东北大学《测试技术与传感器》试题

第1章

信号及其表述

学习目标

1.了解信号的分类；

2.掌握对周期性信号及非周期信号的描述；

3.掌握傅里叶变换的主要性质；

4.掌握典型信号的概率密度函数及其频谱。

学习难点

信号的时域描述和频域描述的物理意义及时域、频域描述的互相转换。单位脉冲函数的性质及其物理意义。

内容概述

本章从不同角度说明信号的分类及其定义。介绍周期信号和非周期信号的频域描述及其频域特征，随机信号的概念和关于随机信号幅值的若干统计参

数，时域—频域转换的数学工具即傅里叶变换的概念和主要性质，若干典型函数

的频谱。

例1.1: 求周期方波的频谱，并作出频谱图。 解： （1）写出周期方波的数学表达式。

x(t) 在一个周期内可表示为

(2）利用傅立叶级数的三角函数展开，计算其幅、相频特性。 因该函数x(t)是奇函数，奇函数在对称区间积分值为0，所以

,

因此，有

（3）绘制幅、相频图。

根据上式，幅频谱和相频谱分别如图b 和 c 所示。幅频谱只包含基波和奇次谐波的频率分量，且谐波幅值以1/n的规律收敛；相频谱中各次谐波的初相位

）的频谱，并作频谱图。

n

解：(1)方波的时域描述为：

(2) 从而：

的绝对均值和均方根值。

1.2 .求正弦信号

解(1)

(2)

1.3.求符号函数和单位阶跃函数的频谱。

解：(1)因为不满足绝对可积条件，因此，可以把符合函数看作为双边指数衰减函数：

其傅里叶变换为：

(2)阶跃函数：

1.4. 求被截断的余弦函数的傅里叶变换。

解：

(1)被截断的余弦函数可以看成为：余弦函数与矩形窗的点积，即：

(2)根据卷积定理，其傅里叶变换为：

5.设有一时间函数f(t)及其频谱如图所示。现乘以余弦函数cosω0t（ω0>ωm）。在这个关系中函数f(t)称为调制信号，余弦函数cosω0t称为载波。试求调幅信号的f(t)cosω0t傅氏变换，并绘制其频谱示意图。又：若ω0<ωm将会出现什么情况？

解：(1)令

(2) 根据傅氏变换的频移性质，有：

频谱示意图如下：

(3) 当ω0<ωm时，由图可见，出现混叠，不能通过滤波的方法提取出原信号f(t)的频谱。

1.6.求被截断的余弦函数

的傅立叶变换。

解：方法一：

方法二：

(1)

其中

为矩形窗函数，其频谱为：

(2)根据傅氏变换的频移性质，有：

第2章 信号的分析与处理

学习目标1.掌握常用的信号时域、频域分析方法的基本原理和应用；

2.了解数字信号处理的基础知识，能够正确地选择采样频率和窗函数。 学习难点

迭混和采样定理，泄漏与窗函数的关系。功率谱分析的原理和应用。快速傅里叶变换原理。

内容概述本章简要介绍了时域幅值参数的统计分析方法。主要叙述信号相关分析、功率谱分析的原理及应用。介绍相干分析、倒谱分析的概念和应用。说明数字信号处理的基本步骤，采样和加窗的原理和方法，快速傅里叶变换的原理。 例2.1:求正弦函数

的自相关函数。

解： （1）掌握自相关函数的定义，根据计算公式求解。 根据式(2.22)得

（2）为解积分，进行变量代换。 式中 －是正弦函数的周期， 。

令

带入上式，则得

例2.2:求两个同频率的正弦函数

和

的互相关函数

。

解：

掌握互相关函数的定义，写出其计算公式。

因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均

值，故

2．1. 已知信号的自相关函数

，求该信号的均方值 。

解：（1）该信号的均值为零，所以

； （2）

；

（3）

；

2.2

.求

的自相关函数.其中

解：瞬态信号的自相关函数表示为：

2.3.

求初始相角 为随机变量的正弦函数

的自相关函数，

如果

，

有何变化？

（1）具有圆频率为

、幅值为A、初始相交为的正弦函数，是一个零均

的平均值计算。其自相

，

令，则

（2）当

时，自相关函数无变化。

2.4. 求指数衰减函数

的频谱函数，（）。

解：（1）求单边指数函数的傅里叶变换及频谱

（2）求余弦振荡信号

的频谱。

利用

函数的卷积特性,可求出信号的频谱为

其幅值频谱为

a a`

b b`

c c`

题图信号及其频谱图

注：本题可以用定义求，也可以用傅立叶变换的频移特性求解。

2.5 一线性系统，其传递函数为

，当输入信号为

求：（1）

；（2）；（3）；（4）。

已知

，则

由此可得：

(2) 求

有两种方法。其一是利用的傅立叶逆变换；

其二是先求出

求。

下面用第一种方法。

（3）由

可得：

可以由的傅立叶逆变换求得，也可以直接由、

(4)

2.6. 已知限带白噪声的功率谱密度为

。

求其自相关函数

解：

2.7.车床加工零件外圆表面时常产生振纹，表面振纹主要是由转动轴上齿轮的不平衡惯性力使主轴箱振动而引起的。振纹的幅值谱 A(f)如题图a）所示，主轴箱传动示意图如题图b)所示。传动轴1、2、3上的齿轮齿数分别为

=2000(r/min)，试分析哪一根

，传动轴转速n

轴上的齿轮不平衡量对加工表面的振纹影响大？为什么？

a) 振纹的幅值谱b) 主轴箱传动示意图