2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值(1)

【核心素养分析】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。

【重点知识梳理】知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值第1页共9页第 2 页 共 9 页【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].【典型题分析】高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间)例1.（2020·新课标∈）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，第 3 页 共 9 页()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.【方法技巧】确定函数单调性的方法 (1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∈”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．【变式探究】（2020·河北辛集中学模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32和[2，＋∞) 【答案】B第 4 页 共 9 页【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－(x 2－3x ＋2)，1＜x ＜2.，如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2，故选B 。

高频考点二 确定含参函数的单调性例2.（2020·北京101中学模拟）判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．【解析】法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．第 5 页 共 9 页法二：(导数法)f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2，所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为单调减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为单调增函数． 【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．(4)性质法：∈对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；【变式探究】（2020·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．【解析】函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，第 6 页 共 9 页从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 高频考点三 函数的最值例3.(2018·全国∈)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D ．π 【答案】C【解析】∈f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∈当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减， ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间， 结合条件得[0，a ]∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∈a ≤3π4，即a max ＝3π4.【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.第 7 页 共 9 页【变式探究】（2020·湖北襄阳四中模拟）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2(x ≤0)，x ＋1x ＋a (x ＞0)的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]【答案】D【解析】当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．故当x ＝1时取得最小值2＋a ， ∈f (x )的最小值为f (0)，∈当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2单调递减，故a ≥0， 此时的最小值为f (0)＝a 2， 故2＋a ≥a 2，得－1≤a ≤2. 又a ≥0，得0≤a ≤2，故选D 。

高频考点三 解不等式例3.（2020·河南洛阳一中模拟）f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．【答案】(8,9]【解析】因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9。

第 8 页 共 9 页【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．【变式探究】（2020·湖南长郡中学模拟）设函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0或x >3}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3} 【答案】B【解析】∈f (x )是奇函数，f (－3)＝0， ∈f (－3)＝－f (3)＝0，解得f (3)＝0. ∈函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数， ∈当0<x <3时，f (x )<0；当x >3时，f (x )>0. ∈函数f (x )是奇函数，∈当－3<x <0时，f (x )>0； 当x <－3时，f (x )<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}． 高频考点五 利用函数的单调性求参数例5.（2020·天津南开中学模拟）若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]【答案】B【解析】因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，且函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)第 9 页 共 9 页上不单调，所以a ＞1，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B 。