大学物理第三章资料
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大学物理 第三章
m0 ⇒ v = v0 + u ln m'
数学基础
点积：
叉积：
10
§ 3.3 角动量
r
定义角动量：
P=mv ɵ
行星围绕太 阳运转：
rpsinɵ=常数
L=r× p
11
方向：由右手螺旋法则决定。
§ 3.4 角动量定理
回顾：力矩
M
o d
M = r ×F
大小：M＝Frsinθ=Fd 力臂d=rsinθ 方向：右手螺旋定则判定
r
p
F
θ
力与力臂的乘 积。
M ⊥ r ×F
12
§ 3.4 角动量定理
质点角动量：L = r × P
将上式两边对时间求导，有：
dp dL d ( v = ) = (r × p ) = × p+r× dt dt dt dt dt dp ( F = dp , p = mv ) =v× p+r× dt dt 角动量定理
t0 L0
• 动量守恒定律
当F = 0时，
• 角动量守恒定律
当M = 0时， L2 − L1 = 0
17
平均冲力
质点的动 量定理
质点动量的增量等于合外力 对质点作用的冲量。解决碰 撞、打击等 2
§3.1 力对时间的累积效应
对第 i 个质点运用动量定理
n 个质点组成质 外力 点系 内力
Fi fi
f ij + f ji = 0
对所有质点求和
i
质点系的动量定理：
=0
3
§3.1 力对时间的累积效应
t L ∫t Mdt = ∫L dL = L − L0
大学物理第三章刚体和流体运动
2
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对刚体内各个质点的相应式子，相加得：
F r sin f
i i i i i
i i
r sin i ( mi ri )
2 i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则：
f
i
i
ri sin i 0
2 i i i
F r sin ( m r
r
问题中包括平动和转动。
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2a T2 r T1r M r J
轮不打滑： 联立方程，可解得 T1 ，T2，a， 。
此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
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例3-4 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的 水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最 初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它 经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=rddre ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为：
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
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四、刚体的重力势能 以地面为势能零点，刚体和地 球系统的重力势能：
z
i
O
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例3-5 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点， 距A端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转 动，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位 置时的角速度和角加速度。
第三章 刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系
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对刚体内各个质点的相应式子，相加得：
F r sin f
i i i i i
i i
r sin i ( mi ri )
2 i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则：
f
i
i
ri sin i 0
2 i i i
F r sin ( m r
r
问题中包括平动和转动。
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2a T2 r T1r M r J
轮不打滑： 联立方程，可解得 T1 ，T2，a， 。
此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
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例3-4 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的 水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最 初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它 经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=rddre ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为：
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
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四、刚体的重力势能 以地面为势能零点，刚体和地 球系统的重力势能：
z
i
O
