安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(pdf版)
铜陵市一中2018——2019年度第一学期
高二年级期中考试数学试卷
命题教师：佘媛审题教师：巩福德考试时间：120分钟
满分：150分
一、
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中正确的是()
A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂则a α⊥
B.若//,a b b α⊂,则//a α
C.若//,,,a b αβαγβγ== 则//a b
D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα
2.设R ∈n m ,,若直线01:=-+ny mx l 与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,且坐标原点
O 到直线l 的距离为3,则AOB ∆的面积S 的最小值为(
)
A.
2
1 B.
2 C.3
D.4
3.某校有40个班，每班50人，每班派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是(
)
A ．40
B ．50
C ．120
D ．1504.执行下方的程序框图，若0.8p =
，则输出的n 的值为()
A.3
D.6
（第4题图）
（第5题图）
5.右图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A.π
320+ B.π
420+ C.π
324+ D.π
424+6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染
0.30.1
4.3
4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
5.0 5.15.2
视力
频率
组距
的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。
根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志是（D）（A）甲地：总体均值为3，中位数为4
（B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0（C）丙地：中位数为2，众数为3（D）丁地：总体均值为2，总体方差为37.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校
200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最多一组学生数为a ，视力在4.6到5.0之间的频率为b ，则a ,b 的值分别为（B ）
A ．0.27,
78
B ．54,
0.78
C ．27,
0.78
D ．54,
78
8.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()
A ．
6
3
B ．
255
C ．
155
D ．
105
9.已知平面//α平面β，直线α⊂m ，直线β⊂n ，点m A ∈，点n B ∈，记点A、B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则
（
）
A．c b a
≤≤B．c a b
≤≤C．a c b
≤≤D．b c a
≤≤10.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB ∆为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为
43
3
，则球O 的半径为()
A.3
B.1
C.2
D.4
11.已知点),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA 、PB 是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（）A.2
B.
2
21
C.2
2 D.3
12.如图，点)4,3(P 为圆2522=+y x 上的一点，点E ，F 为y 轴上的两点，PEF △是以点P 为顶点的等腰三角形，直线PE ，PF 交圆于D ，C 两点，直线CD 交y 轴于点A ，则DAO ∠cos 的值为（）A.
5
4 B.
5
3 C.
5
2 D.
4
3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，标准差是2，则xy =.
14.经过两条直线053=-+y x 与032=+-y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
15、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =
，11
3
CF CC =，
点,A C 到BD 的距离之比为3:2，F
则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCD F ABD
V
V --=
.
16.已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是三角形ABC 内（含边界）的一个动点满足P 到面DAB 、面DBC 、面DCA 的距离成等差数列，则点P 到面DCA 的距离最大值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其它题目每题12分）17.已知两直线042:1=+-y x l 和02:2=-+y x l 的交点为P .（1）直线l 过点P 且与直线0635=-+y x 垂直，求直线l 的方程；（2）圆C 过点)1,3(且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程..
18..如图，在梯形ABCD 中，CD AB ∥，E ，F 是线段AB 上的两点，且AB DE ⊥，
AB CF ⊥，12=AB ，5=AD ，24=BC ，4=DE .现将ADE △，CFB △分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .
（1）求证：平面⊥DEG 平面CFG ；（2）求多面体CDEFG 的体积.
19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x 3456y 2.534 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y
关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x＋a ^
；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5）
（参考公式：∑∑==⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n i i n
i i i x x y y x x b 12_1
_
_^
，__x b y a -=）
20.已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标及动直线l 的斜率k 的取值范围；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数m ，使得直线)4(:-=x m y L 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．
21.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，平面⊥PBD 平面ABCD ，
2=AD ，52=PD ，4==PB AB ， 60=∠BAD ．
（1）求证：PB AD ⊥；（2）E 是侧棱PC 上一点，记
λ=PC
PE
，当⊥PB 平面ADE 时，求实数λ
的值．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过)2,0(A ，)0,0(O ，)0)(0,(>t t D 三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点)0,1(B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点．
（1）若6==PQ t ，求直线2l 的方程；
（2）（文）若4=t ，求三角形EPQ 的面积的最小值.
