2013届高考数学一轮复习课时检测 第二节 参数方程 理

选修4-4 第二节 参数方程
1．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy
中，求过椭圆⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参
数)的右焦点，且与直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．
解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2
－b 2
＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.
故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1
2(x －4)，
即x －2y －4＝0.
2．在椭圆x 29＋y 2
4＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最小，并求出最小
距离．
解：因为椭圆的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos φ，
y ＝2sin φ
(φ为参数)，
所以可设点M 的坐标为(3cos φ，2sin φ)． 由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为
d ＝
|3cos φ＋4sin φ－10|5
＝|5cos φ·35＋sin φ·4
5
－10|
5
＝
1
5
|5cos(φ－φ0)－10|， 其中φ0满足cos φ0＝35，sin φ0＝4
5.
由三角函数的性质知，
当φ－φ0＝0时，d 取最小值 5. 此时，3cos φ＝3cos φ0＝9
5，
2sin φ＝2sin φ0＝8
5.
因此，当点M 位于(95，8
5
)时，
点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取最小值 5.
3．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3
5t ＋2，y ＝45t
(t 为参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线 l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2
＝2ρsin θ， 又x 2
＋y 2
＝ρ2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0. (2)将直线l 的参数方程化为普通方程， 得y ＝－4
3(x －2)，
令y ＝0得x ＝2， 即M 点的坐标为(2,0)．
又曲线C 为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1， 则|MC |＝ 5.
所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.
4．已知圆M ：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)的圆心F
是抛物线E ：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2pt 2
，y ＝2pt
的
焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围．
解：圆M ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2
＝1，
所以F (1,0)．
抛物线E ：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2pt 2
，
y ＝2pt
的普通方程是y 2
＝2px ，
所以p
2
＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2
＝4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋t cos θ
y ＝t sin θ
，(t 为参数)，
代入y 2
＝4x ，得
t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.
所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4
sin 2θ
.
因为0<sin 2
θ≤1，
所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．
5．(2012·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π
4
)＝2 2.
(1)求直线l 的直角坐标方程；
(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解：(1)ρcos(θ－π
4)＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4，
∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4； (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)， 得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|
2
，
即d ＝|5sin α＋φ－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.
当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋
10
2
. 6．(2012·福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3cos αy ＝sin α
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π
2
)，判断点P 与直线l 的位置关系；
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解： (1)把极坐标系下的点P (4，π
2
)化为直角坐标，得P (0,4)．
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线
l 的距离为
d ＝|3cos α－sin α＋4|
2＝2cos α＋π
6＋4
2
＝2cos(α＋π
6
)＋2 2.
由此得，当cos(α＋π
6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.
7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3－2
2
t ，y ＝5＋2
2
t (t 为参数)．在极
坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2
＋y 2
－25y ＝0， 即x 2
＋(y －5)2
＝5.
(2)法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3－
22t )2＋(2
2
t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.
由于Δ＝(32)2
－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨
⎧
t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.
又直线l 过点P (3，5)，
故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. (2)法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5， 直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.
由⎩⎨
⎧
x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋ 5.得x 2
－3x ＋2＝0.
解得：⎩⎨
⎧
x ＝1，y ＝2＋ 5.
或 ⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝1＋ 5.
不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)， 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.
8．已知椭圆⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4cos φ，
y ＝5sin φ.(φ为参数)上相邻两个顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上
两个动点，且分别在直线AC 的两侧，求四边形ABCD 面积的最大值．
解：设相邻两个顶点A (4,0)、C (0,5)、AC 所在直线方程为5x ＋4y －20＝0.
又设B (4cos α，5sin α)，D (4cos β，5sin β)， 其中α∈(0，π2)，β∈(π
2
，2π)．点B 到AC 距离
d 1＝
2041
|cos α＋sin α－1|
＝
20
41|2sin(α＋π4)－1|≤20
41
(2－1)
(当α＝π
4时取等号)．
点D 到AC 的距离
d 2＝
20
41|2sin(β＋π4)－1|≤2041
(2＋1)(当α＝5
4π时取等号)．
∴所求S 四边形ABCD 的最大值为
12AC ·[2041(2－1)＋20
41(2＋1)]＝20 2。