幂函数 教学设计
幂函数举例
教材分析:
《幂函数举例》国家规划新教材《数学》（基础模块）上册（高教版）第四章第1节的内容，本节课为第3课时，主要内容是幂函数的概念、图像及性质.幂函数是在学习了函数的概念和函数的一般性质的基础上，具体研究的重要初等函数，应用研究函数的一般方法去研究函数的再一次实践.通过本节课的学习, 学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数, 进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识, 因而本节课更是对学生研究函数的方法和能力的综合提升.
学情分析：
学生已经接触过函数, 已经确立了利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识, 已初步形成对数学问题的合作探究能力. 虽然前面学生已经学会用五点作图的方法来绘制函数图像, 但是对于幂函数的图像画法仍然缺乏感性认识. 学生层次参次不齐，个体差异比较明显.
教学目标：
知识目标:通过实例,了解幂函数的概念；能根据图像得出幂函数的性质；了解随幂指数改变的性质变化情况.
能力目标:学生在积极参与具体幂函数的性质研究实践活动中, 培养学生观察和归纳能力, 与此同时, 在解决具体问题的过程中, 提高学生对具体问题的前一以及综合能力.
情感目标：让学生感受到数学来源于生活, 应用于生活, 并认识到现代信息技术在人们认识世界过程中的作用, 激发学生的学习动力.
教学重点: 幂函数的图像和性质.
教学难点: 通过常见幂函数图像归纳出普通幂函数的图像特征.
教学过程：
一：实例观察,引入新课
a m=, 三个量中，如果指数m不变，底数a做自变量，求N时，可以得
表达式：N
到什么函数?
二：类比联想,探究新知
1.幂函数的定义:
y=叫做幂函数, 其中x是自变量,α是常数.
一般地,函数αx
2.幂函数的图像特征
典型的幂函数：.
学生动手，在同一坐标系中画出以上4个函数的图像，观察图像并回答问题.
问题1：所有幂函数图像都过定点?
提问：如何画出
的图像呢? 首先研究这些函数的性质：
2-=x y
定义域 值域
单调性
奇偶性
接着在PPT 上投放
的函数图像. 观察图像回答下面两个问题.
问题2：幂函数都会出现在那些象限？
问题3：幂函数的单调性如何？
三：典型例题
下面我们进入例题环节：
例1 已知函数3
42)1()(+--=m m x
m x f 是幂函数，求m 的值。
例2比较下列各组数种两个值的大小
（1） 12- 13- （2） 9.07.3 9.02.3 四：强化练习
1. 比较两个数的大小：
，
. 2. 已知幂函数m
x m m x f 232
)1()(---=在区间()+∞,0上单调递减，则实数m 等于
.
五：课堂小结
1.知识总结：回顾幂函数的定义和幂函数的图像特征.
2.思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.
六：作业布置
作业本: 课本第79页 练习4.1.3 第1题 第2题.。
幂函数教学设计
幂函数教学设计幂函数是初等函数的一种，是指以自然数为指数的函数。
其函数式可以表示为y=x^n，其中x为自变量，n为常数指数，y为函数的值。
以下是五个优秀的幂函数教学设计：1.教学目标：通过本节课的学习，学生将掌握幂函数的概念、性质和图像。
教学过程：(1)导入环节：通过提问引入幂函数的概念，如何用自然数表示指数。
(2)基础知识讲解：介绍幂函数的定义、性质和图像特点。
(3)解答问题：让学生通过例题解答，巩固对幂函数的理解。
(4)实例操作：以实际问题为背景，让学生应用幂函数解决实际问题。
(5)总结归纳：总结幂函数的特点和应用，并提醒学生注意幂函数与其他函数的区别。
2.教学目标：通过本节课的学习，学生将理解幂函数的增减性质和相关应用。
教学过程：(1)导入环节：通过展示两个幂函数的图像，让学生观察并讨论它们的变化趋势。
(2)基础知识讲解：讲解幂函数的增减性质，即正指数的幂函数递增，负指数的幂函数递减。
(3)实例分析：通过实例分析，揭示幂函数增减性质的应用，如求不等式的解等。
(4)实践操作：让学生通过练习题巩固对幂函数增减性质的理解和应用。
(5)拓展讨论：引导学生思考其他函数的增减性质，并与幂函数进行比较。
3.教学目标：通过本节课的学习，学生将学会化简幂函数表达式。
教学过程：(1)导入环节：通过提问引入化简幂函数表达式的概念和意义。
(2)基础知识讲解：介绍幂函数的化简规则和步骤，如指数相加相乘规则等。
(3)解答问题：通过例题解答，让学生掌握幂函数化简的方法和技巧。
(4)实例操练：让学生通过练习题巩固幂函数化简的能力。
(5)拓展应用：引导学生将化简幂函数应用到求导、积分等数学问题中。
4.教学目标：通过本节课的学习，学生将了解幂函数的特殊性质和图像变化规律。
教学过程：(1)导入环节：通过提问引入幂函数的特殊性质，如y=x^0、y=x^1等。
(2)基础知识讲解：介绍幂函数特殊性质的证明和图像变化规律。
(3)实例演示：通过示例演示，展示幂函数图像在特殊情况下的形态和变化特点。
幂函数 教学设计
幂函数教学设计一、教学目标通过本节课的学习，使学生掌握幂函数的性质和图像，能够正确画出幂函数的图像并解决与之相关的问题。
二、教学重点和难点教学重点1.幂函数的定义和性质2.幂函数图像的绘制和分析教学难点1.幂函数图像与参数之间的关系理解2.幂函数特殊情况的讨论三、教学过程1. 导入与引入通过提问的方式，让学生回顾一下之前学过的函数，引导他们思考函数与方程的联系。
