新人教版八年级下册数学19.1.1 变量与函数 教案1
第19章《19.1.1变量与函数》第一课时
量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时．
[活动一]
活动内容设计：
1．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．•怎样用含x的式子表示y?
2．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？
设计意图：
让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量．
教师活动：
引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．
学生活动：
在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论．
活动结论：
1．早场电影票房收入：150×10=1500（元）
日场电影票房收入：205×10=2050（元）
晚场电影票房收入：310×10=3100（元）
关系式：y=10x
2．挂1kg重物时弹簧长度：1×0.5+10=10.5（cm）
挂2kg重物时弹簧长度：2×0.5+10=11（cm）
挂3kg重物时弹簧长度：3×0.5+10=11.5（cm）
关系式：L=0.5m+10
[师]通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，•弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10 cm……都是常量．
Ⅲ．随堂练习
1．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，•指出其中的常量与变量，并写出关系式．
2．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h•变化关系式，并指出其中常量与变量．
Ⅳ．课时小结
本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义．
1．确定事物变化中的变量与常量．
2．尝试运算寻求变量间存在的规律．
3．利用学过的有关知识公式确定关系区．
第19章《19.1.1变量与函数》第二课时
我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？
这将是我们这节研究的内容．
Ⅱ．导入新课
[师]我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．
[生]活动一两个问题都有两个变量．问题（1）中，•经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值．例如早场x=150，则y=1500；•日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100．
问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L•就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm．当m=10时，则L=15，当m=20时，则L=20．
[师]很好，他说得非常正确．谢谢你．我们再来回顾活动二中的两个问题．看看它们中的变量又怎样呢？
[生]活动二中的两个问题也都分别有两个变量．
问题（1）中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1．78cm；当S=20cm2时，r=2．52cm．•
每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r=S
．
问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，•即可得出另一边长，再计算出矩形的面积．如：当x=1cm时，则Ｓ＝1×（5-1）=4cm2，当x=2cm时，则Ｓ＝2×（5-2）=6cm2……它们之间存在关系S=x（5-x）=5x-x2．因此可知，•每当矩形长度x取定一个值时，面积Ｓ就随之确定一个值．
[师]谢谢你，大家为他鼓掌．
由以上回顾我们可以归纳这样的结论：
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．
其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：
（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？
（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？
中国人口数统计表
年份人口数／亿
1984 10．34
1989 11．06
1994 11．76
1999 12．52
[生]我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．
[师]一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．
据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．
[活动一]
活动内容设计：
1．在计算器上按照下面的程序进行操作：
填表：
x 1 3 -4 0 101
y
显示的数y
2．在计算器上按照下面的程序进行操作．
下表中的x与y
x 1 2 3 0 -1
y 3 5 7 2 -1
所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．
设计意图：
通过在计算器上操作及填表分析，进一步认识函数意义，经过对表中数据分析推理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法．
教师活动：
引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．
在教师引导下，1．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻
理解函数意义．2．通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法．
活动结论：
1．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与
其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．
这两个键，且每个x•的值2．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1
都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+1
[师]通过以后活动，我们对函数意义认识更深刻了，并完善掌握了函数关系式确定
的方法．为了进一步学好函数，我们再来完成一个问题．
[活动二]
活动内容设计：
一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里
程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．
1．写出表示y与x的函数关系式．
2．指出自变量x的取值范围．
3．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？
设计意图：
通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定
自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．
教师活动：
注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围的方
法．
学生活动：
通过活动，感知体会函数意义，学会确立函数关系式及自变量取值范围，并能掌
握其一般方法．
活动过程及结果：
1．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．
行驶里程x时耗油为：0.1x
油箱中剩余油量为：50-0.1x
所以函数关系式为：y=50-0.1x
2．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x•代表的实际意
义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0.1x≤50，x≤500．
因此自变量x的取值范围是：
0≤x≤500
3．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，
将x=200代入y=50-0．1x得：y=50-0．1×200=30
汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．
[师]通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又学
会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅。
八年级数学下册第十九章一次函数19.1函数19.1.1变量与函数教案(新版)新人教版
19.1.1 变量与函数第1课时常量与变量教学目标知识与技能：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
过程与方法：借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
情感态度与价值观：从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。
学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
重点:借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念难点:怎样理解“唯一对应”教学过程：一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的。
例如，地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。
再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。
这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。
二、合作交流、解读探究1、气温问题：下图是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温是℃，最低气温是℃；（2）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时，气温（）。
A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）气温随的变化而变化，即T随的变化而变化；（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？2、当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5、6、7，……时，正方形的面积S分别是多少？3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用xm3天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？思考：上述三个问题，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫作变量；有些量的值始终不变（如正方形的面积……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。
人教版八年级数学下册第19章一次函数19.1.1变量与函数1教案新版
三、课堂练习
指出下列问题中的变量和常量：
1.某市的自来水价为4元/t.现在抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为xt,月应交水费y元.