（理）若t 是使BM AM 2≤恒成立的最小正整数，求三角形EPQ 的面积的最小值.。
安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二数学上学期开学考试试卷【word版】.doc
安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二数学上学期开学考试试题一、选择题（12题共60分）1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π3．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.454．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( ) A ．40° B ．50° C ．130°D ．140°5．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)6．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－37．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为( )A ．4x －3y ＋9＝0B ．4x ＋3y ＋9＝0C ．3x －4y ＋9＝0D ．3x ＋4y ＋9＝08．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，若A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定9．圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b 的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4D.16310．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B. 4532C ．45D ．45 311．已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215 12．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，则x ＋y 的最大值与最小值是( )A ．6＋22，6－2 2B ．6＋2，6－ 2C ．4＋22，4－2 2D ．4＋2，4－ 2二、填空题（4题共20分）13．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆心坐标是________．14．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．15．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，则下列结论：①AD ∥平面PBC ； ②平面PAC ⊥平面PBD ； ③平面PAB ⊥平面PAC ； ④平面PAD ⊥平面PDC .其中正确的结论序号是________．16．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．三、解答题（6题。
安徽省铜陵一中高二数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α B．若a∥b，b⊂a，则a∥αC．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b D．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥a，则β∥α2．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B．2 C．3 D．43．直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A． B．C．D．4．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的5．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣π6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A． B． C．D．8．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤210．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a11．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A．B．C．D．12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的半径为（）A．3 B．1 C．2 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是．14．已知△ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6），直线l平行于AB，且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△CAB面积的，则直线l的方程为．15．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，点E，F分别在AA1，CC1上，且AE=AA1，CF=CC1，点A，C到BD的距离之比为3：2，则三棱锥E﹣BCD和F﹣ABD的体积比= ．16．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其它题目每题12分）17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB=，BC=1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDE．18．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC 的中点．（1）求O点到面ABC的距离；（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．19．以A（4，5）为顶点，试在x轴上找一点B，在直线2x﹣y+2=0上找一点C，使得△ABC 周长最小．20．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M 是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．21．直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，AA1=AB1，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC．（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D1的大小；（Ⅱ）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值，不存在，说明理由．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．2015-2016学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α B．若a∥b，b⊂a，则a∥αC．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b D．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥a，则β∥α【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．利用线面垂直的定义和判定定理判断．B．利用线面平行的判定定理判断．C．利用面面平行的性质判断．D．利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断．【解答】解：A．根据线面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A错误．B．根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面α外，所以B错误．