2. 引入幂函数的概念通过给出一个幂函数的定义，让学生了解并理解幂函数的概念。
幂函数定义为y=x n，其中 n 是常数，x 是任意实数。
3. 幂函数的性质3.1 定义域和值域引导学生通过思考自变量和函数值的关系，帮助他们找到这个幂函数的定义域和值域。
由于幂函数中的指数是常数，所以定义域为所有实数，而值域的情况与指数的正负关系有关。
3.2 奇偶性分析让学生思考幂函数的奇偶性。
当指数 n 为偶数时，幂函数是偶函数；当指数 n 为奇数时，幂函数是奇函数。
3.3 单调性分析引导学生通过观察不同指数的幂函数图像，发现指数 n 的正负关系对其单调性的影响。
当指数 n > 0 时，幂函数是递增函数；当指数 n < 0 时，幂函数是递减函数。
3.4 渐近线讨论让学生思考幂函数图像的渐近线问题。
当指数 n > 0 时，幂函数的图像与 x 轴有一个水平渐近线；当指数 n < 0 时，幂函数的图像与 y 轴有一个垂直渐近线。
4. 幂函数图像的绘制和分析4.1 确定坐标轴和尺度让学生根据定义域和值域，决定合适的坐标轴范围和尺度。
4.2 确定关键点让学生通过代入一些关键点的 x 值，计算出相应的 y 值，确定幂函数图像上的关键点。
4.3 画出图像让学生根据已经确定的关键点，使用平滑线连接的方法，画出幂函数的图像。
4.4 分析图像通过观察图像，引导学生分析幂函数图像的特点，与指数 n 的值进行对比，进一步加深对幂函数性质的理解。
5. 幂函数的应用通过解决一些幂函数相关的问题，让学生将幂函数的概念和性质应用到实际问题中，提高他们对幂函数的应用能力。
幂函数教学设计(共7篇)
幂函数教学设计〔共7篇〕第1篇：幂函数教学设计《幂函数》教学设计一、设计构思设计理念注重开展学生的创新意识。
学生的数学学习活动不应只限于承受、记忆、模拟和练习，倡导学生积极主动探究、动手理论与互相合作交流的数学学习方式。
这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在老师引导下的“再创造”过程。
我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，开展他们的创新意识。
注重进步学生数学思维才能。
课堂教学是促进学生数学思维才能开展的主阵地。
问题解决是培养学生思维才能的主要途径。
所设计的问题应有利于学生主动地进展观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。
内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。
伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。
本节主要安排应用类比法进展讨论，加深学生对类比法的体会与应用。
注重学生多层次的开展。
在问题解决的探究过程中应表达“以人为本”，充分表达“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的开展”的教学理念。
有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经历根底之上，而学生的根底知识和学习才能是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到开展。
注重信息技术与数学课程的整合。
高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进展探究和发现。
另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。
教材分析^p幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学第二章第四节的内容。
该教学内容在人教版试验修订本中已被删去。
标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。
故在教学过程及后继学习过程中，应可以让学生体会其实际应用。
幂函数教案
幂函数教案幂函数教学设计一、教学内容：本节课主要讲解幂函数的基本概念、性质以及解题方法。
二、教学目标：1. 掌握幂函数的定义及其一般形式。
2. 了解幂函数的图像特点及其变化规律。
3. 能够解决与幂函数相关的实际问题。
三、教学过程：步骤一：导入新课1. 引导学生回顾一元二次函数的知识，并帮助学生发现一元二次函数与平方函数之间的关系。
2. 引导学生思考，如果给定的方程中含有类似于x^n（n为自然数）的项，该如何解决？（请学生回顾类似的方程，并尝试解题）步骤二：讲解幂函数的定义1. 运用幂函数的定义引导学生进行思考：什么样的方程是幂函数？2. 引导学生猜想幂函数的一般形式，即f(x)=x^n，其中n为实数。
3. 张绘制幂函数的图像，并引导学生发现其特点，如：当n>1时，图像呈现递增趋势；当n=1时，图像为直线，并由坐标原点经过；当0<n<1时，图像在原点附近缓慢上升。
步骤三：讲解幂函数的性质1. 解释幂函数的定义域和值域，即当n为偶数时，定义域为R，值域为[0，+∞)；当n为奇数时，值域为R。
2. 引导学生发现幂函数与幂函数之间的比较关系，即当0<n<m时，幂函数f(x)=x^n的图像位于幂函数g(x)=x^m的图像之下。
3. 引导学生探究幂函数的奇偶性，即当n为整数时，该幂函数的奇偶性与n的奇偶性一致。
比如，当n为偶数时，函数f(x)=x^n是偶函数；当n为奇数时，函数f(x)=x^n是奇函数。
步骤四：解决幂函数相关的实际问题1. 给学生提供一些实际应用题，如求一块长方形的面积与宽度的关系等，引导学生使用幂函数解决问题。
