管理运筹学讲义：目标规划
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运筹学第9章 目标规划
2x1+3x2-d2++d2-=600
对应第2个目标
250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 对应第3个目标 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 对应第4个目标 对应第5个目标
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0
管
理
运
筹
学
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四、目标规划模型的标准化 例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简
便，把它们用一个模型来表达，如下：
Min P1（d1+）+P2（d2-） s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700
3x1+4x2-d2++d2-=10000
管
理
运
筹
学
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• 则其目标函数化为： min7d1++7d2-+5d3-+2d4-+4d5这就变成了一个普通的单一目标的线性规划问题 min7d1++7d2-+5d3-+2d4-+4d5-
s.t.
2x1+3x2-d1++d1-=680 2x1+3x2-d2-+d2+=680 250x1+125x2-d3-+d3+=70000 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 x1,x2,d1+,d1-,d2-,d2+, d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0 。
运筹学第五章 目标规划PPT课件
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内S容ub 提titl要e
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别 第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2
OORR:S:SMM
6
OORR:S:SMM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
▪ 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 ▪ 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
▪ 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。
▪
正偏差变量
d
k
表示第k个目标超过期望值的数值；
▪
负偏差变量
d
k
(i 1.2 m )
x j 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
OORR:S:SMM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下：
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内S容ub 提titl要e
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别 第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
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OORR:S:SMM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
▪ 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 ▪ 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
▪ 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。
▪
正偏差变量
d
k
表示第k个目标超过期望值的数值；
▪
负偏差变量
d
k
(i 1.2 m )
x j 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
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试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下：
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
运筹学第四章 目标规划
3．优先因子与权系数． 对于多目标问题，决策者在要求达到这些 目标是，是有主次或轻重缓急的不同。多个目标 之间有相互冲突时，决策者首先必须对目标排序。 设置各目标的优先因子，依据优先因子的大小确 定目标顺序。 要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次 位的目标赋予优先因子P2，…，并规定Pk>>Pk+1， k=1,2,…，K。表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即 首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目 标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑 的；依此类推。若要区别具有相同优先因子的两 个目标的差别，这时可分别赋予它们不同的权系 数ωj，这些都由决策者按具体情况而定。
线性规划把各个约束条件的重要性都不 分主次地等同看待，这也不符合实际情况。 求解线性规划问题，首先要求约束条件 必须相容，如果约束条件中，由于人力，设 备等资源条件的限制，使约束条件之间出现 了矛盾，就得不到问题的可行解，但生产还 得继续进行，这将给人们进一步应用线性规 划方法带来困难。为了弥补线性规划问题的 局限性，解决有限资源和计划指标之间的矛 盾，在线性规划基础上，建立目标规划方法， 从而使一些线性规划无法解决的问题得到满 意的解答。
X1
+ d3-- d3+=45 X2+ d4-- d4+=45
（充分利用A的工时指标）
（充分利用B的工时指标）
X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3,4)
A，B的产量比例2：1.5 = 4:3 目标函数：
Min S=P1d1-+P2d2++4 P3d3-+3 P3d4约束方程： 2X1+1.5X2+ d1-- d1+= 210 X1 X1 + d2-- d2+= 60 + d3-- d3+= 45 X2+ d4-- d4+= 45 X1,X2,di-, di+ 0 (i=1,2,3,4)
管理运筹学讲义第5章目标规划
C
•2
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• 2 • A • 6• 8 • 1 • x
管理运筹学讲义第5章目标规划 0
1
•二、升级调资问题
例 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵 守以下规定： • (1) 不超过月工资总额60000元； • (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； • (3) Ⅱ、Ⅲ级的升级面不低于现有人数的20%且无越级提升； • (4) Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又Ⅰ级的职工中有 10%要退休。 • 有关资料汇总于表中，问该领导应如何拟订一个满意的方案。
