管理运筹学讲义 第12 章 排队理论
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《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
运筹学排队论-文档资料
系统服务类型 银行储蓄
飞机着陆或起飞 电话通话
卸货或装货 工序安排
计算机系统 机器维护
1
排队论的研究内容： （1）性态问题：研究排 各队 种系统的概率性， 规主 律要研究队长分等 布待 、时间 的分布和忙期分布等； （2）最优化问题：分态 为最 静优和动态最优者 ，指 前最优设计，后现 者有 指排队
Pn (t )表示在时刻 t、系统状态为 n的概率。
含 Pn (t )的关系式一般为微分差 分方程，其解成为瞬态 （ transient state ）解 ;
lim
t
Pn
(t)
P（n 如果存在）称为稳态
（ steady state ）解，或称统计平衡状
3、排队模型的分类 按排队系统中的 影三 响个 最特 大征进1行 95年 分 3 ， 类 D.G（ .Kend） a:ll （1）相继顾客到间 达的 间分 隔布 时； （2）服务时间的分布； （3）（并列）服数 务。 台的个
7
相应的模型用 Kendall 记号表示： X /Y /Z
其中， X , Y , Z分别表述上述三个特征 。 例如： M — 负指数分布（ M 为 Markov 的首字母） D — 确定型（ determinis tic ） E k — k阶爱尔朗（ erlang ）分布 GI — 一般相互独立（ general independen t）的间隔时间的分布 G — 一般（ general ）服务时间的分布 M / M / 1， D / M / c（ c个并列服务平台，但顾 客是一队）
需要知道单位时间内的 顾客到达数或相继到达 的间隔时间分布。
4）顾客的到达可以是相 互独立的，也可以是有 关联的。
5）输入过程可以是平稳 的，或称对时间是齐次 的，是指相继到达的间 隔时间分布和
管理运筹学-排队论
§6 单服务台泊松到达、定长服务 时间的排队模型
• 记号： M / D / 1 / ∞ / ∞ • 注：是 M / G / 1 / ∞ / ∞ 的特殊情况 = 0 • 关心的项目:
1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
*有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。
泊松分布 为单位时间平均到达的顾客数 为平均服务率，即单位时间服务的顾客数。
P (x) = x e- / x! (x = 0,1,2,……)
3、服务时间分布： 服从负指数分布
P（服务时间≤ t ) = 1- e- t
4、排队规则分类 (1)等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去； 先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务。 (2)损失制：到达的顾客有一部分未接受服务就离去； 5、平稳状态： 业务活动与时间无关。
单位平均服务顾客数
P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
9
• 关心的项目:
1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率
§3 多服务台泊松到达、负指数服 务时间的排队模型
• 记号： M / M / C / ∞ / ∞ • 条件：单位时间顾客平均到达数
单位平均服务顾客数 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
4
• 关心的项目:
运筹学-排队论
（接受服务）
5
二、排队系统的组成和特征
1、输入过程
输入即指顾客到达排队系统，可能有以下不同情况。
（1）顾客源的组成
有限的 无限的
（2）顾客到来的方式
一个一个的 成批的
（3）顾客相继到达的间隔时间
确定型的 随机型的
（4）顾客的到来
相互独立的 关联的
（5）输入过程
平稳的，或称对时间是齐次的 非平稳的
6
14
9、其他常用数量指标
s —— 系统中并联服务台的数目；
—— 平均到达率；
1/
—— 平均到达间隔。
—— 平均服务率；
1/ —— 平均服务时间。
—— 服务强度，
每个服务台单位时间内的平均服务时间；
一般有 s ；当s=1时：
15
对于损失制和混合制的排队系统，顾客在到达服务系统时， 若系统容量已满，则自行消失。这就是说，到达的顾客不 一定全部进入系统，为此引入：
例如：某排队问题为
M / M / s / ∞ / ∞ /FCFS
则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时 间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无 限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M / M / s
12
四、排队系统的参数(分析结果)
1、队长（Ls） 指在系统中的顾客数,期望值 2、排队长（Lq） 指系统中排队等候服务的顾客数
13
5、忙期 指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空 闲止 这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。 6、系统的状态n：指系统中的顾客数。 7、系统状态的概率Pn(t)：指时刻t、系统状态为n的概率。 一般为关于t的微分方程、关于n的差分方程。 8、稳定状态：t→时，t=0时的系统不稳定状态将消失， 系统的状态概率分布不再随时间变化，即 limPn(t)→Pn。
运筹学-排队论
定长分布（D）：每个顾客接受的 服务时间是一个确定的常数。
负指数分布（M）：每个顾客接受
的服务时间相互独立，具有相同
的负指数分布：
b(t)=
e- t
t0
0
t<0
其中>0为一常数。
K阶爱尔朗分布（En）：
b(t)=
k(kt)k-1
(K-1)!
