【精】1.1集合的概念及其基本运算
集合的概念和运算
集合的概念和运算集合是数学中重要的基本概念，它可以理解为元素的组合。
在数学中，元素可以是数字、字母、单词等等。
本文将介绍集合的概念、集合的表示方法以及集合的运算。
一、集合的概念集合是由元素构成的，通常用大写字母表示。
假设A是一个集合，x是A的元素，我们可以表示为x∈A，表示x属于A。
相反地，如果x不属于A，我们可以表示为x∉A。
集合可以有有限个或者无限个元素。
如果集合A中的元素个数有限，并且可以一一列举出来，我们称之为有限集。
如果集合A中的元素个数是无穷的，我们称之为无限集。
二、集合的表示方法1. 列举法：我们可以直接将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合A = {1, 2, 3}表示A是一个包含元素1、2、3的集合。
2. 描述法：我们可以使用一个条件来描述集合中的元素。
例如，集合B = {x | x是自然数，且x < 5}表示B是一个包含小于5的自然数的集合。
三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是包含同时属于A和B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。
2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含属于A或者属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。
3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是包含属于A但不属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。
4. 互斥集：给定两个集合A和B，如果它们的交集为空集，则称它们为互斥集。
例如，A = {1, 2}，B = {3, 4}，则A∩B = ∅。
5. 补集：给定一个普通集合U和它的一个子集合A，A相对于U的补集（记作A'或者A^c）是包含U中所有不属于A的元素的集合。
集合与常用逻辑用语PPT优秀课件
1
1
∵q≠1,∴q=-2 .综上所述,q=-2 .
2.（1）若集合P={x|x2+x-6=0}，S={x|ax+1=0}，且SP ，
求a
（2）若集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，
且B
A，求由m的可取值组成的集合.
解 （1）P={-3，2}.当a=0时，S= ，满足S P
的集合,而后根据已知条件求参数.
解 由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1,2}.
(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,
得a2+4a+3=0，∴a=-1或a=-3.
1分
当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;
当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;
失误与防范 1.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他
情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 2.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常
用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是 空心.
3.要注意A B、A∩B=A、A∪B=B、UAUB、A∩( UB) =
1
当a≠0时，方程ax+1=0的解为x=-a
1
1
为满足S P，可使- a =-3或- a =2
1
1
即a=
3
2
或a=-
.
1
1
故所求集合为{0，3 ，- 2 }.
（2）当m+1＞2m-1，即m＜2时，B = ，满足 B A
若B≠ ，且满足B A，如图所示,
m+1≤2m-1
01集合的概念及运算
251 16, 261 32, 271 64, 281 128,
且1 4 16 64 128 211,
i1 1, i2 2, i3 5, i4 7, i5 8.
走进高考
综上知，当A⊆B时，a<-8或a≥2.
(2)当 a=0 时，显然 B ⊆A；
当 则 又当∵ 当a则则 又则又<a－ 4aaa∵<0≤∵<>1a0－4a－0时 0a4a－－ 时4aa≤， 时<≤1a≥>1a<， 0≤1a2，－20∴ ，，2－>，若－12>2∴－ 若若12212∴， B－12BB⊆ ，<－⊆⊆∴ 12a，，<∴AA1<2a∴，，<0<∴－ － .a0－ －如如如 <.00128<<1208≤ <－－图图图 <≤aa. a≤ ≤a128a，，a<，<<≤<22<0000aa.<<0.0.
走进高考
【2】（10 湖南文 15）若规定 E={a1,a2 ,..., a10}的子集{ai1 ai2 ,..., ain }
为 E 的第 k 个子集，其中 k 2i11 2i2 1 2in 1 ，则
（1）{a1, a3} 是 E 的第_____5____个子集；
（2）E 的第 211 个子集是_{__a_1_,__a_2_,__a_5_,__a_7__,_a_8_}___．
(4)常用数集的记法
数集
自然 数集
正整数集
整数 集
有理 数集
实数 集
复数 集
记法 N N(或N ) Z Q R C
1.1-1集合定义与运算
2．分类 由有限个元素组成的集合称为有限集 由无限个元素组成的集合称为无限集
3．表示方法
①列举法 A {a1 , a2 ,, an } ②描述法 M { x x所具有的特征 }
子集
若x A,则必x B,就说A是B的子集 A B.
