高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(生)
《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
：长度和方向都相同的向量。
：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
（8）若ma mb =，则a b =。
（9）若ma na =，则m n =。
（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。
完整word版高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳2
平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】rruuuaAB。
或1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：uuurr|AB||a|。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或rre|e|?1。
3.单位向量：长度为1的向量。
若是单位向量，则rr00方向是任意的，且与任意向量平行】【的向量。
记作：。
4.零向量：长度为05.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
uuuruuurAB??BA。
：长度相等，方向相反的向量。
7.相反向量8.三角形法则：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?BC?ACAB?BC?CD?DE?A EAB?AC?CB（指向被减数）；；9.平行四边形法则：rrrrrra?ba?bba,。
以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，rrrrrrrr???b//b?aa??0?0a与a与bb反向。
时，同向；当时，10.共线定理：。
当11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
rrrrrrr r22222|a?b|?(a?b)),yxa?(yx?|a|?||aa?，则向量的模：若，，12.rr rrrr a?b??rr cos b|?|a|?|a?b?cos数量积与夹角公式：； 13.|a|?|b|rrrrrrrr?b?xy?xya?b?a?b?0?a//b?a?xx?yy?0平行与垂直：14.；21122121题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
uuuruuurAB?CD。
4）四边形ABCD是平行四边形的条件是（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（uuuruuurAB?CD，则A、B）若、C、D四点构成平行四边形。
（5rrrrrrrrrrma?mba?bcabcba。
）若（6与共线，与共线，则与共线。
高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型
（5）若 AB CD ，则 A、 B、 C、 D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若 a与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。
（8）若 ma mb，则 a b 。
（9）若 ma na ，则 m n 。
（10）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。
(iii) 若 a 、 b 是互为相反向量，则 a = b , b = a , a + b = 0
②向量减法： 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差， 记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、b
5.已知 A(1,2), B(3,2) ,向量 a ( x 2, x 3y 2) 与 AB 相等，求 x, y 的值。
6.已知 AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD ( 1,4) ，则 DA
。
7.已知 O 是坐标原点， A(2, 1), B( 4,8) ，且 AB 3BC 0 ，求 OC 的坐标。
及其各运算的坐标表示和性质
运 几何方法
坐标方法
运算性质
算
类
型
向 1 平行四边形法 量则
a b (x1 x2,y1 y2) a b b a (a b) c a (b c)
的 2 三角形法则
AB BC AC
加
法
向 三角形法则 量
a b (x1 x2,y1 y2) a b a ( b ) AB BA
的
OB OA AB
题型 7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知 e1, e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)
《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本观点与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作： uuur rAB 或 a 。
uuur r2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： | AB |或 | a |。
r r3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。
若 e 是单位向量，则 | e | 1。
rr4. 零向量：长度为 0 的向量。
记作： 0 。
【 0 方向是随意的，且与随意愿量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向同样或相反的向量。
6. 相等向量 ：长度和方向都同样的向量。
uuuruuur7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。
ABBA 。
8. 三角形法例：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC ；AB BC CD DE AE ； AB AC CB （指向被减数）9. 平行四边形法例 ：r rr rr r 以 a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。
rr r rr rr r10. 共线定理 ： aba / /b 。
当0 时，a 与b 同向；当 0 时， a 与b 反向。
11. 基底：随意不共线的两个向量称为一组基底。
12. r r x 2 向量的模： 若 a ( x, y) ，则 | a | 13.r r r r数目积与夹角公式： a b | a | |b | cos y 2 r 2 r r rr r ， a | a |2 ， | a b |(a b ) 2r r ；cos ra br| a | | b |r r r rrrr r14. 平行与垂直： a / /b a b x 1 y 2 x 2 y 1 ； a b a b 0 x 1x 2 y 1 y 2 0 题型 1. 基本观点判断正误 ：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（ 2）若两个向量不相等，则它们的终点不行能是同一点。
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结生
⾼中数学必修4平⾯向量知识点与典型例题总结⽣《数学》必会基础题型——《平⾯向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的⼤⼩（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0⽅向是任意的，且与任意向量平⾏】5.平⾏向量（共线向量）：⽅向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和⽅向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，⽅向相反的向量。