e- kt
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似
M/M/1 等待制排队模型
单服务台问题，又表示为M/M/1/ ： 顾客相继到达时间服从参数为的负 指数分布；服务台数为1；服务时间 服从参数为的负指数分布；系统的 空间为无限，允许永远排队。
队长的分布
记 Pn=p{N=n} , n=0,1,2….为系统达到平衡状态后队 长的概率分布，
则 n=；n= ，= /<1， 有Pn= (1-)n n=0,1,2….
排队系统类型：
顾客到达
服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚
散
服务机构
（输入）
（输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。
一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
顾客（单个或成批）相继到达的时
间间隔分布：这是刻划输入过程的
最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾
客到达的时刻，则有T0T1 T2…..
Tn ……
记Xn= Tn –Tn-1
n=1,2,…,则Xn是第n顾客与第n-1顾
客到达的时间间隔。
一般假定{Xn}是独立同分布，并 记分布函数为A(t)。
《运筹学》排队论培训课件
一般的排队系统，都可由图12-1加以描述。
顾客源 顾客到来
排队结构 排队规则
服
服务规则
务 机
构
离去
排队系统
图12-1
➢排队系统的组成
排队系统都有输入过程、排队规则和 服务台等3个组成部分：
1、输入过程 这是指要求服务的顾客是按怎 样的规律到达排队系统的过程，有时也把 它称为顾客流．一般可以从3个方面来描述 输入过程。
3．忙期和闲期
忙期是指从顾客到达空闲着的服务机 构起，到服务机构再次成为空闲止的这段 时间，即服务机构连续忙的时间。这是个 随机变量，它关系到服务员的服务强度。
与忙期相对的是闲期，即服务机构连 续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期 和闲期总是交替出现的。
除了上述几个基本数量指标外，还 会用到其他一些重要的指标：
设随机变量T服从以为参数的负指数分布，它
的分布函数为：
P (T
t
)
1 0,
e
t
,
t 0 t 0
方差：E(t ) 1/ 期望：Var (t ) 1/ 2
负指数分布的性质：
性质1 由条件概率公式容易证明 p{T t s|T s} p{T t }
这性质称为无记忆性。若T表示排队系统中顾客到达的 时间间隔，那么这个性质说明一个顾客到来所需要的 时间与过去一个顾客到来所需要的时间s无关，所以说 在这种情形下的顾客到达是纯随机的。
性质2 当单位时间内的顾客到达数服从以为平均数 的泊松分布时，则顾客相继到达的间隔时间T服从负 指数分布。
由性质2可知： 相继到达的间隔时间是独立且为相同 参数的负指数分布，与输入过程为泊松流（参数为 ） 是等价的。
根据负指数分布与泊松流的关系可以推导出，当服
运筹学——排队论
1 对于泊松流， λ表示单位时间内平均到 达的顾客数，因此， 就表示
λ
相继顾客到达的平均间 隔时间，这与 E[T ] =
1
λ
的意义正好相符。
18
服务时间v的分布 对一顾客的服务时间（也即在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间） 有时也服从负指数分布。这时设它的分布函数和密度函数分别为 Fv (t ) = 1 − e − µt , v的期望值 E (v) = 1 f v (t ) = µe − µt
