第二节参数方程-高考状元之路

第二节 参数方程
预习设计 基础备考
知识梳理
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎨
⎧==).
(),
(t g y t f x
并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在 ，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做
2．直线的参数方程
过定点),(000y x p 且倾斜角为α的直线的参数方程为 （t 为参数），则参数t 的几何意义是
3．圆的参数方程
圆心为(a ，b)，半径为r ，以圆心为顶点且与x 轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为 ).2,0[πα∈
4．椭圆的参数方程
以椭圆的离心角θ为参数，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的参数方程为 ).2,0[πθ∈
典题热身
1．已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 222,2
21（t 为参数），则直线l 的斜率为( )
1.A 1.-B 2
2.
c 2
2
.-D 答案：B
2．过点M(2，1)作曲线θθ
θ
,sin 4cos 4:⎩⎨⎧==y x c 为参数）的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的方程为
( )
)2(21
1--=-⋅x y A )2(21--=-⋅x y B
)1(2
1
2--=-⋅x y C )1(22--=-⋅x y D
答案：B
3．圆),0()(222>=+-r r y r x 点M 在圆上，O 为原点，以ϕ=∠MOx 为参数，那么圆的参数方程为 ( )
⎩⎨
⎧==ϕϕsin ,cos .r y r x A ⎩⎨⎧=+=ϕϕsin ),cos 1(.r y r x B ⎩⎨⎧+==)sin 1(,cos .ϕϕr y r x c ⎩
⎨⎧=+=ϕϕ2sin ),
2cos 1(.r y r x D 答案：D
4．直线t t
y t x (53
1,541⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=为参数）被曲线)4(2π
θρ+∞=s 所截的弦长为 答案：
5
7 课堂设计 方法备考
题型一 直线的参数方程及应用
【例1】已知直线l 经过点A(l ，2)，倾斜角为⋅3
π (1)求直线l 的参数方程;
(2)求直线l 和圆92
2
=+y x 的两个交点到点A 的距离之积．
题型二 圆的参数方程及应用
【例2】已知P(x ，y)是圆022
2
=-+y y x 上的动点． (1)求y x +2的取值范围．
(2)若0≥++c y x 恒成立，求实数C 的取值范围．
题型三 椭圆的参数方程及应用
【例3】如图所示，已知点M 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上在第一象限的点，A(a ，O)和B(O ，b)
是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．
题型四 参数方程与极坐标的综合问题
【例4】（2011．课标全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程为⎪⎩
⎪
⎨
⎧+==.sin 22(,
cos 2αααy x 为参数)M 是C ，上的动点，P 点满足P OM OP ,2=点的轨迹为曲线⋅2c
(1)求α的方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与1c 的异于极点的交点为A ，与2C
的异于极点的交点为B ，求︱AB ︱．
随堂反馈
1．若直线,(221:1t t k y t
x l ⎩⎨⎧+=-=为参数）与直线s x
y s x l .(21:2
⎩⎨⎧-==为参数）垂直，则=k 答案：-1
2．设直线1l 的参数方程为t t y t x (31,
1⎩
⎨⎧+=+=为参数）
，直线2l 的方程为;43+=x y 则1l 与2l 间的距离为 答案：510
3
3．已知曲线t t
y t x c (sin 3,
cos 4:1⎩⎨⎧+=+-=为参数）
，θθθ(3,cos 8:2⎪⎩
⎪⎨⎧==si y x c 为参数）． (1)化21,c c 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若1c 上的点P 对应的参数为Q t ,2π=为2c 上的动点，求PQ 中点M 到直线t t
y t x c (2,
23:3⎪⎩
⎪
⎨
⎧+-=+=为参数）距离的最小值．
4．（2011．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆ϕϕϕ
(sin 3cos 5⎩
⎨
⎧==y x 为参数）的右焦点，且与直线
⎩⎨
⎧-=-=t
y t x 3,
24（t 为参数）平行的直线的普通方程． 高效作业 技能备考
1．(2010．陕西赢毒)已知圆C 的参数方程为ααα
(,sin 1cos ⎩
⎨⎧+==y x 为参数）
，以原点为摄点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1sin =θρ则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 答案：（-1，1），(1，1)
2．（2011．沈阳市质检）已知直线l 的参数方程为：t t y t x (3,
2⎩
⎨⎧=+=为参数），曲线C 的极坐标方程为：
.122=∞θρs
(1)求曲线C 的普通方程；
(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．
3．(2010．课标全国卷)已知直线t t y t x c (sin ,cos 1:1⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=αα为参数），圆θθθ(sin ,
cos :2
⎩
⎨⎧==y x C 为参数）
． (1)当3
π
α=
时，求1C 与2C 的交点坐标；
(2)过坐标原点0作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
4．（2010．辽宁高考）已知P 为半圆θθθ(sin ,
cos :⎪⎩
⎪
⎨
⎧==y x C 为参数，)0πθ≤≤上的点，点A 的坐标为(1，O)，0为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为
⋅3
π (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．
5．(2010．福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t
y t x (225,223⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧+=-=为参数）．在极坐标系
（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原1点0为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为.sin 52θρ= (1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为),5,3(求.||||PB PA +
6．已知直线t t
y t
x (134313
6
4⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=+=为参数）与圆422=+y x 交于A 、B 两点，求此两点到点C(4，3)的距离之积以及线段AB 的长．
7．（2011．福建高考）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为,04=+-y x 曲线C 的参数方程为
αα
α(sin ,
cos 3⎩⎨
⎧==y x 为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为),2
,
4(π
判断点P 与直线l 的位置关系；
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值，
8．已知直线l 的参数方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=t t y t x (sin ,
cos 2α
α为参数，α为倾斜角，且),2πα=/且与曲线1121622=+y x
交于A 、B 两点．
(1)写出直线l 的一般程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求||||PB PA ⋅的最大值．
9．(2011．辽宁高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程为ϕϕϕ
(sin cos ⎩
⎨⎧==y x 为参数）
，曲线2C 的参数方程为ϕϕ
ϕ
,0(,sin cos >>⎩⎨
⎧==b a b y a x 为参数）
．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线21:c c l 、与αθ=各有一个交点，当0=α时，这两个交点间的距离为2，当2
π
α=时，这两个交
点重合．
(1)分别说明21c c 、是什么曲线，并求出a 与b 的值； (2)设当4
π
α=
时，l 与21c c 、的交点分别为⋅11B A 、当=α4
π
-
时，l 与21,C C 的交点分别为,,22B A
求四边形1221B B A A 的面积，。