浙江省名校协作体2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题 【含答案】
得 c2 bc 2bc cos A ，即 c b 2b cos A -------------------------2 分
sin C sin B 2sin B cos A ， 即 sin( A B) sin B 2sin B cos A
sin( A B) sin B 0
-----------------------------------------4 分
20. （本题满分 15 分）
已知 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，满足 a2 b2 bc . （Ⅰ）求证： A 2B ； （Ⅱ）若 b 2 ，且 sin C tan B cos C 1 ，求 ABC 的内切圆半径.
21. （本题满分 15 分）
已知函数 f (x) ax 1 .
a1a2 ...ak
a12
a22 ... ak2 2021
2
成立，则 k
▲
.
三 、解答题：(本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
18. （本题满分 14 分）
已知函数 f x 3 sin 2x cos2 x .
2
（Ⅰ）求
f
x的最小正周期及 f
(
)的值；
S1,
S2 2
,
S3 3
,,
S2020 2020
中最大的数是
S1
B．在
S1,
S2 2
,
S3 3
,,
S2020 2020
中最大的数是
S2020 2020
C．在 S1, S2 , S3,, S2020 中最大的数是 S1 D．在 S1, S2 , S3,, S2020 中最大的数是 S2020
9. 在 ABC 中， sin B sin C sin( A B) , AB AC 2 ， PQ 是 ABC 的外接圆的直径，
由(1)得 b x 2 | x 1 | x 2 x 1
b
(x2
x 1)min
5 4
对任意 x [1,1]恒成立
b
x2
|
2x
1 |
x 2
2x
1,
1 2
x
1
由(2)得
x 2
2x
1, 1
x
1 2
对任意 x [1,1]恒成立
b 2
-
----------------------14 分
综上所述 b 2 ，即 b 的取值范围为 (,2]
Rn
1 2
1 22
1 2n
1
，则 f (4)
▲
； f (x) 的零点为
已知数列 an
中， a1
1 ， an an1
2n ，则 a5 a4
▲
；设数列 an 的前
n 项的和为 Sn ，
则 S11 = ▲ .
14. 已知 x, y 为正实数，且 x 4 y 1 1 m ，则 m 的最小值为 ▲ . xy
15. 已知 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a, b, c ，已知 a 2, c 5, B 60 ， D 是边 AC 上一点，
3 sin(2x ) 1
2
6
1 3 f (x) 3
2
2
19.解：（Ⅰ）设 an的公差为 d，则有 a1 a3 1 a22 ，
即 a4 3d a4 1 d a4 2d 2
又由
a4
4
4
，得
3d
5
d
4
2d
2
解得 d 1 或 d 4 （舍去），故 an n
----------------------------4 分 ----------------------------6 分 ----------------------------8 分 ---------------------------10 分 ---------------------------12 分 ------------------------------14 分
是以
2
为首项，2
为公比的等比数列
an 2n
-------- -4 分
（Ⅱ）证明： an2 (2n )2 4n
Tn
4 (1 4n ) 1 4
4 (4n 3
1)
，从而
an Tn
3 2n 4 4n 1
-----------5 分
an Tn
3 2n 4 4n 1
3 4
3
2n 4
n1
1 2n
二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分．)
11.
已知向量 a (t, 1),b (2, t 1) ，若 a / /b ，则 t ▲
；若 a b ，则 t =
▲. 12.
▲. 13.
x 1, x 1
已知函数
f
(x)
f
(log 2
x),
x
又0 B ， AB
A B B 或 A B B (舍去)
A 2B
----------------------7 分
（Ⅱ）由 sin C tan B cosC 1 ，得 sin(B C) cos B ，
------------ 9 分
sin
A
cos
B
0
sin
，
B
1 2
，
1. 已知集合 A 2, 0, 20， B 2020，则 A B （ ▲ ）
A．2, 0
B． 20
C． 2020
D．
2.
已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，将 的终边按顺时
针方向旋转 后，
2
过点 P(3 , 4) ，则 cos 等于（ ▲ ）
55
A． 4 5
4
B．
----------------------------4 分 ----------------------------7 分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得： bn 2n
Sn 1 2 2 22 ... n 2n
2Sn 1 22 2 23 ... n 2n1
-----------------------10 分
21.解：（Ⅰ）
f
(x)
的单调递减区间为：
,
1 2
；
单调递增区间为：
1 2
,
（Ⅱ）解法一：记 g(a) x 2 | ax 1 | b ，则
---------------------------5 分
由题意得对任意 a [1,2] ， g(a) 0 ，即 g(a)max 0
g(1) x2 | x 1 | b 0 (1) g(2) x 2 | 2x 1 | b 0 (2) 对任意 x [1,1]恒成立 -------10 分
（Ⅰ）若 a 2 ，写出 f (x) 的单调区间（不要求证明）；
（Ⅱ）若对任意的 x [1,1], a [1, 2]，不等式 f x x2 b 恒成立，求实数 b 的取值范围.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案 D
A
C
B
D
C
C
A
D
B
22. （本题满分 15 分）
已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，满足 Sn 2an 2 n N * .