期望值和方差相等，是泊松分布的一个重要特征，可以由此对一个 经验分布是否是泊松分布进行初步的识别。
16
3、负指数分布（negtive exponential distribution）
随机变量T的概率密度若是 λe −λt , t ≥ 0 fT (t ) = 0, t < 0 则称T服从负指数分布。T 分布函数是 1 − e −λt , t ≥ 0 FT (t ) = 0, t < 0 E[T ] = 1
∞
∑ P (t , t + ∆t ) = o( ∆t )
n=2 n
15
通过建立Pn (t )与Pn (t + ∆t )之间的关系方程并求解，得到
( λ t ) n − λt Pn (t ) = e n! t > 0, n = 0,1,2,L
Pn (t ) = Pn (0, t )表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率，并称随机变量 N (t )服从泊松分布，其数学期望和方差分别为 E[ N (t )] = λt Var[ N (t )] = λt
第12章 12章
排队论
排队论（随机服务系统理论）是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的 排队系统的理论。
管理运筹学讲义 第12 章 排队理论
10
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
一、模型特征
输入过程
顾客源无限； 顾客到达方式是单个到达，且相互独立； 输入过程服从参数为 的泊松分布，到达过程平稳。 队列为单队； 队长无限，即系统容量无限； 系统按先到先服务的等待制规则进行服务 只有一个服务台； 服务方式为单个服务，服务时间相互独立； 服务时间服从相同参数 的负指数分布。
第12 章 排队理论
学习要点 Sub title
正确理解排队系统中排队规则和服务规则 顾客输入过程和服务过程的时间分布函数 排队问题的求解步骤及运行指标间的关系 标准M/M/1模型的状态方程及其运行指标 标准M/M/c模型与c个M/M/1模型的差别 典型排队系统的结构优化和运行优化问题
求运行指标:
• 顾客数 • 排队时间 • 忙期
8 OR:SM
第二节 排队问题求解
二、分布函数
• 泊松分布
条件：
输入流的平稳性 输入流无后效性 输入流的普通性 输入流的有限性
n! 期望E (t ) t 方差 2 t
v0 v0
Pn (t )
性质： ( t ) n
平均等待时间 Wq Ws [服务时间]
忙期概率
P 0 忙 1 P
Ws Wq 1
Ws
1
Ws
Ls Ws
Lq Wq
16
Ls Lq Lq
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
例题
为了评价某单人理发馆随机服务系统，记录了100个工作小时， 每小时来理发的顾客数的统计情况。又记录了100次理发所用的时 间，如表所示。
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忙期指服务机构连续繁忙工作的时间。
10
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
一、模型特征
❖ 输入过程
顾客源无限； 顾客到达方式是单个到达，且相互独立； 输入过程服从参数为 的泊松分布，到达过程平稳。
❖ 排队规则
队列为单队； 队长无限，即系统容量无限； 系统按先到先服务的等待制规则进行服务
第12 章 排队理论
• 排队论(Queuing Theory)
▪ 又称随机服务系统理论，研究排队等待问题 • 研究各种排队系统概率规律性 • 排队系统的最优设计 • 排队系统的最优运营