2. 引导学生分析问题，并运用幂函数的性质进行求解。
3. 鼓励学生自主解决问题，引导学生独立思考并找到解决问题的方法。
四、教学检查及评价：1. 教师可以通过课堂练习、小组讨论等方式进行教学检查，及时发现学生的问题并给予指导。
2. 教师可以根据学生的思考能力和解题情况，评价学生的学习情况，及时提供帮助和改进措施。
高中数学幂函数的教案
高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。
三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。
2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。
3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。
4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。
五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。
六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。
七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。
八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。
九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。
十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。
十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。
以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。
祝教学顺利！。
《幂函数》教学设计
普通高中教科书数学必修第一册（人教A版2019）3.3幂函数一、教学目标：（一）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（二）通过具体实例，会画y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象，描述它们的变化规律，总结掌握幂函数的性质.（三）能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.二、教学重难点重点：幂函数的概念、图象和性质．难点：利用幂函数的性质解决有关问题.三、教学用具：ppt、geogebra软件四、教学过程：（一）情境导入前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. 1．如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付 p=w元，这里p是w的函数;2．如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=x2,这里y是x的函数; 3．如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数; 4．如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形场地的边长c=√S,这里c是S的函数;5．如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=1km/s,t 即v=t−1,这里v是t的函数.（二）探究活动1：请观察1—5中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.1.p=w;2.y=x2;3.V=b3;,即v=t−1.4.c=√S，即c=s12;5.v=1t实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自，-1；它们都是形如y=xα的变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，12函数.【设计意图】将实际问题转化为数学问题，引导学生经历从实例中用函数思维方式抽象出幂函数的形式，进而引出新知识的定义和形式. （三）概念新知幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.1.练习：（1）下列函数哪些是幂函数（）①y＝x3②y=(1)x③y＝4x2④y＝x5＋12⑤y＝(x－1)2 ⑥y＝x ⑦y=2x（2）若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数，则m＝_____.结论：底数只能是自变量x，指数只能是常数,幂的系数只能是1, 解析式只能是一项；判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式．在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.【设计意图】通过引导学生从函数的思维方式归纳出幂函数的定义，然后再通过练习和思考，学生进一步理解幂函数的定义.（四）探究活动2（数到形），−1时的图象与性质.