2.某地手机通话费为0.2元/min.李明在手 机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin,话费卡中的余额为w元.
情感态度与价值观
引导学生探索实际问题中的数量关系,培养学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.
教学重点难点
教学
重点
能判断常量和变量，感知两个变量之间的变化关系.
教学
难点
变量和常量的概念的理解.
教学媒体选择分析表
知识点
学习目标
媒体类型
教学作用
及时对概念进行理解巩固
及时归纳总结，提升课堂效果
3.水滴落入水中时，产生圆形水波，水波随时间慢慢扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？
4.用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？
归纳：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
使用
方式
所得结论
占用时间
媒体来源
介绍
知识目标
图片
B
G
建立表 象
2分钟
自制
讲解
过程与方法
PPT
A
E
5分钟
下载
讲解
过程与方法
PPT
A
E
帮助理解
5分钟
下载
①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实， 建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念 ；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.其它。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计
-利用生活实例或数学问题，激发学生的好奇心，引导他们观察变量之间的变化规律。
-设计系列问题，逐步引导学生深入探讨函数的定义和性质。
2.运用合作学习、讨论交流的方法，提高学生的思维品质和解决问题的能力。
-组织学生进行小组合作，鼓励他们发表自己的观点，倾听他人的意见，共同解决问题。
-在下次课堂上，每个小组分享自己的解题过程和心得体会，促进同学之间的交流和学习。
5.思考与拓展：
-思考函数在生活中的应用，如天气预报、股票市场分析等，并简述函数在这些领域中的作用。
-探索函数的其他性质，如周期性、对称性等，并尝试举出相应的实际例子。
接着，我会引导学生思考：“如果我们想要预测未来某个时间点的气温，该怎么做呢？”从而引出变量和函数的概念。学生会发现，通过观察已经收集到的数据，可以尝试寻找气温与时间之间的关系，进而预测未来气温。这样，学生便对函数的概念有了初步的认识，为接下来的学习打下基础。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会从以下几个方面展开：
-对于基础薄弱的学生，通过个别辅导和小组互助，帮助他们克服学习难点。
3.探究式学习，培养学生的思维能力
-采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、实验、推理等过程，自主探究函数的定义和性质。
-设计开放性问题，鼓励学生多角度思考，培养他们的创新意识和解决问题的能力。
4.信息技术辅助，提高教学效果
-利用数学软件和多媒体工具，直观演示函数图象和变化过程，帮助学生形象地理解函数概念。
-通过网络资源，拓展学生的学习视野，使他们能够接触到更多与函数相关的实际应用。
5.实践活动，增强学生的应用能力
-安排课后实践活动，让学生在实际操作中运用函数知识，解决现实问题。
人教版八年级下册第十九章19.1.1变量与函数(第1课时)教案设计
第十九章19.1.1变量与函数（第1课时）教学内容：初中数学人教版八年级下册第十九章一次函数P70-P72。
一、教学目标：（一）、知识与技能目标1、理解变量、常量的概念及其相互关系；2、会识别一个变化过程中，哪些量是变量，哪些量是常量；3、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量。
（二）、过程与方法目标1、通过探索变化过程中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、逐步感知变量间的关系。
（三）、情感、态度与价值观目标1、以生活为支点，以实事求是的态度培养独立思考的习惯。
二、教学重点、难点重点：认识变量、常量。
难点：用含有一个变量的式子表示另一个变量．三、教学过程：（一）、创设情境，引出问题情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时。
1．请同学们分析题意、认真思考后填写下表：2．在以上这个过程中，有几个量？变化的量是什么？没有变化的量是什么？3．试用含t的式子表示s。
下面我们来共同探究和解决这些问题。
（二）、新课导入学生分组探究后，通过学生的回答，总结：从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60千米，即120千米，3小时行驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60 千米，即240千米，5小时行驶5×60千米，即300千米……因此行驶里程s（千米）与时间t（小时）之间有关系：s=60t．其中里程s 与时间t是变化的量，速度60•千米／小时是没有变化的量。
这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化而变化过程。
现实生活中有很多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程的，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、•里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时。
（三）、例题例1、每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元，y的值随x的值的变换而变化吗？怎样用含x的式子表示y?例2、画出一个半径r为10cm的圆，该圆的面积s是多少？r分别是20cm、30cm时，s分别是多少？s的值随r的值的变换而变化吗？怎样用含r的式子表示s?引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律，启发学生经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论解：1、早场电影票房收入：150×10=1500（元）；日场电影票房收入：205×10=2050（元）；晚场电影票房收入：310×10=3100（元）；y的值会随x的值的变换而变化；关系式：y=10x。