▪ 排队是经常遇到的，若要求服务的数量超过服务机构的容 量，即不能立即得到服务，就出现了排队现象。
▪ 顾客到达和服务时间是随机的，排队现象是不可避免的： • 增设服务机构，就要增加投资，可能发生空闲浪费 • 减少服务机构，排队现象将会严重 • 在需要服务的顾客数与服务机构容量之间取得平衡
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
二、状态方程
在t+⊿t 时刻，系统中有n>0 个顾客的概率Pn(t+⊿t)
t 时刻
(t, t+⊿t) 时间
t +⊿t 时刻
系统状态 概率 到达 概率 离去 概率 系统状态
概率
n
Pn(t) 一个
⊿t 一个 ⊿t
n
n
Pn(t) 没有 1- ⊿t 没有 1-⊿t
n
n-1
2
OR:SM
第一节 排队系统分析
• 顾客由顾客源到达服务机构排队等待接受服务，服务完了离去
逗留时间
等待时间
顾客
到 达
接受 服务
从到达系统 排队等待至 开始接受服 务的时间。
顾客从到达 至离去，在 系统中停留 的时间。
▪ 逗留时间=等待时间+服务时间
3
服务时间
离 去
从开始接受 服务到服务 后离去的时 间。
▪ 单队——多服务台 ··· 1 ····2 ··· … ····c
1
···· 2
c
▪
多队——多服务台
····1 ····2
····c
5
1
···· 2
c
1
···· 2
c
OR:SM
第一节 排队系统分析
二、排队系统的组成
一般排队系统都有三个基本组成部分：
1. 输入过程 2. 服务规则
顾客源的容量 顾客到达方式 到达时间分布
▪ 服务机构的结构是指服务机构的数目及其排列方式。
• 服务机构可以是人，也可以是物；还可以是一个系统。
▪ 排队规则和服务规则是说明顾客接受服务的规则和次序。
4
OR:SM
第一节 排队系统分析
▪ 队列数目可以是单队，也可以是多队； ▪ 服务机构的数目可以是单服务台，也可以是多服务台。 ▪ 对于多服务台,可能是串联,也可能是并列,或者是串并结合 • ▪ 单队——单服务台 ·······1
D ：定长分布； M ：泊松分布或负指数分布； Ek ： k阶爱尔朗分布； GI ：一般独立分布； G ：一般分布。
• 1971年排队论符号标准化会议决定，扩充X/Y/A/A/B/C
A 系统容量限制 N ； B 顾客源数目m ； C 服务规则。
• 例如，M/M/1/∞/∞/ FCFS ，表示输入过程服从泊松分布、 服务时间服从负指数分布、单服务台、系统容量无限、顾客 源无限、先到先服务的排队模型
• 负指数分布
e v
f (v) 0
v0 v0
期望E(v) 1
方差 2 1 2
9
OR:SM
第二节 排队问题求解
三、运行指标
顾客数量 • 平均队长Ls，指系统中顾客数的期望值 • 平均队列长Lq，指系统中排队等待服务顾客数的期望值 Ls=Lq+［正被服务的顾客数］
排队时间 • 平均逗留时间Ws是指一个顾客在系统中停留时间的期望值 • 平均等待时间Wq指一个顾客在系统中排队等待时间的期望值 Ws=Wq+［服务时间］
7
OR:SM
第二节 排队问题求解
一、求解步骤
确定经验分布
• 首先要对所研究的排队系统进行统计推断，
• 根据实际数据确定输入过程分布和服务时间分布，
估计参数值:
• 平均到达率 • 平均服务率 • 服务强度
确定模型类别
• 给定服务台数、系统容量和服务规则， • 按X/Y/Z/A/B/C确定排队模型。
求运行指标:
• 顾客数 • 排队时间 • 忙期
8
OR:SM
第二节 排队问题求解
二、分布函数
• 泊松分布
条件：
输入流的平稳性
输入流无后效性
输入流的普通性
输入流的有限性
性质：
Pn (t)
(t)n
n!