现对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，12请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性）老师用geogebra软件进行展示【设计意图】通过课前预习的网络作业让学生先独立画出三个幂函数的图像，然后课堂上在同一直角坐标系中通过描点法画出另外两个幂函数，在画的过程中体会图像的变化趋势，掌握幂函数的特征.（五）探究活动3（形到数）结合幂函数图像和解析式，将你发现的结论填写在下表.【设计意图】由形到数，发现并归纳5个常见幂函数的图像性质. （六）性质探究探究活动4：观察α=1,2,3，1/2 ，-1时幂函数的图形，填写以下研究报告1.特殊幂函数的性质(1) y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12，y＝x－1主要分布在第象限，第象限无图像.(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12和y＝x－1的图像都通过点；(3)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是，函数y＝x2是；(4)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12,函数y＝x－1；（5）在第一象限内，函数y＝x－1的图像向上与y轴，向右与x轴.2.一般幂函数的性质：(1)第一象限均有图像，第四象限均无图像(2)幂函数图像都过点(1,1)；α>0，函数过（0,0）(3)α为偶数时，幂函数是偶函数;α为奇数时，幂函数是奇函数.(4)当α>0时,幂函数在区间(0，+∞)上单调递增；当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减（5）一般地，幂函数的图像在直线x=1的右侧，指数大的在上，指数小的在下（指大图高），在y轴与直线x=1之间正好相反（指大图低）.【设计意图】引导学生通过观察函数的图像，分析归纳出五个函数图像各自性质的基础上，再归纳幂函数的共性和差异性，进而得出幂函数的基本性质.（七）应用提升例1．在下列四个图形中，y ＝x－12的大致图像是( )例2 比较下列各组数的大小.(1) (2) （3）（八）当堂检测1.下列函数是幂函数的是（ ）A .y =5x 2B .y =x 5−1 C .y =x 8D.y =（x +1）22.若 f (x )＝(m 2－2m －2)x m是幂函数，且在第一象限为增函数，则m ＝（ ）A .−1 B. 3 C. -1或3 D.13.已知幂函数y =f(x)的图像经过点（4， 12 ），则 f (2)=（ ）A .14B.4C.√22D.√24.下列正确的是( )A.(1.5)3<(1.4)3B. (0.1)0.3>(0.2)0.3C. (11.5)−3<(11.6)−3D. (0.6)3<(0.6)0.5111.5 1.4--，1.23，1.330.53 ，0.50.55.若（3-2m）12＞（m+1）12，求实数m的取值范围.五．归纳总结1.幂函数概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.幂函数性质：(1)幂函数图象都过点(1,1).(2)α为偶数时，幂函数是偶函数。
“幂函数”教学设计
一、内容和内容解析1.内容幂函数的定义，y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x -1，y =x 12五个幂函数的图象与性质.2.内容解析幂函数是一类重要的基本初等函数，实际生产生活及科学研究中涉及的很多函数都是由幂函数及其他基本初等函数进行运算、复合得到的.学生初中学习过的一次函数、二次函数和反比例函数都是由幂函数y =x 0，y =x ，y =x 2，y =x -1经过运算得到的，幂函数y =x ，y =x 2，y =x -1也是最基本的一次函数、二次函数和反比例函数，学生对他们的图象和性质都非常熟悉.从这个角度来说，幂函数的学习是在此基础上的自然延伸.在教材中，幂函数这一部分的学习被安排在函数的概念及其表示和函数的基本性质之后，指数函数与对数函数之前.一方面，在学生系统学习了一般函数的概念、表示法和基本性质之后，幂函数作为一类最基本的函数，承载着从一般到特殊应用所学知识来研究和表达具体函数的功能；另一方面，幂函数作为高中阶段学生研究的第一类具体函数，在研究内容、方法和路径上对后续学习其他函数起着一定的示范性作用.基于以上分析，本节课的教学重点是幂函数的图象与性质.二、目标和目标解析1.目标（1）了解幂函数的定义，会作出函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x -1，y =x 12的图象，理解它们的性质并能进行简单应用.（2）通过对幂函数的研究，体会研究一种具体函数的内容和方法.（3）在对具体函数的图象与性质的探究过程中，理解函数图象与性质的探究方法，感受数与形的相辅相成，体会数形结合的思想方法，发展直观想象、逻辑推理和数学运算素养.2.目标解析达成以上目标的标志如下.（1）能从几个具体的幂函数解析式的共性中抽象出幂函数的一般形式；会作出函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x -1，y =x 12的草图，并根据图象得到它们的性质；能应用幂函数的性质解决一些简单问题.