中考数学阅读型试题
初三数学阅读试题及答案
初三数学阅读试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数y=2x+3，当x=2时，y的值为：A. 7B. 5C. 9D. 11答案：A解析：将x=2代入函数y=2x+3，得到y=2*2+3=7。
2. 下列哪个选项是一次函数的图像？A. 直线B. 曲线C. 抛物线D. 双曲线答案：A解析：一次函数的图像是一条直线。
3. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B解析：根据勾股定理，如果a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC 是一个直角三角形。
4. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，那么x的值为：A. 2B. 3C. 2或3D. 无解答案：C解析：将方程x^2 - 5x + 6 = 0进行因式分解，得到(x-2)(x-3)=0，所以x=2或x=3。
5. 已知一个圆的半径为r，那么这个圆的面积为：A. πr^2B. 2πrC. πrD. πr^3答案：A解析：圆的面积公式为A=πr^2。
6. 如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是：A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数答案：C解析：一个数的绝对值等于它本身，说明这个数是非负数。
7. 已知一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么这个三角形的周长为：A. 16B. 21C. 17D. 22解析：等腰三角形的周长等于底边长加上两倍的腰长，即6+5+5=21。
8. 已知一个二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，这个函数的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 不能确定D. 无意义答案：A解析：二次函数y=ax^2+bx+c中，如果a>0，那么函数的图像开口向上。
9. 已知一个数列1, 3, 5, 7, ...，那么这个数列的第n项可以表示为：B. 2n+1C. 2nD. n^2答案：A解析：这是一个等差数列，公差为2，所以第n项可以表示为2n-1。
中考数学阅读题训练精选(1)
中考数学阅读题训练精选（1）1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝40，BC＝60，点A对应的数是30．【综合运用】（1）点B表示的数是，点C表示的数是．（2）如图2，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的4倍，点Q的速度是点R的速度3倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；（3）如图3，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R 从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．2．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）求线段MN的长．（2）若点P到点M和点N的距离相等，求x的值．（3）若点P到M和点N的距离之和为6？请写出所有满足条件的x值．3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A，B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，．4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB ＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示的数为．已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为﹣21，9，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）运动开始前，A，B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数．（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为；（用含t的式子表示）（3）它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距5个单位长度？（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间．5．根据教育部印发《规定》，“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h．请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查的人数是人；（2）请根据题中的信息补全频数分布直方图；（3）D组对应扇形的圆心角为°；（4）本次调查数据的中位数落在组内；（5）若我市约有160000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少．6．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）填空：①A、B两点之间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为．②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．③当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为．（2）当t为何值时，PQ＝AB．7．【问题背景】已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）．数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．（1）我国著名数学家说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）A．华罗庚B．陈景润C．苏步青D．陈省身（2）若该二次函数的对称轴为x＝1，关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4﹣t＝0（t 为实数）在﹣3＜x＜2的范围内无解，则t的取值范围是．（3）若该二次函数自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为12，则m的值为．【拓展应用】（4）当m＝1时，二次函数图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D与原点O关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接OE并延长交射线CD于点F，连接DE，△DEF为等腰三角形时，求线段DF的长．8．课本再现下面是人教版初中数学教科书七年级上册第102页探究1的部分内容．探究1 销售中的盈亏（1）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是（填“盈利”、“亏损”或“不盈不亏”）．拓展应用（2）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价40%销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的衬衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利20%的预期目标？9．数轴是初中数学中一个重要的工具，研究数轴可以发现许多重要的规律．如数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．解决问题：现数轴上有一点A表示的数为﹣10，点B表示的数为18，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．（1）填空：①A、B两点之间的距离AB＝，到A、B两点距离相等的点表示的数是．②当t＝时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为．（2）求当t为何值时，PQ＝AB．（3）折叠数轴使点A与P重合，折点记为M，还原后再折叠数轴使点B与P重合，折点记为N，点P在运动过程中，M、N两点间的距离是否发生变化？