3.3.2《两点间的距离》教案
3.3.2两点间的距离
三维目标
知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
教学过程：
一， 情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点()(2
122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。
在直角ABC V 中，222
1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有
2222221
212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，222121
2PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。
由此得到两点间的距离公式
12PP =
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。
例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0），于是有
=由 PA PB =得
22
25411
x x x x
++=-+解得x=1。
所以，所求点P（1，0）且
PA==通过例题，使学生对两点间距
离公式理解。
应用。
解法二：由已知得，线段
AB的中点为
1
2
⎛
⎝⎭
Ｍ
，直线AB的斜率为
k=
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
３
ｘ－ＰＡ＝
３２３
线段AB的垂直平分线的方程是
y-
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
３
ｘ－
２
在上述式子中，令y=0，解得x=1。
所以所求点P的坐标为（1，0）。
因此
ＰＡ＝
三．巩固反思，灵活应用。
（用两点间距离公式来证明几何问题。
）
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为2222
2222
AB a CD a AD b c BC
===+=
，，
()
2
AC a b
=+２２，
＋ｃ()
２２２
ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ
所以，()
２２２２２２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ
()
２２２２２
ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，
２２２２２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
课堂小结：
主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
课后练习
1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
2016届瑞安五中高二导学案两点间的距离
§ 3.3.2两点间的距离一、储备（一）学习目标1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.（二）自主导航课前准备：（预习教材P 104~ P 106，找出疑惑之处）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 .2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?二、导学：※ 学习探究问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP※典型例题例1 已知点(8,10),(4,4)A B-求线段AB的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),=,并求PA的值.-，在x轴上求一点，使PA PBA B例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.※动手试试练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0)是等腰三角形.A B C，求证：ABC练2.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.三、追踪：（一）基础训练：1. 两点(1,3),(2,5)A B -之间的距离为（ ）.A ．B ．32. 以点(3,0),(3,2),(1,2)A B C ---为顶点的三角形是（ ）三角形.A ．等腰B ．等边C ．直角D ．以上都不是3. 直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值（ ）.A ．2-B ．2C ．1D ．1-4. 已知点(1,2)(2,7)A B -，在x 轴上存在一点P ，使P A P B =，则PA = .5. 光线从点M (－2，3）射到x 轴上一点P (1，0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线的方程 .（二）课后作业1. 经过直线23y x =+和320x y -+=3的交点，且垂直于第一条直线.2. 已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.。
3.3.2《两点间的距离》
两点间距离公式
y y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
x2 x
O
x1
| PQ 1 || x2 x1 |
两点间距离公式
y
| PQ 1 || x2 x1 |
P2(x2,y2)
| P2Q || y2 y1 |
P1(x1,y1)
x A(a,0)
证明：如图：做平面直 角坐标系及三角形 ABC ,
b 各点坐标为C(0,0), A(a ,0), B(0, b ), M( a , 2 2) 2 b 2 由题意可得： | AM | (a a ) ( 0 2 2)
a 2 b2 2
| BM | (0 ) (b )
a 2 2 b 2 2 a 2 2 b 2 2
a b 2
2 2
2
a b | CM | (0 ) (0 ) 2 由上可见： | AM || BM || CM | 所求得证
2
数形结合与对称的灵活应用
已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0)、B(-2,-4) (-2,8) （1）求点A关于直线l的对称点 （2）在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|最小 (-2,3) （3）在直线l上求一点Q，使|QA|-|QB|最大 (12,10)
解：设 P点 的 坐 标 为 ( a ,0 ) | PA | ( 1 a ) 2 ( 2 0) 2 4 (a 1) 2 | PB | ( 2 a ) 2 ( 7 0) 2 7 ( 2 a ) 2 | PA || PB | 4 (a 1) 2 7 ( 2 a ) 2 解得： a 1 | PA | 4 (a 1) 2 2
【参考教案】《两点间的距离》(数学人教A版高中必修)
《3.3.2两点间的距离公式》教学设计【教学目标】1.知识与技能：（1）通过推导，了解两点间的距离的求法；（2）理解两点间距离的几何意义；（3）利用两点间的距离公式解决实际问题.法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想【重点难点】1.教学重点：通过逐步诱导推导出两点间距离公式2.教学难点：灵活应用距离公式解决实际问题.【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：引入如何判定两条直线平行？垂直？1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？结合问题情境展开思考利用问题引入，激发学生学习兴趣环节二：思考1 在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？学生思考作答通过思考引出本节所学新知。
新课讲解|P 1P 2|=|x 1－x 2|思考2 在y 轴上，已知点P 1(0，y 1)和P 2(0，y 2)，那么点P 1和P 2的距离为多少？ |P 1P 2|=|y 1－y 2| 思考3 已知x 轴上一点P 1(x 0，0)和y 轴上一点P 2(0，y 0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？221200||PP x y =+思考4 在平面直角坐标系中，已知点P 1(2，－1)和P 2(－3，2)，如何计算点P 1和P 2的距离？22221212||5334PP PM P M =+=+=思考 5 一般地，已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，利用上述方法求点P 1和P 2的距离可得什么结论？22122121||()()PP x x y y =-+-思考6 当直线P 1P 2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？思考7 特别地，点P(x ，y)与坐标原点的距离是什么？ 22||OP x y =+知识探究（二）：距离公式的变式探究思考1 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则y 2－y 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式可作怎样的变形？21221||||1PP x x k=-⋅+思考 2 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则x 2－x 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式又可作怎样的变形？122121||||1PP y y k =-⋅+21221212||||11||1PP x x ky y k =-⋅+=-⋅+思考3 上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？ 思考4 若已知12x x + 和12x x ⋅，如何求21||x x -？2211212||()4x x x x x x -=+-例1 已知点(1,2)A - 和(2,7)B ， 在x 轴上求一点P ，使|P A |=|PB |，并求|P A |的值.例2 已知△ABC 的三个顶点是A(－1，0)，B(1，0)，C(1/2，3/2)，试判断三角学生思考作答。