et
期望E(t) t
方差 2 t
t 0, n 0,1,L
▪ 输入过成服从泊松分布，顾客相继到达的间隔时间服从负指数分布。
❖ 服务机构
只有一个服务台； 服务方式为单个服务，服务时间相互独立； 服务时间服从相同参数 的负指数分布。
11
OR:SM
第三节 标准M/M/1排队模型
如何寻求系统运行指标？
• 平均队长
Ls nPn
n0
• 平均队列长
Lq (n 1)Pn
n1
• 平均逗留时间
• 平均等待时间
• 忙期概率
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第12 章 排队理论
学Sub习tit要le 点
正确理解排队系统中排队规则和服务规则 顾客输入过程和服务过程的时间分布函数 排队问题的求解步骤及运行指标间的关系 标准M/M/1模型的状态方程及其运行指标 标准M/M/c模型与c个M/M/1模型的差别 典型排队系统的结构优化和运行优化问题
1
OR:SM
Pn-1(t) 一个
⊿t 没有
1-⊿t
n
⊿t⊿t Pn(t) (1- ⊿t)(1-⊿t) Pn(t)
⊿t(1-⊿t) Pn-1(t)
n +1
Pn+1(t) 没有
1- ⊿t 一个
⊿t
n
(1- ⊿t) ⊿t Pn+1(t)
OR:SM
第一节 排队系统分析
一、排队系统的一般结构
顾客源
输入
等待队列
服务机构
服务 排队规则 规则
离去
▪ 顾客：
排队系统
• 人：病人、就餐者等； • 物：不能运转的机器、驶入港口的船只等； • 需处理的信息。
▪ 等待队列结构：队列的数目和排列方式。
• 队列有形或无形；顾客走向服务机构或相反(如送货上门)。
即时制 等待制
• 先到先服务 • 后到先服务 •• 时间有限
3. 服务过程
服务机构个数 接受服务方式 服务时间分布
6
OR:SM
第一节 排队系统分析
三、排队问题的模型
• 柯恩达尔(D.G.Kendall)953年提出 X/Y/Z， 即 输入过程分布/服务时间分布/服务台的数目
10
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
一、模型特征
❖ 输入过程
顾客源无限； 顾客到达方式是单个到达，且相互独立； 输入过程服从参数为 的泊松分布，到达过程平稳。
❖ 排队规则
队列为单队； 队长无限，即系统容量无限； 系统按先到先服务的等待制规则进行服务
第12 章 排队理论
• 排队论(Queuing Theory)
▪ 又称随机服务系统理论，研究排队等待问题 • 研究各种排队系统概率规律性 • 排队系统的最优设计 • 排队系统的最优运营
▪ 排队是经常遇到的，若要求服务的数量超过服务机构的容 量，即不能立即得到服务，就出现了排队现象。
▪ 顾客到达和服务时间是随机的，排队现象是不可避免的： • 增设服务机构，就要增加投资，可能发生空闲浪费 • 减少服务机构，排队现象将会严重 • 在需要服务的顾客数与服务机构容量之间取得平衡
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
二、状态方程
在t+⊿t 时刻，系统中有n>0 个顾客的概率Pn(t+⊿t)
t 时刻
(t, t+⊿t) 时间
t +⊿t 时刻
系统状态 概率 到达 概率 离去 概率 系统状态
概率
n
Pn(t) 一个
⊿t 一个 ⊿t
n
n
Pn(t) 没有 1- ⊿t 没有 1-⊿t
n
n-1
2
OR:SM
第一节 排队系统分析
• 顾客由顾客源到达服务机构排队等待接受服务，服务完了离去
逗留时间
等待时间
顾客
到 达
接受 服务
从到达系统 排队等待至 开始接受服 务的时间。
顾客从到达 至离去，在 系统中停留 的时间。
▪ 逗留时间=等待时间+服务时间
3
服务时间
离 去
从开始接受 服务到服务 后离去的时 间。
▪ 单队——多服务台 ··· 1 ····2 ··· … ····c
1
···· 2
c
▪
多队——多服务台
····1 ····2
····c
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1
···· 2
c
1
···· 2
c
OR:SM
第一节 排队系统分析
二、排队系统的组成
一般排队系统都有三个基本组成部分：
1. 输入过程 2. 服务规则
顾客源的容量 顾客到达方式 到达时间分布