新人教版八年级数学下册《19.1.1变量与函数(1)》教案-最新教育文档
新人教版八年级数学下册《19.1.1变量与函数（1）》教案一、创设情境在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．问题1如图是某地一天内的气温变化图．看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；(2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？二、探究归纳问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2019年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：观察上表回答：(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大，频率f就________．解(1)l与f的乘积是一个定值，即lf＝300000，或者说．(2)波长l越大，频率f就越小．问题4圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________．利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________．解S＝πr2．圆的半径越大，它的面积就越大．在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)．上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，本节课主要介绍变量的概念以及函数的定义。
学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等，为本节课的学习打下了基础。
本节课的内容是学生学习更高级数学知识的重要基石，对于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于未知数、代数式等概念有了初步的了解。
但是，学生在学习过程中，可能对于抽象的变量概念、函数的定义及表示方法等方面存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过具体实例来理解抽象概念，提高学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.理解变量的概念，掌握常量与变量的区别。
2.理解函数的定义，掌握函数的表示方法。
3.能够运用变量和函数的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：变量、函数的概念及其表示方法。
2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量和函数的概念，使学生能够更好地理解抽象知识。
2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现变量和函数的规律。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对变量和函数概念的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生直观地理解变量和函数的概念。
2.教学实例：准备一些生活实例，用于引导学生学习变量和函数。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如气温、水位等，引导学生思考这些量是如何变化的。
通过观察、讨论，让学生初步理解变量概念。
2.呈现（10分钟）介绍常量与变量的定义，让学生明确常量与变量的区别。
接着，引入函数的定义，讲解函数的表示方法，如解析式、图象等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，举例说明生活中的一些函数关系，如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等。
人教版八年级下第19章一次函数19.1.1变量与函数教案
3.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯，提高数学建模和数学运算的核心素养。
4.激发学生学习兴趣，培养勇于挑战、善于思考的学习态度，提升学生的数学素养和综合素质。
在教学过程中，重点关注学生在以下方面的表现：
1.能否运用所学知识，分析并解决实际问题，体现数学的应用价值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调变量与常量的区别以及函数的三要素。对于难点部分，我会通过举例和图示来帮助大家理解一次函数的定义和图像特点。
（三）实践活动（用时10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如公交车票价与乘车距离的关系。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用尺子和直尺绘制一次函数的图像，观察斜率和截距的变化。
五、教学反思
在上完这节课之后，我对自己的一些教学设计和学生的反应进行了思考。我发现，通过生活中的实例引入变量和函数的概念，学生们能够更直观地理解这些抽象的数学概念。他们对于一次函数的应用表现出浓厚的兴趣，尤其是当我将函数与他们的日常生活联系起来时，比如购物打折、手机话费等问题。
我注意到，在教学过程中，有些学生对一次函数的图像绘制感到困惑。我意识到，这里可能需要更多的直观演示和实际操作，让学生亲手尝试，从而更好地理解图像的生成过程。在接下来的课程中，我打算增加一些互动环节，比如让学生分组在教室里用道具来模拟一次函数的图像，这样既能增强他们的动手能力，也能加深对一次函数图像特征的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解变量与函数的基本概念。变量是随着某些条件变化而变化的量，而函数则是描述两个变量之间依赖关系的数学模型。它们在数学和生活中都有着广泛的应用。
人教版八年级数学下册 第19章 19.1.1 变量与函数 教案