3.3.2空间两点间的距离公式
安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 集体备课 个人空间一、课题：3.3.2空间两点间的距离公式二、学习目标1、掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算和证明。
2、培养观察、分析、联想的能力以及归纳概括的能力，认识新公式产生的过程和根源培养逻辑思维能力。
3、运用类比的办法，体验从二维空间过度到三维空间的过程，激发学习兴趣和探求知识规律的愿望培养勇于探索的精神。
三、教学过程【自主预习】1、平面两点的距离公式？2、在建筑过程中如何测量一块砖的体对角线？【合作探究】合作探究一、公式计算如图：长方体的长、宽、高分别为c b a ,,。
那么它的体对角线的长为 __________________________ d 。
合作探究二、两点间的距离公式空间中任意两点1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 之间的距离公式为______________________________________21=P P 。
例1、在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.【检测训练】1、求点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离。
2、求点1(1,0,1)P -与2(4,3,1)P -之间的距离。
3、如果OP 是定长r ,那么2222x y z r ++=表示什么图形？4、在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是(1,2,3)A - ，(2,2,3)B -,15(,,3)22C ,求证：ABC ∆是直角三角形.反思栏。
3.3.2两点间距离公式
3.3.2两点间的距离知识点：（1）推导两点间的距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离12P P = ． 特别地：原点O 与任一点),(y x P 间的距离OP =_________（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12P P 的中点是00(,)M x y ，则___________．题型一：公式的简单运用例1：（1）求)5,2(),3,1(B A -两点之间的距离；（2）已知)-5,(),10,0(a B A 两点之间的距离为17，求实数a 的值．例2：已知三角形ABC 的三个顶点1(1,0),(1,0),(,22A B C -，试判断ABC ∆的形状．【练习】1.( )()A 两点()b a ,与)2-,1(间的距离 ()B 两点()b a ,与)2,-1(间的距离 ()C 两点()b a ,与)2,1(间的距离 ()D 两点()b a ,与)2-,-1(间的距离2.以)3,1(),1-,3(B A 为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( )()A 05-2=+y x ()B 062=++y x ()C 02-=y x ()D 08-2-=y x题型二：利用解析法求解证明几何问题（数到形）例3.已知点），（722),,-1(B A ，在x 轴上求一点P 使PB PA =，并求PA 的值.例4.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
【练习】1．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为 2．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PBPA+取得最小值时的点P的坐标。
3．求函数()f x =的最小值。
4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求AP 最小值．【高考连接】2010全国理科1（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-+(B)3-+(C) 4-+ (D)3-+题型三：对称性问题及其运用 例5: 已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ； （2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．例6：一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．【练1．点)2,-1(关于直线03-=+y x 的对称点的坐 标为 ( )()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线02-3=+y x 关于x x 轴对称的直线方程为 ． 作业：A 组6,7,8。
《3.3空间两点间的距离公式》教学设计(部级优课)-数学教案
x1234－1－2 －3 －4P 空间两点间的距离复习引入：1.数轴上两点间的距离公式一般地，在数轴上，如果 A (x 1)，B (x 2)，则这两点的距离公式为||||21x x AB -=2.平面直角坐标系两点间的距离公式两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离22122121)()(||y y x x P P -+-=那么，空间中任意两点间的距离如何求呢？ 实例分析建筑用砖通常是长方体，我们可以尺子测量出一块砖的长、宽、高，那么怎么能够测量出它的对角线AC ′的长度呢？一.公式的计算如果一块砖的长、宽、高分别为c b a ,,，我们可以计算出对角线的长度。
一般地，长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，那么对角线的长222c b a d ++=二.坐标运算给出空间两点),,(),,,(222111z y x B z y x A ,如何利用点的坐标求它们的距离？ 问题1：在空间直角坐标系中点)0,0,0(O 到点),,(000z y x p 的距离，怎么求？202020z y x d ++=问题2:给出空间任意两点),,(),,,(222111z y x B z y x A 如何利用坐标求它们的距离？221221221)()()(||z z y y x x AB -+-+-=这就是空间两点间的距离公式。
C ′A例１求空间两点)1-BA的距离,3(-5,2,0,6(),分析：利用两点间距离公式可得例2：给定空间直角坐标系，在x轴上找一点 P，使它与点)2,1,4(p距0离为30分析：设P(x,0,0),由已知求得x=9或-1，所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0)例3：在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小课堂小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？作业：习题2-3A组 4, 5, 6。
21-22版：3.3.1 两条直线的交点坐标~3.3.2 两点间的距离(创新设计)
§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(重点).3.掌握两点间距离公式并会应用(难点)．知识点1直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系【预习评价】1．直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为()A ．(3，－5)B ．(－3，5)C ．(3，5)D ．(－3，－5)答案 C2．直线x ＋y ＋2＝0与直线2x ＋2y ＋7＝0的位置关系是________． 答案 平行知识点2 两点间的距离公式【预习评价】1．平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？提示 无关．在计算公式中x 2与x 1，y 2与y 1的位置可以同时互换，不影响计算结果．2．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？提示 式子x 2＋y 2＝（x －0）2＋（y －0）2表示平面上的点(x ，y )到原点的距离.题型一 两直线的交点问题【例1】 (1)直线l 1：2x －6y ＝0与直线l 2：y ＝13x ＋12交点的个数为________； (2)若两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k ＝________； (3)已知一直线过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点. 则：①与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________； ②与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线方程为________. 解析 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0， ①y ＝13x ＋12， ②②×6－①，得3＝0，矛盾， 故方程组无解，∴两直线无交点.