等腰三角形的判定定理(解析版)

考点04 等腰三角形的判定定理

1.（2020·浙江·中考模拟）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）

A.1，1，2

B.1，1，3

C.2，2，1

D.2，2，5

【答案】C

【解析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断．

2.（2020·甘肃·期中试卷）△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（）

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.不等边三角形

D.不能确定

【答案】B

【解析】根据AB=AC可得∠B=∠C，结合∠A=∠C即可判断出△ABC的形状．

3.（2020·广西期末试卷）下列三角形中，是正三角形的为（）

①有一个角是60°的等腰三角形；①有两个角是60°的三角形；

①底边与腰相等的等腰三角形；①三边相等的三角形．

A.①①

B.①①

C.①①

D.①①①①

【答案】D

【解析】等边三角形的判定定理有①三个都相等的三角形是等边三角形，①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，①三边都相等的三角形是等边三角形，根据以上定理判断即可．

4.（2020·浙江·月考试卷）等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（）

A.有一个内角是60°

B.有一个外角是120°

C.有两个角相等

D.腰与底边相等

【答案】C

【解析】(1)由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．

(2)判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

(3)判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

5.（2020·山西·月考试卷）下列命题不正确的是（）

A.等腰三角形的底角不能是钝角

B.等腰三角形不能是直角三角形

C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形

D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形

【答案】B

【解析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．

6.（2020·陕西·中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（）

A.8个

B.7个

C.6个

D.5个

【答案】A

【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72°，根据角平分线求出∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB ＝36°，根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根据等腰三角形的判定推出即可．

7.（2020·四川·期末试卷）如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是()

A.△ABD?△ACD

B.∠B=∠C

C.△ABC是等腰三角形

D.△ABC是等边三角形

【答案】D

【解析】根据垂直的定义可得∠ADB=∠ADC=90°，根据线段中点的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，全等三角形对应边相等可得AB=AC，

然后选择答案即可．

BC长为半径作8.（2020·河北·中考复习）如图，在△ABC中，按下列步骤作图，分别以B、C为圆心，大于1

弧，弧线两两交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC=90°，在下列说法中：

①E为△ABC外接圆的圆心；①图中有4个等腰三角形；

①△ABE是等边三角形；①当∠C=30°时，BD垂直且平分AE．

其中正确的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【答案】B

9.（2020·四川·期中试卷）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为________．

【答案】69°或21°

【解析】分两种情况讨论：①若∠A<90°；①若∠A>90°；先求出顶角∠BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数．

10.（2020·浙江·期末试卷）若△ABC的三边a，b，c满足(a?b)(b?c)(c?a)=0，那么△ABC的形状是________．

【答案】等腰三角形

【解析】根据(a?b)(b?c)(c?a)=0，可得a=b或b=c或c=a，从而可判断△ABC的形状．

11.（2020·内蒙古·月考试卷）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于25°，则顶角的度数为________．【答案】65°或115°

【解析】(1)首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．

(2)要分两种情况推论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；当等腰三角形的顶角是锐角时，根据直角三角形的两个锐角互余，求得底角，再根据三角形的内角和是180°，得顶角的度数．

12.（2020·广东·期中试卷）已知△ABC的三边长为a，b，c，若(a?b)2+|b?c|＝0，则此三角形是________三角形．

【答案】等边

【解析】根据非负数的性质列式求出a＝b＝c，然后判断出三角形是等边三角形．

13.（2020·四川·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=________．

【答案】65°

【解析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案．

14.（2020·山西·期末试卷）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE?//?BC，分别交AB、AC于点D、E，若AB＝6，AC＝5，则△ADE的周长是________．

【答案】11

【解析】由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE?//?BC，易证得△BOD与△COE是等腰三角形，继而可得△ADE的周长等于AB+AC．

15.（2020·云南·月考试卷）从①∠B=∠C；①∠BAD=∠CDA；①AB=DC；①BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．

已知：________(只填序号)，

求证：△AED是等腰三角形.

【解析】首先选择条件证得△BAD?△CDA，再利用全等三角形的性质得出∠ADB=∠DAC，即得出∠ADE=∠DAE，利用等腰三角形的判定定理可得结论．

【解答】证明：选择的条件是：

①∠B=∠C①∠BAD=∠CDA（或①①，①①，①①）；

证明：在△BAD和△CDA中，

① {

∠B=∠C,∠BAD=∠CDA, AD=DA,

① △BAD?△CDA(AAS)，

① ∠ADB=∠DAC，

即在△AED中∠ADE=∠DAE，

① AE=DE，△AED为等腰三角形．

16.（2020·河北·期末试卷）如图，已知：AD平分∠CAE，AD?//?BC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形．

（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD，再根据平行线的性质可得∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，然后求出∠B＝∠C，再根据等角对等边即可得证．

（2）根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD＝60°，再根据平行线的性质可得∠EAD＝∠B＝60°，∠CAD＝∠C