若A B,且B A,就称集合A与B相等 ( A B).
如果a是集合m中的元素则记作否则记作由有限个元素组成的集合称为有限集由无限个元素组成的集合称为无限集2
集合定义与运算
第一章 函数 第1节 集合
集合定义与运算
一、集合的概念
1.集合 具有确定性质的对象的总体. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素. 例如：太阳系的九大行星； 教室里的所有同学.
如果 a 是集合 M 中的元素，则记作 a M，
数集间的关系: N * N Z Q R
集合定义与运算
二、集合的运算
1. 并集 A B { x | x A 或 x B}
2. 交集 A B {x | x A 且 x B}
3. 差集 A \ B {x | x A 但 x B}
4. 余集 研究某一问题时所考虑的对象的全体 称为全集，用 I 表示；把差集 I \ A 特别称为余 集或补集，记作AC .
( A B)C BC AC
6 .直积或笛卡儿（Descartes）乘积 设 A、B 是两个任意集合，则称集合
{(a , b) | a A , b B}
为 A 与 B 的直积，记作 A × B .
例如：R×R={(a，b)| a ∈ R ， b ∈ R }即为 xOy平面上全体点的集合， R×R常记作R 2 .
例如： A {1, 2}, C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
集合的基本概念和运算
集合的基本概念和运算集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合的概念在数学中有着广泛的应用，并且在解决实际问题时也发挥着重要的作用。
本文将介绍集合的基本概念以及集合的运算。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
如果一个元素a属于一个集合A，我们可以写作a∈A。
相反地，如果一个元素b不属于一个集合B，我们可以写作b∉B。
集合的元素可以是任何类型的对象，比如数字、字母、符号或者其他集合。
例如，自然数的集合可以表示为N={0,1,2,3,...}，其中0、1、2、3等都是集合N的元素。
二、集合的表示方法集合有多种表示方法，其中最常见的是列举法和描述法。
1. 列举法：通过列举集合的元素来表示一个集合。
例如，集合A={1,2,3}表示由整数1、2、3组成的集合A。
2. 描述法：通过描述集合元素的特征来表示一个集合。
例如，集合B={x|x是大于0且小于10的整数}表示在0和10之间的整数构成的集合B。
值得注意的是，集合中的元素是没有顺序的，且集合中的元素是互不相同的。
这意味着{1,2,3}和{3,2,1}表示的是相同的集合。
三、集合的运算集合的运算有并集、交集、差集和补集等。
1. 并集：如果A和B是两个集合，它们的并集表示为A∪B，包含了属于集合A或者属于集合B的所有元素。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的并集为A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：如果A和B是两个集合，它们的交集表示为A∩B，包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的交集为A∩B={3}。
3. 差集：如果A和B是两个集合，它们的差集表示为A-B，包含了属于集合A但不属于集合B的所有元素。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的差集为A-B={1,2}。
集合的基本概念与运算
集合的基本概念与运算集合是数学中一个基本的概念，它描述了一组对象构成的整体。
在集合论中，集合是由元素组成的，而元素可以是任何事物，可以是数值、符号、人、动物等。
本文将介绍集合的基本概念以及常见的运算。
一、集合的基本概念集合可以用大括号{}来表示，元素在大括号内用逗号分隔。
例如，集合A可以表示为A={1,2,3}，其中的元素为1,2和3。
一个集合中的元素是无序的，表示一个集合的方式只是列出其中的元素，并不考虑元素的先后顺序。
在集合中，元素的个数称为集合的基数。
例如，集合A={1,2,3}的基数为3。
当一个集合中的元素个数为有限个时，该集合称为有限集；当一个集合中的元素个数为无限个时，该集合称为无限集。
二、集合的关系1. 相等关系当两个集合的所有元素完全相同时，它们是相等的。
例如，考虑集合A={1,2,3}和B={2,3,1}，虽然它们的元素顺序不同，但它们包含的元素是相同的，因此A和B是相等的。
2. 包含关系当一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，该集合被称为另一个集合的子集。
例如，考虑集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，所有A 中的元素也都属于B，因此A是B的子集。
3. 空集一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号∅表示。
