平面向量经典习题-提高篇
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平面向量:
1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,-2)共
线,则实数λ等于( ) A .-2
B .-13
C .-1
D .-23
[答案] C
[解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ), ∵λa +b 与c 共线,
∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1.
2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k ,3),若a +2b 与c 垂直,则k =( ) A .-1 B .-3 C .-3 D .1
[答案] C
[解析] a +2b =(3,1)+(0,2)=(3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c =3k +33=0, ∴k =-3.
(理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( )
A .-611
B .-116
C.6
11
D.
11
6
[答案] C
[解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ),∵a+b与a-λb垂直,
∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=6
11
.
3.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、b
间的夹角为( )
A.150° B.120°
C.60° D.30°
[答案] B
[解析] 如图,在▱ABCD中,
∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD为正三角形,
∴∠BAD=60°,∴〈a,b〉=120°,故选B.
(理)向量a,b满足|a|=1,|a-b|=
3
2
,a与b的夹角为60°,
则|b |=( )
A.12
B.1
3 C.1
4 D.15
[答案] A
[解析] ∵|a -b |=32,∴|a |2+|b |2
-2a ·b =34,
∵|a |=1,〈a ,b 〉=60°,
设|b |=x ,则1+x 2
-x =34,∵x >0,∴x =1
2
.
4. 若AB
→·BC →+AB →2=0,则△ABC 必定是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形
[答案] B
[解析] AB →·BC →+AB →2=AB →·(BC →+AB →)=AB →·AC →=0,∴AB →⊥AC
→, ∴AB ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形.
5. (文)若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-2,4),则用a ,b 表示c 为( ) A .-a +3b B .a -3b C .3a -b D .-3a +b [答案] B
[解析] 设c =λa +μb ,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ),
∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ+μ=-2λ-μ=4,∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ=1μ=-3
,∴c =a -3b ,故选B. (理)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC →=a ,BD →=b ,则AF →等于( )
A.14a +12b
B.23a +13b
C.12a +14b
D.13a +23
b [答案] B
[解析] ∵E 为OD 的中点,∴BE →=3ED →, ∵DF ∥AB ,∴|AB ||DF |=|EB |
|DE |
,
∴|DF |=13|AB |,∴|CF |=23|AB |=2
3|CD |,
∴AF →=AC →+CF →=AC →+23CD →=a +23
(OD →-OC →)
=a +23(12b -12a )=23a +13
b .
6. 若△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB →·BC →的值为( ) A .19 B .14 C .-18 D .-19
[答案] D
[解析] 据已知得cos B =72+52-622×7×5=1935
,故AB
→·BC →=|AB →|×|BC →|×(-cos B )=7×5×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫-1935=-19. 7. 若向量a =(x -1,2),b =(4,y )相互垂直,则9x +3y 的最小值为( )
A .12
B .23
C .3 2
D .6
[答案] D
[解析] a ·b =4(x -1)+2y =0,∴2x +y =2,∴9x +3y =32x +3y
≥23
2x +y
=6,等号在x =1
2
,y =1时成立.
8. 若A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,若O 不在l 上,存在实数
x 使得x 2OA →+xOB →+BC →=0,实数x 为( ) A .-1 B .0 C.-1+5
2
D.1+52
[答案] A
[解析] x2OA→+xOB→+OC→-OB→=0,∴x2OA→+(x-1)OB→+OC→=0,由向量共线的充要条件及A、B、C共线知,1-x-x2=1,∴x=0或-1,当x=0时,BC→=0,与条件矛盾,∴x=-1.
9.(文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点,则AP→·(AB→+
AC→)( )
A.最大值为8 B.最小值为2
C.是定值6 D.与P的位置有关
[答案] C
[解析] 以BC的中点O为原点,直线BC为x轴建立如图坐标系,则B(-1,0),C(1,0),A(0,3),AB→+AC→=(-1,-3)+(1,-3)=(0,-23),
设P(x,0),-1≤x≤1,则AP→=(x,-3),
∴AP→·(AB→+AC→)=(x,-3)·(0,-23)=6,故选C.
(理)在△ABC中,D为BC边中点,若∠A=120°,AB→·AC→=