专题07 费马点问题-中考数学二次函数压轴题核心考点突破
费马点问题
皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位 不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越 的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．
据说 费马在提 出“ 费马 大定理” 时， 在笔记本 上写道： 我已经想 到了一个 绝妙的 证明 方法， 但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到 1995 年， 才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了 330 年．
（2016•朝阳）小颖在学习“ 两点之间线段最短”查阅资料时发现： ABC 内总存 在一点 P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最 小．
【特例】如图 1，点 P 为等边 ABC 的中心，将 ACP 绕点 A 逆时针旋转60 得 到 ADE ， 从 而 有 DE PC ， 连 接 PD 得 到 P D P ，A 同 时 A P B A P1 D2 0 6 0 ，18AD0 P ADE 180 ，即 B 、P 、D 、E 四点共线，故 PA PB PC PD PB DE BE ．在ABC 中，另取一点 P ， 易知点 P 与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 B 、P 、D 、E 四点不共线， 所以 PA PB PC PA PB PC ，即点 P 到三个顶点距离之和最小．
阿哈哈哈，此处一个也用不上！ 其实理论还是上面的理论，本题难点在于有 3 条线段，我们需要对这三条线段作 一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！ 算了算了，不墨迹了，直接报答案了：
若点 P 满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则 PA+PB+PC 值最小，P 点称为该三角 形的费马点．
D
A E
Q
P
B
C
没有对比就没有差别，我们换个 P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ， 同样有△APC≌△AQE，转化 PA=PQ，PC=QE，
A E
Q
P
B
C
B
A E
P
Q
C
显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE >BE．
还剩下第 3 个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有 人把它搬上了中考舞台！
A
P
B
C
【分析】如图，以 AD 为边构造等边△ACD，连接 BD，BD 的长即为 PA+PB+PC 的最小值．至于点 P 的位置？这不重要！ D
A
B
C
如何求 BD？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点 D 作 DH⊥BA 交
BA 的延长线于 H 点，根据勾股定理， BD2 BH 2 DH 2 即可得出结果．
D A
B
C
B
D
A
D
E
P
B
C
B
F
A E
C
A E
P C
在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接 AP，AP 平分∠DPE． 有这两 个结论便足 以说明∠PAB= ∠BPC=∠CPA=120°．原来在 “ 手拉手 全等” 就已 经见过了呀，只是相逢何必曾相识！
但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是 ∠BAC<120°，若 BAC 120 ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：
接下来讨论 3 个问题： （1）如何作三角形的费马点？ （2）为什么是这个点？ （3）费马点怎么考？
1 一、如何作费马点
问题要从初一学到的全等说起： （1）如图，分别以△ABC 中的 AB、AC 为边，作等边△ABD、等边△ACE ． （2）连接 CD、BE ，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE ． （3）记 CD、BE 交点为 P，点 P 即为费马点．（到这一步其实就可以了） （4）以 BC 为边作等边△BCF，连接 AF，必过点 P，有∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．
D
E P
A
B
C
此时 CD 与 BE 交点 P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然 P 点
到 A、B、C 距离之和大于 A 点到 A、B、C 距离之和．所以咧？是的，你想得没
错，此时三角形的费马点就是 A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．
2 二、为什么是这个点
为什么 P 点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC 值就会最小呢？ 归根结底，还是要重组这里 3 条线段：PA、PB、PC 的位置，而重组的方法是构造旋转！ 在上图 3 中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．
H
D A
B
C
【练习】如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任 意一点，则 MA+MD+ME 的最小值为______．
A
D
M
B
E
C
【分析】依然构造 60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
F
分别以 AD、AM 为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接 FG，
易证△AMD ≌△AGF ，∴MD =GF
∴ME +MA +MD=ME
过 F 作 FH⊥BC 交 BC 于 H 点，线段 FH 的长即为所求的最小值．
F
M
G
A
D
M
B
EH
C
B
E
C
（2018•鄂尔多斯）（1）【操作发现】 如图 1，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 60 ，得到 ADE ，连接 BD ，则ABD 度． （2）【类比探究】 如图 2，在等边三角形 ABC 内任取一点 P ，连接 PA ，PB ，PC ，求证：以 PA ，PB ，PC
M
H
N
G
过点 H 作 HQ⊥NM 交 NM 延长线于 Q 点， 根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°， ∴△MHQ 是等腰直角三角形， ∴MQ=HQ=4，
