第2节 参数方程

第2节参数方程
【选题明细表】
一、填空题
1. (2013年高考广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.
解析:由ρ=2cos θ知ρ2=2ρcos θ,
因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x,
即(x-1)2+y2=1,
故曲线C的参数方程为(φ为参数).
答案:(φ为参数)
2.(2013年高考陕西卷)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标
是.
解析:由消去参数t得x=,
即y2=4x,
则焦点坐标为(1,0).
答案:(1,0)
3.(2013陕西师大附中高三第四次模拟)直线l1:(t为参数)与圆C2:(θ为参数)的位置关系是.
解析:直线l1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0,
圆C2的普通方程为x2+y2=1,
圆心到直线的距离为
d=<1,
因此直线l1与圆C2相交.
答案:相交
4.(2013年高考江西卷)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为.
解析:由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.
由公式得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ.
答案:ρcos2θ=sin θ
5.(2012年高考北京卷)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为.
解析:由已知得直线的普通方程为x+y-1=0,曲线的普通方程为
x2+y2=9,表示以原点为圆心,半径为3的圆,
而直线x+y-1=0过点(1,0),且点(1,0)显然在圆x2+y2=9内,∴直线与曲线一定有2个交点.
答案:2
6.(2012年高考湖南卷)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t
为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a= .
解析:曲线C1的普通方程为2x+y=3,与x轴的交点为;曲线C2的普
通方程为+=1,与x轴的交点为(a,0)和(-a,0),由题意可得a=.
答案:
7.已知抛物线C1的参数方程为(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r= .
解析:抛物线C1的普通方程为y2=8x,其焦点坐标是(2,0),过该点且斜率为1的直线方程是y=x-2,即x-y-2=0.圆ρ=r的圆心是极点、半径为r,直线x-y-2=0与该圆相切,则r==.
答案:
8.(2013深圳市期末检测)已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,直
线l的参数方程为(t为参数),则直线l与曲线C相交所得弦长为.
解析:曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6y,
即x2+(y-3)2=9,圆心C(0,3),半径r=3.
直线l的普通方程为x-2y+1=0.
所以点C到l的距离d==.
故所求弦长为2=2=4.
答案:4
9.(2013湖南十二校联考)设极点与坐标原点重合,极轴与x轴正半轴
重合,已知直线l的极坐标方程为ρsinθ-=a,a∈R.圆C的参数方
程是(θ为参数),若圆C关于直线l对称,则
a= .
解析:圆C的圆心坐标为(2,2),其极坐标为4,,
由题意知点4,在直线l上,
于是4sin-=a,
即a=-2.
答案:-2
10.若直线l的极坐标方程为ρcos=3,圆C:(θ为参数)上的点到直线l的距离为d,则d的最大值为.
解析:∵ρcosθ-=3,
∴ρcos θ+ρsin θ=6,
∴直线l的直角坐标方程为x+y=6.
由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0),半径r=1.
圆心C(0,0)到直线l的距离为=3.
+1.
∴d
答案:3+1
11.(2012年高考天津卷)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= .
解析:∵y=2pt,∴y2=4p2t2.
又∵t2=,
∴y2=4p2×=2px(p>0).
∵|EF|=|MF|,|MF|=|ME|,
∴△EMF是等边三角形,
过点F作FA⊥ME交ME于A,
则A为ME的中点,且x A=.
∴x M+x E=2x A(其中,x A、x M、x E分别为点A、M、E的横坐标),
∴3+=2×,∴p=2.
答案:2
12.(2013年高考湖北卷)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为
(φ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同
的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆
O的极坐标方程分别为ρsinθ+=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为. 解析:将椭圆C的参数方程(φ为参数,a>b>0)化为普通方程为+=1(a>b>0).
又直线l的极坐标方程为ρsinθ+=m(m为非零常数),
即ρsin θ·+cos θ·=m,
则该直线的直角坐标方程为y+x-m=0.
圆的极坐标方程为ρ=b,
其直角坐标方程为x2+y2=b2.
∵直线与圆O相切,
∴=b,|m|= b.
又∵直线l经过椭圆C的焦点,
∴|m|=c.
∴c=b,c2=2b2.
∵a2=b2+c2=3b2,∴e2==.
∴e=.
答案:
二、解答题
13.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)已知动点P,Q都在曲线
C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d==(0<α<2π).
当α=π时,d=0,
故M的轨迹过坐标原点.
14.(2013河北省衡水中学高三模拟)已知圆C1的参数方程为
(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系,圆C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ+.
(1)将圆C1的参数方程化为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)圆C1、C2是否相交,若相交,请求出公共弦的长,若不相交请说明理由.
解:(1)由得x2+y2=1,
∵ρ=2cosθ+=cos θ-sin θ,
∴ρ2=ρcos θ-ρsin θ.
∴x2+y2-x+y=0,
即x-2+y+2=1.
(2)圆心距d==1<2,得两圆相交,设两交点为A、B, 由
得A(1,0),B-,-,
∴|AB|==.
即公共弦的长为.
15.(2013年高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin
θ,ρcosθ-=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参
数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解
得
所以C
C2交点的极坐标为4,,2,.
(注:极坐标系下点的表示不唯一.)
(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为
(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,
由直线PQ的参数方程可得y=x-+1.
所以
解得a=-1,b=2.
16.(2013年高考福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,,直线
l的极坐标方程为ρcosθ-=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解:(1)由点A,在直线ρcosθ-=a上,
可得a=.
所以直线l的极坐标方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,
从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,
因为圆心C到直线l的距离d==<1,
所以直线与圆C相交.。