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例3-5 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点， 距A端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转 动，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位 置时的角速度和角加速度。
第三章 刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系
大学物理学第3章 力学的守恒定律
t1 t1
00:03
t2 I F (t )dt
t1
注意
•力的冲量是矢量，计算 冲量要考虑 方向 性。
•冲量是过程量。 •冲量决定于力和时间两个因素。
•F-t图上曲线下的面积与冲量大小 的关系。
00:03
（三）用冲量概念表述动量定理
质点动量定理的微分形式 dp
F
m v Fdp Fdt d
00:03
（3）矢量性质： 系统各质点的动量的矢量和不变；
若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
ex x
F
0, 0,
px mi vix C x p y mi viy C y pz mi viz Cz
Fyex 0 , F
ex z
（4）瞬时特征： 任意两个瞬时，动量的大小和方向都相同。
m1 v' 则 v2 v m1 m2
v2 2. 10 m s 17
3 1
(m1 m2 )v m1v1 m2 v2
v1 3. 103 m s 1 17
• 力 F=12ti（SI）作用在质量m=2kg的物体上， 使物体由原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量 为： (A)-54 i kg.m/s (B)54i kg.m/s (C)-108 i kg.m/s (D)108 i kg.m/s (B)
y
s
v
z'
y'
s'
v'
x x'
o
00:03
z
o'
已知
v 2.5 10 m s 3 1 v' 1.0 10 m s
00:03
t2 I F (t )dt
t1
注意
•力的冲量是矢量，计算 冲量要考虑 方向 性。
•冲量是过程量。 •冲量决定于力和时间两个因素。
•F-t图上曲线下的面积与冲量大小 的关系。
00:03
（三）用冲量概念表述动量定理
质点动量定理的微分形式 dp
F
m v Fdp Fdt d
00:03
（3）矢量性质： 系统各质点的动量的矢量和不变；
若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
ex x
F
0, 0,
px mi vix C x p y mi viy C y pz mi viz Cz
Fyex 0 , F
ex z
（4）瞬时特征： 任意两个瞬时，动量的大小和方向都相同。
m1 v' 则 v2 v m1 m2
v2 2. 10 m s 17
3 1
(m1 m2 )v m1v1 m2 v2
v1 3. 103 m s 1 17
• 力 F=12ti（SI）作用在质量m=2kg的物体上， 使物体由原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量 为： (A)-54 i kg.m/s (B)54i kg.m/s (C)-108 i kg.m/s (D)108 i kg.m/s (B)
y
s
v
z'
y'
s'
v'
x x'
o
00:03
z
o'
已知
v 2.5 10 m s 3 1 v' 1.0 10 m s
大学物理第三章知识点
dt dt
t2 Mdt
t1
2 d(J) J
1
2 1
d
J2
J1
冲量矩
---角动量定理(积分式)
X. J. Feng
作用于刚体上冲量矩等于刚体角动量的增量
3.角动量守恒定律
t2
t1
Mdt
J2
J1
M 0时，J2 J1
若转动物体的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
转动系统由两个或两个以上物体组成时：
X. J. Feng
M合 0时 Jii 常数
若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
讨论：1. J、ω均不变， J ω=常数 2. J、ω都改变， 但 J ω不变
注意: 1).运用角动量守恒时,系统中各物体均绕同一转轴转动
2).角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需 相对同一惯性参照系。
花样滑冰运动员通过改变 身体姿态即改变转动惯量 来改变转速
ω
X. J. Feng
猫的下落
例: 杆( m,l ),可扰固定端O在竖直平面内自由转动, X. J. Feng
一子弹( m,v0 )射入杆的下端,求杆上摆的最大角度?
O 判断:
m,l
mv0 (m m)V
1 2
mv 0 2
刚体定轴转动定律: 功能关系:
M 合 J
刚体转动动能定理:
A
1 2
J2 2
1 2
J12
刚体重力势能： EP mghc
机械能守恒定律:
若W外+ W内非=0 则Ek +Ep =常量
X. J. Feng
t2 Mdt
t1
2 d(J) J
1
2 1
d
J2
J1
冲量矩
---角动量定理(积分式)
X. J. Feng
作用于刚体上冲量矩等于刚体角动量的增量
3.角动量守恒定律
t2
t1
Mdt
J2
J1
M 0时，J2 J1
若转动物体的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
转动系统由两个或两个以上物体组成时：
X. J. Feng
M合 0时 Jii 常数
若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
讨论：1. J、ω均不变， J ω=常数 2. J、ω都改变， 但 J ω不变
注意: 1).运用角动量守恒时,系统中各物体均绕同一转轴转动
2).角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需 相对同一惯性参照系。
花样滑冰运动员通过改变 身体姿态即改变转动惯量 来改变转速
ω
X. J. Feng
猫的下落
例: 杆( m,l ),可扰固定端O在竖直平面内自由转动, X. J. Feng
一子弹( m,v0 )射入杆的下端,求杆上摆的最大角度?