(2)在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k3， 将(0，k3)代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. (3)法一 解方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.①与直线3x ＋y －1＝0平行的直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0.②又与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线的斜率为13，故所求直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35， 即5x －15y －18＝0. 法二 ①设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以⎩⎨⎧（2＋λ）×1－（λ－3）×3＝0，（2＋λ）×（－1）－（2λ－3）×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0.②设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，得3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34， 所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.答案 (1)0 (2)±6 (3)①15x ＋5y ＋16＝0 ②5x －15y －18＝0 规律方法 两条直线相交的判定方法12k 的取值范围是( ) A.(1，＋∞)B.(－1，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)(2)直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( ) A.2x ＋y ＝0 B.2x －y ＝0 C.x ＋2y ＝0D.x －2y ＝0解析(1)联立直线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21－k ，y ＝1＋k 1－k ，∵直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧21－k >0，1＋k 1－k >0，解不等式组可得－1<k <1，故选B.(2)设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0， 因为l 过原点，所以λ＝8. 则所求直线l 的方程为2x －y ＝0. 答案 (1)B (2)B题型二 直线恒过定点问题【例2】 不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是________.解析 法一 取m ＝1，得直线y ＝－4. 取m ＝12，得直线x ＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过点(9，－4).将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)×9－4×(2m －1)＝m －5＝右边， 故直线恒过点(9，－4).法二 直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0， ∵对任意m 该方程恒成立， ∴⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝9，y ＝－4. 故直线恒过定点(9，－4). 答案 (9，－4)规律方法 1.过两直线交点的直线系方程的设法经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数，在此方程中，无论λ取什么实数，都不能表示直线l 2. 2.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.【训练2】 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.解 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0； 令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0. 解方程组⎩⎨⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0 整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0. 由于m 取值的任意性，有⎩⎨⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 题型三 对称问题【例3】 (1)与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A.3x －2y ＋2＝0 B.2x ＋3y ＋7＝0 C.3x －2y －12＝0D.2x ＋3y ＋8＝0解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3，0)，关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案 D(2)点P (－3，4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A.(－2，1)B.(－2，5)C.(2，－5)D.(4，－3)解析 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2，5). 答案 B(3)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋1关于y ＝x －2对称的直线l 的方程为( )A.x －4y －11＝0B.4x －y ＋11＝0C.x －2y ＋7＝0D.x －2y －7＝0解析 ∵直线y ＝2x ＋1关于y ＝x －2对称的直线是直线l ，联立⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，y ＝x －2，得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－5，∴直线l 过点(－3，－5).在直线y ＝2x ＋1上取一点A (0，1)， 设点A 关于y ＝x －2对称的点为B (a ，b )， 则点B 在直线l 上.设AB 与直线y ＝x －2的交点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1a －0＝－1，b ＋12＝a 2－2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－2，∴直线l 过点(－3，－5)和(3，－2)， ∴直线l 的方程为y ＋5－2＋5＝x ＋33＋3，整理得x －2y －7＝0.答案 D规律方法 (1)点关于点的对称问题：若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则：①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上；②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等；③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点. 【训练3】 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； 解 根据题意可知点A (a ，b )为PP ′的中点，设点P ′的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x 02，b ＝y ＋y 02，所以⎩⎨⎧x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0).(2)一束光线从原点O (0，0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程.解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上，得 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a2＋6×b2＝25， 解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3，∴点A 的坐标为(4，3).∵反射光线的反向延长线过点A (4，3)， 又∵反射光线过点P (－4，3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3. 由方程组⎩⎨⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78.题型四 运用坐标法解决平面几何问题【例4】 如图，已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7).(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积.解(1)法一(1)∵|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，又|BC|＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.法二∵k AC＝7－11－（－3）＝32，k AB＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.(2)S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12(52)2＝26，∴△ABC的面积为26.规律方法 1.