浙江省名校协作体 2020-2021 学年高二数学上学期开学考试试题
考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题：(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．)
（Ⅰ）求数列 an的通项公式；
（Ⅱ）记 Tn
a12
a22
...
an2
，数列
a
n
Tn
的前 n 项和为 Rn .求证：
3 4
(1
1
2 n1
) 1
Rn
1；
（Ⅲ）数列 bn 满足 b1
1, bnbn1
log 2
an
，试比较
1 b1
1 b2
1 b3
1 bn
与2
n 1
的大小，并说明
理由.
2020 学年第一学期浙江省名校协作体答案 高二年级数学学科
6
（Ⅱ）若 x [ π , π ] ，求 f (x)的取值范围. 44
19. （本题满分 15 分）
已知数列 an 是公差为正的等差数列， a2 是 a1 和 a3 1的等比中项， a4 4 . （Ⅰ）求 an 的通项公式； （Ⅱ）若 bn 2an ， Sn 是数列 an bn 的前 n 项和，求使得 Sn 2020 成立的最大整数 n.
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．）
二、 填空题: （本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．把答案填写在答题卷的相 应位置上．）
1 11. 2 或-1， 3
12. 2， -1
13. 1， 125 14. 3
15. 19 ， 6 1
则 AP BQ 的取值范围是（ ▲ ）
A． 0, 2
B． 2, 2
C． 2, 6
D． 6, 2
10. 已知对任意 x R ，不等式 ax b
x2
ax b
4
恒成立，则（
▲
）
浙江省名校协作体2020-2021学年高二下学期开学联考数学试题
14．如图，在四面体 中，G是BC的中点，E，F满足 ， ，设平面 交 于点 ，则 ________.
三、双空题
15．命题 若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切.命题P是________（真，假）命题，命题P的否命题是________（真，假）命题.
5．点 到抛物线 的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（）
A． B． C． 或 D． 或
6．已知点 在直线 上运动，过点 作圆 的切线，其中一个切点为 ，则线段 的最小值为（）
A． B． C． D．3
7．如图，等边 的中线 与中位线 相交于 ，已知 是 绕 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）
（1）若“ ”是真命题，求实数 取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
19．如图， 为正三角形， 平面 ， ， .
（1）求证：平面 平面EBD；
（2）求二面角 的大小.
20．已知圆 ，点 .
（1）若点P在圆C的外部，求实数 的取值范围；
（2）当 时，过点 的直线 交圆C于 ， 两点，求 面积的最大值及此时直线 的斜率.
16．已知 ，则直线 过定点________，若直线 不过第四象限，则实数 的取值范围是________.
17．已知抛物线 ，焦点为 ，准线为 ，P为抛物线上一点， ，A为垂足，如果直线 的斜率为 ，那么 ________， ________（O是坐标原点）.
四、解答题
18．已知集合 ，集合 ， .
【详解】
根据三视图可知几何体是一个三棱锥，
且底面是一个等腰三角形：底边长是2，、高是1，几何体的高是2，
2020-2021学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题(解析版)
【答案】2
【解析】第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）当 时，（2）当 时，（3）当 时， 依次类推即可.
【详解】
解： ，
（1）当 时， ，
（2）当 时， ， ，不合题意，舍去；
（3）当 时， ， ，不合题意，舍去；
20．已知 中，角 所对的边分别是 ，满足 .
（1）求证： ；
（2）若 ，且 ，求 的内切圆半径.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由正余弦定理，结合已知条件可得 ，进而有 ，由三角形内角性质即可证 ；（2）由已知条件知 ，结合（1）的结论有 为直角三角形进而求内切圆半径；
【详解】
（1）证明：由
【详解】
先设等差数列 的公差为 ，因为 存在最大值，所以 ；
则 ，
函数 的对称轴为 ，
因为 的取值不确定，所以对称轴位置不确定，则函数 最值不确定；
故CD都不正确；
又 ，所以 也是等差数列，且 ，即数列 单调递减，因此最大项为 ，故A正确，B错误；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前n项和的性质，属于常考题型.
（2）由（1）可得： ，利用错位相减法求得 ，利用单调性，得到最大整数n的值.
【详解】
（1）设 的公差为d，则有 ，
即
又由 ，得
解得 或 (舍去)，故
（2）由（1）可得：
两式相减得：
又 单调递增， ，
所以使得 成立的最大整数 .
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式的求解，错位相减法求和，属于简单题目.
浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(含答案)
2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =≥,{}22530B x x x =--<∣则A B =∪（ ）A ．{}1x x ≥12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ≤<2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（ ）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=, 则公比q 的值为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n 满足：2m n == ，且m 在n上的投影向量为12n，则向量m 与向量n m - 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足π1,3f ⎛⎫=⎪⎝⎭最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（ ）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）A ．0B ．18C D ．17二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,,N μσσ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量17,,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,,n n n n n n a a a a a a a n N ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++ ，124T =． 则（ ）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110ii a=>∑非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是______．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos ;A B C B C ++=-（1）求角C 的值；（2）若ABC △的面积为14，求ABC △的周长。
浙江省名校协作体2021-2022高二数学上学期9月联考试题(含解析).doc
浙江省名校协作体2021-2022高二上学期9月联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【详解】∵集合，，∴．故选：A．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.设(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c【答案】D【解析】试题分析：由对数函数的性质，所以，b<a<c，故选D。
考点：本题主要考查对数函数的性质。
点评：简单题，涉及比较函数值的大小问题，首先考虑函数的单调性，必要时引入“-1,0,1”等作为“媒介”。
3.将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用图像平移规律直接写出平移后的函数解析式，整理即可。
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到的图象，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．4.函数为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】为自然对数的底数是偶函数，由此排除B和D，，由此排除A．由此能求出结果．【详解】∵（e为自然对数的底数）是偶函数，∴函数（e为自然对数的底数）的图象关于y轴对称，由此排除B和D，∴，由此排除A．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5.设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解即可。
【详解】解：根据实数x，y满足约束条件画出可行域，由，．由得点由图得当过点时，Z最小为．当过点时，Z最大为1．故所求的取值范围是故选：D．【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求最值，属于基础题。
浙江省名校协作体2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
2020学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科一､选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合{}2,0,20A =，{}2020B =，则A B =（ ） A. {}2,0 B. {}20C. {}2020D. ∅D由交集的定义直接求解即可解：因为集合{}2,0,20A =，{}2020B =， 所以A B =∅，故选：Dα的终边按顺时针方向旋转2π后，过点34(,)55P ， 所以4sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即4sin 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4cos 5α=-.故选：A 3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ||y x x = B. 22x x y -=- C. 22x x y -=+ D. |1||1|y x x =++-C利用函数的奇偶性定义和单调性的定义以及结合函数的解析式判断. A. 因为()()||||f x x x x x f x -=--=-=-，所以是奇函数，故错误；B. 因为()()2222x x x xf x f x --=-=-=---，所以是奇函数，故错误； C. 因为()()222+2x x x xf x f x --=+=-=，所以是偶函数，设()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()121211221212222222221x x x x x x x x x x f x f x +--+-=-+---=，因为()12,0,x x ∈+∞，所以12210x x +->，又12x x <，所以12220x x -<， 所以()()120f x f x -<，所以函数在(0,)+∞上单调递增，故正确；D. 因为()()11,11f x x x y x x f x -=-++--=++-=，所以是偶函数，2,1110,112,1x x y x x x x x -≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪≥⎩，在(0,)+∞上不单调，故错误；故选：C4. 