O 判断:
m,l
mv0 (m m)V
1 2
mv 0 2
刚体定轴转动定律: 功能关系:
M 合 J
刚体转动动能定理:
A
1 2
J2 2
1 2
J12
刚体重力势能： EP mghc
机械能守恒定律:
若W外+ W内非=0 则Ek +Ep =常量
X. J. Feng
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
《大学物理》第三章电势S
i
" p"
或： d
40 ri dq d 40 r
z • 你能否迅速算出“非均匀带电球面（只知道总电量）”
在球心处的电势？ • 如果用“路径积分法”，本题应如何解？
例计算均匀带电q 的园环轴线上任一点的电势。 解： 用“电势叠加法” y （以无穷远处 先考虑点电荷dq对电势的贡献 dq 的电势为0） dq d 4 0 r r q dq q R d 0 4 r 40 r 0 x o x Q 2 2 4 0 x 2 R 2 r x R
球面A 产生的电势分布
球面B 产生的电势分布
qA r R A A 4 0 RA q r RA A A 4 0 r
r RB r RB
qB B 4 0 RB qB B 4 0 r
A B
qB
qA R A
r RA
qA qB 4 0 RA 4 0 RB
E
●
●
dr
P2
2
空间变化率:
d E cos dr d E ( d dr dr ) Max
当
0
时
E
●
有最大值
沿电场方向电势随空间的变化率最大，就把这一最大值称为
1
P 1
dr
●
P2
2
该点的电势梯度 d ( ) Max 定义电势梯度--- grad
则：E dl a b
dl
a
E
E dl
0
dl
b
——场强与等势面正交。
若再取小位移 dl 与电场同向（由点 a到点b′） 则：E dl a b 0 , a b
" p"
或： d
40 ri dq d 40 r
z • 你能否迅速算出“非均匀带电球面（只知道总电量）”
在球心处的电势？ • 如果用“路径积分法”，本题应如何解？
例计算均匀带电q 的园环轴线上任一点的电势。 解： 用“电势叠加法” y （以无穷远处 先考虑点电荷dq对电势的贡献 dq 的电势为0） dq d 4 0 r r q dq q R d 0 4 r 40 r 0 x o x Q 2 2 4 0 x 2 R 2 r x R
球面A 产生的电势分布
球面B 产生的电势分布
qA r R A A 4 0 RA q r RA A A 4 0 r
r RB r RB
qB B 4 0 RB qB B 4 0 r
A B
qB
qA R A
r RA
qA qB 4 0 RA 4 0 RB
E
●
●
dr
P2
2
空间变化率:
d E cos dr d E ( d dr dr ) Max
当
0
时
E
●
有最大值
沿电场方向电势随空间的变化率最大，就把这一最大值称为
1
P 1
dr
●
P2
2
该点的电势梯度 d ( ) Max 定义电势梯度--- grad
则：E dl a b
dl
a
E
E dl
0
dl
b
——场强与等势面正交。
若再取小位移 dl 与电场同向（由点 a到点b′） 则：E dl a b 0 , a b
大学物理第三章动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒定律的表述
总结词
动量守恒定律表述为系统不受外力或所 受外力之和为零时，系统总动量保持不 变。
VS
详细描述
动量守恒定律是自然界中最基本的定律之 一，它表述为在一个封闭系统中，如果没 有外力作用或者外力之和为零，则系统总 动量保持不变。也就是说，系统的初始动 量和最终动量是相等的。
动量守恒定律的适用条件
能量守恒定律可以通过电磁学 的基本公式推导出来。
能量守恒定律可以通过相对论 的质能方程推导出来。
能量守恒定律的应用实例
01
02
03
04
机械能守恒
在无外力作用的系统中，动能 和势能可以相互转化，但总和
保持不变。
热能守恒
在一个孤立系统中，热量只能 从高温物体传递到低温物体，
最终达到热平衡状态。
电磁能守恒
详细描述
根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小相等、方向相反。如果将一个物体施加一个力F，则该力会产生一个 加速度a，进而改变物体的速度v。由于力的作用是相互的，反作用力也会对另一个物体产生相同大小、相反方向 的加速度和速度变化。因此，在系统内力的相互作用下，系统总动量保持不变。
02
能量守恒定律
能量守恒定律的表述
感谢观看
01
能量守恒定律表述为：在一个封闭系统中，能量不能被创造或消灭， 只能从一种形式转化为另一种形式。
02
能量守恒定律是自然界的基本定律之一，适用于宇宙中的一切物理过 程。
03