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.2.用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.【训练4】 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中点，求证： |AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2). 证明 设BC 所在边为x 轴，以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图所示，设A (b ，c )，C (a ，0)， 则B (－a ，0). ∵|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2， |AC |2＝(a －b )2＋c 2， |AD |2＝b 2＋c 2， |DC |2＝a 2.∴|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2).课堂达标1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13) B ．(13，1) C ．(1，13)D ．(－1，－13)解析 由⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.答案 B2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析 联立⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝6.∴交点坐标为(1，6)．由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3．已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)三点，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2. 答案 D4．不论m 取何实数，直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋m ＋1＝0恒过定点________． 解析 由直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋m ＋1＝0变形为m (x －y ＋1)＋(2x －y ＋1)＝0， 令⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，2x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴该直线过定点(0，1)．答案 (0，1)5．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于一点P (m ，1)；(2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)；(3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.解 (1)由于l 1与l 2相交于一点P (m ，1)，故把点P (m ，1)代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0，2m ＋m －1＝0，联立解得m ＝13，n ＝－739.(2)当m ＝0时，l 1：8y ＋n ＝0，l 2：2x －1＝0，不满足l 1∥l 2.当m ≠0时，∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ＝－4或⎩⎨⎧m ＝－4，n ＝20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋8m ＝0，－n 8＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝8. 课堂小结1．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3.有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎨⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B · b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.。
高中数学 第三章 直线与方程 3.3 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离学案
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自 主 预 习1.两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2. 3.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式 |P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.即 时 自 测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的充要条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(√) (3)方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，表示经过直线l 1：∴A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2. 2.直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( )A.(1，2)B.(2，1)C.(1，1)D.(2，2)答案 A3.已知M (2，1)，N (－1，5)，则|MN |等于( ) A.5B.37C.13D.4解析 |MN |＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 答案 A4.已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________.解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.答案 a ≠2类型一 两直线的交点问题【例1】 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2，2).∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线； ②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.【训练1】 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程.解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 把(0，1)代入所求的直线方程，得C ＝－1， 故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53， 所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)、B (3，－3)、C (1，7)，试判断△ABC 的形状. [思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状？提示 判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状？提示 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理. 解 法一 ∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， |AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， 又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.法二 ∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， |AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.解设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，得（x－3）2＋（0－6）2＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).类型三坐标法的应用【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2).所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).∴|AC |＝（b －0）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2，|BD |＝（a －b －a ）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2.故|AC |＝|BD |. [课堂小结]1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4，1)B.(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.答案 C2.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析 首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3.