C．根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确．D．根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行．所以D 错误．故选C．【点评】本题主要考查空间直线，平面间的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理的应用．2．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B．2 C．3 D．4【考点】点到直线的距离公式；三角形的面积公式．【专题】计算题．【分析】由距离公式可得，面积为S=•=，由基本不等式可得答案．【解答】解：由坐标原点O到直线l的距离为，可得=，化简可得，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故选C【点评】本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．3．直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A． B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知得△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，由此能求出三棱锥A﹣A′BD的体积．【解答】解：∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴AC⊥AA′，AA′∥CD，∴△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，∴三棱锥A﹣A′BD的体积：V==．故选：C．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的【考点】棱锥的结构特征．【分析】正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上【解答】解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．故答案选C．【点评】本题考查了三棱锥的截面图，综合了球的截面图，增加了难度，考查学生的空间想象力．从点线面入手，想一下有没有可能．5．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体是一个长方体截去一个半圆柱，长方体的长宽高分别是4，2，3，截取的半圆柱的底面圆的半径是1，高是3，体积做差得到结果．【解答】解：由三视图可知，该几何体是有长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，那么圆柱体的高位3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为4×2×3﹣π×1×3=24﹣，故选C．【点评】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体各个部分的长度，本题是一个基础题．6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】由已知得该三棱柱的底面棱长为2，高为1的正三棱柱，先求出底面外接圆半径和球心到底面的球心距，从而能求出球半径，由此能求出该球的表面积．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=，则球半径R2==，则该球的表面积S=4πR2=．故选：B．【点评】本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正三棱柱的结构特征和球的性质的合理运用．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A． B． C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选B．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．8．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】过P作平面A垂直于α、β的交线l，并且交l于点0，连接PO，则PO垂直于l，过点P在A内做OP的垂线L'，以PO为轴在垂直于PO的平面内转动L'，根据三垂线定理可得有两条直线满足题意．以P点为轴在平面A内前后转动L'，根据三垂线定理可得也有两条直线满足题意．【解答】解：首先给出下面两个结论①两条平行线与同一个平面所成的角相等．②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．图1．（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=80°设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=40°，与平面α，β所成的角都是30°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30°情形．图2．（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′的平分线，则∠P2OA=∠P2OB=50°，与平面α，β所成的角都是50°．当OP2以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现30°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．综上所述，直线的条数共有4条．故选：D．【点评】本题主要考查线面角，以及考查解决线面角的特殊方法的应用，考查空间想象能力，体现了转化的思想和运动变化的思想方法，此题是个难题．9．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤2【考点】直线的斜率．【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选C．【点评】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况．10．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a【考点】平面与平面平行的性质．【分析】此题根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大．【解答】解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的最短距离．而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于或等于c，判断a和b时，因为B是n上任意一点，则a大于b．故选D．【点评】此题主要考查平面间与平面平行的性质．考查点到直线距离．11．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题．【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积．【解答】解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选A．【点评】本题考查了正方体和它的内接球的结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力．12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的半径为（）A．3 B．1 C．2 D．4【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r．利用截面的性质即可得到三棱锥S﹣ABC的体积可看成是两个小三棱锥S﹣ABO和C﹣ABO的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，球的半径r．∵SC⊥OA，SC⊥OB，∴SC⊥平面AOB，三棱锥S﹣ABC的体积可看成是两个小三棱锥S﹣ABO和C﹣ABO的体积和．∴V三棱锥S﹣ABC=V三棱锥S﹣ABO+V三棱锥C﹣ABO=××r2×r×2=，∴r=2．故选C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S﹣ABC的体积看成是两个小三棱锥S﹣ABO和C﹣ABO的体积和．