▪ 服务机构的结构是指服务机构的数目及其排列方式。
• 服务机构可以是人，也可以是物；还可以是一个系统。
▪ 排队规则和服务规则是说明顾客接受服务的规则和次序。
4
OR:SM
第一节 排队系统分析
▪ 队列数目可以是单队，也可以是多队； ▪ 服务机构的数目可以是单服务台，也可以是多服务台。 ▪ 对于多服务台,可能是串联,也可能是并列,或者是串并结合 • ▪ 单队——单服务台 ·······1
D ：定长分布； M ：泊松分布或负指数分布； Ek ： k阶爱尔朗分布； GI ：一般独立分布； G ：一般分布。
• 1971年排队论符号标准化会议决定，扩充X/Y/A/A/B/C
A 系统容量限制 N ； B 顾客源数目m ； C 服务规则。
• 例如，M/M/1/∞/∞/ FCFS ，表示输入过程服从泊松分布、 服务时间服从负指数分布、单服务台、系统容量无限、顾客 源无限、先到先服务的排队模型
• 负指数分布
e v
f (v) 0
v0 v0
期望E(v) 1
方差 2 1 2
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OR:SM
第二节 排队问题求解
三、运行指标
顾客数量 • 平均队长Ls，指系统中顾客数的期望值 • 平均队列长Lq，指系统中排队等待服务顾客数的期望值 Ls=Lq+［正被服务的顾客数］
排队时间 • 平均逗留时间Ws是指一个顾客在系统中停留时间的期望值 • 平均等待时间Wq指一个顾客在系统中排队等待时间的期望值 Ws=Wq+［服务时间］
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OR:SM
第二节 排队问题求解
一、求解步骤
确定经验分布
• 首先要对所研究的排队系统进行统计推断，
• 根据实际数据确定输入过程分布和服务时间分布，
估计参数值:
• 平均到达率 • 平均服务率 • 服务强度
确定模型类别
• 给定服务台数、系统容量和服务规则， • 按X/Y/Z/A/B/C确定排队模型。
求运行指标:
• 顾客数 • 排队时间 • 忙期
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OR:SM
第二节 排队问题求解
二、分布函数
• 泊松分布
条件：
输入流的平稳性
输入流无后效性
输入流的普通性
输入流的有限性
性质：
Pn (t)
(t)n
n!
et
期望E(t) t
方差 2 t
t 0, n 0,1,L
▪ 输入过成服从泊松分布，顾客相继到达的间隔时间服从负指数分布。
❖ 服务机构
只有一个服务台； 服务方式为单个服务，服务时间相互独立； 服务时间服从相同参数 的负指数分布。
11
OR:SM
第三节 标准M/M/1排队模型
如何寻求系统运行指标？
• 平均队长
Ls nPn
n0
• 平均队列长
Lq (n 1)Pn
n1
• 平均逗留时间
• 平均等待时间
• 忙期概率
12
第12 章 排队理论
学Sub习tit要le 点
正确理解排队系统中排队规则和服务规则 顾客输入过程和服务过程的时间分布函数 排队问题的求解步骤及运行指标间的关系 标准M/M/1模型的状态方程及其运行指标 标准M/M/c模型与c个M/M/1模型的差别 典型排队系统的结构优化和运行优化问题
1
OR:SM
Pn-1(t) 一个
⊿t 没有
1-⊿t
n
⊿t⊿t Pn(t) (1- ⊿t)(1-⊿t) Pn(t)
⊿t(1-⊿t) Pn-1(t)
n +1
Pn+1(t) 没有
1- ⊿t 一个
⊿t
n
(1- ⊿t) ⊿t Pn+1(t)
OR:SM
第一节 排队系统分析
一、排队系统的一般结构
顾客源
输入
等待队列
服务机构
服务 排队规则 规则
离去
▪ 顾客：
排队系统
• 人：病人、就餐者等； • 物：不能运转的机器、驶入港口的船只等； • 需处理的信息。
▪ 等待队列结构：队列的数目和排列方式。
• 队列有形或无形；顾客走向服务机构或相反(如送货上门)。
即时制 等待制
• 先到先服务 • 后到先服务 •• 时间有限
3. 服务过程
服务机构个数 接受服务方式 服务时间分布
6
OR:SM
第一节 排队系统分析
三、排队问题的模型
• 柯恩达尔(D.G.Kendall)953年提出 X/Y/Z， 即 输入过程分布/服务时间分布/服务台的数目