三、集合的运算1. 并集运算给定两个集合A和B，它们的并集表示为A∪B，包含了A和B中所有的元素。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集运算给定两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，包含了同时属于A和B的元素。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集运算给定两个集合A和B，它们的差集表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
4. 补集运算给定一个集合U作为全集，集合A的补集表示为A'，包含了属于全集U但不属于A的元素。
1.1集合的概念与运算.pptx
间 的
子 集
集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素
基
本 为集合 B 中的元素,且集合 B 中至少有一个元素不是集合 A 中的元素
示关系 文字语言
空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
符号语 言 A=B A⊆ B
A⫋ B
第1讲 集合的概念与运算
A∪B=B∪A A∪A=A A∪⌀=⌀∪A=A 如果 A⊆ B,则 A∪B=B
A∪∁UA=U A∩∁UA=⌀ ∁U(∁UA)=A
第1讲 集合的概念与运算 要点梳理 考点自测
考纲解读 主主干干梳梳理理 考点层析
12345
1.已知集合 A={x∈N|- 3≤x≤ 3},则必有( )
A.-1∈A
B.0∈A
第1讲 集合的概念与运算
考纲解读 主干梳理
考点层析
考向1
考向2
考向2
考向4 易错辨析点拨
考向 1 集合的基本概念
【例 1】 (1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数 是( )
A.1
B.3
C.5
D.9
(2)已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为
B=( )
A.[-2,-1]
B.[-1,2)
C.[-1,1]
D.[1,2)
解析:由已知,可得 A={x|x≥3 或 x≤-1},则 A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选
A.
答案:A
第1讲 集合的概念与运算 要点梳理 考点自测
考纲解读 主主干干梳梳理理 考点层析
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3.设集合 A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a},若 A⊆ B,则 a 的取值范围是( )
1、集合的概念与运算(一)
诸城繁华中学高三数学文科第一轮复习讲义1 第一章《集合与简易逻辑》§1.1 集合的概念和运算（一）【复习目标】1． 了解集合中元素的三种特性，正确使用集合的符号和语言表达数学问题；2． 分清集合中的两种关系，即元素与集合关系、集合与集合的关系；3． 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识。
【重点难点】集合语言的正确、准确理解；熟练进行集合的基本运算【知识回顾】1、基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；2、集合的表示法： 、 、 .3、集合元素的特征： 、 、 .4、集合与元素的关系： 。
【课前预习】1． 数0与空集φ的关系是 （ ）A ．0φ∈B ．0φ=C ．{0}φ=D ．0φ∉2． 集合M=8|,,3y y x y Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是 （ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 3． 用适当符号（,,,,∈∉=刭）填空： π Q ；{3.14} Q ；N N *；{|21,}x x k k Z =+∈ {|21,}x x k k Z=-∈； *{|21,}x x k k N =+∈ *{|21,}x x k k N =-∈. 4． 用描述法表示下列集合（1） 由直线y=x+1上所有点的坐标组成的集合 ；（2） {0，－1，－4，－9，－16，－25，－36，－49} ；5． 设集合M=1{|,}24k x x k Z =+∈，N=1{|,}42k x x k Z =+∈，则 （ ） A ．M=N B ．M ØN C ．M ÙN D ．M ⋂N=φ6． 若A ⋂B=B ，，则A B （填,⊆⊇）；若A ⋃B=B ，则A B. 【典型例题】例1 已知集合M={|3,}x x n n Z =∈，N={|31,}x x n n Z =+∈，P={|31,}x x n n Z =-∈，且,,a M b N c P ∈∈∈，设d a b c =-+，则A ．d M ∈B ．d N ∈C ．d P ∈D ．以上都不正确第1课：§1.1 集合的概念和运算（一）- 2 - 例2 已知集合2{|210,,}x ax x a R x R ++=∈∈（1） 若A 中只有一个元素，求a 的值；（2） 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。
1.1集合的概念(人教A版2019 必修第一册)
[答 案]
D
[解 析]
∵3－1＝2>
，∴3∉A. 又－3－1＝－4<
3
)
，∴－3∈
A.