＝60°，然后求出∠B＝∠C＝60°，即可证得△ABC是等边三角形．

【解答】证明：① AD平分∠CAE，

① ∠EAD＝∠CAD，

① AD?//?BC，

① ∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，

① ∠B＝∠C，

① AB＝AC．

故△ABC是等腰三角形．

当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形．

① ∠CAE＝120°，AD平分∠CAE，

① ∠EAD＝∠CAD＝60°，

① AD?//?BC，

① ∠EAD＝∠B＝60°，∠CAD＝∠C＝60°，

① ∠B＝∠C＝60°，

① △ABC是等边三角形．

17.（2020·山东·期中试卷）如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是

等腰三角形．

【解析】要证明△ABC是等腰三角形，只需要证明∠ABC=∠ACB即可，根据题目中的条件可以证明这两个角相等，本题得以解决．

【解答】证明：① 锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，

① ∠OEB=∠ODC=90°，∠EOB=∠DOC，

① ∠EBO=∠DCO，

又① OB=OC，

① ∠OBC=∠OCB，

① ∠ABC=∠ACB，

① AB=AC，

① △ABC是等腰三角形．

18.（2020·江西·月考试卷）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F.

(1)试判断△ADF的形状，并说明理由；

(2)若AF=BE=2,∠F=30°，求△ABC的周长.

【答案】解：(1)△ADF是等腰三角形，理由如下：

∴AB=AC，∴∠B=∠C．

① FE⊥BC，

∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°，

∴∠F=∠BDE，

又∠BDE=∠FDA，

∴∠F=∠FDA，

① AF=AD，即△ADF是等腰三角形．

(2)① DE⊥BC,，

∴∠C=90°?∠F=60°．

又AB=AC，

① △ABC是等边三角形．

① △ADF是等腰三角形，

① AD=AF=2．

在Rt△BDE中，∠BDE=90°?∠B=30°，

∴BD=2BE=4．

∴AB=BD+AD=6．

△ABC的周长=3AB=18．

19.（2020·江苏·期中试卷）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AE=BE，D为EC中

点．

（1）求∠CAE的度数；

（2）求证：△ADE是等边三角形．

【解析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B=30°，∠BAE=∠B=30°，即可得出结果；

EC=ED=DC，得出∠DAC=∠C=30°，因此∠EAD=（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD=1

60°，即可得出结论．

【解答】（1）解：① AB=AC，∠BAC=120°，

×(180°?120°)=30°，

① ∠B=1

① AE=BE，

① ∠BAE=∠B=30°，

① ∠CAE=120°?30°=90°；

（2）证明：① ∠CAE=90°，D是EC的中点，

EC=ED=DC，

① AD=1

① ∠DAC=∠C=30°，

① ∠EAD=60°，

① △ADE是等边三角形．

20.（2020·湖北·期末试卷）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，若AD=BD，求∠A的度数；

（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC．求证：△EBC是等边三角形．

【解析】（1）根据角平分线和等腰三角形的性质求得∠A=∠DBA=∠DBC，由∠A+∠DBA+∠DBC=90°，即可求得∠A=30°；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质得出CE=BE，由∠EBC=60°，即可证得△EBC是等边三角形．【解答】

（1）解：① AD=BD，

① ∠A=∠DBA，

① ∠DBA=∠DBC，

① ∠A=∠DBA=∠DBC，

① ∠ACB=90°，

① ∠A+∠DBA+∠DBC=90°，

① ∠A=30°；

（2）证明：① AD=BD，DE⊥AB，

① AE=BE，

① CE=BE，

① ∠A=30°，

① ∠EBC=60°，

① △EBC是等边三角形．

21.（2010-2011·江苏·期中试卷）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△DOC是等边三角形；

（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

【解析】

（1）由△BOC?△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；

（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；

（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、①∠ODA=∠OAD、①∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°?∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由①∠ODA=∠OAD可得α=110°，由①∠AOD=∠DAO可得α=140°．

【解答】

（1）证明：① 将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

① △BOC?△ADC，∠OCD=60°，

① CO=CD．

① △COD是等边三角形；

（2）① △ADC?△BOC，

① DA=OB=4，

① △COD是等边三角形，

① ∠CDO=60°，又∠ADC=∠α=150°，

① ∠ADO=∠ADC?∠CDO=90°，

① △AOD为直角三角形．

又AO=5，AD=4，① OD=3，

① CO=OD=3；

（3）若△AOD是等腰三角形，

所以分三种情况：①∠AOD=∠ADO①∠ODA=∠OAD①∠AOD=∠DAO，① ∠AOB=110°，∠COD=60°，

① ∠BOC=360°?110°?60°?∠AOD=190°?∠AOD，

而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO，

由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，

求得α=125°；

∠AOD

由①∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°?1

求得α=110°；

由①∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°?2∠AOD，

求得α=140°；

综上可知α=125°、α=110°或α=140°．