三角形中的五种常见证明类型

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等．

证明数量关系

题型1证明线段相等

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.

(第1题)

题型2证明角相等

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E.

求证：∠ADB＝∠CDE.

(第2题)

证明位置关系

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.

(第3题)

证明倍分关系

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.

(第4题)

证明和、差关系

5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.

(第5题)

证明不等关系

6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.

(第6题)

专训二：构造全等三角形的六种常用方法

名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．

构造基本图形法

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.

求证：∠ADC＝∠BDF.

(第1题)

翻折法

2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.

(第2题)

旋转法

3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE ＋DF＝EF，求∠EAF的度数．

(第3题)

平移法

4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.

求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.

(第4题)

加倍折半法

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．

(第5题)

截长补短法

6．如图所示，AB∥CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E 在AD上．

求证：BC＝AB＋CD.

(第6题)

专训三：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可

以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．

当顶角和底角不确定时，分类讨论

1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()

A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°

2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝1

2BC，则等腰三角形

ABC的底角的度数为()

A．45°B．75°C．45°或75°D．65°

3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．

当底和腰不确定时，分类讨论

4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()

A．8或10B．8C．10D．6或12

5．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．

6．若实数x，y满足|x－5|＋(10－y)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．

当高的位置关系不确定时，分类讨论

7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．

由腰的垂直平分线引起的分类讨论

8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数．

由腰上的中线引起的分类讨论

9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．

点的位置不确定引起的分类讨论

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()

(第10题)

A．7个B．6个C．5个D．4个

11．如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．

(第11题)

专训四：三角形中常见的热门考点

名师点金：本章主要学习了互逆命题与互逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形，线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定．本章的考点较多，也是中考的重点考查内容．

互逆命题、基本事实、互逆定理

1．下列命题是真命题的是()

A．无限小数是无理数

B．相反数等于它本身的数是0和1

C．对顶角相等

D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．若两个角都是直角，则它们相等

C．同位角相等，两直线平行

D．若a＝b，则|a|＝|b|

全等三角形的性质与判定

3．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有()

A．3对B．2对C．1对D．0对

(第3题)

(第4题)

4．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则

BF的长是()

A．7 B．6 C．5 D．4

5．(2015·杭州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.

(第5题)

等腰三角形的判定与性质

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：

(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.

其中正确的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

(第6题)

(第7题)

(第8题)

7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．

8．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.若AB＝6 cm，AC＝9 cm，则△AMN 的周长为________．

9．(中考·淄博)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.

求证：AB＝AD.

(第9题)

尺规作图

10．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法如下：

(1)作线段BC＝a；

(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；

(3)在直线MN上截取线段h；

(4)连接AB，AC.

△ABC即为所要求作的等腰三角形．

上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()

(第10题)

A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)

线段垂直平分线与角平分线

11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC 于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是()

A．BD平分∠ABC

B．△BCD的周长等于AB＋BC

C．AD＝BD＝BC

D．点D是线段AC的中点

(第11题)

(第12题)

12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是()

A．80°B．50°C．40°D．20°

13．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，点B，D分

别在AM，AN上，且AE＝1

2(AD＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？并说明理由．

(第13题)

思想方法

a．分类讨论思想

14．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角度数为________．15．(2014·安顺)已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足

2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为() A．7或8 B．6或10

C．6或7 D．7或10

b．方程思想

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．

(第16题)

c．转化思想

17．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD

于E，求证：BE＝1

2(AC－AB)．

(第17题)

答案

专训一

1．证明：连接AD.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，

∴∠EAD ＝∠FAD.

在△AED 和△AFD 中，???AE ＝AF ，

∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，

∴△AED ≌△AFD(S .A .S .)．

∴DE ＝DF.

2．证明：过点C 作CG ⊥AC 交AE 的延长线于G ，则CG ∥AB ，

∴∠BAF ＝∠G.

又∵AF ⊥BD ，AC ⊥CG ，

∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°，∠CAG ＋∠G ＝90°.

∴∠ABF ＝∠CAG.