已知1a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A. 22a b < B. 22a b --< C. a bb a< D. ln ln a b <B利用函数2x y =、21y x=、ln y x =的单调性比较函数值大小，即可知正确选项； 由1a b >>，1、2x y =为递增函数，故22a b >，故A 错误；2、21y x=在1x >上单调递减，故22a b --<，故B 正确； 3、1a bb a>>，故C 错误；4、ln y x =在0x >上单调递增，故ln ln a b >，故D 错误；故选：B 函数sin 2y x=的图象向左平移34π得到的是函数33sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故A 正确； 函数sin 2y x =的图象向右平移4π得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故B 正确；函数sin 2y x =的图象向左平移4π得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x xππ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，然后再关于x 轴对称后得到的是cos2x y =-的图象，故C 正确； 函数sin 2y x =的图象向左平移4π得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x xππ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，然后再关于y 轴对称后得到的是cos 2y x =的图象，故D 不正确；故选：D6. 若函数y ax =的图象上存在点(),x y ，满足不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数a 的取值范围为（ ） A. (],2-∞- B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D. 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C先画出不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可行域，然后根据a 表示点()0,0O 与点P (),x y 所确定直线的斜率求解.不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，的可行域如图所示阴影部分：由直线方程y ax =知：a 表示点()0,0O 与点P (),x y 所确定直线的斜率， 如图所示：120010110,2120202P P k k --====----， 所以实数a 的取值范围为(]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故选：C7. 下列函数图象中，不可能是函数()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅的图象的是（ ）A. B.C. D.C根据函数解析式，得到0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()co 0s f x x x α⋅=>，可排除B ；再结合α的取值，可确定ABD 可能取到.因为()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅，若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0y x α=>，cos 0x >，所以()co 0s f x x x α⋅=>， 故函数()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅的图象不可能是C ；若1α=，则()cos f x x x =⋅；又()()()cos cos x x x f x f x x -=⋅-=-=--，所以函数()cos f x x x=⋅是奇函数，图象关于原点对称，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x x x =⋅>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x x x =⋅<，其图象与A 相同；若2α=，则()2cos f x x x =⋅，又()()()()2cos f x x f x x ⋅--==-，则函数()2cos f x x x =⋅是偶函数，图象关于y 轴对称；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos 0x f x x =⋅>；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos 0x f x x =⋅<，当35,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos 0x f x x =⋅>，所以其图象可能是B 选项；若1α=-，则()1cos x f x x -⋅=，又()()()()11cos cos x x x f x f x x ---=-⋅-=-=-，所以函数()1cos x f x x -⋅=为奇函数，其图象关于原点对称；且0x ≠；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos 0x f x x -⋅>=；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos 0x f x x -⋅<=，当35,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos 0x f x x -⋅>=，其图象可能是D 选项.故选：C.8. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ）A. 在3202021,,,,232020S S S S 中最大的数是1S B. 在3202021,,,,232020SS S S 中最大的数是20202020SC. 在1232020,,,,S S S S 中最大的数是1SD. 在1232020,,,,S S S S 中最大的数是2020SA先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件，得到0d <，结合等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得出结果.先设等差数列{}n a 的公差为d ，因为n S 存在最大值，所以0d <； 则211(1)222-⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭n n n d d S na d n a n ， 函数2122d d y n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的对称轴为11122d a a n d d -=-=-+， 因为1a 的取值不确定，所以对称轴位置不确定，则函数2122d d y n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭最值不确定； 故CD 都不正确；又122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，且02d <，即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减，因此最大项为111S S =，故A 正确，B 错误；故选：A. 9. 在ABC ∆中，sin sin sin()B C A B +=-，2AB AC ==，PQ 是ABC ∆的外接圆的直径，则AP BQ ⋅的取值范围是（ ）A. []0,2B. []2,2-C. []2,6-D. []6,2-D先将sin sin sin()B C A B +=-，转化为sin sin sin cos cos sin B C A B A B +=-，然后利用正弦定理和余弦定理整理得：222b c a bc +-=-，进而再利用余弦定理求得角A ，边a 和外接圆的半径，然后建立直角坐标系，设()(),,,P x y Q x y --，利用平面向量的数量积的坐标运算求解. 