（2）在研究幂函数之前，先根据初中研究函数的经验制定出探究方案，确定探究内容和方法，进而依收稿日期：2020-11-02作者简介：王琦（1983—），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究.“幂函数”教学设计王摘要：幂函数是一类重要的基本初等函数．本节课在回顾初中研究函数的经验的基础上，梳理研究一般函数的内容、方法和路径，进而按照这样的路径对幂函数展开研究.学生经历函数图象与性质的多种探究方式，体会数与形的紧密联系.幂函数的研究过程既是对高中所学的函数概念、表示法和基本性质的进一步理解和应用，也为后续其他函数的研究做出了示范．关键词：幂函数；图象与性质；数形结合照方案实施研究，并在过程中对实施细节进行合理调整，经历研究函数的完整过程.（3）在对y=x3和y=x 12的图象和性质进行研究的过程中，体验不同的研究方式，感受形的直观、数的精确，以及数与形的紧密联系、对立统一.在运用定义判断函数y=x 12的单调性的过程中，发展数学运算素养.三、教学问题诊断分析学生在初中阶段学习过一次函数、二次函数和反比例函数，对于函数的研究积累了一定的经验，但缺乏方法的梳理和总结.本节课先引导学生对经验进行梳理，总结出函数的研究内容、方法和路径，这既为本节课的研究提供了方案，也为后续其他函数的研究提供了模板.初中阶段，学生基本都是通过列表、描点作出函数的图象，再根据图象直观感知函数的性质.经过本章前一阶段的学习，学生掌握了用符号语言精确刻画函数单调性和奇偶性的方法，可以直接通过解析式分析函数的单调性和奇偶性，这使得函数图象与性质的探究方式有了更多的可能.本节课中，教师引导学生体验这些探究方式，使学生在探究过程中感受数与形的相互转化和紧密联系.基于以上分析，确定本节课的教学难点在于幂函数图象与性质的探究.四、教学过程设计1.从实际情境中抽象出幂函数的定义问题1：回答下列问题.（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付的价钱p是多少元？这里p是w的函数吗？（2）如果正方体的边长为a，那么正方形的面积S 是多少？这里S是a的函数吗？（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V 是多少？这里V是b的函数吗？（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c是多少？这里c是S的函数吗？（5）如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v是多少？这里v是t的函数吗？师生活动：教师给出实际情境，学生思考后得出五种情境所对应的函数解析式.其中，对于（4）中的c= S，教师须告知学生S也可以记作S12；对于（5）中的v=1t，教师应引导学生将其表达为v=t-1.【设计意图】函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具.从这一系列实际问题中，学生可以感受到客观世界中很多变量关系可以用幂函数表示，从而体会到研究幂函数的必要性和幂函数的应用价值.中学阶段学习的几种函数都有着它们的实际背景.幂函数是高中阶段学习的第一类具体函数，从实际背景中抽象出幂函数的概念，对高中阶段其他函数的研究具有示范作用.同时，对实际问题进行抽象也是很多数学概念和问题产生的方式.问题2：这些函数在解析式的结构上有什么共同特征？师生活动：教师引导学生抛开现实意义，关注几个函数解析式的结构.通过观察，学生发现这些函数的函数值都是自变量的若干次方.教师引导学生将几个函数中的自变量都用x表示，函数值都用y表示.学生发现这几个函数的解析式都具有y=xα的形式，其中x是自变量，α是常数.由xα的运算结果叫做幂，引出幂函数的名称，从而点明课题并板书幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.【设计意图】从实际背景中抽象出数学模型是一个较难的思维过程，需要教师引导进行.学生经历并体会这个从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征，舍弃非本质性特征的抽象过程，提升数学抽象素养.追问：根据定义，你能再列举出几个幂函数吗？师生活动：学生根据定义进行举例，认识幂函数解析式的结构特征.教师引导学生将α取不同类型的常数，并指出当α取其他实数时，幂的含义会在后续课程中学习.【设计意图】根据定义进行举例，需要学生在理解定义的基础上，整合现有知识，举出例子并进行判断，是一个综合的思维过程.这个过程可以培养学生提出问题、分析问题的能力.2.探究幂函数的图象和性质环节1：梳理研究路径，明确研究内容.问题3：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究幂函数？师生活动：教师引导学生回忆初中研究一次函数、二次函数和反比例函数的内容、过程和方法.学生总结经验，归纳出研究具体函数的基本路径：定义—图象—性质—应用.【设计意图】学生初中阶段学习过一次函数、二次函数和反比例函数，初步积累了研究函数的基本活动经验.调动学生回忆初中研究函数的内容、过程和方法，不仅可以通过对这些基本活动经验的梳理规划幂函数的研究路径，也可以为后续课程中其他函数的研究做出示范.追问1：如何作出幂函数y=xα的图象？师生活动：学生发现幂函数y=xα是一类函数，指数α的取值不同，函数就不同，图象也是不一样的.教师引导学生回忆初中探究正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质时对参数的处理方式.学生根据初中研究函数的经验想到从特殊到一般，对α取一些特殊值进行研究，考查图象是否存在规律性.