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是垂直．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由两直线中x，y的系数积之和为0，得到这两条直线垂直．【解答】解：∵直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0，∴x，y的系数积之和：cosθsinθ+sinθ（﹣cosθ）=0，∴这两条直线垂直．故答案为：垂直．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两直线平行与垂直的性质的合理运用．14．已知△ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6），直线l平行于AB，且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△CAB面积的，则直线l的方程为x﹣2y+5=0 ．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】由平行和斜率公式易得直线EF的斜率为．再由面积易得E是CA的中点，可得点E的坐标，进而可得直线的点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：由题意直线AB的斜率k==，∵EF∥AB，∴直线EF的斜率为．∵△CEF的面积是△CAB面积的，∴E是CA的中点，∴点E的坐标是（0，）．∴直线EF的方程是 y﹣=x，即x﹣2y+5=0，故答案为：x﹣2y+5=0．【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及平行关系和中点公式，属基础题．15．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，点E，F分别在AA1，CC1上，且AE=AA1，CF=CC1，点A，C到BD的距离之比为3：2，则三棱锥E﹣BCD和F﹣ABD的体积比= ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据A、C到BD的距离之比算出S△BCD=S△ABD．由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AE= AA1且CF=CC1，算出AE=CF，再由锥体的体积公式加以计算即可得到的值．【解答】解：∵点A、C到BD的距离之比为3：2，∴△BCD和△ABD的面积之比为3：2，可得S△BCD=S△ABD∵AE=AA1，CF=CC1，∴∵三棱锥E﹣BCD的体积V1=S△BCD•AE，三棱锥F﹣ABD的体积V2=S△ABD•CF∴===•=•=故答案为：【点评】本题给出直棱棱柱上满足条件的点，求两个三棱锥的体积之比．着重考查了直棱柱的性质、三角形的面积比和锥体的体积公式等知识，属于中档题．16．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为①②④．【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其它题目每题12分）17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB=，BC=1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接EC，并延长与DA的延长线交于N，则E是AC的中点，可得EF∥PA，即可证明EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明DE⊥平面PAC，再证明平面PAC⊥平面PDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接EC，并延长与DA的延长线交于N，则E是AC的中点，因为F是PC的中点，…所以EF∥PA，又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，故EF∥平面PAD．…（Ⅱ）设AC∩DE=G，由△AEG∽△CDG及E为AB中点得=，又因为AB=，BC=1，所以AC=，AG=AC=．所以，又∠BAC为公共角，所以△GAE∽△BAC．所以∠AGE=∠ABC=90°，即DE⊥AC．…又DE⊥PA，PA∩AC=A，所以DE⊥平面PAC．…又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥面PDE．…【点评】本题以四棱锥为例，考查了空间的直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，属于中档题．18．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC 的中点．（1）求O点到面ABC的距离；（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】通过以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用点O 到面ABC的距离公式d=，两个平面的法向量夹角公式=即可得出．．【解答】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．∴，．设平面ABC的法向量为，则，令x=1，则z=2，y=1，∴．∴点O到面ABC的距离d===．（2）=（2，﹣1，0）．设平面EAB的法向量为，则，令a=1，得b=c=2，∴．由（1）知平面ABC的法向量．===．∴==．结合图形可知，二面角E﹣AB﹣C的正弦值是．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用点O到面ABC的距离公式d=求点到直线的距离，两个平面的法向量夹角公式=求二面角等是解题的关键．19．以A（4，5）为顶点，试在x轴上找一点B，在直线2x﹣y+2=0上找一点C，使得△ABC 周长最小．【考点】直线的一般式方程．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设A点关于x轴的对称点A′（x′，y′），关于直线l：2x﹣y+2=0的对称点为A″（x″，y″），连接A′A″交l于点C，交x轴于B点．由平面几何知识可知：点B，C即为所求．利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出．【解答】解：设A点关于x轴的对称点A′（x′，y′），关于直线l：2x﹣y+2=0的对称点为A″（x″，y″），连接A′A″交l于点C，交x轴于B点．由平面几何知识可知：点B，C即为所求．可得A′（4，﹣5）．由于点A′与A″关于直线l对称：∴，解得．∴A″（0，7），∴直线A′A″的方程为：3x+y﹣7=0．令y=0，解得x=，∴B．联立，解得，∴C（1，4）．于是|AB|+|BC|+|CA|=|A′A″|==4．综上所述：所求的使得△ABC周长最小．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M 是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．【考点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】方法一（I）说明△ACB是等腰三角形即可说明CM⊥AB，然后推出结论．（II）过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角，解三角形即可，方法二建立空间直角坐标系，（I）证明垂直写出相关向量CM和向量EM，求其数量积等于0即可证明CM⊥EM．（II）求CM与平面CDE所成的角，写出向量CM，以及平面的法向量，利用数量积公式即可解答．【解答】解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EM．（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，连接MF，MD．∠F CM是直线CM和平面CDE所成的角．因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，又因为CM⊥平面EDM，所以CM⊥ED，则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．设EA=a，在直角梯形ABDE中，，M是AB的中点，所以DE=3a，，，得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，所以．