因为sin sin sin()B C A B +=-，所以sin sin sin cos cos sin B C A B A B +=-，由正弦定理和余弦定理得：22222222a c b b c a b c a b ac bc+-+-+=⨯-⨯，整理得：222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为()0,A π∈， 所以23A π=， 由余弦定理得2222cos 12a b c bc A =+-=， 解得23a =， 所以24sin aR A==， 解得2R =，建立如图所示直角坐标系：设()(),,,P x y Q x y --，且224x y +=，则()()0,2,A B ，()(),2,1AP x y BQ x y =-=-+--，所以(()()21AP BQ x x y y ⋅=-++---，()2222x y y y =-++++=+-，令2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，则AP BQ ⋅2sin 2αα=+-，[]4sin 26,23πα⎛⎫=+-∈- ⎪⎝⎭，故选：D10. 已知对任意x ∈R ，不等式24ax b x ax b ++--≥恒成立，则（ ）A. 24b a +≤B. 24b a -≥C. 存在,a b ∈R ，有2416a b +<D. 对于任意,a b ∈R ，有2416a b -≥B先将不等式化为24x ax b ax b --≥--，推出24x ≥或22240x ax b --+≤，得到对任意[]2,2x ∈-，不等式22240x ax b --+≤恒成立；令()2224f x x ax b =--+，得到420420a b a b +-≤⎧⎨--≤⎩，画出不等式对应的平面区域，结合图形，即可得出结果.由24ax b x ax b ++--≥得24x ax b ax b --≥--，所以24x ax b ax b --≥--或24x ax b ax b --≤-++， 即24x ≥或22240x ax b --+≤， 因为24x ≥的解集为2x ≥或2x -≤；又对任意x ∈R ，不等式24ax b x ax b ++--≥恒成立所以22240x ax b --+≤的解集必然包含[]22-,， 即对任意[]2,2x ∈-，不等式22240x ax b --+≤恒成立；令()2224f x x ax b =--+，则只需()()244240244240f a b f a b ⎧-=+-+≤⎪⎨=--+≤⎪⎩，即420420a b a b +-≤⎧⎨--≤⎩，画出420420a b a b +-≤⎧⎨--≤⎩所表示的平面区域如下：由图像可得，对于平面区域内的点(),a b ，都有24b a +≥，24b a -≥，则A 错，B 正确； 平面区域在2416a b +=和2416a b -=的上方，则2416a b +≥恒成立，2416a b +<恒成立；故CD 错误；故选：B.二､填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.)11. 已知向量(,1),(2,1)a t b t ==-，若//a b ，则t =___________；若a b ⊥，则t =___________. (1). 2或1- (2).13由//a b 可得(1)2t t -=，从而可求得t 的值；由a b ⊥可得210t t +-=，从而可求得t 的值 解：因为向量(,1),(2,1)a t b t ==-，且//a b ， 所以(1)2t t -=，解得2t =或1t =-； 因为向量(,1),(2,1)a t b t ==-，且a b ⊥， 所以210t t +-=，解得13t =， 故答案为：2或1-；13(1). 2 (2). 1-第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）当1x ≤时，（2）当12x <≤时，（3）当222x <≤时，依次类推即可.解：()()()()22(4)log 42log 212f f f f f =====， （1）当1x ≤时，()10,1f x x x =+==-， （2）当12x <≤时，20log 1x <≤，21log 10,2x x +==，不合题意，舍去； （3）当222x <≤时，21log 2x <≤，()22log log 10,2x x +=，不合题意，舍去； （4）当342x <≤时，22log 3x <≤，()2221log log log 32x <≤<，()2220log log log 1x ⎡⎤<<⎣⎦，()()(){}()222222222()log log log log log log log log log 10f x f x f x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤====+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦322x =<=，不合题意，舍去；综合以上，有1x >时，()222log log log 10x ⎡⎤+=⎣⎦无零点. 故答案为：2；1-.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，则54a a =___________；设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则11S =___________. (1). 1 (2). 125 根据题中条件，得到22a =，22n na a +=，则列{}n a 的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式，即可得出结果.因为11a =，12nn n a a +=，所以22a =，1122n n n a a +++=，则22n na a +=； 即数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列， 则当n 为奇数时，1122122n n n a a --=⋅=；当n 为偶数时，122222nn na a -=⋅=；因此2524212a a ==；则()()111351124610......S a a a a a a a a =+++++++++()()()25235235122...2222...212222...2=+++++++++=+++++ ()52121212512-=+⋅=-.故答案为：1；125.14. 已知,x y 为正实数，且114x y m x y+=+=，则m 的最小值为___________. 3利用已知条件，结合“1”代换构造41154()x y y xm x y m mx my ++=++，进而应用基本不等式求最值，即可求m 的最小值；1140x y m x y +=+=>知：4115459x y y x m m x y m mx my m m ⎛⎫+⎛⎫+=++=≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2y x =等号成立，∴29m ≥，即有3m ≥， 故答案：3(1).(2). 1直接用余弦定理可求b .设ABD θ∠=，,AD x DC y ==，ABC 中，用正弦定理得出sin 5sin 2C A =；ABD △中，sin sin BD x A θ=；CBD 中，()sin 60sin BD y Cθ︒-=，再用两角差的正弦公式求出()sin 60θ︒-，则ADDC可求.解：b = 设ABD θ∠=，,AD x DC y ==，ABC 中，sin 5,sin sin sin 2a c C A C A ==，ABD △中，sin ,sin sin sin x BD BD x A Aθθ==， CBD 中，()()sin 60,sin 60sin sin BD y BD y C Cθθ︒-==︒-， ()5sin 2sin 60AD x DC y θθ==︒-，D 是边AC 上一点，所以0,,cos 2ABD πθθ⎛⎫∠=∈= ⎪⎝⎭，()sin 60θ︒-=()5sin 12sin 60AD x DC y θθ===+︒-，1.16. 设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________. 