19.1.1 变量与函数（第1课时）教学目标知识与技能1.认识变量、常量．2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．过程与方法1.经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．2.逐步感知变量间的关系．情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.认识变量、常量2.用式子表示变量间关系教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量教具准备多媒体课件教学过程一图片欣赏开头语：为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.二、问题探究问题一：汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时．12． 3试用含t的式子表示s， s=________,这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．•1请同学们根据题意得三场电影的票房收入为：早场票房收入= 10×150 = 1500 （元）午场票房收入= 10×205 = 2050 （元）晚场票房收入= 10×310 = 3100 （元）2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．3用含x的式子表示y， y=______ ,这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：水中的涟漪， 圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为10cm 、20cm 、30cm 时，圆的面积s 分别为多少？1请同学们根据题意得当半径r=10cm 时，面积s=3.14×102当半径r=20cm 时，面积s=3.14×202当半径r=30cm 时，面积s=3.14×3022在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________． 3试用含r 的式子表示s ．s=_________，这个问题反映了___ _ 随_ __的变化过程问题四：用10m 长的绳子围成矩形，当矩形的一边长x 分别为 3m ，3.5m,4m 时，邻边长y 是多少？1 请同学们根据题意得当矩形的长为3时， y=（10－2×3）÷2 = 2当矩形的长为3.5时， y=（10－2×3.5）÷2 = 1.5当矩形的长为4时， y=（10－2×4）÷2 = 12在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________． 3试用含x 的式子表示y ． y=__________________,这个问题反映了矩形的___ _ 随_ __的变化过程．三、归纳总结：以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的，有些量的数值是始终不变的。
人教版八年级下册数学教案-第19章 一次函数-19.1.1 变量与函数
19.1函数19.1.1变量与函数第1课时常量与变量教学目标一、基本目标【知识与技能】1．认识变量、常量．2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．【过程与方法】经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．【情感态度与价值观】培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．二、重难点目标【教学重点】1．认识变量、常量．2．用式子表示变量间关系．【教学难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P71的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．2．判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化．3．每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?解：早场电影票房收入：150×10＝1500(元)，日场电影票房收入：205×10＝2050(元)，晚场电影票房收入：310×10＝3100(元)， 关系式：y ＝10x .4．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10 cm ，每1 kg 重物使弹簧伸长0.5 cm ，怎样用含有重物质量m 的式子表示受力后的弹簧长度？解：挂1 kg 重物时弹簧长度：1×0.5＋10＝10.5(cm)， 挂2 kg 重物时弹簧长度：2×0.5＋10＝11(cm)， 挂3 kg 重物时弹簧长度：3×0.5＋10＝11.5(cm)， 关系式：L ＝0.5m ＋10. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S 与球的半径R 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x 千克与所付款W 元之间的关系式是W ＝1.8x .【互动探索】(引发学生思考)在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？ 【解答】(1)S ＝4πR 2，常量是4，π，变量是S ，R . (2)h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0,4.9，变量是h ，t .(3)h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)，常量是12，g ，变量是h ，t .(4)W ＝1.8x ，常量是1.8，变量是x ，W .【互动总结】(学生总结，老师点评)常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．活动2 巩固练习(学生独学)1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是( C )A ．Q ＝8xB ．Q ＝8x －50C ．Q ＝50－8xD ．Q ＝8x ＋502．甲、乙两地相距s 千米，某人行完全程所用的时间t (时)与他的速度v (千米/时)满足v t ＝s ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 ( A )A ．s 是变量B ．t 是变量C ．v 是变量D ．