若不变，请求出线段MN的长度．10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．（1）【特例感知】若数轴上点A，点B表示的数分别为8，﹣2，则A，B两点之间的距离为，线段AB的中点表示的数为；（2）若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b．①【分类讨论】若a＞b＞0，则A，B两点之间的距离为：AB＝a﹣b；若a＞0＞b，则A，B两点之间的距离为：AB＝a﹣b；若0＞a＞b，则A，B两点之间的距离为：AB＝；②【类比探究】线段AB的中点表示的数为；（3）【综合运用】若数轴上点A，点B表示的数分别为8，﹣2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当P，Q相遇时，停止运动．设运动时间为t秒（t＞0），点P，Q在运动过程中，①P，Q两点之间的距离为；（用含t的代数式表示）②若点M为P A的中点，点N为QB的中点，线段MN的长度为．（用含t的代数式表示）11．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．【综合运用】（1）点B表示的数是．（2）若BC：AC＝4：7，求点C到原点的距离．（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，m（m＜5）个单位长度秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．若PT﹣MN的值为定值，请求出m的值．12．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N表示的数为3．（1）直接写出：线段MN的长度是，线段MN的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是；（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．13．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞1）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点C表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为；（2）求当t为何值时，；（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．14．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．（1）如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系为．（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．15．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要结论和规律．小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题．如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a+5|+（b+1）2＝0，c＝3，d＝8．（1）m和n的长度分别为：、；（2）小亮把木棒m、n同时沿数轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s．设平移时间为t（s）①点B表示的数为：（用含t的代数式表示），点D表示的数为：（用含t的代数式表示）．②若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝（s）；（3）在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，请直接写出t的值为．16．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点C表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为；（2）求当t为何值时，PQ＝AB；（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．17．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式的值．解：∵，∴即∴∴材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，，，∴根据材料解答问题：（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．。
中考数学备考专题复习： 阅读理解问题(含解析)
中考数学备考专题复习：阅读理解问题（含解析）中考备考专题复习：阅读理解问题一、单选题1、对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b，如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A、0B、2C、3D、42、对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x⊗（﹣2）= ﹣1的解是（）A、x=4B、x=5C、x=6D、x=73、设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③4、定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A、0≤m≤1B、﹣3≤m≤1C、﹣3≤m≤3D、﹣1≤m≤0二、填空题5、州）阅读材料并解决问题：求1+2+22+23+…+22014的值，令S=1+2+22+23+…+22014等式两边同时乘以2，则2S=2+22+23+…+22014+22015两式相减：得2S﹣S=22015﹣1所以，S=22015﹣1依据以上计算方法，计算1+3+32+33+…+32015=________．三、解答题6、自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：（1）若＞0，则或（2）＜0，则____________ ．根据上述规律，求不等式＞0的解集．7、阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用[()n﹣()n]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．8、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1 从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A n m，A n m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60.材料2 从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C32＝＝3.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C n m，C n m＝(m≤n)．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C63＝＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？9、定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．四、综合题10、阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明(2)求乙船每小时航行多少海里？11、阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9 万人次．根据以上材料解答下列问题：(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为________ 万人次(2)选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．12、阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：(1)计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；(2)解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．