10224()()a b a b++-表示点(,)a a 与点4(,)b b -距离的平方，而点(,)a a 是直线y x =上任一点，点4(,)b b-（0b <）是反比例函数4y x =-在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得0,2a b ==-，从而得8c =，再利用绝对值三角不等式可求出函数()f x 的最小值 解：224()()a b a b++-表示点(,)A a a 与点4(,)B b b -距离的平方， 而点A 是直线y x =上任一点，点B 是反比例函数4y x=-在第四象限上的点， 当B 是斜率为1直线与4y x=-相切的切点时， 点B 到直线y x =的距离即为||AB 的最小值， 由2244,|1,2(0),(2,2)x b y y b b B x b ='='==∴=>-，min ||8AB c ∴===， 所以()|||||2||8|(2)(8)10f x x b x c x x x x =-+-=++-≥+--=，当且仅当28x -≤≤取等号，所以函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为10，故答案为：102019根据()2*11n n n a a a n N +=+-∈可得211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+，结合已知条件的等式成立，即可求k 的值；()2*11n n n a a a n N +=+-∈知：211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+，则： 22212213211...11...12020k k k k a a a a a a a a a a k +++++=-++-+++-+=-+，311212121111......1112021k k k k a a a a a a a a a a ++++++=⋅⋅⋅=+++，而2221212...2...2021k k a a a a a a ++++=， ∴112018*********k k a k a +++-+=，即得2019k =. 故答案为：2019（1）最小正周期π，3()62f π=；（2）13()22f x -≤≤. （1）根据二倍角公式、辅助角公式化简函数式，即可求最小正周期及()6f π的值；（2）利用复合函数求值域方法求()f x 的范围；（1）由题意知：1cos 2()sin 222x f x x +=+，有1()sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴22T ππ==，3()62f π= （2）44x ππ-≤≤ 22363x πππ∴-≤+≤ sin(2)16x π≤+≤ 13()22f x -∴≤≤.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n a n b =，n S 是数列{}n n a b ⋅的前n 项和，求使得2020n S <成立的最大整数n .（1）n a n =；（2）最大整数为7.（1）设{}n a 的公差为d ，利用2a 是1a 和31a +的等比中项，得到等量关系式，整理得出()()()243542d d d --=-，求得1d =，结合44a =，求得n a n =；（2）由（1）可得：2n n b =，利用错位相减法求得()1122n n S n +=-⋅+，利用单调性，得到最大整数n 的值.（1）设{}n a 的公差为d ，则有()21321a a a ⋅+=， 即()()()2444312a d a d a d -+-=-又由44a =，得()()()243542d d d --=- 解得1d =或4d =-(舍去)，故n a n =（2）由（1）可得：2n n b =2...12222n n S n ∴=⋅+⋅++⋅231...212222n n S n +∴=⋅+⋅++⋅两式相减得：()121...2222122n n n n S n n ++=⋅----=-⋅+又n S 单调递增，781538,3586S S ==，所以使得2020n S <成立的最大整数7n =.20. 已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足22a b bc =+.（1）求证：2A B =；（2）若2b =，且sin tan cos 1C B C +=，求ABC 的内切圆半径.（1）证明见解析；（21.（1）由正余弦定理，结合已知条件可得sin sin 2sin cos C B B A =+，进而有sin()sin A B B -=，由三角形内角性质即可证2A B =；（2）由已知条件知sin cos A B =，结合（1）的结论有ABC 为直角三角形进而求内切圆半径；（1）证明：由22222cos a b bc b c bc A =+=+-得22cos c bc bc A =+，即2cos c b b A =+sin sin 2sin cos C B B A ∴=+，即sin()A B +sin 2sin cos B B A =+sin()sin 0A B B ∴-=>又0B π<<，A B ππ-<-<A B B ∴-=或A B B π-=-(舍去)2A B ∴=（2）由sin cos sin cos sin tan cos 1cos C B B C C B C B++==，得sin()cos B C B +=， sin cos 0A B ∴=>，1sin 2B ∴=， 6B π∴=，3A π=，2C π=.因为2b =，可知4a c ==有ABC 内切圆半径12a b c r +-== （1）若2a =，写出()f x 的单调区间(不要求证明)；（2）若对任意的[1,1],[1,2]x a ∈-∈，不等式()2f x x b ≤-恒成立，求实数b 的取值范围.（1）单调递减区间为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）(,2]-∞-. （1）依题意求出函数解析式，画出函数图象，即可得到函数的单调区间；（2）记2(|)|1b g x a ax -+=++，则由题意得对任意[1,2]a ∈，()0g a ≤，即max ()0g a ≤，所以(1)0(2)0g g ≤⎧⎨≤⎩，可得2min (1)b x x ≤--且221b x x ≤-+对任意[1,1]x ∈-恒成立，从而求出参数的取值范围；解：（1）当2a =时，()21f x x =+，函数图象如下所示，所以()f x 的单调递减区间为：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；单调递增区间为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）记2(|)|1b g x a ax -+=++，则 由题意得对任意[1,2]a ∈，()0g a ≤，即max ()0g a ≤()()22110,(1)2210,(2)g x x b g x x b ⎧=-+++≤⎪⎨=-+++≤⎪⎩对任意[1,1]x ∈-恒成立 由（1）得22|1|1b x x x x ≤-+=--对任意[1,1]x ∈-恒成立2min 5(1)4b x x ∴≤--=- 由（2）得222121,1221121,12x x x b x x x x x ⎧---≤≤⎪⎪≤-+=⎨⎪++-≤<-⎪⎩对任意[1,1]x ∈-恒成立 2b ∴≤-综上所述2b ≤-，即b 的取值范围为(,2]-∞-22. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*22n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212...n n T a a a =+++，数列n n a T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n R .求证：131(1)1421n n R +-≤<-；（3）数列{}n b 满足1121,log n n n b b b a +==，试比较1231111n b b b b++++与1的大小，并说明理由.（1）2n n a =；（2）证明见解析；（3）1231111nb b b b ++++≥1，理由见解析. （1）利用n S 与n a 中关系即可求解.（2）求出1323214414342n n n n n n n a T -=⨯≤⨯=-⨯，再利用裂项求和法以及等比数列的前n 项和公式即可证出.