教师提议本节课抛砖引玉，只从α为正整数的情况中选取三个较简单的，即y=x，y=x2，y=x3，从α为负整数的情况中选取一个较简单的，即y=x-1，从α为分数的情况中选取一个较简单的，即y=x 12=x进行研究.掌握研究方法后，对于其他幂函数的图象，可以让学生课后自行探究.【设计意图】引导学生借助初中研究函数的经验，找到处理幂函数中参数的方法，确定从特殊到一般的研究思路.追问2：在研究它们的图象和性质之前，我们应该先明确什么？师生活动：学生回答“定义域”，并求出这五个幂函数的定义域.教师关注学生是否注意到了定义域应写成集合的形式.【设计意图】研究一个函数首先要明确其定义域，设计这个问题正是为了帮助学生强化这一认识.追问3：作出函数图象后可以研究哪些内容？师生活动：学生回忆本章所学内容，提出值域、单调性、奇偶性等，教师板书列表呈现研究内容，如表1所示.表1y=xy=x2y=x3y=x-1y=x12定义域RRR{}x|x≠0[)0，+∞图象值域奇偶性单调性【设计意图】梳理一个具体函数的研究内容并用表格呈现出来，这为本节课后面的研究搭建了框架，有助于学生建立研究具体函数的一般思路.此外，将研究结论通过表格形式呈现，便于学生将几种函数的图象和性质进行对比，发现规律.环节2：探究五个幂函数各自的图象和性质.问题4：将函数y=x，y=x2，y=x-1的图象和性质填入表格相应位置.师生活动：根据初中所学相应结论，学生代表将黑板上函数y=x，y=x2，y=x-1的对应表格补充完整，其余学生在笔记本上完成.教师针对黑板上表格的填写情况进行适当点评，如定义域、值域要写成集合形式，y=x-1单调区间的写法等，如表2所示.表2问题5：如何得到函数y=x3的图象？师生活动：学生回答“列表、描点、作图”.追问1：自变量取哪些值进行描点？师生活动：学生可能取-2，-1，0，1，2.追问2：能不能减少描点的个数？师生活动：教师引导学生思考哪种性质对函数的研究有事半功倍的作用.学生经过思考，不难发现y=x3是奇函数，图象关于原点对称，可以先作出y=x3在y轴右侧的图象，再根据对称性就可以得到y轴左侧的图象了.学生在笔记本上完成作图并填写函数性质，学生代表展示结论，师生点评并总结出研究函数时可以在明确定义域后优先考查函数的奇偶性.【设计意图】通过函数y=x3的图象与性质的探究过程，使学生体会到：在研究函数的过程中，为了提高研究效率，应该优化研究顺序，如优先考查函数的奇偶性.问题6：如何探究函数y=x 12的图象和性质？师生活动：学生根据上一问题总结的经验，考虑优先考查函数的奇偶性.追问1：函数y=x 12的奇偶性如何？师生活动：学生发现函数y=x 12的定义域不关于原点对称，从而判断出函数y=x 12为非奇非偶函数.追问2：既然奇偶性可以不借助图象判断，那么单调性是否也可以直接判断呢？师生活动：学生经过思考认为可以用单调性的定义来判断.追问3：用定义判断函数单调性的步骤是什么？师生活动：学生回忆前面所学知识，回答出“任取—作差—整理—断号—结论”的步骤.进而师生依照步骤判断函数y=x 12的单调性.其中，“整理”这一步对学生而言是个难点，学生很难独立想到“分子有理化”的方法，需要教师介绍.师生共同完成对函数的单调性的判断.追问4：根据函数y=x 12的定义域、奇偶性和单调性，你能否画出它的示意图？师生活动：学生在笔记本上作出符合定义域、奇偶性和单调性的函数示意图，但不同学生的示意图凹凸性可能有所不同.教师巡视并将典型的示意图拍照展示.教师引导学生认识到可以通过描出几个特殊点来判断函数图象的走势，并在课堂上运用信息技术快速得到函数y=x12的图象.教师要帮助学生认识到对函数性质的研究，可以让我们对函数的图象有一个大致的认识，对性质探究得越深入、细致，对图象的刻画就越精细，在后续课程中还会对函数的更多性质进行研究.【设计意图】初中阶段，学生大多数情况下只能通过图象来直观感知函数的性质.在前几节课中，我们用精确的符号语言定义了函数的单调性和奇偶性，学生可以直接通过函数的解析式分析函数的性质.这就使得我们可以根据函数的性质分析图象的特征，从而丰富了得到函数图象的方法.对函数y=x12的图象与性质的教学设计，是为了让学生经历更多的探究方式，感受多种探究方式的特点，为今后更加灵活、高效地研究具体函数做准备.此外，数与形是相互联系、相互转化的，因此从形来认识数、从数来认识形都是教学中要引导学生体会的，这里的设计也有这样的目的.环节3：探究幂函数的性质.问题7：通过对这五个函数的分析，我们发现他们的图象和性质有着各自的特点，那么它们作为一类函数，有没有什么共性呢？我们将这五个函数的图象放到同一坐标系中观察一下，有什么发现吗？师生活动：教师展示五个幂函数在同一坐标系下的图象，学生观察图象发现它们存在公共点，师生从数的角度说明这个点是所有幂函数的必过点.学生还可能发现这五个函数图象都经过第一象限，都不经过第四象限.教师可以引导学生从函数的奇偶性、单调性、渐近性等角度对这几个函数的性质进行梳理.学生通过前面总结的表格容易猜想“α为奇数的幂函数是奇函数，α为偶数的幂函数为偶函数”，证明留给学生课下完成.对于幂函数在()0，+∞上的单调性，学生可能会猜想“当α>0时，幂函数在()0，+∞上单调递增；当α<0时，幂函数在()0，+∞上单调递减”.教师肯定学生的认真观察和积极思考，建议学生课后作出更多幂函数的图象来进一步验证猜想，对于比较肯定的猜想可以尝试加以论证，并告诉学生这就是科学研究经常用到的方法.对于学生发现的性质，如果时间允许，教师可以通过信息技术软件演示验证.【设计意图】幂函数作为一类函数，是否存在共性和规律呢？这是由特殊到一般的探究思路.学生通过研究五个特殊幂函数的图象和性质，容易对一般幂函数的性质进行猜想.