• (4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回(2)。 • (5) 当所有检验数 j≥0时，计算结束。表中的解即为满意解。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
例4 试用单纯形法来求解例2。 将例2的数学模型化为标准型：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
① 取xs，d1-，d2-，d3-为初始基变量，列初始单 纯形表，见表5-1。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
解 按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1，P2， P3优先因子。这问题的数学模型是：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
目标规划的一般数学模型为
•
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为权系数。
管理运筹学讲义第5章目标规划
课堂练习：
某公司经销两种货物，售出每吨甲货物可盈利202元， 乙货物可盈利175元，各种货物每吨所占用的流动资 金为683元，公司现有流动资金1200万元，货物经销中 有8.48%的损耗。公司的决策者希望下月能达到以下 目标。 （1）第一目标：盈利5030000元以上； （2）第二目标：经销甲货物5000吨以上； （3）第三目标：经销乙货物18000吨以上； （4）第四目标：经销损耗在1950吨以下。 试问应怎样决策？
管理运筹学 第6章 目标规划
目标规划问题及模型
∵正负偏差不可能同时出现，故总有：
x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
目标规划问题及模型
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。 由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复
杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。
min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，但允许达不到目标值，即只有使 正偏差量要尽可能地小（实现最少或为零）
min Z = f（ d +）
目标规划问题及模型
例1. 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在 A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。
运筹学与目标规划
(1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
例；
(3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用；
(4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。
要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
线性规划模型存在的局限性：
明确问题，列出 目标的优先级和 权系数
构造目标规 划模型
求出满意解
N
满意否？
分析各项目标 完成情况
Y
据此制定出决策方案
2.目标规划的图解法
适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单， 原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划 的求解原理和过程。 图解法解题步骤：
1. 将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量）的直 线方程分别标示于坐标平面上。 2. 确定系统约束的可行域。 3. 在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向。 4. 求满足最高优先等级目标的解 5. 转到下一个优先等级的目标，再不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求 出该优先等级目标的解 6. 重复5，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止 7. 确定最优解和满意解。
目标规划数学模型的一般形式
min Z j1 n j1 xj d k
n
L
l 1
P l ( lk d k lk d k )
k 1
K
达成函数
c kj x j d k d k g k ( k 1 .2 K ) a ij x 0
Chapter9 目标规划
( Goal programming )
例；
(3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用；
(4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。
要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
线性规划模型存在的局限性：
明确问题，列出 目标的优先级和 权系数
构造目标规 划模型
求出满意解
N
满意否？
分析各项目标 完成情况
Y
据此制定出决策方案
2.目标规划的图解法
适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单， 原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划 的求解原理和过程。 图解法解题步骤：
1. 将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量）的直 线方程分别标示于坐标平面上。 2. 确定系统约束的可行域。 3. 在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向。 4. 求满足最高优先等级目标的解 5. 转到下一个优先等级的目标，再不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求 出该优先等级目标的解 6. 重复5，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止 7. 确定最优解和满意解。
目标规划数学模型的一般形式
min Z j1 n j1 xj d k
n
L
l 1
P l ( lk d k lk d k )
k 1
K
达成函数
c kj x j d k d k g k ( k 1 .2 K ) a ij x 0
Chapter9 目标规划
( Goal programming )
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划
• step • • • • • • • • • • • • •
3 目标函数值为 : 1100 变量 解 相差值 --------------------x1 166.667 0 x2 250 0 d10 0 d1+ 36666.667 0 d233.333 0 d2+ 0 15.167 d30 26 d3+ 0 26 d41100 0 d4+ 0 2
练习：某厂生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，有关数据如 表所示。试求获利最大 的生产方案？
Ⅰ 原材料 设备(台时) 2 1
Ⅱ 1 2
拥有量 11 10
单件利润
8
10
在此基础上考虑： 1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班； 3、利润不小于 56 元。 解: 分析 第一目标：P1d1 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。 第二目标： P2 ( d2 d2 )
运筹学
运筹谋划
一石多鸟
第九章 目标规划
1
第七章
目标规划