13、）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．(1)等比数列3，6，12，…的公比q为________ ，第4项是________(2)如果一个数列a1， a2， a3， a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…=q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2， a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an =________（用a1和q的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．14、阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组;(2)已知x，y满足方程组（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．15、）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．(1)求证：EF=AC；(2)若OD=，OC=5，求MN的长．16、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）17、已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．18、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．(1)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．(3)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．19、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．20、阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约________亿元，你的预估理由________．21、）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan75°=tan（45°+30°）= = =2+根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题(1)计算：sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．22、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】分段函数【解析】【解答】解：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min=2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min=2，故选B【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．2、【答案】B【考点】分式方程的解，定义新运算【解析】【解答】解：根据题意，得= ﹣1，去分母得：1=2﹣（x﹣4），解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选B．【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．3、【答案】C【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4、【答案】 B【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：∵x=y，∴x=2x+m，即x=﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选B．【分析】根据x=y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．二、填空题5、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：令s=1+3+32+33+ (32015)等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+ (32016)两式相减得：2s=32016﹣1．所以S= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32015，然后再等式的两边同时乘以2，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．三、解答题6、【答案】解：（2）若＜0，则或；故答案为：或；由上述规律可知，不等式转化为或，所以，x＞2或x＜﹣1．【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．7、【答案】【解答】解：第1个数，当n=1时，[()n﹣()n]=（﹣）=×=1．第2个数，当n=2时，[()n﹣()n]=[（）2﹣（）2]=×（+）（﹣）=×1×=1．【考点】二次根式的应用【解析】【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．8、【答案】解：(1)A74＝7×6×5×4＝840(种)．(2)C83＝＝56(种)【考点】探索数与式的规律【解析】【分析】探索数与式的规律。
中考数学阅读理解题型含答案
2011年阅读理解试题汇编： （2011年昌平区一模） 22． 现场学习题问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．AB C图3图2图1(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上．________ 思维拓展：(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△ABC、(0)a >，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的△ABC ，并求出它的面积是： ．探索创新：(3)若△ABC、(0,,)m n o m n >>≠ ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC 的面积为：答案：（1） 25．（2）面积：23a ．（3）面积：3mn ．图2AB CA CB 4m2m 2mn n 2n 图3（通州区一模） 22．问题背景（1）如图22（1），△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积1S = ，△ADE 的面积2S = ． 探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移（3）如图22（2），□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积．答案：(1)四边形DBFE 的面积S =632=⨯，△EFC 的面积1S =93621=⨯⨯，△ADE 的面积2S =1．(2)根据题意可知：ah S =，bh S 211=，DE ∥BC ，EF ∥AB∴四边形DEFB 是平行四边形，EFC ADE ∠=∠,C AED ∠=∠∴DE=a ; ADE ∆∽EFC ∆, ∴122S S b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ ∴b h a S b a S 221222== ∴222212244h a bha bh S S =⨯⨯= ∴2124S S S =(3) 过点G 作GH//AB∴由题意可知：四边形DGFE 和四边形DGHB 都是平行四边形 ∴DG=BH=EF ∴BE=HFGHF DBE S S ∆∆=8=∆GHC S64824S 4S G H C A D G D G H B 2=⨯⨯=⋅=∆∆四边形S∴8DGHB=四边形S∴18882S ABC =++=∆B C D G F E A6 22（1）A GFDCBA（2011年房山区一模） 22．（本小题满分5分）小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形．