在这个过程中，学生从形到数，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决部分问题的过程，体会数与形的联系，提升“四能”.此外，由特殊到一般，观察、猜想、论证的过程也正是很多科学研究的过程，学生经历这样的过程有助于体会科学研究的方法，提升科学探究的能力.3.幂函数的应用问题8：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.（1）()-1.53，()-1.43；（2）1.5，1.4.师生活动：学生经过思考，利用本节课所学函数的单调性比较大小，口答结论.教师根据学生的作答情况，进行追问或点评.【设计意图】该问题是幂函数性质的简单应用.学生通过解答该题，体会利用函数的单调性比较大小的方法.问题9：已知函数f()x=x3，且f()t2+t+1<-f()2-t2，求实数t的取值范围.师生活动：学生经过思考，利用本节课所学函数y=x3的性质进行解答.学生之间可以互相启发和补充.教师根据学生的作答情况，进行引导、追问和点评.【设计意图】该问题是幂函数性质（奇偶性、单调性）的综合应用.4.课堂小结问题10：通过今天的学习，你认为对一个新函数应该研究哪些内容？如何研究？师生活动：师生共同归纳出研究函数的步骤.（1）明确函数的概念及定义域.（2）探究函数的图象与性质.（3）函数的应用：数学应用、实际应用、科学应用.其中，对于函数图象与性质的探究，在初中主要是先作出图象，再探究性质.通过前面几节课的学习，我们对函数的性质有了更进一步的认识，既可以通过图形语言来直观感知，也可以运用符号语言来严谨论证.数与形的联系更加紧密，图象与性质的研究方法更加灵活，希望学生课下认真体会.【设计意图】学生回顾研究函数的过程、内容和方法，强化基本活动经验.用精确的符号语言定义函数的性质后，教师引导学生体会函数图象与性质的研究方法更加丰富，数与形的联系更加密切，数与形的转化更加灵活.五、目标检测设计1.已知幂函数y=f()x的图象经过点()2，2，试求出这个函数的解析式.【设计意图】考查幂函数的定义.2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.（1）()-1.5-1，()-1.4-1；（2）()-1.52，1.42.【设计意图】考查幂函数y=x-1和y=x2的性质. 3.试独立探究函数f()x=x-2的图象和性质.【设计意图】考查探究函数图象与性质的方法.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.。
《幂函数》教案
《幂函数》教案《幂函数》教案《幂函数》教案1教学目标1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念．教学难点：函数单调性的判定．教学过程设计一、引入新课师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：第二组：生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）二、对概念的分析（板书课题：）师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．（学生朗读．）师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x 的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f （x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．（指图说明．）师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）生：较大的函数值的函数．师：那么减函数呢？生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索．）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？生：不能．因为此时函数值是一个数．师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．师：你答的很对．能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）师：“属于”是什么意思？生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？生：可以．师：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f （x1）都大于f（x2）．师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻．）生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．师：那么如何来说明“都有”呢？生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f （x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f （x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）三、概念的应用例1图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f （x）是增函数还是减函数？