• §1 目标规划问题举例 • §2 目标规划的图解法
• §3 复杂情况下的目标规划
• §4.加权目标规划
2
§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业 追求最大的经济效益。但随着环境问题的 日益突出，可持续发展已经成为全社会所 必须考虑的问题。因此，企业生产就不能 再如以往那样只考虑企业利润，必须承担 起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、 公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系， 企业才可能过引入目标值和偏差变量，可 以将目标函数转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个 期望值。 实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定 以后，目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是 指实现值和目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部 分，记为 d＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的 部分，记为 d－。
《管理运筹学教案》课件
《管理运筹学教案》PPT课件一、引言1. 课程介绍：管理运筹学的定义、目的和应用领域2. 课程目标：让学生了解和掌握运筹学的基本概念、方法和应用3. 课程安排：10个章节，每章包含理论讲解、案例分析和练习题二、线性规划1. 线性规划的定义和应用2. 线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解、最优解3. 线性规划的图解法和解法4. 案例分析：最小成本物流配送问题三、整数规划1. 整数规划的定义和应用2. 整数规划的基本概念：整数变量、约束条件、可行解、最优解3. 整数规划的解法：贪心算法、动态规划、分支定界法4. 案例分析：人员排班问题四、动态规划1. 动态规划的定义和应用2. 动态规划的基本概念：状态变量、决策变量、状态转移方程、最优策略3. 动态规划的解法：自顶向下法、自底向上法4. 案例分析：最短路径问题五、非线性规划1. 非线性规划的定义和应用2. 非线性规划的基本概念：非线性函数、约束条件、可行解、最优解3. 非线性规划的解法：梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法4. 案例分析：最大化利润问题六、目标规划1. 目标规划的定义和应用2. 目标规划的基本概念：多目标规划、目标函数、约束条件、有效解3. 目标规划的解法：分层递阶法、平方规划法、图解法4. 案例分析：资源分配问题七、决策分析1. 决策分析的定义和应用2. 决策分析的基本概念：决策变量、目标函数、约束条件、可行解3. 决策分析的解法：确定性决策、风险性决策、不确定性决策4. 案例分析：产品组合决策问题八、网络计划1. 网络计划的定义和应用2. 网络计划的基本概念：活动、节点、路径、最早开始时间、最晚开始时间3. 网络计划的类型：PERT、CPM、Gantt图4. 案例分析：项目调度问题九、排队论1. 排队论的定义和应用2. 排队论的基本概念：到达过程、服务过程、排队系统、队列长度、等待时间3. 排队论的模型：M/M/1、M/M/c、M/G/14. 案例分析：银行排队问题十、库存管理1. 库存管理的定义和应用2. 库存管理的基本概念：库存水平、订货周期、订货量、库存成本3. 库存管理的方法：固定订货量系统、固定订货周期系统、连续检查系统4. 案例分析：物料需求计划问题重点和难点解析一、线性规划1. 线性规划的基本概念理解：目标函数、约束条件的设定及解的最优性的判断。
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产品的生产；减少乙产品的产量。这时又增加了二个目 标，则可建立如下的模型：
maxZ1=5x1+4x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 4x1+3x2 ≤24 x1，x2 ≥0
4
这些目标 之间相互矛盾， 一般的线性规划 方法不能求解
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第一节
多目标线性规划
二、求解思路
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4-- d4+ = 2
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第二节 目标规划的数学模型
• 目标达成函数
各个目标函数引入正、负偏差变量，而被列入了目标约束条件。 如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一个新的 目标函数以求得有关偏差变量的最小值。 这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情 况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。
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第二节 目标规划的数学模型
• 目标约束
引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方程。
ckj x j d k d k E * j 1 n
原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束(软约束) 原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。 上例中，管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计划 部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台时，但尽量 少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量希望不少于3单位， 乙产品产量比甲产品多2单位。对各目标函数引入正、负偏差变量：
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第三节 目标规划的解法
cj
XB d1d2d3d4b 20 24 3 2 0 x1 5 4 1 -1 0 x2 4 3 0 1 - P1 d11 0 0 0 0 d1+ -1 0 0 0 - P2 - P2 d2- d2+ 0 0 1 -1 0 0 0 0
- 3P2
0 0 1 0 4 3 0 1 1 0 0 0
-P1
0
-2P2
0
-3P3
0
-5P3 0 0 0 1 0 -5P3 0 0 0 -1 1 3 -
-1 0 0 0 -P1
0 1 0 0 0
0 -1 0 0
-5 -4 1 1
5 4 -1 -1
检验数j
0 +4 P1 0 +3 P2 +5 P3
-5 P1 +5 P1 -2P2 -4 P2 +4 P2 +2 P3 -5 P3
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第二节 目标规划的数学模型
二、目标规划的数学模型
min Z Pk ( wkl d l wkl d l ) k 1 l 1 K Lk
绝对约束 目标约束 非负性约束
a x
j 1 ij n j 1
n
j
(, )bi
i 1,2,...,m k 1,2,...,K
CB - P1 - P2 - 3P3 - 5P3
d30 0 1 0
0 d3+ 0 0 -1 0
- 5P2
d40 0 0 1
0 d4+ 0 0 0 -1
值 4 5 3 -
检验数j
- P1 - P2 0 - 5P3 d1d2x1 d45 12 3 5
+5 P1 +4 P1 0 +4 P2 +3 P2 -2 P3 +5 P3