∴NH= NQ2 HQ2 100 16 2 29 ．
Q
4
4
M
H
6
N
G
【练习】如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值．
【探究】（1）如图 2，P 为 ABC 内一点，APB BPC 120 ，证明 PA PB PC 的值最小；
【拓展】（2）如图 3，ABC 中，AC 6 ，BC 8 ，ACB 30 ，且点 P 为ABC 内一点，求点 P 到三个顶点的距离之和的最小值．
果然，数学搞得好的都是装 x 的一把好手． 言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点． 问题：在△ABC 内找一点 P，使得 PA+PB+PC 最小．
A
P
B
C
【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直 线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．
的长为三边必能组成三 角形． （3）【解决问题】 如图 3，在边长为 7 的等边三角形 ABC 内有一点 P ，APC 90 ，BPC 120 ，求APC
的面积． （4）【拓展应用】 如图 4 是 A ，B ，C 三个村子位置的平面图，经测量 AC 4 ，BC 5 ，ACB 30 ，P 为
ABC 内的一个动点，连接 PA ， PB ， PC ．求 PA PB PC 的最小值．
3 三、费马点怎么考？
直接考，要不然还能怎么考？ 看看今年 2019 武汉中考填空最后一题： 问题背景：如图 1，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△ADE ，DE 与 BC 交于点 P，可 推出结论：PA+PC=PE．
问题解决：如图 2，在△MNG 中，MN=6，∠M=75°，MG= 4 2 ，点 O 是△MNG 内一点，
则点 O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．
E M
A
B
P
C
D
图1
O
N
G
图2
【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造 60°的旋转，当然如果已经了解 了费马点问题，直接来解决就好了！ 如图，以 MG 为边作等边△MGH ，连接 NH ，则 NH 的值即为所求的点 O 到△MNG 三个 顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）
D
A E
P
B
C
类似的手拉手，在图 4 中有 3 组，可得：AF=BE=CD．
D
A E
P
B
C
F
巧的嘞，它们仨的长度居然一样长！ 更巧的是，其长度便是我们要求的 PA+PB+PC 的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟 最小值这个结果，应该也是个特别的值！
接下来才是真正的证明： 考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以 AP 为边，在 PE 边取点 Q 使得 PQ=AP，则△APQ 是等边三角形． △APQ、△ACE 均为等边三角形，且共顶点 A，故△APC≌△AQE ，PC=QE． 以上两步分别转化 PA=PQ，PC=QE，故 PA+PB+PC=PB+PQ+QE =BE
中考二次函数压轴题解题通法重点中学.pdf
中考二次函数压轴题———解题通法研究二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。
由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。
所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。
我通过近６年的研究，思考和演算了上1000道二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。
几个自定义概念：①三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。
②动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。
如：动点P在y=2x+1上，就可设 P（t, 2t+1）.若动点Ｐ在ｙ＝2x x，则可设为Ｐ（ｔ，3212t t）当然若动点M 在X轴上，则设为（t, 0）.若动点M在Ｙ轴上，设为（０，321ｔ）．③动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。
或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。
④动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。
⑤定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。
⑥定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。
如：ｙ＝３ｘ－６。
⑦X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x标，纵坐标称为y标。
⑧直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。
动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。
1.求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。
中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)附详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3）， 解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =4233k +-=2323k k --，∴11AM AN +=323231k k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.5．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．7．如图，已知抛物线2y ax bx c=++的顶点为()4,3A，与y轴相交于点()0,5B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【答案】（1）21452=-+-y x x；（2）()2,1-M，25y x=-；（3）点P、Q的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； （3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点21,452P m m m ⎛⎫-+-⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.8．