平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________一、选择题（题型注释）1． 空间四边形OABC 中，OA a =,OB b =, OC c =,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的中点，则MN =（ ）A 121-232a b c + B 211322a b c ++C 112-223a b c +D 221-332a b c + 【答案】B【解析】 试题分析：因为N为BC的中点，则1()ON OB OC =+，12()23MN ON OM OB OC OA =-=+-=112223b c a +-，选B考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；2．已知平面向量a，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） （A （B （C （D 【答案】D【解析】 试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+⋅=∴+⋅=，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则2112cos a a b +⋅=+⨯ 考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角 3．若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°，则OA OB OC ++=【答案】D【解析】试题分析： OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°222222232cos602cos602cos60a b c a b c ab bc ac a b b c a c ++=+++++=+++6=6a b c ++=考点:向量的数量积.4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC a =，BD b =，则AF =( ) A.1142a b + B.1233a b + C.1124a b + D.2133a b + 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，AEB ∆与FED ∆相似，且相似比为3:1，所以13DF DC =,由向量加减法的平行四边形法则可知，,AB AD a AD AB b +=-=，解得，,a b a bAD AB +-==，由向量加法的三角形法则可知，121333AF AD DF AD AB ab =+=+=+,故D 正确。

考点：平面向量的加减法5．在边长为1的等边ABC ∆中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC = 则AD BE ⋅=（ ） A ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC = 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA 所在直线为y 轴，BC 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，，设),(y x E ，由EC AE =2可得：考点：平面向量的坐标运算6．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（ ） A ．（2,4） B ．（3,5） C ．（1，1） D ．（－1，－1） 【答案】C ． 【解析】试题分析：()(1,1)DA AD AC AB =-=--=． 考点：平面向量的线性运算．7．已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1- 【答案】A 【解析】试题分析：设),(y x b =，则)2,1(++=+y x b a ，因()//a b b +，所以0)2()1(=+-+y x y x ，02=-x y ，只有A 满足考点：向量共线的条件8．已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若4ma b +与2a b -共线，则m 的值为（ ）A ． 2 C ．2- 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得4ma b +)83,42()2,1(4)3,2(+-=-+=m m m ，2a b -)1,4()2,1(2)3,2(-=--=又因为4ma b +与2a b -共线，所以有228140)83(4)1()42(-=⇒-=⇒=+⨯--⨯-m m m m ， 故选D ．考点：1．向量的坐标运算；2．向量平行的坐标条件．9．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b ,且平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数）,则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞ D ．(,2)(2,)-∞+∞【答案】D【解析】试题分析：平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数）的充要条件是)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b 不共线,即()132202m m m ⨯--⨯≠⇒≠,故选D.考点：平面向量的基底及向量共线10．若向量(1,2)=-a ,(2,1)=b ,(4,2)--c =,则下列说法中错误．．的是（ ） A. a b ⊥B. 向量a 与向量c 的夹角为90︒C. b ∥cD.对同一平面内的任意向量d ,都存在一对实数12,k k ,使得12k k =d b +c 【答案】D 【解析】试题分析：022=-=⋅b a ，故A 正确；0)2()2()4(1=-⨯-+-⨯=⋅c a ，所以B 故C 正确；因为c b ,是共线的，不能作为基底，故D 错 考点：向量的夹角11．已知向量()3,4a =，则实数λ的值为（ ） A ．1 C ．1± 【答案】D 【解析】试题分析：因为()3,4a=，所以1λ=±，故选D ．考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模．12．若向量()2,1a =-，()0,2b =，则以下向量中与a b +垂直的是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1D ．