s 是常量3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x 份报纸的总价为y 元，先填写下表，再用含x 的式子表示y .份数/份 1 2 3 4 5 6 7 100 价钱/元0.40.81.21.62.02.42.840x 与y 之间的关系是y ＝0.4x ，在这个变化过程中，常量是报纸的单价，变量是报纸的份数．4．先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量： (1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；(2)一个铜球在0 ℃的体积为1000 cm 3，加热后温度每增加1 ℃，体积增加0.051 cm 3，t ℃时球的体积为V cm 3；(3)等腰三角形的顶角为x 度，试用x 表示底角y 的度数． 解：(1)α＝90°－β.90°是常量，α、β是变量．(2)V ＝1000＋0.051t .其中1000,0.051是常量，t 、V 是变量．(3)y ＝180－x 2 ＝90－x 2(0＜x ＜180°)．其中90，12 是常量，x 、y 是变量．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【互动探索】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系，再根据变量和常量的定义得出常量与变量．【解答】由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2,0≤x ≤10.其中的常量为12，变量为重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)常量与变量⎩⎪⎨⎪⎧定义判断练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 函 数教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．认识变量中的自变量与函数． 2．进一步掌握确定函数关系式的方法． 3．会确定自变量的取值范围． 【过程与方法】1．经历回顾思考过程，提高归纳总结概括能力．2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．【情感态度与价值观】积极参与活动，提高学习兴趣，并形成合作交流意识及独立思考的习惯． 二、重难点目标 【教学重点】1．进一步掌握确定函数关系的方法． 2．确定自变量的取值范围． 【教学难点】认识函数、领会函数的意义．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．2．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式． 3．对函数的理解，要抓住三点：(1)两个变量；(2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而发生变化；(3)自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的一个值与其对应．4．使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．确定自变量取值范围的条件：(1)使函数解析式有意义；(2)使函数所代表的实际问题有意义．5．对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如当x ＝a 时，y ＝b ，函数有唯一的值b 与之对应，则这个对应值b 叫做x ＝a 时的函数值．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】下列变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积 C ．等腰三角形的底边长与面积 D ．圆的周长与半径【互动探索】(引发学生思考)如何判断两个变量是否是函数关系？【分析】长方形的宽一定，它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A 选项是函数关系；正方形的面积＝(正方形的周长)216，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B 选项是函数关系；等腰三角形的面积＝12×高×底，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C 选项不是函数关系；圆的周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系，故D 选项是函数关系．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．【例2】根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值y 为( )A ．32B ．25C ．425D ．254【互动探索】(引发学生思考)已知函数解析式，怎样求函数值？自变量的取值范围不同，对应的函数关系式不同，又怎样求函数值呢？【分析】∵2<52<4，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．【例3】写出下列函数中自变量x 的取值范围： (1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ； (3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2. 【互动探索】(引发学生思考)怎样确定自变量的取值范围？ 【解答】(1)全体实数． (2)分母1－x ≠0，即x ≠1. (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4.(4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0， 解得x ≥1且x ≠2.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列变量之间的关系是函数关系的是( C ) A ．水稻的产量与用肥量 B ．小明的身高与饮食 C ．球的半径与体积 D ．家庭收入与支出2．如图，△ABC 底边BC 上的高是6 cm ，当三角形的顶点C 沿底边所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是BC ，因变量是 △ABC 的面积； (2)如果三角形的底边长为x (cm)，三角形的面积y (cm 2)可以表示为y ＝3x ； (3)当底边长从12 cm 变到3 cm 时，三角形的面积从36cm 2变到9cm 2； (4)当点C 运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？ 