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=278；（3）当△BMN是等腰三角形时，m22，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝，这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得30k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3， 过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC 于点E （t ，-t+3）， PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t ， ∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t ）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278. （3）M （m ，-m+3），N （m ，m 2-4m+3） MN=m 2-3m ，2|m-3|，当MN=BM 时，①m 22（m-3），解得2， ②m 22m-3），解得2 当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°， m 2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍） 当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m 2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍）， 当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为2，-2，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ，顶点M 在直线BC 上．（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析（2）22y x 4x 85=-+ （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标： 设P 22x,x 4x 85⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1y x 32=+,二者联立可得P 1（529,48）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线22y x 4x 85=-+联立可得P 2（﹣5，38）． 【详解】（1）证明：∵A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8）， ∴AB=6+4=10，AC 10==．∴AB=AC ．由翻折可得，AB=BD ，AC=CD ．∴AB=BD=CD=AC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∴CD ∥AB ．∵C （0，8），∴点D 的坐标是（10，8）．（2）∵y=ax 2﹣10ax+c ，∴对称轴为直线10ax 52a-=-=． 设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，∴4k b 0b 8+=⎧⎨=⎩，解得k 2b 8=-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8．∵点M 在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2． ∴M （5，，－2）.又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ，∴25a 50a c 2c 8-+=-⎧⎨=⎩，解得2a 5c 8⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的函数表达式为22y x 4x 85=-+． （3）存在．点P 的坐标为P 1（529,48），P 2（﹣5，38）。
初三二次函数压轴题题型归纳及方法
初三二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初三二次函数压轴题主要包括以下几种题型：1. 解二次方程：给出一个二次方程，要求求出其解。
2. 求顶点坐标：给出一个二次函数，要求求出其顶点坐标。
3. 求零点：给出一个二次函数，要求求出其零点。
4. 求最值：给出一个二次函数，要求求出其最大值或最小值。
5. 综合应用：将上述各种题型结合起来进行综合应用。
二、方法1. 解二次方程（1）将方程化为标准形式ax²+bx+c=0；（2）判断Δ=b²-4ac的正负性：如果Δ>0，则有两个不相等的实数根；如果Δ=0，则有两个相等的实数根；如果Δ<0，则无实数根，但可以得到一对共轭复数根；（3）根据公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a求得解。
2. 求顶点坐标（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）利用公式x=-b/2a求得顶点的横坐标；（3）将横坐标代入原函数中求得顶点的纵坐标。
3. 求零点（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）令y=0，解出方程ax²+bx+c=0；（3）根据解出的方程，用上述方法求出零点。
4. 求最值（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）如果a>0，则函数有最小值，最小值为y0=c-b²/4a，顶点坐标为(-b/2a,y0)；如果a<0，则函数有最大值，最大值为y0=c-b²/4a，顶点坐标为(-b/2a,y0)。
5. 综合应用综合应用题目一般会给出一个实际问题，并要求利用二次函数进行建模和求解。
解决这类题目需要结合实际情况进行分析，并运用上述各种方法进行计算和推导。
三、注意事项1. 在解二次方程时，需要注意判别式Δ的正负性，以确定是否有实数根。
2. 在求顶点坐标时，需要注意顶点横坐标的符号和范围。
3. 在求零点时，需要注意解方程的过程和方法，并判断是否存在实数根。
中考数学压轴题 《费马点》
中考数学压轴题《费马点》根据费马点的定义，它是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离。