3
（四）集合的表示
【思考4】
（1） 地球上的四大洋组成的集合如何表示？
（2） 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？
（3） 通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？
列举法：
把集合的所有元素一 一列举出来，
思考：a，b与集合A分别有什么关系?
元素与集合的关系：
如果a是集合A中的元素，就说a 属于 集合A，记作 a A ；
如果a不是集合A中的元素，就说a 不属于 集合A，记作 a A .
（三）元素与集合的关系
元素与集合关系：
唯一性
a是不是集合A中的元素，只有属于与不属于两种关系
符号 与 具有方向性，左边是元素，右边是集合
使用前提
推理法
对于某些不便直接表示的集合
首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后
判断方法
判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征
即可
（三）元素与集合的关系
巩固练习1
已知集合A中的元素x满足x－1<
3，则下列各式正确的是(
A．3∈A且－3∉A
B．3∈A且－3∈A
C．3∉A且－3∉A
D．3∉A且－3∈A
R
正确
选项C，0不是正整数，所以0∈N*错误
选项D，|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误
D. 5 N *
（三）元素与集合的关系
【类题通法】 判断元素与集合关系的两种方法
直接法
使用前提
集合的基本概念与运算
集合的基本概念与运算在数学领域中，集合是一种包含对象的集合体。
这些对象可以是数字、字母、符号、单词、人或任何其他事物。
集合的概念和运算是数学中重要的基础，本文将介绍集合的基本概念以及常见的集合运算。
一、集合的基本概念集合是由一组对象组成的，并且这些对象是无序的。
用大写字母表示集合，例如A、B、C等，而用小写字母表示集合中的元素，例如a、b、c等。
如果元素a属于集合A，我们可以表示为a∈A。
如果元素x不属于集合A，我们可以表示为x∉A。
在确定一个集合的时候，我们可以列举其中的元素，也可以使用描述集合中元素的特征或性质。
例如，可以表示“大于0的整数”为集合A，可以表示“A={x|x>0, x∈Z}”。
这样即可定义出集合A。
二、集合的基本运算1. 并集运算当我们希望将两个或多个集合合并成一个新的集合时，我们可以使用并集运算。
用符号∪表示并集。
对于集合A和集合B，A∪B表示包含所有属于集合A或属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集运算交集运算是指将两个集合中共有的元素组成一个新集合。
用符号∩表示交集。
对于集合A和集合B，A∩B表示包含所有既属于集合A又属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集运算差集运算是指从一个集合中减去另一个集合中的元素。
用符号\表示差集运算。
对于集合A和集合B，A\B表示包含属于集合A但不属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3,4}，B={3,4,5}，则A\B={1,2}。
4. 补集运算在集合理论中，我们还可以定义补集运算。
对于给定的全集U和集合A，A的补集表示U中所有不属于A的元素。
用符号A'或A表示补集。
例如，如果U为全集，A为集合A。
则A'表示U中所有不属于集合A的元素的集合。
三、集合的扩展运算除了基本的集合运算外，还存在集合的扩展运算。
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戴氏教育精品堂蜀汉路校区 教师：余老师 学生： 资料整理与戴氏教育蜀汉路校区www.daishi-shl.com/ §1.1 集合的概念及其基本运算 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：____________、______________、____________. (2)元素与集合的关系是________或__________关系，用符号______或______表示． (3)集合的表示法：____________、__________、__________、__________. (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为__________、__________、________. 2．集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)． 若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则________(或________)． ∅____A；A____A；A⊆B，B⊆C⇒A____C. 若A含有n个元素，则A的子集有______个，A的非空子集有______个，A的非空真子集有______个． (2)集合相等 若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 3．集合的运算及其性质 (1)集合的交、并、补运算 交集：A∩B＝________________； 并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}； 补集：∁UA＝________________. U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集． (2)集合的运算性质 并集的性质： A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 戴氏教育精品堂蜀汉路校区 教师：余老师 学生： 资料整理与戴氏教育蜀汉路校区www.daishi-shl.com/ 交集的性质： A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质： A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A. [难点正本 疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况． 3．正确区分∅，{0}，{∅} ∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.