在Rt△CMF中，，所以∠FCM=45°，故CM与平面CDE所成的角是45°．方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C﹣xyz，设EA=a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．（I）证明：因为，，所以，故EM⊥CM．（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则，，即，．因为，，所以y0=2，x0=﹣2，，直线CM与平面CDE所成的角θ是n与夹角的余角，所以θ=45°，因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．利用空间直角坐标系解答时，注意计算的准确性．21．直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，AA1=AB1，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC．（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D1的大小；（Ⅱ）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值，不存在，说明理由．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【专题】空间角．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E﹣AC ﹣D1的大小；（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可判断A1P∥面EAC．【解答】解：（Ⅰ）设AC与BD交于O，如图所示建立空间直角坐标系O﹣xyz，设AB=2，则A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），D1（0，﹣1，2），设E（0，1，2+h）则∵D1E⊥平面D1AC，∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A，∴2﹣2h=0，∴h=1，即E（0，1，3）∴设平面EAC的法向量为则由得，令z=﹣1∴平面EAC的一个法向量为又平面D1AC的法向量为，∴，∴二面角E﹣AC﹣D1大小为45°．（Ⅱ）设，得=（0，，），∴，∵A1P∥面EAC，∴，∴，∴∴存在点P使A1P∥面EAC，此时D1P：PE=3：2【点评】本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．要求熟练掌握向量法．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；综合题；数形结合；转化思想；综合法．【分析】（Ⅰ）本小题是一个证明线面平行的题，一般借助线面平行的判定定理求解，如图连接AC，交BQ于N，连接MN，先证明MN∥PA，再由线面平行的判定理证明线面平行；（II）本小题是一个证明面面垂直的题，可采用面面垂直的定义求二面角是直角，或者用面面垂直的判定理证明，由题设条件知，利用面面垂直的判定定理证明较易，观察图形与题设条件，法一：可通过证明BQ⊥平面PAD来证明面面垂直；法二：可通过证明AD⊥平面PBQ．证明平面PQB⊥平面PAD；（III）本小题研究二面角为30°时，确定M的位置，再由M的位置确定出t的值，由（II）由面面垂直的性质定理易得出Q点出发的三个线段QP，QA，QB两两垂直，故可以考虑建立空间坐标系利用空间向量将二面角的大小表示出来，利用二面角为30°建立方程求出t的值【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN．…∵BC∥AD且BC=AD，即BC AQ，∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又∵点M在是棱PC的中点，∴MN∥PA．…∵MN⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，…∴PA∥平面MBQ．…（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．…∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，…∴BQ⊥平面PAD．…∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…另证：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点∴BC∥DQ 且BC=DQ，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．…∵PA=PD，∴PQ⊥AD．…∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．…∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．…（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．…设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，，∴t=3．…【点评】本题考查与二面角有关的立体几何证明题，考查了二面角的求法，面面垂直的证明方法以及线面平行的证明，解题的关键是熟练掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步骤，面面垂直与线面平行的相关定理定义等，向量中的方程与立体几何中位置关系的对应，如数量积为0与垂直的对应，向量的共线与平行的对应，向量夹角与线线角，线面角，面面角的对应，本题考查了数形结合的思想，转化的思想，方程的思想，考查了待定系数建立方程的技巧，用向量解决立体几何问题的方法，本题知识性综合性强，考查空间想像能力，推理判断能力及转化的能力，本题运算量大，且多是符号运算，解题时要严谨。
安徽省铜陵市第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题答案
19.证明：(1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC.因为 E 为 AD 的中点,
AB=BC=12AD,AD∥BC, 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 所以 O 为 AC 的中点. 又在△PAC 中,F 为 PC 的中点,所以 AP∥OF. 又 OF⊂平面 BEF,AP⊄平面 BEF, 所以 AP∥平面 BEF. (2)由题意知,ED∥BC,ED=BC, 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD,所以 AP⊥CD,所以 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC⊂平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC.
当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC=
5,此时
C
到直线
y=-2x+4
的距离
d=
9 5
5.
圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交,
因此,t=-2 不符合题意,舍去.
故圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
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解得 x=3 2<2
2
2.
连接 MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面 BDM,BD⊂平面 BDM.
∴PC⊥平面 BDM.
∴满足条件的点 M 存在,此时 PM 的长为322.
----------------------12 分
22.(1)证明：∵圆 C 过原点 O, ∴OC2=t2+ 42.
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20.解：(1)设圆 C 的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