（3）根据题意可得111n n nbb b +-=-，再利用裂项相消法即可求解. （1）11122a S a ==-，12a ∴= 由22n n S a =-及1122n n S a ++=-, 得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a += {}n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列2n n a ∴=（2）证明：22(2)4n n n a ==∴4(14)4(41)143n n n T ⨯-==--，从而32441n n n n a T =⨯- 1323214414342n n n n n n n a T -=⨯≤⨯=-⨯ 21111112222n n nR ∴≤+++=-< 又132********(21)(21)4(21)(21)n n n n n n n n n n a T +=⨯=⨯≥⨯--+--=1311()42121n n +--- 22311311111131()(1)421212121212142n n n n R ++∴≥-+-++-=------- 综上所述：131(1)1421n n R +-≤<-. （3）12log n n n b b a n +==，11b = 11(2)n n b b n n -∴=-≥，且21b =11()1(2)n n n b b b n +-∴-=≥，111n n n b b b +-=-， ∴1231111nb b b b ++++=1+31425311()()()()n n b b b b b b b b +--+-+-++- 111111(2)n n n nn b b b n b +=--++=+-≥≥当1n =时，1111b == ∴1231111nb b b b ++++≥1.。
浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题+答案
2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B = （ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1BC ．2D．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.74 4．已知向量12a =，b = ，若()()//a b a b λµ++，则（ ▲ ） A. 1λµ= B. 1λµ=− C.1λµ+=− D. 1λµ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= 则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727B ．1027，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π=+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23B ．π5π,23C ．5π5π,63D ．2π4π,33 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差 22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变11．四面体ABCD 中,3AC BC AB ===，5BD =，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ， 当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S=π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数()2()57m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ .13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xxxx 的最小值为 ▲ .14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）．15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx −=≤ −． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ=+−++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位， 得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ∈−，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=°，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()hx f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题： 学军中学 温岭中学（审校） 审核：春晖中学2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。
浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题参考答案
2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。
{高中试卷}浙江省名校协作体2020年上学期高三开学数学考试试题答案
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：浙江省名校协作体2021年上学期高三开学数学考试试题答案一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案C A B B C D A B C D二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.-1;12.;0或3π13.1;λ<-214.3;515.5516.-117.33三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.解:(Ⅰ)f(x)=2sin x cos x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1.3分∵x∈[0,],∴2x+∈[,蟺6],sin(2x+)∈[-2,1],6分∴f(x)∈[0,3].7分(Ⅱ)∵f(x+θ)-1=2sin(2x+2θ+),若函数f(x+θ)-1为奇函数,即g(x)=sin(2x+2θ+)为奇函数,10分由2θ+=kπ(k∈Z),得θ=蟺2-(k∈Z).13分又θ∈[-,],∴θ=-或蟺12.14分19.(Ⅰ)证明:取B1D1的中点E,连接C1E,OA,AE,易知C1E=OA且C1E∥OA,3分所以C1EAO为平行四边形,所以C1O∥EA,6分所以C1O∥平面AB1D1.7分(Ⅱ)解法一:过点C作平面AB1D1的垂线,垂足为G,连接B1G(图略),则∠CB1G就是直线B1C与平面AB1D1所成角的平面角.8分又CG是点O到平面AB1D1的距离的2倍,连接EO,由B1D1⊥EC1,B1D1⊥EO,知B1D1⊥平面AEO,所以平面AEO⊥平面AB1D1,在△AEO中,作OH⊥AE,垂足为H,即OH⊥平面AB1D1.11分由题可得AO=,B1C=,AE=2,在Rt△AEO中,OH==2,所以点C到平面AB1D1的距离为,13分所以sin∠CB1G=5.15分解法二:以O为坐标原点,OA,OB,OE所在的直线分别为x,y,z轴,如图所示,建立空间直角坐标系O-xyz,得A(,0,0),B1(0,1,1),D1(0,-1,1),C(-,0,0),9分所以=(-,1,1),=(0,2,0),=(-,-1,-1).10分设平面AB 1D的一个法向量为n=(x,y,z),则12分得3x+y+z=0,2y=0,令x=1,有y=0,z=,所以n=(1,0,).13分记α为直线B1C与平面AB1D1所成角的平面角,则sinα==5.15分20.