首先是在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域R2(R2R1)； 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2 R1)； 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1)， 满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解空间，其 中的任一点均为这个目标规划的满意解。
minZ= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
第一节
多目标线性规划
一、问题的提出
• 多目标线性规划
含有多个优化目标的线性规划。 线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。 多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。
• 例题
某工厂计划生单位产品的利润如表所示。试确定计划期内 的生产计划，使获得的利润最大。
• 若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差变量dk+、dk-
都 尽 可 能 最 小 ， 将 dk+ 和 dk- 都 列 入 目 标 函 数 中 ， 即 minSk=dk++dk- ； • 若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差变量dk- 尽 可能的小，而不关心超出量dk+ ，故只需将dk- 列入目标函数， minSk= dk- ； • 若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正 偏差变量dk+ 尽可能地小，而不关心低于量dk- ，故只需将dk+ 列入目标函数，minSk= dk+ 。
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第三节 目标规划的解法
• 目标规划的图解法的步骤 首先，按照绝对约束画出可行域， 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。 minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 ① x2 - - d += 24 ② 4x1+3x2 +d2 2 ②B ③ d4+ ④ x1 +d3- - d3+ = 3 ③ - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 ④ d4d3+ d3x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 ⑤ ①
• 加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模 型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重 要程度。
•
优先等级法
将各目标按其重要程度分成不同的优先等级，转化为单目标模 型。
•
有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策 者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目 太多而难以将其一一求出。
* ckj x j d k d k Ek
x j , d k , d k 0
j 1,2,...,n
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第三节 目标规划的解法
一、目标规划的图解法
• 只含有两个决策变量的目标规划模型 • 线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小； 目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目 标集的折衷方案。 • 目标规划的图解法的思路
资源 设备 单位产品利润
产品
甲
4
5
3
乙
3
4
现有资源
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第一节
多目标线性规划
解： 设x1 、 x2 分别表示甲、乙两种产品的产量，则可建立
线规划模型如下：
maxZ=5x1+4x2 4x1+3x2 ≤24 x1，x2 ≥0
假设：该工厂根据市场需求或合同规定，希望尽量扩大甲
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谢家平 博士 副教授
研究领域：系统建模与优化、生产与运作管理、物流与供应链管理
讲授课程：管理运筹学、管理系统工程、生产运作管理、
供应链管理、企业资源计划、国际物流管理、 企业物流管理、管理决策模型与方法
单
位：上海财经大学国际工商管理学院供应链管理研究中心
E-mail：jiaping_xie@
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第二节 目标规划的数学模型
• 优先等级和权数
目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk 来表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数w。 • 例如
第一个目标是实现利润最大，其优先级为P1 ； 第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为P2 ； 第三个目标：甲的产量不少于3，乙的产量比甲多2，优先级为P3 。 假设： • 甲产品产量希望不少于3单位的权数为3， • 乙产品产量比甲产品多2单位的权数为5。
minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 • 划为标准型 maxZ=-P1 d1--P2(d2-+d2+)-P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ =3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
maxZ1=5x1+4x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 4x1+3x2 ≤24 x1，x2 ≥0
4
这些目标 之间相互矛盾， 一般的线性规划 方法不能求解
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第一节
多目标线性规划
二、求解思路
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4-- d4+ = 2
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第二节 目标规划的数学模型
• 目标达成函数
各个目标函数引入正、负偏差变量，而被列入了目标约束条件。 如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一个新的 目标函数以求得有关偏差变量的最小值。 这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情 况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。
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第二节 目标规划的数学模型
• 目标约束
引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方程。
ckj x j d k d k E * j 1 n
原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束(软约束) 原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。 上例中，管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计划 部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台时，但尽量 少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量希望不少于3单位， 乙产品产量比甲产品多2单位。对各目标函数引入正、负偏差变量：
