭⎪⎫B＋π4＝2，即sin⎝⎛⎭⎪⎫B＋π4＝1.又∵B∈(0，π)，∴B＋π4＝π2，B＝π4.根据正弦定理asin A＝bsin B，可得sin A＝a sin Bb＝12.∵a＜b，∴A＜B.∴A＝π6.故填π6.类型一正弦定理的应用△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝2b，求C.解：由a＋c＝2b及正弦定理可得sin A ＋sin C＝2sin B.又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cos C＋sin C＝sin A＋sin C＝2sin(A＋C)＝2sin(90°＋2C)＝2sin2(45°＋C)．∴2sin(45°＋C)＝22sin(45°＋C)cos(45°＋C)，即cos(45°＋C)＝12.又∵0°＜C＜90°，∴45°＋C＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，b sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋C－c sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)证明：对b sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋C－c sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B＝a应用正弦定理得sin B sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋C－sin C sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B＝sin A，即sin B⎝⎛⎭⎪⎫22sin C＋22cos C－sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C－sin C cos B ＝1，即sin ()B －C ＝1.由于B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴B －C ＝π2.(2)∵B ＋C ＝π－A ＝3π4，又由(1)知B －C ＝π2， ∴B ＝5π8，C ＝π8. ∵a ＝2，A ＝π4，∴由正弦定理知b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2sin 5π8×2sinπ8×22＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝22sinπ4＝12. 类型二 余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c . (1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )B ．8－4 3C ．1解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A .类型三 正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .②由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1. 【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. 类型四 判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a2－b2)＝0，即a2＝b2或c2＝a2＋b2.从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2012·上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解：在△ABC中，∵sin2A＋sin2B<sin2C，∴由正弦定理知a2＋b2<c2.∴cos C＝a2＋b2－c22ab<0，即∠C为钝角，△ABC为钝角三角形．故选C.类型五解三角形应用举例某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile，则S＝900t2＋400－2·30t·20·cos（90°－30°）＝900t2－600t＋400＝900⎝⎛⎭⎪⎫t－132＋300，故当t＝13时，S min＝103，此时v＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－600t＋400t2.∵0<v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23.又t＝23时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于2 3 .此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝103，AC＝20sin30°＝10.又AC＝30t，OC＝vt，此时，轮船航行时间t＝1030＝13，v＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假设v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝23.据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图，由(1)得OC＝103，AC＝10，故OC>AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD 中，CD＝103tanθ，OD＝103 cosθ.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝10＋103tanθ30和t＝103v cosθ，所以10＋103tanθ30＝103v cosθ.由此可得，v＝153sin（θ＋30°）.又v≤30，故sin(θ＋30°)≥32，从而，30°≤θ<90°.由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为3 3 .于是，当θ＝30°时，t＝10＋103tanθ30取得最小值，且最小值为23.【评析】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．(2012·武汉5月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，在△ABC中，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，BC＝28.所以渔船甲的速度为v＝282＝14(海里/小时)．(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理得ABsinα＝BC sin∠BAC ，即12sinα＝28sin120°，从而sinα＝12sin120°28＝3314.1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A＋B＋C＝π这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，sinA2＝cosB＋C2，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．。
(完整版)解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结
第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。
二、正弦定理（一）知识与工具：正弦定理：在△ABC 中， R Cc B b A a 2sin sin sin ===。
（外接圆圆半径） 在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180°(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S=21absinC=Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC 111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径） )(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)(4)三角函数的恒等变形。
(5) sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（6）(边化角公式）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（7）(角化边公式） ::sin :sin :sin a b c A B C =（8）sin sin sin (9),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === （10）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1 利用正弦定理公式原型解三角形题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