AB BA =-。
8.三⾓形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平⾏四边形法则：以,a b 为临边的平⾏四边形的两条对⾓线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为⼀组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹⾓公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a b a b θ⋅=⋅ 14.平⾏与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同⼀条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同⼀点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯⼀的。
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(完整版)高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典),推荐文档
一,向量重要结论（1）、向量的数量积定义： 规定， ||||cos a b a b θ⋅= 00a ⋅= 22||a a a a ⋅== （2）、向量夹角公式：与的夹角为，则a b θcos ||||a b a b θ⋅= （3）、向量共线的充要条件：与非零向量共线存在惟一的，使。
b a ⇔R λ∈b a λ= （4）、两向量平行的充要条件：向量,平行11(,)a x y = 22(,)b x y = ⇔12210x y x y -=（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥ 0a b ⇔⋅= ⇔12120x x y y +=（6）、向量不等式：，||||||a b a b +≥+ ||||||a b a b ≥⋅ （7）、向量的坐标运算：向量,，则11(,)a x y = 22(,)b x y = a b ⋅= 1212x x y y +（8）、向量的投影：︱︱cos =∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为b θ||a b a ⋅ b a 射影（9）、向量：既有大小又有方向的量。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（10）、零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝0 0 a ｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共0 ⇔a 0 0 线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量为单位向量｜｜＝1 0a ⇔0a （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移a b (即自由向量)注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量或，要会求出直线的斜率；()k u ,1= ()n m u ,= （2）给出与相交,等于已知过的中点;+AB OB OA +AB （3）给出,等于已知是的中点;0 =+PN PM P MN （4）给出,等于已知与的中点三点共线;()+=+λQ P ,AB （5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数AC AB //,AB AC λλ= 且,等于已知三点共线.,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+ 且且C B A ,,（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即λλ++=1P λPB AP λ=（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于0=⋅MB MA ⊥AMB∠0<=⋅m 已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
高中数学必修4平面向量知识点及典型例题总结
"数学"必会根底题型——"平面向量"【根本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小〔或长度〕，记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
假设e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量〔共线向量〕：方向一样或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都一样的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=〔指向被减数〕9.平行四边形法则：以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：假设(,)a x y =，则2||a x y =+22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅；cos ||||a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型1.根本概念判断正误：〔1〕共线向量就是在同一条直线上的向量。
〔2〕假设两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
〔3〕与向量共线的单位向量是唯一的。
〔4〕四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
〔5〕假设AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
〔6〕因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
〔7〕假设a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线。
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型（经典）
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型（经典）一,向量重要结论（1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=，22||a a a a ?==（2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos ||||a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。
（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -=（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y +=（6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥?（7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y +（8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影（9）、向量：既有大小又有方向的量。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率；（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.（6）给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7）给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角。