如果三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；如果三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点。
一、如果三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点。
例如，在△ABC中，如果∠BAC≥120°，则点A为△XXX的费马点。
证明过程如下：在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP ＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP，则△APC≌△APC，PC＝PC。
因为∠BAC≥120°，所以∠PAP＝∠CAC≤60，所以在等腰△PAP中，AP≥PP，所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC，所以点A为△XXX的费马点。
二、如果三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点。
例如，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，则点O为△ABC的费马点。
证明过程如下：在△ABC内部任意取一点O，连接OA、OB、OC，将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D，连接OO′则O′D＝OC，所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO，所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D，则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小。
此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O。
如果在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心。
专题07 费马点问题-中考数学二次函数压轴题核心考点突破
易证△AMD ≌△AGF ，∴MD =GF
∴ME +MA +MD=ME +EG+GF
G
A
D
过 F 作 FH⊥BC 交 BC 于 H 点，线段 FH 的长即为所求的最小值．
F
M
G
A
D
M
B
EH
C
B
E
C
（2018•鄂尔多斯）（1）【操作发现】 如图 1，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 60 ，得到 ADE ，连接 BD ，则ABD 度． （2）【类比探究】 如图 2，在等边三角形 ABC 内任取一点 P ，连接 PA ，PB ，PC ，求证：以 PA ，PB ，PC
D A
B
C
B
D
A
D
E
P
B
C
B
F
A E
C
A E
P C
在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接 AP，AP 平分∠DPE． 有这两 个结论便足 以说明∠PAB= ∠BPC=∠CPA=120°．原来在 “ 手拉手 全等” 就已 经见过了呀，只是相逢何必曾相识！
但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是 ∠BAC<120°，若 BAC 120 ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：
D
A E
P
B
C
类似的手拉手，在图 4 中有 3 组，可得：AF=BE=CD．
D
A E
P
B
C
F
巧的嘞，它们仨的长度居然一样长！ 更巧的是，其长度便是我们要求的 PA+PB+PC 的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟 最小值这个结果，应该也是个特别的值！
几何最值之费马点问题【热点专题】- 中考数学考点总复习高分导航(全国通用)(原卷版)
问题分析“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题模型展示：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足△APB＝△BPC＝△CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。
证明过程：专题37 几何最值之费马点问题方法技巧将△APC 边以A 为顶点逆时针旋转60°，得到AQE ，连接PQ ，则△APQ 为等边三角形，PA=PQ 。
即PA+PB+PC=PQ+PB+PC ，当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值BE【例1】如图，四边形 ABCD 是菱形，A B =6，且△ABC =60° ，M 是菱形内任一点，连接AM ，BM ，CM ，则AM +BM +CM 的最小值为________．【例2】如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.（1）求证：△AMB△△ENB ；（2）△当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；△当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.EA DB C NM题型精讲1．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为______．2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且△ABC=△ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A．332B．233C．333D．4333．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为______．4．已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为26，求正方形的边长．AB CDMEAB CDMEFGEMDCBAHFGEMDCBA提分作业5．已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。
中考数学压轴题分析：费马点与角度定值
中考数学压轴题分析：费马点与角度定值本文内容选自2021年潍坊中考数学压轴题。
以线段旋转为背景，考查费马点的问题，题目通过铺垫让问题变得更简单。
最后一问涉及多个中点（中位线）以及角度定值的问题，值得探究。