解三角形之：正弦定理和余弦定理
三角之：正弦定理，余弦定理 2011-7-23一．基础知识 （1）正弦定理：Cc Bb Aa sin sin sin ==(2)余弦定理： cos 2222ab c b a -+= AB ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 注意：正弦定理和余弦定理都是“知三求一”,但应注意区别：正弦定理是“知两角一边可以求一边”或“知两边一角可以求一角”； 余弦定理是“知三边可以求一角”或“知两边一角可以求一边”。
正弦定理推论:（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)C Rc B Rb A Ra sin 2,sin 2,sin 2===(3) a :b :c=sinA:sinB:sinC(4)C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>> 余弦定理推论：abcb a C acbc a B bcac b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=（2）三角形面积公式：,sin 21C ab S ABC =∆,sin 21A bc S ABC =∆B ca S ABC sin 21=∆二.基础题型题型一：解三角形（在各种情况下能熟练解三角形,只需说明做法即可） 例1: 解此三角形中，oo C B a ABC 75,60,8===∆（已知两角一边）例2：解此三角形中，oo C A c 75,45,3ABC ===∆（已知两角一边）例3：解此三角形中，oB c a ABC 150,3,1===∆（已知一角两边）例4：解此三角形中，045,1,2===∆B c b ABC （已知一角两边）例5：解此三角形中，oB b a ABC 45,2,3===∆（已知一角两边）例6：解此三角形中，,30,2,34o C c b ABC ===∆（已知一角两边）例7：ABC ∆中，若8:7:5::=c b a ，解此三角形小结：（1）三角形中必须已知三个条件时（其中必须有边和角），才可解三角形。
初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理
初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理三角形的正弦定理与余弦定理是初中数学中重要且常用的知识点。
它们是解决三角形相关问题的基本工具，能够帮助我们计算三角形的各个边长和角度。
本文将对三角形的正弦定理与余弦定理进行归纳和解释，以帮助同学们更好地理解和应用这两个定理。
1. 三角形的正弦定理三角形的正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。
简单来说，正弦定理表明三角形的每条边的长度与其对应的角的正弦值成比例。
这个关系可以通过以下示例来理解：【示例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60°，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有5/sin60° = c/sin(180°-60°-60°)，化简得c = 5*sin120° / sin60° ≈ 8.66cm。
【示例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为45°，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有9/sin45° = c/sin(180°-45°-45°)，化简得c = 9*sin135° / sin45° ≈ 14.14cm。
从这两个示例可以看出，正弦定理可以帮助我们在已知两边和夹角的情况下求解三角形中的第三边长度。
2. 三角形的余弦定理三角形的余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosC。
其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。
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正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的主要工具，一、解三角形（一）已知三边例1、在ΔABC 中，，，，则B=_________。
1a =7b =3c =方法小结：已知三边用余弦定理。
（二）已知两边（一角）1例2、在⑴a = ⑵a = ⑶a = ⑷a = ⑸a =⑵，即时，有唯一解B=90°；1B sin =b A sin a = ⑶，即时，1B sin <b A sin a < ①若，则，有两解；a b >A B > ②若，则，有一解；a b <A B < ③若，则，有一解。
a b =A B =综上：⑴无解：；⑵两解：；⑶一解：或。
1B sin >⎩⎨⎧><a b 1B sin 1B sin =⎩⎨⎧≤<a b 1B sin例3、在ΔABC 中，，，B=45°，若这个三角形有两解，则x 的取值范围是_____________。
x a =2b =例4、在方法小结：2例5、在方法小结：例6、在方法小结：（四）综合1、如图，在ΔABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，3BC=2BD ，则的值为（）C sin A ．B ．C ．D ．33633666ABC题12、在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝，2∠ADB ＝135°，若AC ＝AB ，则BD ＝_______。
2方法小结：求角或求边必须先找到一个适当的三角形：①包含所求角或边；②条件尽可能充足（三个或以上）。
练：1、在2、在3、在DC=6，求二、边角转换，只留一类。
三角形中有些问题会需要转换边角类型来解决，一般情况下（少数问题除外），转换后的表达式最好只保留边或角的一种类型。
例7、在ΔABC 中，若，则ΔABC 的形状一定是（ ）C sin A sin B cos 2=A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形ABDC题2例8、在ΔABC 中，已知，则ΔABC 的形状为()()C cos a b C sin B cos a c B sin -=-_______________________。
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3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解
π
①一解 ②二解 ③一解 ④一解
所对的边分别为 a，b，c.若 a＝2，B＝ ，c＝2 6
(3)余弦 (4)余弦
3，则 b＝________．
1
1
1
abc
4． (1) absinC bcsinA acsinB
解：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accosB＝22
2
2
2
2
22
1 . 3
则解此三角形的结果有( )
A．无解
B．一解
C．两解
D．一解或两解
c·sinB 5
解：由正弦定理知 sinC＝
＝ ，又由
b6
c>b>csinB 知，C 有两解．也可依已知条件，画
【自查自纠】
出△ABC，由图知有两解．故选 C.
abc 1．(1) ＝ ＝ ＝2R
sinA sinB sinC
时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用____________定理，
必有一解．
4．三角形中的常用公式或变式
(1)三 角 形 面 积 公 式 S△＝
＝
＝
____________＝
____________＝
____________．其中 R，r 分别为三角形外接圆、
内切圆半径．
(2)A＋B＋C＝π，则 A＝__________，
A ＝ __________， 从 而 sinA＝ 2
____________，
cosA＝
____________，
tanA＝
____________；
A
A
sin ＝__________，cos ＝__________，
2
2
1
A tan ＝ ________.tanA＋ tanB＋ tanC＝
2
D．既不充分也不必要条件 解：因为在同一三角形中，角大则边大，边
4
sinA
5π asinC
π
＝2sin ，c＝ ＝2sin .
8
sinA
8
1
1
5π
π
∴S△ABC＝
bcsinA＝ 2
×2sin 2
8
×2sin 8
2 ×
2
5π π
ππ 2
＝ 2sin sin ＝ 2cos sin ＝ sin
88
8 82
π1 ＝.