他先进行了如下部分操作，如图1所示： ①取△ABC 的边AB 、AC 的中点D 、E ，联结DE ； ②过点A 作AF ⊥DE 于点F ；（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC 拼接成面积与它相等的矩形．（2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________．（3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的 答案：解：（1）（22：1 （3）画对一种情况的一个图给1分或N M ②①②①F E D C B A（2011年海淀一模）22．如图1，已知等边△ABC 的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记△DEF 的周长为p .（1）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点，则p =_______；（2）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 .小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC △以AC 边为轴翻折一次得1AB C △，再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，112DF FE E D p ++=，根据两点之间线段最短，可得2p DD ≥. 老师听了后说：“你的想法很好，但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.答案 解：（1）32p =; .…………………………….……………………………2分 （2）332p <≤..…………………………….……………………………5分（2011年顺义一模）22． 如图，将正方形沿图中虚线（其x y <）剪成① ② ③ ④ 四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图； （2）求xy的值．答案．（1）如图（2）面积可得 2()(2)x y x y y +=+ ----------------------3分 22222x xy y xy y ++=+ 220x xy y +-= 2()10xx yy +-=x y =(舍去)x y = A B DFC E1图AB DFCE 1F 1A 1B 2D 1D 1E 2图yy xy x y x x④③②①④③②①（2011年朝阳区一模）22．阅读并操作：如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③).拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1).图①图②图③请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中.（1）新图形为平行四边形；（2）新图形为等腰梯形.答案：解：（1）（2）ABCABCFEDA BC（2011年丰台一模）22．认真阅读下列问题，并加以解决：问题1：如图1，△ABC 是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC 补成一个矩形．要求：使△ABC 的两个顶点成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；图1 图2问题2：如图2，△ABC 是锐角三角形，且满足BC ＞AC ＞AB ，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；问题3：如果△ABC 是钝角三角形，且三边仍然满足BC ＞AC ＞AB ，现将它补成矩形．要求：△ABC 有两个顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）．答案．解：（1）………………… 正确画出一个图形给1分，共2’（2）符合要求的矩形最多可以画出 3 个，它们面积之间的数量关系是 相等 ；………4’ (3) 不相等 ． …………………………………………………………………………………5’（燕山区一模）22．将正方形ABCD （如图1）作如下划分：第1次划分：分别联结正方形ABCD 对边的中点（如图2），得线段HF 和EG ，它们交于点M ，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH 按上述方法再作划分，得图3，则图3中共有_______个正方形； 若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_______个正方形；继续划分下去，能否将正方形ABCD 划分成有2011个正方形的图形？需说明理由.答案：第2次划分，共有9个正方形； 第100次划分后，共有401个正方形；依题意，第n 次划分后，图中共有4n+1个正方形，而方程4n+1=2011没有整数解，A D A H D A H DE M G E M GB FC B F C 图1 图2 图3所以，不能得到2011个正方形. （2011年西城一模）22.我们约定，若一个三角形(记为1A ∆)是由另一个三角形(记为A ∆)通过一次平移，或绕其任一边中点旋转︒180得到的，称1A ∆是由A ∆复制的。
中考数学阅读题训练精选(2)
中考数学阅读题训练精选（2）1．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6（1）直接写出：线段AB的长度，线段AB的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+2|+|x﹣6|有最小值是，|x+2|﹣|x﹣6|有最大值是；（3）点C在数轴上对应的数为10，动点P从原点出发在数轴上运动，若存在某个位置，使得P A+PB＝PC，则称点P是关于点A，B，C的“石室幸运点”，请问在数轴上是否存在“石室幸运点”？若存在，请直接写出所有“石室幸运点”．2．北师大版初中数学教科书七年级下册第126页告诉我们利用尺规作已知角的平分线的方法．请根据提供的材料完成以下问题：例2利用尺规，作∠AOB的平分线（图5﹣18）．已知：∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．做法：1．在OA和OB上分别截取OD，OE使OD＝OE．2．分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．3．作射线OC．OC就是∠AOB的平分线（图5﹣19）（1）连接EC，DC，可以说明△OCE≌△OCD的依据是（填序号）．①ASA；②AAS；③SSS；④SAS．（2）求证：OC平分∠BOA．3．几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题抽象成为数学问题．初中数学常见的几何模型有很多，通过整理归纳，可以从这些基本模型中找到其所藻蕴含的规律．【提出问题】如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，△ADE绕点A旋转，连结BD、EC，小明通过探究得到∠ABD与∠BCE的大小存在某种数量关系，具体探究过程如下．【探究问题】小明先将上述问题“特值化”，如图1，令AB＝1，AD＝，∠ABD＝100°，则可证明△ABD和△ACE相似，进而可求得∠BCE的度数．请你帮助小明完成解答过程．【解决问题】将问题“一般化”，如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，∠ABD与∠BCE 满足的数量关系为．【拓展应用】如图3，过线段AB的端点B作射线BM⊥AB，Rt△ADE的直角顶点D在射线BM上运动，连结BE，若AB＝4，＝，则BE的最小值为．4．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点C表示的数为；（2）求当t为何值时，PQ＝2；（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出线段MN的长．5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b﹣a．【问题情境】数轴上三点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中A在原点左侧，距原点4个单位，b是最大的负整数，C在原点右侧，且AC＝9．如图②，动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，与此同时，过点N从点C出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴向右匀速运动，一只电子狗Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设移动时向为t秒（t＞0）．