()0,2 【答案】A 【解析】试题分析：∵向量()2,1a =-，()0,2b =，∴(2,1)a b +=，而12(2)10⨯+-⨯=，∴以下向量中与a b +垂直的是()1,2-. 考点：向量垂直的充要条件.13．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若14AD BE ⋅=- 则λ的值为（ ） （A （B）2 （C （D ）3【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：()()()12AD BE AB BD BC CE AB BC BC CA λ⎛⎫⋅=++=++ ⎪211AB BC BC AB CA BC CA λλ⋅++⋅+⋅=考点：向量的应用.14．已知向量(1,2)a =， (1,0)b =，(3,4)c=，若λ为实数，()a b c λ+⊥，则λ=（ ） A 【答案】D 【解析】试题分析：()1,2a b λλ+=+,因为()a b c λ+⊥,所以()()31420a b c λλ+⋅=++⨯=,解得故D 正确.考点：向量垂直;向量的数量积.15．在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==，，则AB AC ⋅的值为（ ）（A ）2-（B ）2（C ）4±（D ）2±【答案】D 【解析】试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角A 的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果.141sin A 2ABC AC AB S AC AB ∆====，，cosA AB AC AB AC ∴⋅=⨯⨯D考点：平面向量的数量积二、填空题（题型注释）16．已知两个非零向量a 与b ，定义|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3,4)，b ＝(0,2)，则|a×b|的值为________． 【答案】6 【解析】|a|5，|b|2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cosθ∈[0，π]，所以故根据定义可知6. 17．△ABC 中AB ＝2，AC ＝3，点D 是△ABC 的重心，则AD ·BC ＝________． 【解析】设E 为边BC 的中点，因为点D 是△ABC 的重心，所以AD ＝3AE ＝32(AB ＋AC )3(AB ＋AC )，又BC ＝AC －AB ，所以AD ·BC ＝(AB ＋AC )·(AC －AB )＝(AC 2－AB 2)＝18．已知a =（2,0），||3b =，,a b 的夹角为2|a b -= 【答案】13【解析】2224416a b a a b b -=-⋅+=-考点：向量的基本运算.19．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O 的表面积为48π，则异面直线AB 与OC 所成角余弦值为 .【解析】试题分析：过O 作BC 的垂线，垂足为M ，以MA 所在线为x 轴，以MC 所在线为y 轴，以MO 所在线为z 轴，建立直角坐标系，所以(2,00)A ，，(0,2,0)B -，(0,2,0)C ，，(2,2,0)BA =，(0,2,OC =考点：1.空间向量法；2.夹角公式.20．已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++=，则a 与c 的夹角为 ． 【答案】90︒【解析】试题分析：要求a 与c 的夹角一般可先求两向量的数量积a c ⋅，而()c a b =-+，因此a c ⋅=()a ab -⋅+=2a ab --⋅，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故a ⊥c ，夹角为90︒．考点：向量的夹角．21．已知0=++c b a ，且a 与c 的夹角为︒60，，则〉〈b a ,cos 等于 .【解析】试题分析：∵0=++c b a ，∴()b a c =-+，∴22202||||cos60b a c a c =++， ∴2223||||a a c a c =++，∴222||||0a a c c --=，∴||||a c =， ∴22023()||||||cos60||2a b a a c a a c a a c a •=-+=--•=--=-23||32,2||||||3||a ab a b a b a a -•>===-.考点：1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.22．已知点G 为ABC △的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM xAB =,AN y AC = ,x y R ∈，则【答案】3 【解析】试题分析：根据题意画出图像，因为G 为ABC △的重心,所以()211111132333AG AB AC AM AN AM AN x y x y ⎛⎫=⨯+=+=+ ⎪,因为:,,M G N 三点共线,所以所以答案为: 3． 考点：1．向量的运算；2．三点共线的性质．23．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，若//a b ； 【答案】-6【解析】试题分析：由b a λ=可知，2λ=-，所以6x =-. 考点：空间向量共线定理.24．设向量(3,1),(2,2)a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数 【解析】试题分析：由已知得(3a b λλ+=+(3a b λλ-=- 由()()a b ab λλ+⊥-得()()0a b a b λλ+⋅-= 即0842=-λ，解得考点：向量的数量积的坐标运算.25．已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】9λ<且1x ≠- 【解析】试题分析：m a b λ=+(2,23)λλ=-++， n a b =-(3,1)=--，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则()()3(2)(23)0a b a b λλλ+⋅-=--+-+<，即：9λ<，又m n 与不共线，则(2)λ--+3+(23)0λ+≠,即：1λ≠-，则9λ<且1x ≠-考点：1．向量的夹角；2．向量的数量积；3．共线向量；4．向量的坐标运算公式；26．已知向量b a ,满足，且，则a 在b 上的投影为_______________． 【解析】试题分析：设a 与b 的夹角为θ，∵向量a ，b 满足)()2(=-•+b a b a ∴22146a a b b a b +⋅+=+⋅+=，∴a b ⋅=1．∴cos θ=a ba b ⋅⋅=12，再由θ的范围为，则a 在b上的投影为132π= 考点：向量的数量积。