解：当点C 运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半．3．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg 的物体，它的原长为10 cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1 kg 物体，弹簧伸长0.5 cm ；(2)设一长方体盒子高为30 cm ，底面是正方形，底面边长a (cm)改变时，这个长方体的体积V (cm 3)也随之改变．解：(1)y ＝10＋12x (0＜x ≤10)，其中x 是自变量，y 是自变量的函数．(2)V ＝30a 2(a >0)，其中a 是自变量，V 是自变量的函数．4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表： 时间 (秒) 012345678910速度 (米/秒)0.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？ (3)当t 每增加1秒时，v 的变化情况相同吗？在哪1秒时，v 的增加量最大？ (4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？解：(1)上表反映了时间和速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量．(2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是v 随着t 的增大而增大．(3)当t 每增加1秒，v 的变化情况不相同，在第9秒时，v 的增加量最大． (4)120×10003600＝1003≈33.3(米/秒)，由33.3－28.9＝4.4，且28.9－24.2＝4.7＞4.4，所以估计大约还需1秒．活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t 分钟时，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围； (2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)何时水箱内的水恰好放完？【互动探索】(1)根据水箱内存有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)当7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．【解答】(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水， ∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0， 解得t ≤100， ∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)． (2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t ＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)， ∴7：55时，水箱内还有水150升． (3)令y ＝0，即200－2t ＝0，解得t ＝100. 100分＝1时40分，7时30分＋1时40分＝9时10分， 故9：10水箱内的水恰好放完．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知函数解析式求函数值，就是将自变量x 的值带入解析式，求代数式的值；(2)已知函数解析式并给出函数值，求相应的自变量x 的值，实际上就是解方程．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 函数⎩⎪⎨⎪⎧概念自变量的取值范围函数值练习设计请完成本课时对应训练！。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计一. 教材分析《变量与函数》是初中数学的重要内容，人教版八年级下册19.1.1节主要介绍了变量的概念以及函数的定义。
通过本节课的学习，学生能够理解变量、常量的概念，了解函数的定义及表示方法，为后续学习函数的性质、图象等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等。
但他们对变量的概念及函数的定义还较为模糊，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生可能对函数的表示方法感到陌生，需要通过教师的引导和学生的实践来逐步熟悉。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量、常量的概念，掌握函数的定义及表示方法。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生体会变量之间的依赖关系，学会用函数表示实际问题中的变量关系。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：变量、常量的概念，函数的定义及表示方法。
2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量、常量概念，让学生在具体情境中感受数学与生活的联系。
2.引导发现法：教师引导学生发现变量之间的依赖关系，自主探究函数的定义及表示方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对函数概念的理解，提高运用函数解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作涵盖实例、练习、拓展等环节的课件，以便于引导学生逐步深入学习。
2.教学素材：收集与生活相关的函数实例，如温度、身高、体重等，用于导入和巩固环节。
3.练习题库：准备不同难度的练习题，以便于针对性地进行操练和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的变量关系，如气温随时间的变化、身高与年龄的关系等，引导学生关注变量之间的依赖关系。
在此基础上，提出问题：“你们认为什么是变量？什么是常量？”让学生发表自己的见解。