第14章 (DEMO)

第十四章 波动14－1 如本题图所示，一平面简谐波沿ox 轴正向传播，波速大小为u ，若P 处质点振动方程为)cos(ϕ+ω=t A y P ，求：（1）O 处质点的振动方程；（2）该波的波动方程；（3）与P 处质点振动状态相同质点的位置。

解：（1）O 处质点振动方程：y 0 = A cos [ ω（t + L / u ）+φ] （2）波动方程y 0 = A cos { ω[t - （x - L ）/ u +φ} （3）质点位置x = L ± k 2πu / ω （k = 0 , 1, 2, 3……）14－2 一简谐波，振动周期T =1/2s ，波长λ＝10m ，振幅A =0.1m ，当t =0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值，若坐标原点和波源重合，且波沿ox 轴正方向传播，求：（1）此波的表达式；（2）t 1＝T/4时刻，x 1=λ/4处质点的位移；（3）t 2 ＝T/2时刻，x 1=λ/4处质点的振动速度。

解：（1） y = 0.1 cos ( 4πt - 2πx / 10 )= 0.1 cos 4π（t - x / 20 ） (SI) （2） 当 t 1 = T / 4 = 1 / 8 ( s ) , x 1 = λ/ 4 = 10 / 4 m 处质点的位移y 1 = 0.1cos 4π（T / 4 - λ/ 80 ）= 0.1 cos 4π(1 / 8 - 1 / 8 ) = 0.1 m （3） 振速 )20/(4sin 4.0x t tyv --=∂∂=ππ t 2 = T / 2 = 1 / 4 (S) ,在x 1 = λ/ 4 = 10 / 4( m ) 处质点的振速v 2 = -0.4πsin (π-π/ 2 ) = - 1.26 m / s14－3 一简谐波沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，波速为u 。

设4Tt =时刻的波形如本题图所示，求该波的表达式。

解：由图可看出，在t=0时，原点处质点位移y 0＝－A ，说明原点处质点的振动初相πϕ=0，因而波动方程为])(cos[πω++=uxt A y14－4 本题图表示一平面余弦波在t ＝0时刻与t ＝2s 时刻的波形图，求： (1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波方程。

解：由图可知：原点处质点的振动初相20πϕ-=；x习题14－1图习题14－3图波长 m 160=λ，波速 s m u /10220==； 因而圆频率 82πλπω==u，(1)原点处质点的振动方程)28cos(0ππ-=t A y(2) 波方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2)10(8cos ππx t A y14－5已知一平面简谐波的方程为(SI))24(cos x t A y +=π(1) 求该波的波长λ，频率ν 和波速度u 的值；(2) 写出t ＝2.2s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置。

14－6 波源作简谐振动，周期为s 100.12-⨯，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以u ＝400m/s 的速度沿直线传播。

求：（1）距离波源8.0m 处质点P 的运动方程和初相；（2）距离波源9.0m 和10.0m 处两点的相位差。

解：在确知角频率1s 200/2-==ππωT 、波速1s m 400-⋅=u 和初相）或2/(2/30ππϕ-=的条件下，波动方程]2/3)s m 400/)(s 200cos[(11ππ+⋅-=--x t A y位于 x P = 8.0 m 处，质点P 的运动方程为]2/5)s 200cos[(1P ππ-=-t A y该质点振动的初相2/50πϕ-=P 。

而距波源9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为2//)(2/)(21212ππλπϕ=-=-=∆uT x x x x如果波源初相取2/0πϕ-=，则波动方程为]2/9)(s 200cos[(1ππ-=-t A y14－7 为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W 的功率。

若波源发出的是球面波（设介质不吸收波的能量）。

求距离波源5.0m 和10.0m 处的能流密度。

分析：波的传播伴随着能量的传播。

由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，故对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量（即平均能流）相同，都等于波源消耗的功率P 。

而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位A )习题14－4图置的能流密度 S P I =。

解：由分析可知，半径r 处的能疏密度为24r P I π=当 r 1 = 5.0 m 、r 2 = 10.0 m 时，分别有22211m W 1027.14--⋅⨯==r P I π23222m W 1018.34--⋅⨯==r P I π14－8 一弹性波在媒质中传播的速度u=103m/s ，振幅A=1.0⨯10-4m ，频率ν =103Hz ，媒质的密度为ρ=800kg/m 3。

求：（1）波的平均能流密度；（2）一分钟内垂直通过一面积S=4.0⨯10-4m 2的总能量。

解：（1）由能流密度I 的表达式得2m W 1058.1221522222-⋅⨯===v uA uA I ρπωρ(2)在时间间隔s 60=∆t 内垂直通过面积 S 的能量为J1079.33⨯=∆⋅=∆⋅=t IS t P W14－9 如本题图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在O 点相遇；若三个简谐波各自单独在S 1、S 2和S 3振动方程分别为y 1＝A cos(ωt +π/2)，y 2＝A cos ωt 和y 3＝2A cos(ωt -π/2)，且S 2O ＝4λ，S 1O ＝S 3O ＝5λ（λ为波长），求O 点的合振动方程。