解:(Ⅰ)设等差数列n的公差为d,等比数列n的公比为q(q>0),由题得a5=b3-a3=b1-a1,3分解得d=3,q=2,所以a n=3n-8,b n=2n.7分(Ⅱ)c n=a n·b n=(3n-8)·2n,S n=c1+c2+…+c n=(-5)·2+(-2)·22+…+(3n-8)·2n,①2S n=(-5)·22+(-2)·23+…+(3n-11)·2n+(3n-8)·2n+1,②由①-②,得-S n=-10+3(22+23+…+2n)-(3n-8)·2n+1=-22-(3n-11)·2n+1,即S n=22+(3n-11)·2n+1.12分易知当1≤n≤3时,(3n-11)·2n+1<0;当n≥4时,(3n-11)·2n+1>0.又S1=-10,S2=-18,S3=-10,所以当n=2时,S n取到最小值.15分21.(Ⅰ)证明:设l AB:x=my+1(m≠0),代入y2=4x,消x得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1+y2=4m,y1y2=-4,2分所以M的纵坐标y M=2m.3分l CD:x=-m y+1,解得N(-1,2m),5分所以y M=y N,所以MN垂直于y轴.6分(Ⅱ)解:可得l AN:x+1=1+1y1-2m(y-2m),令y=0,得x Q=2m(x1+1)y1-2m-1=2mx1-y1y1-2m.7分由y1+y2=4m,y1y2=-4,得m=14-y1,又x1=4y12,所以x Q=2mx1-y1y1-2m=14y12(y12-2y1)-y1y1-(y12-2y1)=18y13-12y1y12+2y1=14y1 2(12y1+2y1)y12+2y1=-x1.10分所以S△AQB=2|QF||y1-y2|=2(x1+1)|y1-y2|=2(x1+1)y1+y2)2-4y1y2=2(x1+1)2+1=2(4y12+1)(14+y1)=8(13+8y1+y1).12分记f(y1)=13+8y1+y1,则f'(y1)=312+8-y12=y14+8y12-16y12=3y12-4)(y12+4)y12,令f'(y1)>0,解得12>3,即y1>33,所以f(y1)=13+8y1+y1在(0,33)上递减,在(33,+∞)上递增,所以(S△AQB)min=8f(33)=39.15分22.(Ⅰ)解:当a=1时,f(x)=ln(x+2)-2x+1,所以f'(x)=x+2-2,2分且f(1)=ln3-1,函数y=f(x)在x=1处的切线斜率k=f'(1)=-3,4分所以函数y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(ln3-1)=-3(x-1),即y=-3x+ln3+3.6分(Ⅱ)证明:令f'(x)=x+2a-2a=0,解得x=2a-2a,所以函数f(x)在区间(-2a,2a-2a]上单调递增,在区间[2a-2a,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(2a-2a)=4a2+a-ln(2a)-1.令h(a)=4a2+a-ln(2a)-1(a>2),则h'(a)=8a+1-a>h'(2)>0,所以h(a)在区间(2,+∞)上单调递增,h(a)>h(2)=2>0,8分而当x→-2a时,f(x)→-∞,由题意,可以得到x0∈(-2a,2a-2a).所以当x∈(-2a,x0)时,f(x)<0,则g(x)=-f(x)+2x-1=(1+a)(2x-1)-ln(x+2a),当-2a<x<x0时,g'(x)=2+2a-x+2a<2+2a-x0+2a.10分要想证明函数g(x)=|f(x)|+2x-1在区间(-2a,x0)上单调递减,只需g'(x)≤0,故只要证明x0≤2+2a-2a.记G(a)=f(2+2a-2a)=4a2+a-a+1-ln(2+2a),G'(a)=8a+1-(a+1)2-1+a在区间(2,+∞)上单调递增,所以G'(a)>G'(2)>0,12分所以G(a)在区间(2,+∞)上单调递增,G(a)>G(2)=1+2-3-ln3=6-ln3>0,所以f(x0)<f(2+2a-2a),x0∈(-2a,2a-2a),2+2a-2a∈(-2a,2a-2a),且f(x)在区间(-2a,2a-2a]上单调递增,所以x0<2+2a-2a,所以函数g(x)=|f(x)|+2x-1在区间(-2a,x0)上单调递减.15分。
浙江省名校协作体2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题 含解析
设 与 不重合，根据线面平行的性质定理可知 .所以 ，
由于 ，所以 .由于 ，所以 ，所以 ，C选项正确.
对于D选项，若 ， ， ，则 ，所以D选项错误.
故选：BC
10.已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
（1）要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的概念和运算法则即可求解.
【详解】由题意得， ，
所以复数 的虚部为 .
故选：A.
3.已知A，B是相互独立事件，且 ， ，则 （）
A. 0.9B. 0.12C. 0.18D. 0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由对立事件概率公式求出 ，再根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.
，所以 .
18.为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入 万元（ ），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元.
【详解】解：因为 ，所以 ，
又A，B是相互独立事件，且 ，
浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题附答案
2023学年高二第一学期浙江省名校协作体联考一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,λ)且a⃗⊥b⃗ ，则实数λ的值为( )A. −3B. −1C. 3D. 72.已知i是虚数单位，则1+2i1−2i=( )A. −45+35i B. 45−35i C. −35+45i D. −35−45i3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )A. √2B. 4√2C. 8D. 8√24.设m，n为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题错误的是( )A. 若m⊥α且n⊥α，则m//nB. 若m//α且m⊥β，则α⊥βC. 若m//α且n//α，则m//nD. 若α//β且m⊥α，则m⊥β5.函数f(x)=(1x+x)cosx的部分大致图象为( )A.B.C.D.6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A −B 的最大值为( )A. π6B. π4C. π3D. 5π127. 如图，各棱长均相等的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，点N 为棱CC 1的三等分点(靠近C 1)，点P 为棱BB 1上的动点，则下列说法正确的是( )A. 三棱锥B 1−MNP 体积为定值B. 三棱锥A 1−NPB 1体积为定值C. 当B 1P =PB 时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等D. 当B 1P =2PB 时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等8. 已知函数f(x)=sinx +acosx 在区间(π4,π2)上是减函数，则实数a 的取值范围为( )A. a >√2−1B. a ≥1C. a >1−√2D. a ≥−1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。