1．(课本改编题)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)＝________. 2．(2011·上海)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________. 3．(课本改编题)已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∪B＝A，则m的可能取值组成的集合为________． 4．已知A、B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A等于( ) A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} 5．已知R是实数集，M＝{x|2x<1}，N＝{y|y＝x－1}，则N∩(∁RM)等于 ( )
A．(1,2) B．[0,2] C．∅ D．[1,2]
题型一 集合的基本概念 例1 (1)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求实数2 013a的值； (2)x，x2－x，x3－3x能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合． 戴氏教育精品堂蜀汉路校区 教师：余老师 学生： 资料整理与戴氏教育蜀汉路校区www.daishi-shl.com/ 探究提高 (1)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． (2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________. 题型二 集合间的基本关系 例2 已知集合A＝{x|0(1)若A⊆B，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围； (3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由． 探究提高 在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答． 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论． 已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________. 题型三 集合的基本运算 例3 设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________． 探究提高 本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁UA)∩B＝∅⇔B⊆A等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法． 设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}． (1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B； (2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围． 题型四 集合中的新定义问题 例4 在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
那么d (ac)等于 ( ) A．a B．b C．c D．d 探究提高 本题新定义了两种运算，看似复杂，但事实上运算结果可以通过题目中的表格得出．借助于集合定义新运算是高考中命制创新试题的一个良好素材． 已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子 戴氏教育精品堂蜀汉路校区 教师：余老师 学生： 资料整理与戴氏教育蜀汉路校区www.daishi-shl.com/ 集共有________个，其中的一个是____________．
1.忽略空集致误 试题：(1)(5分)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________． (2)(5分)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，则由m的可取值组成的集合为_____________________________________________________________． 学生答案展示
审题视角 (1)从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅.(2)从集合元素看，第(1)小题S≠∅时，S中元素为－1a＝－3或－1a＝2，即a＝13或a＝－12.第(2)小题B≠∅，必有 m＋1≤2m－1m＋1≥－22m－1≤5. 正确答案 (1)0，13，－12 (2){m|m≤3} 解析 (1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P； 当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－1a，
为满足S⊆P可使－1a＝－3或－1a＝2， 即a＝13或a＝－12. 故所求集合为0，13，－12. (2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅，满足B⊆A； 若B≠∅，且满足B⊆A，如图所示，
则 m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即 m≥2，m≥－3，m≤3， ∴2≤m≤3. 故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}． 批阅笔记 本题考查的重点是集合间的关系及集合元素的特征．在解答本题时，存在两个突 出错误．一是忽略对∅的讨论．例如在(1)(2)需讨论S＝∅和B＝∅的情况；二是忽视对元素 的讨论，如(1)中，－1a＝－3或－1a＝2两种情况. 戴氏教育精品堂蜀汉路校区 教师：余老师 学生： 资料整理与戴氏教育蜀汉路校区www.daishi-shl.com/ 方法与技巧 1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化． 2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号． 3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范 1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． 4．Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．