【问题探究】（1）a＝，b＝，c＝；（2）在运动过程中，4MN+aMQ的值不随t的变化而变化，请求出a的值；（3）如果在C处竖立一块挡板，当电子狗Q到达C时，被挡板弹回，以同样的速度向相反的方向运动．问：当t为何值时，电子狗Q到M，N的距离相等？并求出此时电子狗Q的位置．6．阅读理解：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m、k为常数），则x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，其中m＝1，k＝2．（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m、k的值；（2）已知在初中数学学习中，一个数的平方总是非负数，请问﹣x2+8x﹣17有最小值或者最大值吗？有的话，请说明是最小值还是最大值，并求出这个值，以及此时x的取值．7．为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是人，补全统计图①；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有2400人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．8．综合探究【背景知识】数轴是初中数学的一个重要⼯具，利⼯数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b （b＞a），则线段AB的⼯（点A到点B的距离）可表示为b﹣a．请⼯上⼯材料中的知识解答下⼯的问题：【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位⼯度到达点A，再向右移动3个单位⼯度到达点B，然后再向右移动5个单位⼯度到达点C．（1）【问题探究】请在图②中表示出A、B、C三点的位置；（2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位⼯度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位⼯度、每秒3个单位⼯度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（t＞0）．①A，B两点间的距离AB＝，AC＝；②若点D、E分别是线段AB，BC的中点，求线段DE的长；③⼯含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为．9．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；（2）当t为何值时，？（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式﹣x3+8x2+ax2+24x ﹣2bx+3不含x2项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M 的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）直接写出OA＝；OB＝；（2）①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为；点N表示的数为．②当t为何值时，恰好有AN＝2AM？（3）若点P为线段AM的中点，Q为线段BN的中点，M、N在运动的过程中，PQ+MN 的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，PQ+MN有最小值，最小值是多少？11．图形变换是初中数学学习的重要内容，某兴趣学习小组的同学利用所学知识，进行了一系列的图形变换操作实践活动，让我们一起来体验他们的探究过程吧．（1）轴对称：将正方形纸片ABCD折叠，使边AD、AB都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1，求∠EAF的大小；（2）旋转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点H、G，连接GH，如图2，则线段BH、GH．DG之间存在的数量关系为，并证明你的结论；（3）计算：在图2中，连接正方形对角线BD，若∠GAH的两边AH、AG分别交对角线BD于点M、点N．如图3，若BM＝3，DN＝4，求正方形ABCD的面积．12．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB ＝|a﹣b|，若a＞b，则可化简为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数；（2）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为；（3）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度．13．阅读下列材料：材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设x+2＝t，则x＝t﹣2．∴原式＝＝t﹣7+∴＝x﹣5+材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a＞0，b＞0时，∵+＝（）2+（）2＝（﹣）2+2∴当＝，即a＝b时，+有最小值2．根据以上阅读材料回答下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为；（2）已知分式的值为整数，求整数x的值；（3）当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值及此时x的值．14．安阳某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨：已知：如图，∠4，∠5，∠6是△ABC的三个外角．求证：∠4+∠5+∠6＝360°．（1）该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整：证法1：∵∠4是△ABC的一个外角，∴．同理，∠5＝∠1+∠3．∠6＝∠1+∠2．∴∠4+∠5+∠6＝2（∠1+∠2+∠3）．∵．∴∠4+∠5+∠6＝2×180°＝360°（2）事实上，还有另外一种证明方法，请你给该小组展示出来．15．平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：（一）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是；（2）一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是；（3）数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为；（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．（4）若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示的点重合；（5）若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为；（6）在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点折叠后重合，折痕与数轴交于M点；将点P与点M折叠后重合，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为．。
2023年中考数学名著阅读练习题(附参考答案)
2023年中考数学名著阅读练习题(附参考答案)2023年中考数学名著阅读练题 (附参考答案)题目一某数学名著中提到了一个数学问题：已知一边长为3cm的正方形，现在需要在每个顶点处剪去一小块，使得最后剩下的形状是一个正六边形。
请问，每个顶点处需要剪去多少面积的小块？参考答案：每个顶点处需要剪去$\frac{1}{3}$平方厘米的小块。
题目二在一本数学名著中，有一个有趣的几何问题：已知一个圆的直径长为8cm，计算该圆的周长和面积。
参考答案：- 圆的周长为$π \times 8$ cm；- 圆的面积为$π \times (\frac{8}{2})^2$ 平方厘米。
题目三一本数学名著中介绍了一个三角函数的应用问题：在一个右边为45°的直角三角形中，已知斜边的长为10cm，求另外两条边的长度。
参考答案：- 斜边为10cm，直角边的长度为$10 \times \cos45°$ cm；- 直角边的长度为$10 \times \sin45°$ cm。