在△ABD 和△CAG 中，???∠ABF ＝∠CAG ，

AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACG ＝90°，

∴△ABD ≌△CAG(A .S .A .)．

∴AD ＝CG ，∠ADB ＝∠G.

又∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∴CD ＝CG.

∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.

又∵AB ∥CG ，∴∠ABC ＝∠GCE.

∴∠ACB ＝∠GCE.又∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CGE(S .A .S .)．

∴∠G ＝∠CDE.

∴∠ADB ＝∠CDE.

(第3题)

3．证明：如图，连接ED ，FD.∵AB ＝AC ，

∴∠B ＝∠C.在△BDE 和△CFD 中，

???BD ＝CF ，

∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，

∴△BDE ≌△CFD(S .A .S .)．

∴DE ＝DF.

又∵点G 是EF 的中点，∴DG ⊥EF.

4．证明：∵AD ，BE 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，

又∵∠BHD ＝∠AHE ，∴∠EBC ＝∠EAH.

在△BCE 和△AHE 中，???∠EBC ＝∠EAH ，

BE ＝AE ，∠BEC ＝∠AEH ＝90°，

∴△BCE ≌△AHE(A .S .A .)．

∴AH ＝BC.

又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝2BD ，

∴AH ＝2BD.

5．证明：如图，延长CB 至E ，使BE ＝BA ，则∠BAE ＝∠E.

∵∠ABC ＝2∠C ＝2∠E ，∴∠E ＝∠C ，∴AE ＝AC.

∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.

∵∠BAE ＝∠E ，∠E ＝∠C ，∴∠BAE ＝∠C.

又∵∠EAD ＝∠BAE ＋∠BAD ，∠EDA ＝∠C ＋∠DAC ，

∴∠EAD ＝∠EDA.

∴AE ＝DE.

∴AC ＝DE ＝BE ＋BD ＝AB ＋BD.

(第5题)

(第6题)

6．证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE.

∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD.

在△AEP 和△ACP 中，???AE ＝AC ，

∠BAD ＝∠CAD ，AP ＝AP ，

∴△AEP ≌△ACP(S .A .S .)，∴PE ＝PC.

在△PBE 中，BE ＞PB －PE ，∴AB －AC ＞PB －PC.

专训二

1．证明：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.

∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠ACF ＝90°.

∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.

∴∠1＝∠2.

在△ACD 和△CBG 中，???∠1＝∠2，

AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBG ＝90°，

∴△ACD ≌△CBG(A .S .A .)．

∴∠ADC ＝∠G ，CD ＝BG.

∵点D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.∴BD ＝BG.

又∵∠DBG ＝90°，∠DBF ＝45°，

∴∠GBF ＝∠DBG －∠DBF ＝90°－45°＝45°.∴∠DBF ＝∠GBF.

在△BDF 和△BGF 中，???BD ＝BG ，

∠DBF ＝∠GBF ，BF ＝BF ，

∴△BDF ≌△BGF(S .A .S .)．

∴∠BDF ＝∠G.∴∠ADC ＝∠BDF.

点拨：本题运用了构造基本图形法，通过作辅助线构造△CBG 、△BGF 是解题的关键．

(第1题)

(第2题)

2．证明：如图，延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折，与BC 边重合，A 点落在F 点处，折痕为BE)

∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE.

∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠BDF ＝90°.

在△ABD 和△FBD 中，???∠ABD ＝∠FBD ，

BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，

∴△ABD ≌△FBD(A .S .A .)．

∴∠2＝∠DFB.

又∵∠DFB ＝∠1＋∠C ，∴∠2＝∠1＋∠C.

(第3题)

3．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.

∵∠ABE ＝90°，∠D ＝90°，∴∠ABH ＝∠D ＝90°.

在△ABH 和△ADF 中，

???AB ＝AD ，

∠ABH ＝∠D ＝90°

，BH ＝DF ，

∴△ABH ≌△ADF.∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF.

∴∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF ，即∠HAF ＝∠BAD ＝90°. ∵BE ＋DF ＝EF ，∴BE ＋BH ＝EF ，即HE ＝EF.