2019-2020学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系为( ) A ．相交、平行或异面 B ．相交或平行 C ．异面 D ．平行或异面【答案】A【解析】根据异面直线的定义可得直线a ，c 的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线． 【详解】因为a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．如下图所示，满足题意的条件，图①中a ，c 相交，图②中a ，c 平行，图③中a ，c 是异面直线.故选：A ． 【点睛】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，属于基础题．2．已知直线1l :()()34210k x k y -+-+=与2l ：()23230k x y --+=平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或52C ．3或52D ．1或2【答案】C【解析】当30k -=时，求出两直线的方程，检验是否平行；当30k -≠时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k 的值．【详解】当30k -=，即3k =时，两直线的方程分别为12y = 和32y =，显然两直线平行． 当30k -≠时，由()43123232k k k --=≠--，可得52k = 综上，k 的值是 3或52， 故答案为：3 或52. 【点睛】本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想．3．圆锥的底面半径为1 ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】C【解析】先得出母线的长，再根据圆锥表面积公式计算． 【详解】圆锥的底面半径为1，则母线长l ==2 圆锥的表面积S ＝S 底面+S 侧面＝πr 2+πrl ＝π+2π＝3π 故选：C ． 【点睛】本题考查了圆锥表面积的计算．属于基础题．4．在直线34270x y --=上到点()2,1P 距离最近的点的坐标是（ ） A ．()5,3- B ．()9,0 C ．()3,5-D ．()5,3-【答案】A【解析】根据题意可知，当过点P 的直线与已知直线垂直时，两直线的交点到点P 的距离最短，所以根据已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出过点P 直线的斜率，又根据点P 的坐标和求出的斜率写出该直线的方程，然后联立两直线的方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解即可得到点B 的坐标． 【详解】根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点， 因为已知直线3x ﹣4y ﹣27=0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为43-， 又P （2，1），则该直线的方程为：y﹣1=43 -（x﹣2）即4x+3y﹣11=0，与已知直线联立得：4311034270x yx y+-=⎧⎨--=⎩①②①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，把x=5代入①解得y=﹣3，所以53xy=⎧⎨=-⎩，所以直线3x﹣4y﹣27=0上到点P（2，1）距离最近的点的坐标是（5，﹣3）．故选：A．【点睛】本题的考点是两直线的交点坐标，考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标．解本题的关键是过点P垂直于已知直线的直线，垂足即为已知直线上到点P的最短距离的点．5．若圆与圆222:680C x y x y m+--+=外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．-11【答案】C【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m+--+=⇒-+-=-,所以250m->25m⇒<且圆2C的圆心为()3,4,半径为25m-,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得()()223040125m-+-=+-9m⇒=,故选C.【考点】圆与圆之间的外切关系与判断6．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A ．372cmB ．390cmC ．3108cmD ．3138cm【答案】B【解析】由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别为：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是：4，3，高是3.其几何体的体积：31V 34634390?2cm =⨯⨯+⨯⨯⨯=． 故选B.7．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．6【答案】B【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=， 由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .【考点】圆的几何性质，点到直线距离公式.8．正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为( ) A 22B 3C 6D ．22【答案】B【解析】连接EF ，由BF CF =，我们易得FED ∠是线面所成角，设棱长为a ，求出三角形FED 的各边长，代入余弦定理，求出FED ∠的余弦后，再根据同角三角函数关系，即可得到直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值． 【详解】连接EF ，由题意得BF CF =，BD CD =，则FE BC ⊥，DE BC ⊥，∴BC ⊥面DEF ，∴DF BC ⊥，又DF CF ⊥，∴DF ⊥面CFB ，FED ∴∠是线面所成角设棱长a ，CD a =，3ED BF CF == 三角形BCF 是等腰三角形，则22EF a =由余弦定理得，6cos FED ∠ 则3sin FED ∠= 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，解答的关键是根据已知条件，求出FED ∠即为直线DE 与平面BCF 所成角的平面角．9．垂直于直线1y x =+且与圆224x y +=相切于第三象限的直线方程是( ) A ．20x y ++= B ．20x y ++= C ．20x y +-= D ．220x y +-=【答案】A【解析】根据两直线垂直求出所求切线的斜率，由此设出切线方程，利用圆心到直线的距离d r =，即可求出切线的方程，再验证是否满足条件即可． 【详解】设所求的直线为l ，Q 直线l 垂直于直线1y x =+，可得直线l 的斜率为1k =-，∴设直线l 方程为y x b =-+，即0x y b +-=，又直线l 与圆224x y +=相切，∴圆心(0,0)O 到直线l 的距离22d ==，解得22b =±当22b =-时，可得切点坐标()2,2--，切点在第三象限； 当22b =时，可得切点坐标()2,2，切点在第一象限；Q 直线l 与圆221x y +=的切点在第三象限，∴取22b =-，此时的直线方程为220x y ++=．故选：A ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，3AB =，14BB =，长为1的线段PQ 在棱1AA 上移动，长为3的线段MN 在棱1CC 上移动，点R 在棱1BB 上移动，则四棱锥R PQMN -的体积是( )A ．12B ．10C ．6D ．不确定【答案】C【解析】先求出底面PQMN 的面积，再求R 到底面PQMN 的距离，然后求四棱锥R PQMN -的体积．【详解】由题意可知，底面PQMN 的面积是1332622+⨯R 到PQMN 的距离为322∴四棱锥R PQMN -的体积是：1632⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，是基础题．11．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．3【答案】D【解析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最1+，PAB S ∆最大值为3. 