题目四在一本数学名著中，有一个图形计算的问题：已知一个长方形的长为6cm，宽为4cm，计算该长方形的周长和面积。
参考答案：- 长方形的周长为$2 \times (6 + 4)$ cm；- 长方形的面积为$6 \times 4$ 平方厘米。
题目五在一本数学名著中，提到了一个比较问题：已知一个正方形和一个长方形，它们的面积相同，但它们的边长不同，那么这两个图形的周长哪个更长？参考答案：正方形的周长更长。
题目六在一本数学名著中，讲述了一个图形排列问题：有6个小正方形，将其排列成一个大正方形，使得每个小正方形的边都与其他小正方形的边相邻，问大正方形的边长是多少？参考答案：大正方形的边长为$2 \times \sqrt{3}$。
题目七一本数学名著提到了一个数字推理问题：已知1 + 3 = 28，5 + 2 = 37，7 + 4 = 66，9 + 6 = ?，请问? 应该等于多少？参考答案：? 应该等于135。
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解阅读理解问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题．既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力．这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律．该类问题一般是提供一定的材料或介绍一个概念或给出一种解法等，让考生在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题．基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”．类型一新概念学习型新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用．例1 (2017·枣庄) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p ×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【自主解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．变式训练1．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 ______________2．(2016·荆州) 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．类型二新公式应用型新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题．解决这类问题，一是要所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；二是要创造条件，准确、规范、灵活地解答．例2（2017•日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．例如：求点P解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．∴点P根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；1问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S的最大值和最小值．△ABP【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d=【自主解答】解：（1）点P1=4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b=0的距离d=1，∴=1， 解得b=或．（3）点C （2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3， ∴⊙C 上点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S △ABP 的最大值=×2×4=4，S △ABP 的最小值=×2×2=2．变式训练3．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D 中每一个点都是等可能的，用A 表示“实验结果落在D 中的某个小区域M 中”这个事件，那么事件A 发生的概率P(A)＝ .如图，现在等边△ABC 内射入一个点，则该点落在△ABC 内切圆中的概率是____ ．4．(2016·随州)如图1，PT 与⊙O 1相切于点T ，PB 与⊙O 1相交于A ，B 两点，可证明△PTA ∽△PBT ，从而有PT 2＝PA ·PB ．请应用以上结论解决下列问题：如图2，PAB ，PCD 分别与⊙O 2相交于A ，B ，C ，D 四点，已知PA ＝2，PB ＝7，PC＝3，则CD ＝______.类型三 新方法应用型新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题．例3 (2017·毕节)D M 93 35）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【自主解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．变式训练5、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．设另一个因式为（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=-4m=3n 解得：n=-7，m=-21∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．问题：（1）若二次三项式x2-5x+6可分解为（x-2）（x+a），则a=______；（2）若二次三项式2x2+bx-5可分解为（2x-1）（x+5），则b=______；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是（2x-3），求另一个因式以及k的值．解：（1）∵（x-2）（x+a）=x2+（a-2）x-2a=x2-5x+6，∴a-2=-5，解得：a=-3；（2）∵（2x-1）（x+5）=2x2+9x-5=2x2+bx-5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，则2n-3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k 的值为12．故答案为：（1）-3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）． 6、（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++． 令111234t ++=，则 原式=11(1)()(1)55t t t t -+--- =22114555t t t t t +---+ =15 问题：（1）计算1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014-----⨯+++++--------⨯++++。
中考数学阅读理解型问题试题(附答案)
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
中考数学阅读理解型问题试题(附答案)
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章对您学习有所帮助。
中考数学阅读理解型问题试题(附答案)
21.(2012 四川达州，21，8 分)(8 分)?问题背景
若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边
长为，面积为，则与的函数关系式为：﹥0)，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.
提出新问题
若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有，最大(小)
值是多少?
分析问题
若设该矩形的一边长为，周长为，则与的函数关系式为：
( ﹥0)，问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.
解决问题
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数( ﹥0)的最大(小)值.
(1)实践操作：填写下表，并用描点法?画出函数( ﹥0)的图象：
(2)观察猜想：观察该函数的图象，猜想当
= 时，函数( ﹥0)
有最值(填大”或小”)，是.
