函数定义域求法总结(优选)

已 知 f 2 x 1 的 定 义 域 为 ( 1 , 5 ] , 求 f ( x ) 的 定 义 域 .
解：由题意知: 1x5,
32 x 1 9 ,
f(x )的 定 义 域 为 3 ,9 .
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已知f（2x+3）定义域是[-4,5), 求f (x)的定义域
三、已知f(g(x))的定义域求f(h(x))的定义域
2.已 知 f(2x1)的 定 义 域 为 [0,1), 求 f(13x)的 定 义 域 .
解：Q f (2x 1)的定义域为[0,1),即0 x 1, 1 2x 11, f (x)的定义域为[1,1)， 即113x 1,0 x 2 .
3 f (13x)的定义域为(0, 2].
3
已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2], 求函数y=f(4x-1)的定义域。
三、运算型的抽象函数
f (x) 若
的 定 义 域 为 3，5 ， 求
(x) f (x) f (2x 5) 的定义域．
求由有限个抽象函数经四则运算 得到的函数的定义域，其解法是： 先求出各个函数的定义域，然后再 求交集．
2.已知f函 (x)的 数定义 [2域 ， 4]， 为求函 F(x)f(1x)f(1x)的定义域。
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类型六：求抽象函数的定义域
抽象函数是指没有给出函数的具体解 析式，只给出了一些体现函数特征的 式子的一类函数
类型六：求抽象函数的定义域
一、已知 f (x) 的定义域，求 f g(x)的定义域
例 1 ：已知函数 f (x) 的定义域为 1，5 ，
求 f (3x 5) 的定义域．
f ( x) 其解法是：若
第2课时 函数概念的综合应用
1
1.掌握简单函数的定义域的求法；(重点） 2.会求简单函数的值域；（重点、难点）
2
1.构成函数的三要素； 2.函数的定义域的概念； 3.函数值域的概念； 4.函数的对应关系.
3
探究点1： 函数定义域的求法
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类型一：f（x）是整式
F（x）=2x F（x）= —3x+2 F（x）=2x2+x — 1 如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
2 3
函数的定义域为{x | 2 x 1或1 x 2}
练习（1）已知函数f (x) 的定义域为 0 x 2 2 求 f (x 2)的定义域；
（2）已知函数 f (x 1的) 定义域为 {x | 2 x 3} 求 f (1 2的) 定义域. x
函数定义域的逆向应用问题
例、（1）若函数
即-1x2
则 f( x 2 ) 的 定 义 域 为 [ 1 ,2 ] .
抽象函数的定义域
已 知 f x 的 定 义 域 为 0 , 2 , 求 f ( 2 x 1 ) 的 定 义 域 .
解: 由题意知: 0 2 x 1 2
1 x 3
2
2
故 :f(2 x 1 )的 定 义 域 是 { x1 x 3 } . 22
的定义域为 a ≤ x ≤ b ，
则在 f g(x)中， a ≤ g (x) ≤ b ，从中解得 x 的
取值范围即为 f g(x)的定义域．
类型六：求抽象函数的定义域
例 ： 若 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 [ 1 , 4 ] , 求 函 数 f ( x 2 ) 的 定 义 域 。
类型七：考虑f（x）的实际意义
某种笔记本每个5元，买 x 个笔记本需 要y（元），试求函数解析式并写出自 变量的取值范围
如果f(x)实际问题中的自变量取值，需要考虑实际意义。
练习
求函数y 4 x 2 的定义域 | x 1| 2
解：依题意有： 4 x2 0 | x 1| 2 0
解得：x21且 xx
类型二：f(x)是分式
y 1 1 | x |
y
x2
1 x
2
类型二： 如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于 零的实数的集合
类型三：f（x）根式
y 3-x
F（x）= 2 x x1
f（ x） 3 x22x-8
如果f(x)是 偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式 子不小于0的实数的集合. 如果f(x)是 奇次根式，那么函数的定义域根号内式子有意 义的数的集合
特别提醒：对于抽象函数的定义域，在同一对应关系
f下，括号内整体的取值范围相同.
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二、已知 f g(x)的定义域，求 f (x) 的定
义域
例 2： 已知函数 f (2x 2) 的定义域为 0， 3 ，求函数 f (x) 的定义域．
其解法是：若 f g(x) 的定义域为 m≤ x ≤n ，
则由 m≤ x ≤n 确定的 g(x) 的范围即为 f (x) 的定义 域．
当 a0 时，y 3 与 x轴无交点
当a0时，(2a)243a0即 0a3
a的取值范围是 0a3
例 ： 若 函 数 f( x ) m x 2 3 x m x 1 3 的 定 义 域 为 R ， 求 m 的 取 值 范 围 。 解 ： 要 使 原 函 数 有 意 义 ， 必 须 m x2m30,
提升总结： 求函数的定义域时常有的几种情况: ①若f(x)是整式，则函数的定义域是: 实数集R； ②若f(x)是分式，则函数的定义域是: 使分母不等于0的实数集； ③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是: 使根号内的式子大于等于0的实数集.
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④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数 的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题．
y ax1 的定义域为 ax2 2ax3
R
求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x) m2xmx1的定义域为R
求实数m的取值范围.
a 例(1)若函数 yax2ax2a1x的3 定义域为 R,求实数 的取值围
解:(1)
函数yax2ax2a1x3 的定义域为R
a2x2ax30无解
即 ya2x2ax3与 x轴无交点
求抽象函数的定义域
例 ： 已 知 f (x 1 ) 的 定 义 域 为 [ 0 , 3 ] , 求 f ( x ) 的 定 义 域 。
注 ： 求 此 类 题 目 的 解 题 方 法 是 ： 若 f[(x ) ] 的 定 义 域 为 D ， 则 (x ) 在 D 上 的 取 值 范 围 ， 即 是 f(x ) 的 定 义 域 。
分 析 ： 求 yf[ (x)]型 的 定 义 域 问 题 。
因 为 f(x)的 定 义 域 为 [ 1 , 4 ] , 若 使 对 应 关 系 f有 意 义 则 1x24 .
解 ： Qf(x ) 的 定 义 域 为 [ 1 ,4 ],
使 f ( x 2 ) 有 意 义 的 条 件 是 1 x 2 4
类型四：f（x）是代数式的0次
f(x)(x2x2)0
如果 f(x)为代数式的0次 ，那么函数的定义域是使代数式不 等于0的实数的集合.
类型五：f（x）是组合式
(1)y2x2
x ; 3x2
(3)y 3 ; 1 1x
(2)y x1g1x; (4)y x23 5x.
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数 定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. （即求各部分集合的交集）
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由 于 函 数 的 定 义 域 是 R， 故 m x2m x30 对 一 切 实 数 x恒 成 立 。
① 当 m 0 时 ， 3 0 成 立 ， 则 m 0 满 足 条 件 。
② 当 m 0 时 ， 有 V m 2 1 2 m 0 , 解 得 0 m 1 2 .
故由① ②可知 0m12.