能量守恒定律是定量的，可以用数学公式表示。
04
能量守恒定律是绝对的，不受任何物理定律的限制。
能量守恒定律的适用条件
能量守恒定律适用于孤立系统，即系统与外界没有能量 交换。
大学物理-第三章三大守恒定律
i
i
1 若质点系动量守恒，则动量在三个坐标轴上的分量都守恒。
2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可 忽略重力、摩擦力等外力，可近似认为动量守恒。
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3、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受 的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。
即 F x 当 F ix 0 时 p x ， m iv ix 常量
mv1
得 F (0 .3 )22 0 32 0 2 2 0 3c0o 3 s()0 14 (N )51
0 .01
根据正弦定理
sm i 2 nvsiF n t() 18 ,即力的 v 夹 方 角 1向 6 。 为 2
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例2-6质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞
Ixt1 t2F xd tpx2px1mx2 vmx1v Iyt1 t2F yd tpy2py1my2v my1v Izt1 t2F zd tpz2pz1mz2 vmz1v
4 . 对于碰撞、打等 击过 、程 爆， 炸物体互 之作 间用 的
称为冲力， 值其 大特 ， 点 变 t短是 化 ，峰 大 在， 某
b v2
d v
d(m v )
d p
t 2
Fm am
Fdtdp
dt dt
微分形式
dt
a
v1
I 定义 ：t1 t动2F 量 d ptp p 1 m 2d vp p 2 t 1 p 1 P 2m mv( 2v I2 t1t2v F1 d)t
（ M d)v M (d v ) d( v M d v u ) Mv
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y
Rsin θ
Rdθ
R θ dθ Rcos θ
O
x
解 选如图所示的坐标系． 在半球壳上取一如图圆环
➢ 圆环的面积 ds 2πRsin Rd
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ Rcosθ
O
x
圆环的质量 dm 2πR2 sin d
由于球壳关于y 轴对称，故xc= 0
y C
1 m
ydm
y
2πR2 sind 2πR2
52.3o
解: 由于氢原子对 x 轴对称，故 yC = 0 .
n
mi xi xC i1 m
i
代入数据 xC
mH d sin
= 6.8×10-12
37.7 mH
m
mO 0 mH d sin 37.7
mO mH rC 6.8
10
12
mi
均匀直杆的质心 一根长为L的匀质直杆一端放在原
质心是质点系全部质量和动量的集中点； 重心是重力的合力的作用点.
质心的意义比重心的意义更广泛更基本.
水分子 H2O 的结构如图. 每
yH
个氢原子和氧原子之间距离均
d
为 d = 1.0×10 -10 m, 氢原子 和氧原子 两条连线间的夹角
C
o Od
为θ= 104.6°.求水分子质心．
H
52.3o
x
§1 质心 质心运动定理 §2 质点系的动量定理及动量守恒 §3 质点系的动能定理和机械能守恒 §4 质点系的角动量定理和角动量守恒 §5* 有心力作用下的运动
一. 质心
质点系：具有相互作用的若干质点组成的系统。
质心：特殊的几何点C,运动与
质点间的相互作用力无关，其 运动代表了质点系的整体运动。
质心可看作整个质点系的代表 点，系统的全部质量 m，动量 P都集中在它上面。
ac
i
m
对质点系中各个质点运用牛顿第二定律
F int ij
表示系统内的质点j对
质点i的相互作用力
......
且
Fi miai
i
i
miai mac
i
质心运动定理
Fi mac m mi
i
i
例题 三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样
跳伞.由于作了某种动作，运动员D
质心加速度为
4 5
C
m
n
y
m yi i i1
C
m
n
z
m zi i i1
C
m
对质量连续分布的物体：
x C
1 m
xdm
y C
1 m
ydm
z C
1 m
zdm
说明：
n
r
m ri i i1
C
m
(1)质心不是质点位矢的平均值，而是加权平均值，与m有关.