(3)推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数﹥0)的最
大值，请你尝试通过配方求函数( ﹥0)的最大(小)值，以证明你的
猜想. 〔提示：当大于0 时，〕
今天的努力是为了明天的幸福。
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中考数学阅读型试题近几年中考试题中，阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识覆盖面较大，它可以是总计课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法、思想，然后把握本质，理解实质的基础上作出回答例1、我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。
用现代式子表示即为：])2([41222222c b a b a s -+-=……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，s 为面积）。
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：))()((c p b p a p p s ---=……②（其中2cb a p ++=）。
(1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积。
(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。
分析：这是一道阅读理解题，它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式，第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力，第（2）题是考查学生是创新能力。
1243F EDDDCCCBBBAA A练习1．阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A 、C 两点画直线AC 把平行四边形ABCD 分割成两个部分（a ），小刚过AB 、AC 的中点画直线EF ，把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（b ）；（a ） （b ） （c ） （1）这两种分割方法中面积之间的关系为：21____S S ，43____S S ；（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有 条，请在图（c ）的平行四边形中画出一种；（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？（4）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形；2．阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”. 显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2) 如图8②，若△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若△ABC 是锐角三角形，且BC>AC>AB ，在图8③中画出△ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.3．阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=c AD ，sinC=b AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，于是csinB=bsinC ，即C cB b sin sin =． 同理有A aC c sin sin =，B bA a sin sin =． 所以CcB b A a sin sin sin ==………(x) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(x)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B ． ∠C ； 第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．4、“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(aa P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．5、已知：如图8，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP ⊥AB ，垂足为P ，直线QA 交⊙O 于C 点，过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D 。
则△CDQ 是等腰三角形。
对上述命题证明如下：证明：连结OC ∵OA ＝OC ∴∠A ＝∠1∵CD 切O 于C 点∴∠OCD ＝90°∴∠1＋∠2＝90° ∴∠A ＋∠2＝90°在RtQPA 中，QPA ＝90° ∴∠A ＋∠Q ＝90° ∴∠2＝∠Q ∴DQ ＝DC即CDQ 是等腰三角形。
问题：对上述命题，当点P 在BA 的延长线上时，其他条件不变，如图9所示，结论“△CDQ 是等腰三角形”还成立吗？若成立，误给予证明；若不成立，请说明理由。
图8图9能力训练1、阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。
现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…()1+n n ＝？观察下面三个特殊的等式:()2103213121⨯⨯-⨯⨯=⨯; ()3214323132⨯⨯-⨯⨯=⨯;()4325433143⨯⨯-⨯⨯=⨯.将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝2054331=⨯⨯⨯. 读完这段材料，请你思考后回答：⑴=⨯++⨯+⨯1011003221Λ .⑵()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n Λ . ⑶()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n Λ . （只需写出结果，不必写中间的过程）2、阅读：我们知道，在数轴上，x ＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x ＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x －y ＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y ＝2x ＋1的图象，它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线＝1与直线y ＝2x ＋1的交点P 的坐标（1，3）就是方程组1210x x y =⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩在直角坐标系中，x ≤1表示一个平面区域，即直线x ＝1以及它左侧的部分，如图②；y ≤2x ＋1也表示一个平面区域，即直线y ＝2x ＋1以及它下方的部分，如图③。
回答下列问题：(1)在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；(2)用阴影表示2y 2x 2y 0x ⎧⎪⎨⎪⎩≥－≤－＋≥，所围成的区域。
7-2题图①7－2题图②答案： 练习1．（1）_________=，_________=； （2）无数，图略；2．(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”. (2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD 、ABEF.易知，矩形BCAD 、ABEF 的面积都等于△ABC 面积的2倍， ∴ △ABC 的“友好矩形”的面积相等. (3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE 、CAFG 及ABHK ，其中的矩形ABHK 的周长最小 . 证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE 、CAFG 及ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3，△ABC 的边长BC=a ，CA=b ，AB=c ，则L 1=2S a +2a ，L 2=2S b +2b ，L 3=2S c+2c .∴ L 1- L 2=(2S a +2a)-(2S b+2b)=2(a-b)ab Sab -g ，而 ab>S ，a>b ，∴ L 1- L 2>0，即L 1> L 2 . 同理可得，L 2> L 3 .∴ L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小.3．解：(1)B bA a sin sin =, ∠A+∠B+∠C=180°，a 、∠A 、∠C 或b 、∠B 、∠C ， A a C c sin sin =或CcB b sin sin =(2)依题意，可求得∠ABC=65°， ∠A=40°,BC=14．2,AB ≈21．3．答：货轮距灯塔A 的距离约为21．3海里．(9分)4、解：（1）设直线OM 的函数关系式为)1,(),1,(,bb R a a P kx y =．则),1,(ab M ∴abb a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x aby 1=．（2）∵Q 的坐标)1,(b a 满足x aby 1=，∴点Q 在直线OM 上．∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=21PR ．∴∠SQR=∠SRQ ． ∵PR=2OP ，∴PS=OP=21PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角，∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ． ∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ． ∴∠POS=2∠SOB ． ∴∠SOB=31∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可．方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．5、答：结论“△CDQ 是等腰三角形”还成立证明：略能力训练：1、⑴343400(或10210110031⨯⨯⨯⑵()()2131++n n n ⑶()()()32141+++n n n n 2. 解：（1）如图所示，在坐标系中分别作出直线x ＝－2和直线y ＝－2x ＋2， 这两条直线的交点是P （－2，6）。