【中考真题】（2021·潍坊）如图1，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接，，，，，．（1）求证：；（2）①的最小值为；②当取得最小值时，求证：．（3）如图2，，，分别是，，的中点，连接，，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．【分析】（1）先证明两个三角形为等边三角形，即△BDF与△ABE，那么就可以根据SAS进行证明全等，也就是常见的手拉手问题。
（2）①可以确定点E的位置，当点C、D、F、E四点共线时，CD+DF+FE最小，最小值也就是CE的长。
构造直角三角形进行求解即可。
②证明两直线平行，可以考虑用内错角相等进行证明。
当取得最小值时，也就是说点C、D、F、E四点共线，此时可以得到∠ADF=∠DFB=60°，那么就可以得到结论了。
因为∠ADF=∠ADB-∠BDF=60°。
（3）先猜测为定值。
连接MN，可以发现△MNP为等腰三角形，MN与NP相等，且夹角为120度。
证明方法先是根据（1）中的全等的结论，得到AD与EF相等，进而得到它们的夹角为60°，那么可以得到∠MNP为120°，那么就可以得到∠MPN=30°为定值。
【答案】解：（1）证明：，，，在与中，，；（2）①两点之间，线段最短，即、、、共线时最小，最小值为，，，，，，，，，故答案为：；②证明：，，为等边三角形，即，、、、共线时最小，，，，，，；（3）的大小是为定值，理由：如图，连接，，，分别是，，的中点，，，，，，，且，为等边三角形，设，，则，，，，，．。
中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()mm x 213∆±-=，m x 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
【初三数学】二次函数难题压轴题中考精选(共20页)
y
顶为�0�1� P 以� D 点于交相轴 y 与 BA 段线� �0 � m� � m � 3 �为标坐 B 点�上轴
x 在 C 、 A 点, C B � C A � �0 9 � B C A � �形角三角直为 C B A � 知已�市洲株年 9002� 、2
图题 42 第
x
B A
O y
�由理明说�在存不若�标坐的点 N 出求�在 存若�似相 BAO△与 NBO△使�N 点在存否是上线物抛的方下轴 x 在�BA�AO 结连�3� �倍 3 的积面 BOA△是积面的 BOM△使�M 点求上线物抛在�2� �式析解的线物抛求�1� �B 为点交个一 、14、1 另的轴 x 与�O 点原过经且� �1�2�A 为点顶的线物抛�图如 � 市 庄 枣 年 9 0 0 2 � 选精题考中数函次二
x
C
F
P D
O
A
Q E B
�值定为 ) C E � C A ( C F �明证试� F 点于 C A 交长延并 Q B 结连� E 点于 CB 交长延并 Q P 结连�点动一的间之 B 点至 P 点上线物抛为 Q 点设�3� �式析解的线物抛求�2� � �示表 m 用�标坐的 A 点求�1� � D 、 B 点过线物抛的点
C�B�A 于同不�点两 F、E 于交象图的数函次二与 l 线直条一作�
�上 CA 线直在否是�
�形角三角直是 FEB△明证并�标坐的点 E 出给已自请� �点三 2 �1�M 点过�3�
2
1
1
�1�M 点断判�2�
�式析解的数函次二此求�1� 8 4 � � � � C� �0� 1 � �B� � 2 � �0� A 点过数函次二知已� 市 德 常 年 9 0 0 2� 、6 9 5
中考数学复习专题：几何最值模型—费马点专题
【费马点】平面内，到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点【结论】如图所示，△ABC 的三个内角均不大于120°，P 为三角形内一点，当点P 与△ABC 三个顶点的连线夹角均为120°时，PA +PB +PC 的值最小.（PA +PB +PC=AD=BE=CF ） 【费马点作法】如图，以△ABC 的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P ，点P 就是原三角形的费马点.【证明】如图，将△ABP 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 'BP '，连接P P '，则△BPP 是等边三角形，所以PB =PP '. 由旋转的性质可得P A +PB +PC =P 'A '+PP '+PC >A 'C 因此，当A '、P '、P 、C 四点共线时，P A 十PB 十PC 的值最小.因为△BPP '是等边三角形，即∠BPP '=60°， 所以∠BPC =120°.因为∠APB =∠A 'P 'B ，∠BP 'P =60°， 所以∠APB =180°-60°=120°，则∠CP A =360°-120°-120°=120°， 故∠BPC =∠APB =∠CP A =120°.CBAPPDFECBAA'P'ABCP费马点结论:1) 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点; 2) 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点. 费马问题解决问题的方法是运用旋转变换.1) 利用旋转把三条共点线段转化成折线段， 2) 利用两点之间线段最短 构造直角三角形，利用勾股定理 模型巧记求到三角形三个顶点距离和的最小值，只需要以三角形的一条边为边作等边三角形，那么原三角形的第三个顶点和等边三角形的第三个顶点的距离就是最小值 例1、P 是边长是2的等边△ABC 内的一点， 求PA+PB+PC 的最小值【分析】把△APC 绕A 逆时针旋转60°，得到△AP'C'，连接PP' 易知△APP'是等边三角形∴PC=P'C∴∠CAC'=60°∴P A+PB+PC=PB+PP'+PC’当且仅当BPP'C '共线时取得最小值∵AB =2;∴AD =1；BD =3∴.C'D =3∴BC =23 点评：①用旋转把三条共点线段转化成折线段 ②利用两点之间线段最短③构造直角三角形，利用勾股定理例2、P 是边长是1的正方形ABCD 内的一点， 求PA+PB+PC 的最小值【分析】把△APB 绕B 逆时针旋转，得到△BP'A'，连接PP' ∴△BPP '是等边三角形 ∴BP=BP ' ∴∠PBP '=60°∴P A+PB+PC=P'A'+PP'+PC ，当且仅当CPP'A'共线时取得最小值∵AB =AB '=1;A'P'PCBA∴A'M =12；BM =32；∴CM =232；CA '=622例3、P 是△ABC 内的一点，BC=6,AC=5,∠ACB =30°， 求P A+PB+PC 的最小值 【分析】把△APC 绕C 顺时针旋转60°，得到△CP'A',连接PP' ∴△CPP '是等边三角形 ∴CP=PP'∴∠PCP '=60°∴P A+PB+PC=P 'A'+PB+PP '当且仅当BPP ’A ’共线时取得最小值 ∵CA=CA '=5；CB=6，∠ACB =30° ∴∠A 'CB =60° ∴A 'B =61什么是加权费马点问题？标准的费马点问题式中的三条线段的系数全为1。