已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________. 解析 由题意得（a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或a ＝－5.答案 1或－54.求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.基 础 过 关1.已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12C.3D.2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.答案 D2.两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A.－24 B.6 C.±6 D.24解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.答案 C3.以A (5，5)，B (1，4)，C (4，1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形.故选B.答案 B4.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________. 解析 设A (x ，0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2， 即A (4，0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案 2 55.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 6.在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2，0)的距离相等. 解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，（x －1）2＋（y ＋1）2＝（x －2）2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0，1).法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2，0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.① 又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0，1).7.求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入直线方程，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).能 力 提 升8.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A.24B.20C.0D.－4解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎪⎨⎪⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n＋p ＝20. 答案 B9.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895B.175C.135D.115解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135.答案 C10.过点P (3，0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________.解析 法一 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），x ＋y ＋3＝0. 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3，0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，即3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二 设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3，0)是线段AB 的中点， ∴l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，（6－x 1）＋（－y 1）＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.答案 8x －y －24＝011.已知直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2). (1)求l 1，l 2的交点D 的坐标； (2)已知点M (－2，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，72，若直线l 3过点D 且与线段MN 相交，求直线l 3的斜率k 的取值范围.解 (1)∵直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，∴直线l 1的方程为y －13－1＝x －20－2，即y ＝－x ＋3.∵直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2)， ∴直线l 2的方程为y －2＝－3(x －4)，即y ＝－3x ＋14.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋14，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－52，即l 1，l 2的交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫112，－52. (2)由题设知k MD ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2－112＝－35.k ND ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52152－112＝3.因为过点D 的直线与线段MN 相交，故直线l 3的斜率k 的取值范围为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－35∪[3，＋∞).探 究 创 新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|PA |＋|PB |为多少？解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值.设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6). 所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611. 故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处， 此时|PA |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.。
两点之间距离公式教案
3.3.2两点之间的距离公式一、教学目标1.知识技能目标：经历探索两点间的距离公式的过程，了解公式的几何背景，熟记两点之间的距离公式，运用两点之间的距离公式，解决相关数学问题。
2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力，使学生明白从特殊推出一般的思想。
3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、教学重、难点1. 教学重点：两点之间距离公式的推导过程及运用；2. 教学难点：使学生明白推导两点之间距离公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点之间距离公式，使学生明白如何用特殊推出一般的思想，以及两点之间距离公式灵活运用。
三、教学过程（一）、问题导入：李村的坐标为A(-2,-1)，王村的坐标为B(2，3),现在A，B两点之间修一条马路，请问最短距离为多少？这就是我们今天本节课所学要解决的问题，请大家根据下面的学习回头解决这个问题。
（二）、探究练习：探究练习：迅速在直角坐标系内画出以下两点，并连接，观察并求下列两点间的距离。
（1）A(3,0) B(-2，0) (2)C （0,3） D(0，-5)=AB =CD(3)E(4，1) F(-1，1) (4)P(-2，4) Q(-2，-1)=EF =PQ总结归纳由以上习题可得：1. 平行或重合于x 轴上的）（0,y x A A ，),(0y x B b 两点的距离为;横坐标差值=-=-=a b b a x x x x AB2. 平行或重合于y 轴上的）（A y x A ,0，),(0B y x B 两点的距离为;=AB = =（三）、小组讨论解答遗留问题：李村的坐标为A(-2,-1)，王村的坐标为B(2，3),现在A，B两点之间修一条马路，请问最短距离为多少？讨论方式：1.在直角坐标系内画出两点，并连接AB两点2.能否观察得出两点的距离3.若能观察出，请问如何观察的，其中有无计算，如何计算的4.说出计算过程（四）、由特殊到一般的推导：思考：已知平面上点),(111y x P ，),(222y x P ，如何求出21P P 两点的距离，并推导出一个两点间的距离公式。
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
1
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
首 页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.