42
类型二 余弦定理的应用
( ) π
－csin ＋B ＝a. 4
故 cosC＋ sinC＝ sinA＋ sinC＝ 2sin(A＋ C)＝ 2sin(90°＋2C)＝ 2sin2(45°＋C)． ∴ 2sin(45°＋ C)＝ 2 2sin(45°＋
C)cos(45°＋C)， 1
即 cos(45°＋C)＝ . 2
又∵0°＜C＜90°，∴45°＋C＝60°，C＝ 15°.
【评析】①根据所给等式的结构特点利用余 弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关
(2013·山东)设△ABC 的内角 A，B，
键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注 C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＋c＝6，b＝2，cosB
意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
7 ＝.
9
若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，
(1)求 a，c 的值； (2)求 sin(A－B)的值．
b，c 满足(a＋b)2－c2＝4，且 C＝60°，则 ab
解：(1)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，
的值为( )
4
A.
B．8－4 3
3
2 C．1 D.
3
解：由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2
＋b2－ab，代入(a＋b)2－c2＝4 中得(a＋b)2－(a2
4
1
2
(2)△ABC 的面积 S＝ acsinB＝ ac.
2
4
π 由已知及余弦定理得 4＝a2＋c2－2accos .
4
4
又 a2＋c2≥2ac，故 ac≤
，
2－ 2
在 三 角 形 ABC 中 ， 若 tanA∶tanB＝
a2∶b2，试判断三角形 ABC 的形状．
2 ＋c2－2accosB，得 13＝42－2ac－2accos π，
3 解得 ac＝3.
1
33
∴S△ABC＝2acsinB＝ 4 .
【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的 正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知 边及其对角求三角形面积最值是高考中考过 多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以 用余弦定理化边后用不等式求最值．
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题．
主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的 能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常 常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明， 或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度 等问题，且多以应用题的形式出现．
【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角 角关系，这是解此题的关键．
(2012·江西)在△ABC 中，角 A，B，
( ) π
π
C 的对边分别为 a，b，c.已知 A＝ ，bsin ＋C
4
4
3π (2)∵B＋C＝π－A＝ ，又由(1)知 B－C＝
4
π ，
2
5π π
∴B＝ ，C＝ .
8
8
π
asinB
∵a＝ 2，A＝ ，∴由正弦定理知 b＝
若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a2＋b2______c2.故
由 a2＋b2 与 c2 值的大小比较，可以判断 C 为锐
角、钝角或直角．
图 形
关 a＝ bsinA<a
系
a≥b
a>b
bsinA
<b
式
解
的 ① ② ③ ④
个
数
(3)已知三边，用____________定理．有解
3．解斜三角形的类型
(1)已 知 三 角 形 的 任 意 两 个 角 与 一 边 ， 用
____________定理．只有一解．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对
角 ， 用 ____________定 理 ， 可 能 有
___________________．如在△ABC 中，已知 a，b
和 A 时，解的情况如表：
π (1)求证：B－C＝ ；
2 (2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积．
( ) ( ) π
π
解：(1)证明：对 bsin ＋C －csin ＋B
4
4
( ) π
＝a 应用正弦定理得 sinBsin ＋C －sinCsin 4
( ) π ＋B ＝sinA， 4
即
( ) 2
2
sinB sinC＋ cosC －
(2013·陕西)设△ABC 的内角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 若 bcosC＋ ccosB＝
bc (2)①2RsinB 2RsinC ②
2R 2R
asinA, 则△ABC 的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
③sinA∶sinB∶sinC
C．钝角三角形
D．不确定
2．(1)b2＋c2－2bccosA c2＋a2－2cacosB
解 ： 由 已 知 和 正 弦 定 理 可 得 sinBcosC＋
a2＋b2－2abcosC a2＋b2
sinCcosB＝ sinA·sinA， 即 sin(B＋ C)＝
b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 a2＋b2－c2
(2)
A 为锐角
A 为钝角 或直角
1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它
所对角的正弦的比相等，即
．其
中 R 是三角形外接圆的半径．
(2)正弦定理的其他形式：
①a＝ 2RsinA， b＝
，c
＝
；
a
②sinA＝ ，sinB＝
，
2R
sinC＝
；
③a∶b∶c＝______________________.
——王彦文 青铜峡一中
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边
角____________，余弦定理亦可以写成 sin2A＝
sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，sin2B＝
____________；sin2C＝__________________.注
意式中隐含条件 A＋B＋C＝π.
2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等
于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹
角的余弦的积的两倍．即
a2＝
，b2＝
，
c2＝
.
若令 C＝90°，则 c2＝
，即为勾
股定理．
(2)余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA
＝
，cosB＝
，cosC
＝
.
若 C 为锐角，则 cosC>0，即 a2＋b2______c2；
b3
(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的 内
角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC＋ csinB.
(1)求 B； (2)若 b＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 ： (1)由 已 知 及 正 弦 定 理 得 sinA＝
因为 a＝c，所以 A 为锐角， 1
所以 cosA＝ 1－sin2A＝ . 3