推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心.
(2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与体系各质 点的相对位置与坐标原点的选取无关. (3) 质心与重心的区别
3W
3m
d
2
rc
dt 2
d2 3m dt 2
mrA
mrB
3m
mrD
aA aB aD 3g
aA , aB , aD 表示各运动员质心的加速度.将上式投影
y
aBx
6 5
g sin30
0
A
D
aBy
4 5
g
6 5
g cos 30
3g
aA
O W
B
W x
aD
W aB
得
aBx
3 5
g
aBy
g
铅直向下；运动员
A
质心加速度为
6 5
g ，与铅直方向
成 30 ，加速度均以地球为参考系.求运动员B 的
质心加速度. 运动员所在高度的重力加速度为g. 不计空
气阻力.
A
aA
B
D
aB
aD
[解] 将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，W表
示各运动员所受重力. 建立直角坐标系，m表示各运动
员质量，根据质心运动定理，
内力的作用对质点系动量无贡献
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb 且方向相反 则
1 (11 3 5
3)g
aB
a
2 Bx
a
2 B
y
1.31g
arctan aBx 2720
aBy
y
A
D
aA
O W
B
W
x
aD
W aB
3.2.1 质点系的动量
质心的速度
υc
drc dt
1 m
i
mi
dri dt
miυi
υc
i
m
质点系的动量
P miυi mυc
i
零动量参照系 质心作为参照系 其中质心的速度始终为零
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
t2
t1
(F1
F2
)dt
(m1v1
m2 v 2
)
(m1v10
m2v20 )
t2
F
ex dt
t1
n i1
mi vi
n mi vi0
i1
I
p
p0
质点系的动量定理
由质心运动定理
m 常数
i
Fi
mac
m
dυc dt
i
Fi
d(mυc ) dt
( Fi )dt d(mυc )
y R cosθ
y
Rsin θ
Rdθ
R θ dθ Rcos θ
π
O
x
所以 yC R
其质心位矢：
2 cos sin
0
rC R 2 j
d
R
2
3.1.2 质心运动定理
质心的速度 质心的加速度
υc
drc dt
1 m
i
mi
dri dt
miυi
υc
i
m
ac
dυc dt
1 m
i
mi
dυi dt
miai
质心的位置：以质量为 权重的加权平均。
y m3
r zC
yC
r3
m2
r2
O
C
c r1
m1 xC
x
z
n
r
个质点组成的质点系，其质心的位矢：
mr 11
mr 12
mr ii
n
m i
r i
i 1
C m m m
m
1
2
i
n
r
m ri i i1
C
m
对质量离散分布的体系：
n
x
m xi i i1
（质心系） 质心系看来：υc 0 质点系的总动量始终为零
P ' mυc ' miυ 'i 0
i
3.2.2 质点系的动量定理 动量守恒
质点系的动量定理
t2
t1
t2
t1
( F1
( F2
F12 )dt
F21 )dt
m1v1
m2 v 2
m1v10 m2 v 20
因为内力 F12 F21 0
点，另一端放在x=L处．杆的质量线密度为，求质
心的位置．
dx
解 杆质点系中建立如图坐标系 O x
Lx
取任一质元（线元dx） 线元dx坐标位置为x
dm dx
质点系质心的位置
xc
xdm dm
L
xdx
0 L
dx
L2 / L
2
L 2
进一步思考
0
杆的质量分布 ax 或 = a
x
杆的质心位置？
求半径为 R ,质量面密度为σ的匀质半薄球壳的质心.
i
(Fi )dt dP
i
t
i
miυi
i
miυi0
(
t i
Fi )dt
分
量
I P P0
式
t
miix miix0 ( Fix )dt
i
i
ti
t
miiy miiy0 ( Fiy )dt
i
i
ti
t
miiz miiz0 ( Fiz )dt
i
i
ti
合外力的冲量=质点系动量变量