第14章 (DEMO)

第十四章 波动

14－1 如本题图所示，一平面简谐波沿ox 轴正向传播，波速大小为u ，若P 处质点振动方程为)cos(ϕ+ω=t A y P ，求：（1）O 处质点的振动方程；（2）该波的波动方程；（3）与P 处质点振动状态相同质点的位置。

解：（1）O 处质点振动方程：

y 0 = A cos [ ω（t + L / u ）+φ] （2）波动方程

y 0 = A cos { ω[t - （x - L ）/ u +φ} （3）质点位置

x = L ± k 2πu / ω （k = 0 , 1, 2, 3……）

14－2 一简谐波，振动周期T =1/2s ，波长λ＝10m ，振幅A =0.1m ，当t =0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值，若坐标原点和波源重合，且波沿ox 轴正方向传播，求：（1）此波的表达式；（2）t 1＝T/4时刻，x 1=λ/4处质点的位移；（3）t 2 ＝T/2时刻，x 1=λ/4处质点的振动速度。

解：（1） y = 0.1 cos ( 4πt - 2πx / 10 )

= 0.1 cos 4π（t - x / 20 ） (SI) （2） 当 t 1 = T / 4 = 1 / 8 ( s ) , x 1 = λ/ 4 = 10 / 4 m 处

质点的位移y 1 = 0.1cos 4π（T / 4 - λ/ 80 ）

= 0.1 cos 4π(1 / 8 - 1 / 8 ) = 0.1 m （3） 振速 )20/(4sin 4.0x t t

y

v --=∂∂=

ππ t 2 = T / 2 = 1 / 4 (S) ,在x 1 = λ/ 4 = 10 / 4( m ) 处质点的振速

v 2 = -0.4πsin (π-π/ 2 ) = - 1.26 m / s

14－3 一简谐波沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，波

速为u 。设4

T

t =时刻的波形如本题图所示，求该波的表

达式。

解：由图可看出，在t=0时，原点处质点位移

y 0＝－A ，

说明原点处质点的振动初相πϕ=0，因而波动方程为

])(cos[πω++=u

x

t A y

14－4 本题图表示一平面余弦波在t ＝0时刻与t ＝2s 时刻的波形图，求： (1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波方程。 解：由图可知：

原点处质点的振动初相2

0π

ϕ-

=；

x

习题14－1图

习题14－3图

波长 m 160=λ，波速 s m u /102

20

==； 因而圆频率 8

2π

λ

π

ω=

=u

，

(1)

原点处质点的振动方程

)2

8

cos(

0π

π

-

=t A y

(2) 波方程

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2)10(8

cos ππ

x t A y

14－5已知一平面简谐波的方程为(SI))24(cos x t A y +=π

(1) 求该波的波长λ，频率ν 和波速度u 的值；

(2) 写出t ＝2.2s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波

峰的位置。

14－6 波源作简谐振动，周期为s 100.12-⨯，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以u ＝400m/s 的速度沿直线传播。求：（1）距离波源8.0m 处质点P 的运动方程和初相；（2）距离波源9.0m 和10.0m 处两点的相位差。

解：在确知角频率1s 200/2-==ππωT 、波速1s m 400-⋅=u 和初相）

或2/(2/30ππϕ-=的条件下，波动方程

]

2/3)s m 400/)(s 200cos[(11ππ+⋅-=--x t A y

位于 x P = 8.0 m 处，质点P 的运动方程为

]

2/5)s 200cos[(1P ππ-=-t A y

该质点振动的初相2/50πϕ-=P 。而距波源9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为

2

//)(2/)(21212ππλπϕ=-=-=∆uT x x x x

如果波源初相取2/0πϕ-=，则波动方程为

]

2/9)(s 200cos[(1ππ-=-t A y

14－7 为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W 的功率。若波源发出的是球面波（设

介质不吸收波的能量）。求距离波源5.0m 和10.0m 处的能流密度。

分析：波的传播伴随着能量的传播。由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，故对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量（即平均能流）相同，都等于波源消耗的功率P 。而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位

A )

习题14－4图

置的能流密度 S P I =。

解：由分析可知，半径r 处的能疏密度为

2

4r P I π=

当 r 1 = 5.0 m 、r 2 = 10.0 m 时，分别有

222

11m W 1027.14--⋅⨯==r P I π

232

22m W 1018.34--⋅⨯==r P I π

14－8 一弹性波在媒质中传播的速度u=103m/s ，振幅A=1.0⨯10-4m ，频率ν =103Hz ，媒质的密度为ρ=800kg/m 3。求：（1）波的平均能流密度；（2）一分钟内垂直通过一面积

S=4.0⨯10-4m 2

的总能量。

解：（1）由能流密度I 的表达式得

2m W 1058.1221

522222-⋅⨯===

v uA uA I ρπωρ

(2)在时间间隔s 60=∆t 内垂直通过面积 S 的能量为

J

1079.33⨯=∆⋅=∆⋅=t IS t P W

14－9 如本题图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直纸面）

的简谐波，在传播过程中在O 点相遇；若三个简谐波各自单独在S 1、S 2和S 3振动方程分别为y 1＝A cos(ωt +π/2)，y 2＝A cos ωt 和y 3＝2A cos(ωt -π/2)，且S 2O ＝4λ，S 1O ＝S 3O ＝5λ（λ为波长），求O 点的合振动方程。（设传播过程中各波振幅不变）

解：每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以三个波在O 点的振动方程可写成

y 1 = A 1 c o s (ωt +π/ 2 ) y 2 = A 2c o s ωt

y 3 = A 3 c o s (ωt -π/ 2 )

其中A 1 = A 2 =A ， A 3 = 2A , 在O 点，三个振动叠加，利用振幅矢量图及多边形加法（如图） 可得合振动方程 y =

24A t cos(/)ωπ-

14－10 本题图中1S 和2S 是波长均为λ的两个相干波的波源，相距3λ/4，1S 的位相比

2S 超前2π。若两波单独传播时，在过1S 和2S 的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是0I ，则在1S 、2S 连线上1S 外侧和外侧2S 各点，合成波的强度分别为多

少？

解：在1S 的外侧，两波源引起的分振动的相位差

S 3

S 1

S 2

习题14－9图

Q

习题14－10图

A 2 A 1 π/4 A 3

A =ΣA i

y