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第三节 目标规划的解法
cj
XB d1d2d3d4b 20 24 3 2 0 x1 5 4 1 -1 0 x2 4 3 0 1 - P1 d11 0 0 0 0 d1+ -1 0 0 0 - P2 - P2 d2- d2+ 0 0 1 -1 0 0 0 0
- 3P2
0 0 1 0 4 3 0 1 1 0 0 0
-P1
0
-2P2
0
-3P3
0
-5P3 0 0 0 1 0 -5P3 0 0 0 -1 1 3 -
-1 0 0 0 -P1
0 1 0 0 0
0 -1 0 0
-5 -4 1 1
5 4 -1 -1
检验数j
0 +4 P1 0 +3 P2 +5 P3
-5 P1 +5 P1 -2P2 -4 P2 +4 P2 +2 P3 -5 P3
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第二节 目标规划的数学模型
二、目标规划的数学模型
min Z Pk ( wkl d l wkl d l ) k 1 l 1 K Lk
绝对约束 目标约束 非负性约束
a x
j 1 ij n j 1
n
j
(, )bi
i 1,2,...,m k 1,2,...,K
CB - P1 - P2 - 3P3 - 5P3
d30 0 1 0
0 d3+ 0 0 -1 0
- 5P2
d40 0 0 1
0 d4+ 0 0 0 -1
值 4 5 3 -
检验数j
- P1 - P2 0 - 5P3 d1d2x1 d45 12 3 5
+5 P1 +4 P1 0 +4 P2 +3 P2 -2 P3 +5 P3
首先是在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域R2(R2R1)； 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2 R1)； 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1)， 满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解空间，其 中的任一点均为这个目标规划的满意解。
minZ= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
第一节
多目标线性规划
一、问题的提出
• 多目标线性规划
含有多个优化目标的线性规划。 线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。 多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。
• 例题
某工厂计划生单位产品的利润如表所示。试确定计划期内 的生产计划，使获得的利润最大。
• 若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差变量dk+、dk-
都 尽 可 能 最 小 ， 将 dk+ 和 dk- 都 列 入 目 标 函 数 中 ， 即 minSk=dk++dk- ； • 若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差变量dk- 尽 可能的小，而不关心超出量dk+ ，故只需将dk- 列入目标函数， minSk= dk- ； • 若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正 偏差变量dk+ 尽可能地小，而不关心低于量dk- ，故只需将dk+ 列入目标函数，minSk= dk+ 。
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第三节 目标规划的解法
• 目标规划的图解法的步骤 首先，按照绝对约束画出可行域， 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。 minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 ① x2 - - d += 24 ② 4x1+3x2 +d2 2 ②B ③ d4+ ④ x1 +d3- - d3+ = 3 ③ - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 ④ d4d3+ d3x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 ⑤ ①
• 加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模 型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重 要程度。
•
优先等级法
将各目标按其重要程度分成不同的优先等级，转化为单目标模 型。
•
有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策 者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目 太多而难以将其一一求出。
* ckj x j d k d k Ek
x j , d k , d k 0
j 1,2,...,n
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第三节 目标规划的解法
一、目标规划的图解法
• 只含有两个决策变量的目标规划模型 • 线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小； 目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目 标集的折衷方案。 • 目标规划的图解法的思路
资源 设备 单位产品利润
产品
甲
4
5
3
乙
3
4
现有资源
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第一节
多目标线性规划
解： 设x1 、 x2 分别表示甲、乙两种产品的产量，则可建立
线规划模型如下：
maxZ=5x1+4x2 4x1+3x2 ≤24 x1，x2 ≥0
假设：该工厂根据市场需求或合同规定，希望尽量扩大甲
管理运筹学
谢家平 博士 副教授
研究领域：系统建模与优化、生产与运作管理、物流与供应链管理
讲授课程：管理运筹学、管理系统工程、生产运作管理、
供应链管理、企业资源计划、国际物流管理、 企业物流管理、管理决策模型与方法
单
位：上海财经大学国际工商管理学院供应链管理研究中心
E-mail：jiaping_xie@
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第二节 目标规划的数学模型
• 优先等级和权数
目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk 来表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数w。 • 例如
第一个目标是实现利润最大，其优先级为P1 ； 第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为P2 ； 第三个目标：甲的产量不少于3，乙的产量比甲多2，优先级为P3 。 假设： • 甲产品产量希望不少于3单位的权数为3， • 乙产品产量比甲产品多2单位的权数为5。
minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 • 划为标准型 maxZ=-P1 d1--P2(d2-+d2+)-P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ =3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0