（用投影幻灯给出图象．）生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然．例2证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．（指出用定义证明的必要性．）师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b 就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，所以f（x）是增函数．师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小．（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）调函数吗？并用定义证明你的结论．师：你的结论是什么呢？上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．上是减函数．（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分．（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1．要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤．五、作业1．课本P53练习第1，2，3，4题．数．=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．课堂教学设计说明是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．《幂函数》教案2教学目标1、使学生掌握的概念，图象和性质。
数学《幂函数》教案
数学《幂函数》教案【导语】幂函数是一类特殊的函数，它们都以x为自变量，y为因变量，且y是x的某个非负整数次方的函数（指数函数）。
【预习任务】1.回忆函数概念、函数图像的基本性质；2.了解指数函数与幂函数的区别；3.预习本课幂函数的概念、性质和应用。
【学习目标】1.了解幂函数的基本概念和基本性质；2.掌握幂函数的绘制和变换；3.应用幂函数解决实际问题。
【学习重点】1.幂函数的概念及表达式；2.幂函数的图像及其特征；3.幂函数的应用。
【学习难点】1.幂函数的绘制和变换；2.在实际问题中应用幂函数。
【教学方法】1.理论讲解法；2.示例分析法。
【教学步骤】一、引入新知识教师介绍幂函数的概念和特点，与指数函数的区别，并通过举例进行说明，引起学生兴趣。
二、讲解幂函数的定义和表达式1.定义：y=x^n，其中n为正整数；2.表达式的含义及其特点：表达式中n表示幂指数，当n=1时，即为一次函数；当n>1时，在x>0时为增函数，x<0时为减函数，n<0时为奇函数，n>0时为偶函数。
三、掌握幂函数的图像及其特征1.绘制幂函数y=x^n （n=1,2,3,4）的图像；2.分析幂函数的图像及其特征：幂指数n的大小直接影响曲线的陡峭程度和开口的方向；当n为偶数时，曲线在y轴的正半轴上下对称，当n为奇数时，曲线在原点对称。
四、掌握幂函数的基本变换1.沿x轴方向平移：y=x^n+a (a>0时向上平移，a<0时向下平移)；2.纵向伸缩：y=kx^n （k>1时向上伸缩，0<k<1时向下壁缩）；3.横向伸缩：y=(x/a)^n （a>1时横向压缩，0<a<1时横向伸展）；4.掌握幂函数的基本变换规律。
五、应用幂函数解决实际问题1.通过幂函数解决实际问题；2.对几个幂函数的实例进行讲解。
六、巩固练习练习幂函数的绘制和变换，独立解决实际问题。
【教学反思】本节课主要介绍了幂函数的概念和性质，包括幂函数图像的绘制、基本变换和应用。
《幂函数》的教学设计与反思
生： 底 数 都 是 自变 量 ， 指数都是常数． 师补充： 它 们 都 是 形 如ｖ ＝ ｘ 的 函数 ， 其 中０ ／ ． 为常数 （ 投 影 幂 函数 的定 义 ） ． 今 天这 节 课 ， 我们 就来 研 究 幂 函数 ．
师提问 ： 哪 位 同 学 能 说 出ｙ ＝ ｘ 的 定 义 域 、 值域 、 奇 偶 性 及 单调性？
师 ：通 过 刚 才 同学 们 的动 手 实 践 发 现ｖ ： ｘ ． ｙ ＝ ｘ ‘ ， ｙ ＝ ｘ 这 三
速度ｖ 为多少？
全体学生 ： 这六 个 关 系式 （ 都 是 函数 关 系 式 ） 分 别 是
ｌ
２
３
，
一 Ｉ
ｐ ＝ｗ ， Ｓ ＝ａ ， Ｖ＝ａ ， ａ ＝Ｓ ， ｖ＝ｔ
一
有 了 幂 函 数 的 概 念 后 ，我 们 接 下 来 做 什 么 ？— — 研 究 幂 函 数 的 性质 ． 通 过 什 么方 式 来 研 究 ？— — 画 函数 的图 像 ． 为使 作 图 高 效 。我们 可先 做点 什 么— — 分 析 函数 的 定 义 域、 奇偶性 、 单调性．
【 设计 意图 】 引导学生 从具体 的实例 中进行 总结 ， 从而 自
然 引 出幂 函数 的 一 般特 征 ， 帮 助 学 生 明 晰 概念 ， 引入 课 题 ． 二、 类 比联 想 。 探 究 新 知
１ ． 幂 函 数 的 定 义
般地 ， 我们把形￣ ｌ ｆ ｙ ＝ ｘ 的 函数 叫做 幂 函数 ， 其 中ｘ 为 自变 量， Ｏ ｔ 为常数．
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．
张 欢 欢
（ 广 州 市 华 师 附 中 番 禺学 校 ， 广东 广州 ５ １ ０ ０ ０ ０ ）