在△AEH 和△AEF 中，???AH ＝AF ，

AE ＝AE ，EH ＝EF ，

∴△AEH ≌△AEF.∴∠EAH ＝∠EAF.

∴∠EAF ＝12∠HAF ＝45°.

点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，使AD 边与AB 边重合，得到△ABH.

4．证明：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，∴∠ADO ＝∠ABC. ∵∠BAC ＝60°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝80°.

∴∠ADO ＝80°.

∵BQ 平分∠ABC ，∴∠QBC ＝40°.

∴∠AQB ＝∠C ＋∠QBC ＝80°.

∴∠ADO ＝∠AQB.

易知∠DAO ＝∠QAO ，OA ＝OA ，∴△ADO ≌△AQO.

∴OD ＝OQ ，AD ＝AQ.

∵OD ∥BP ，∴∠PBO ＝∠DOB ，

又∵∠PBO ＝∠DBO ，∴∠DBO ＝∠DOB.

∴BD ＝OD.∴BD ＝OQ.

∵∠BAC ＝60°，∠ABC ＝80°，BQ 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC ， ∴∠BAP ＝30°，∠ABQ ＝40°，∴∠BOP ＝70°.

∵∠BAP ＝30°，∠ABC ＝80°，∴∠APB ＝70°.

∴∠BOP ＝∠APB ，∴BO ＝BP.

∴AB ＋BP ＝AD ＋DB ＋BP ＝AQ ＋OQ ＋BO ＝BQ ＋AQ.

5．解：在DC 上截取DE ＝BD ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AD 是线段BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB.∵AB ＋BD ＝CD ，DE ＝BD ，∴AB ＋DE ＝CD.而CD ＝DE ＋EC ，∴AB ＝EC ，∴AE ＝EC.故设∠EAC ＝∠C ＝x ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°

－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.

6．证法一：用截长法，如图①所示，在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.

(第6题)

因为BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，

所以∠ABE ＝∠FBE ，∠FCE ＝∠DCE.

在△ABE 和△FBE 中，

因为???AB ＝FB ，

∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，

所以△ABE ≌△FBE.

所以∠A ＝∠EFB.

因为AB ∥CD ，

所以∠A ＋∠D ＝180°.

因为∠BFE ＋∠EFC ＝180°，

所以∠EFC ＝∠D.

在△EFC 和△EDC 中，

因为???∠FCE ＝∠DCE ，

∠EFC ＝∠D ，EC ＝EC ，

所以△EFC ≌△EDC.

所以FC ＝DC.

所以BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CD.

证法二：用补短法，如图②所示，延长BE 交CD 的延长线于点G.

因为AB ∥CD ，

所以∠ABE ＝∠G.

因为BE 平分∠ABC ，

所以∠ABE ＝∠CBE.

所以∠CBE ＝∠G.

因为CE 平分∠BCD ，

所以∠BCE ＝∠GCE.

在△BEC 和△GEC 中，

因为???∠CBE ＝∠G ，

∠BCE ＝∠GCE ，CE ＝CE ，

所以△BEC ≌△GEC.

所以BC ＝GC ，BE ＝GE.

在△ABE 和△DGE 中，

因为???∠ABE ＝∠G ，

∠AEB ＝∠DEG ，BE ＝GE ，

所以△ABE ≌△DGE.

所以AB ＝DG.

所以BC ＝CG ＝GD ＋DC ＝AB ＋CD.

专训三

1．D 2.C 3.32°

4．C 5.23或25 6.25

7．解：设等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D.

(1)当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC 的内部，如图①，∵∠DBC ＝25°，∴∠C ＝90°－∠DBC ＝90°－25°＝65°，∴∠ABC ＝∠C ＝65°，∠A ＝180°－2×65°＝50°.

(第7题)

(2)当高与另一腰的夹角为25°时，

如图②，高在△ABC 的内部时，

∵∠ABD ＝25°，∴∠A ＝90°－∠ABD ＝65°，

∴∠C ＝∠ABC ＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；

如图③，高在△ABC 的外部时，∵∠ABD ＝25°，

∴∠BAD ＝90°－∠ABD ＝90°－25°＝65°，