（设传播过程中各波振幅不变）解：每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以三个波在O 点的振动方程可写成y 1 = A 1 c o s (ωt +π/ 2 ) y 2 = A 2c o s ωty 3 = A 3 c o s (ωt -π/ 2 )其中A 1 = A 2 =A ， A 3 = 2A , 在O 点，三个振动叠加，利用振幅矢量图及多边形加法（如图） 可得合振动方程 y =24A t cos(/)ωπ-14－10 本题图中1S 和2S 是波长均为λ的两个相干波的波源，相距3λ/4，1S 的位相比2S 超前2π。

若两波单独传播时，在过1S 和2S 的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是0I ，则在1S 、2S 连线上1S 外侧和外侧2S 各点，合成波的强度分别为多少？解：在1S 的外侧，两波源引起的分振动的相位差S 3S 1S 2习题14－9图Q习题14－10图A 2 A 1 π/4 A 3A =ΣA iyπππλπφφφ223221212-=--=---=∆r r ， 合振动振幅02A A =，波的强度04I I =； 在2S 外侧，πππλπφφφ=+-=---=∆23221212r r ，所以I =0 。

14－11在弦线上有一简谐波，其表达式为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-⎪⎭⎫ ⎝⎛+π⨯=-3420100cos 100.221x t y （SI ）。

为了在此弦线上形成驻波，并且在x ＝0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，求其表达式。

解：设另一波的波动方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-φπ20100cos 100.222x t y则驻波方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯=+=-234100cos 2345cos 100.4221πφπφππt x y y y x ＝0处为波腹，() 2,1,0234=±=+k k πφπ取k ＝0处，则 πφ34-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3420100cos 100.222ππx t y14－12 如本题图所示，1S 和2S 为同位相的两相干波源，相距为L ，P 点距1S 为r ；波源1S 在P 点引起的振动振幅为1A ，波源2S 在P 点引起的振动振幅为2A ，两波波长都是λ，求P 点的振幅。

解：两列波传到P 点时的相位差()λπλπλπφrL rr L r r 222212-=--=-=∆，因而P 点振幅()21212221121222122cos 2cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∆++=λπφr L A A A A A A A A A14－13 如本题图所示，S 为点波源，振动方向垂直于纸面，1S 12习题14－12图习题14－13图和2S 是屏AB 上的两个狭缝，1S 2S ＝a 。

1SS ⊥AB ，并且1SS ＝b 。

x 轴以2S 为坐标原点，并且垂直于AB 。

在AB 左侧，波长为1λ；在AB 右侧，波长为2λ。

求x 轴上干涉加强点的坐标。

解：在坐标为x 的P 点，两列波引起的分振动的位相差为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=∆2221222λλπφa x x b b a 代入干涉加强的条件() 2,1,022222122==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+k k a x x b b a πλλπ解出干涉加强点的坐标为()[]()[]()02,1,0221222221222≥=--+--+-=x k k b b a k b b a a xλλλλ14－14 设入射波的方程式为⎪⎭⎫⎝⎛+=T t x A y λπ2cos 1，在x ＝0处发生反射，反射点为一固定端。

设反射时无能量损失，求：（1）反射波的方程式；（2）合成的驻波的方程式；（3）波腹和波节的位置。

解：（1）反射点是固定端，反射时有半波损失，且振幅不变，所以反射波的方程式为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πλπT t x A y 2cos 2（2）合成的驻波的方程式为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=22cos 22cos 221πππλπT t x A y y y（3）波腹位置满足 3,2,122==+n n xππλπ ， λ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121n x 波节位置满 () 2,1,0,21222=+=+n n xππλπ， λn x 21=。

14－15 如本题图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC 为波密介质的反射面。

波由P 点反射，OP =3λ/4，DP =λ/6。

在t ＝0时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。

求D 点处入射波与反射波的合振动方程。

（设入射波和反射波的振幅皆为A ，频率为ν。

）解：以O 点为坐标原点，设入射波方程式为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-=ϕλνπx t A y 2cos 1在P 点引起的振动方程为习题14－15图⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕππνϕλλνπ232cos 432cos 1t A t A y P反射时有半波损失，⎪⎭⎫⎝⎛+-=ϕππν22cos 2t A y P ，反射波方程式为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ϕλνπϕπλλπνπx t A x t A y 2cos 24322cos 2合成驻波方程式为()ϕπνλπ+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t x A y y y 2cos 2cos 221由题设条件t ＝0时x ＝0处y ＝0，0<∂∂t y ，所以2πϕ=， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=22cos 2cos 2ππνλπt x A y又(),1271229643λλλλ=-=-=D x ，代入上式，得D 点的振动方程 ()t A t A t A y D πνππνππνπ2sin 322cos 322cos 1272cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=14－16 一平面简谐波的频率为500Hz ，在空气中（ρ＝1.3kg/m 3）以u ＝340m/s 的速度传播，到达人耳时，振幅约为A ＝1.0×10-5m 。