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平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB或||a。
3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则||1e。
4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。ABBA。
8.三角形法则：
）
ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB
（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以,ab为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。
10.共线定理：//abab。当0时，ab与同向；当0时，ab与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)axy，则22||axy，22||aa，2||()abab
13.数量积与夹角公式：||||cosabab； cos||||abab
14.平行与垂直：1221//ababxyxy；121200ababxxyy
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
)
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD是平行四边形的条件是
ABCD
。
（5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）若a与b共线， b与c共线，则a与c共线。 （7）若mamb，则ab。
（8）若mana，则mn。 （9）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。
（10）若||||abab，则//ab。 （11）若||||abab，则ab。
题型2.向量的加减运算
1.设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则||ab 。
2.化简()()ABMBBOBCOM 。
3.已知||5OA,||3OB,则||AB的最大值和最小值分别为 、 。
@
4.已知ACABAD为与的和向量，且,ACaBDb，则AB ，AD 。
5.已知点C在线段AB上，且35ACAB,则AC BC，AB BC。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：2(253)3(232)abcabc
2.已知(1,4),(3,8)ab，则132ab 。
题型4根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量ABAC，表示AD。
2.在平行四边形ABCD中，已知,ACaBDb，求ABAD和。
、
题型5.向量的坐标运算
1.已知(4,5)AB，(2,3)A，则点B的坐标是 。
2.已知(3,5)PQ，(3,7)P，则点Q的坐标是 。
3.若物体受三个力1(1,2)F,2(2,3)F,3(1,4)F,则合力的坐标为 。
4.已知(3,4)a，(5,2)b，求ab，ab，32ab。
5.已知(1,2),(3,2)AB,向量(2,32)axxy与AB相等，求,xy的值。
6.已知(2,3)AB，(,)BCmn，(1,4)CD，则DA 。
7.已知O是坐标原点，(2,1),(4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。
|
题型6.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知12,ee是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A.1212eeee和 B.1221326eeee和4 C.122133eeee和 D.221eee和
2.已知(3,4)a，能与a构成基底的是（ ）
A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3
题型7.结合三角函数求向量坐标
1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||2OA，150xOA，求OA的坐标。
（
2.已知O是原点，点A在第一象限，||43OA，60xOA，求OA的坐标。
题型8.求数量积
1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）()aab，
（3）1()2abb，（4）(2)(3)abab。
2.已知(2,6),(8,10)ab，求（1）||,||ab，（2）ab，（3）(2)aab，
"
（4）(2)(3)abab。
题型9.求向量的夹角
1.已知||8,||3ab，12ab，求a与b的夹角。
2.已知(3,1),(23,2)ab，求a与b的夹角。
@
3.已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC。
题型10.求向量的模
1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）||ab，（2）|23|ab。
2.已知(2,6),(8,10)ab，求（1）||,||ab，（5）||ab，（6）1||2ab。
[
3.已知||1||2ab，，|32|3ab，求|3|ab。
题型11.求单位向量 【与a平行的单位向量：||aea】
1.与(12,5)a平行的单位向量是 2.与1(1,)2m平行的单位向量是 。
题型12.向量的平行与垂直
1.已知(1,2)a，(3,2)b，（1）k为何值时，向量kab与3ab垂直（2）k为何值时向
量kab与3ab平行
、
2.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：()abc。
题型13.三点共线问题
1.已知(0,2)A，(2,2)B，(3,4)C，求证：,,ABC三点共线。
2.设2(5),28,3()2ABabBCabCDab，求证：ABD、、三点共线。
{
3.已知2,56,72ABabBCabCDab，则一定共线的三点是 。
4.已知(1,3)A，(8,1)B，若点(21,2)Caa在直线AB上，求a的值。
5.已知四个点的坐标(0,0)O，(3,4)A，(1,2)B，(1,1)C，是否存在常数t，使
OAtOBOC
成立
题型14.判断多边形的形状
…
1.若3ABe，5CDe，且||||ADBC,则四边形的形状是 。
2.已知(1,0)A，(4,3)B，(2,4)C，(0,2)D，证明四边形ABCD是梯形。
3.已知(2,1)A，(6,3)B，(0,5)C，求证：ABC是直角三角形。
4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OAOBOC,求证：ABC是等腰直角三角形。
、
题型15.平面向量的综合应用
1.已知(1,0)a，(2,1)b，当k为何值时，向量kab与3ab平行
2.已知(3,5)a，且ab，||2b，求b的坐标。
3.已知ab与同向，(1,2)b，则10ab，求a的坐标。
4.已知(1,2)a，(3,1)b，(5,4)c，则c a b。
>
5.已知(,3)am，(2,1)b，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；
（2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。
6.已知(6,2)a，(3,)bm，当m为何值时，（1）a与b的夹角为钝角（2）a与b的夹角
为锐角
7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为(1,2)A，(3,4)B，(2,1)D，且//ABDC，2ABCD，
求点C的坐标。
8.已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A，(0,0)B，(,0)Cc，
（1）若0ABAC，求c的值；（2）若5c，求sinA的值。