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2）， ∴直线AB 的方程为2x -+2y=1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB .∴△PAB 面积的最大值是11||1)22AB +=⨯= 故选D ． 【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.12．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：2220PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．二、填空题13．若圆224x y +=与圆()222600x y ay a ++-=>的公共弦长为a =________.【答案】1【解析】将两个方程两边相减可得220ay -=，即1y a=代入224x y +=可得x ==2143a -=，解之得1a =，应填1．14．过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程为__________． 【答案】234100x x y =-+=或【解析】若斜率不存在，直线2x =与圆224x y +=相切，符合题意；若斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，32,4k ==，∴切线方程为2x =或34100x y -+=，故答案为2x =或34100x y -+=.15．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为______.【答案】2231240x y x y ++--=【解析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0 ∴70λ-+= 解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键. 16．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是__________． 【答案】6π．【解析】取AC 中点D ，连接,,2,SD BD AB BC BD AC ==∴⊥Q ，2,,SA SC SD AC AC ==∴⊥⊥Q 平面,SDB SDB ∴∠为二面角S AC B --，在ABC ∆中，,2,2AB BC AB BC AC ⊥===，取等边SAC ∆的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面,ABC O 为外接球球心，3ED ∴=，二面角S AC B --的余弦值是362cos EDO OD ∴∠==6,BO OA OS OC O ∴====∴点为四面体的外接球球心，其半径为62为64=64πππ⨯，故答案为6π.三、解答题17．己知直线l ：33y x =+.（1）求点()4,5P 关于直线l 的对称点坐标； （2）求直线l 关于点()4,5P 对称的直线方程. 【答案】（1）()2,7-；（2）317y x =-.【解析】（1）设点(4,5)P 关于直线l ：33y x =+的对称点的坐标为(,)a b ，则有题意可得5314543322b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯+⎪⎩，求得a 、b 的值，即可得到点(4,5)P 关于直线l 的对称点坐标．（2）在直线l ：33y x =+上任意取出两个点(0,3)C 、(1,0)D -，求出这两个点关于点()4,5P 对称点分别为C '、D '的坐标，由题意可得C '、D '是所求直线上的两个点，由两点式求得所求直线的方程．【详解】（1）设点(4,5)P 关于直线l ：33y x =+的对称点的坐标为(,)a b ， 则由题意可得5314543322b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯+⎪⎩，解得27a b =-⎧⎨=⎩， 故点(4,5)P 关于直线l 的对称点的坐标为(2,7)-．（2）在直线l ：33y x =+上任意取出两个点(0,3)C 、(1,0)D -，由中点坐标公式，可求得这两个点关于点()4,5P 对称点分别为(8,7)C '、(9,10)D '， 由题意可得(8,7)C '、(9,10)D '是所求直线上的两个点，由两点式求得所求直线的方程为9878107y x --=--，即317y x =-． 【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，用两点式求直线的方程，属于中档题．18．如图，已知面11AA B B 垂直于圆柱底面，AB 为底面直径，C 是底面圆周上异于,A B 的一点，12AA AB ==.求证:（1）平面1AAC ⊥平面1BA C ； （2）求几何体1A ABC -的最大体积V .【答案】（1）见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）证明两个平面垂直，应用两面垂直的判定定理，在其中一个面内找一条直线与另一个面垂直。
安徽省铜陵市第一中学2018学年高二9月月考数学试题 含
高二年级九月月考数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.有下列命题：（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； （2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； （4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（1）（3）D ．（2）（4） 2.下列四个说法：①//,a b αα⊂，则//a b ；②,a P b αα⋂=⊂，则a 与b 不平行； ③a α⊄，则//a α；④//,//a b αα，则//a b ； 其中错误的说法的个数是（ ） A ．1个 B ．2 个 C ．3个 D ．4个3.如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直；以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．③④C ．②④D ．②③④4.如图，在棱长为2 的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心，E F 、分别是1CC AD 、的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ）A．45 D ．235.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1333π+ B ．52π+ C ．53π+ D ．1332π+ 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为4710143,9,77n S a a a S S ++=-=，则使n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足17180,0S S ><，则17121217,,,S S S a a a 中最大的项为（ ） A ．66S a B ．77S a C ．88S a D ．99Sa 8.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个图中，面积最小的面与底面面积之比为（ ）A ．13 B ．23 C ．34 D ．259.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ）A ．12πB ．C ．D ．10.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）A ．3．23C ．2．5+11.已知,,x y z 为正实数，则222xy yzx y z+++的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C．2D12.在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对边的边长，若2cos sin 0cos sin A A B B+-=+，则a bc+的值是（ ） A ．1 B．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知,x y 满足2420x x y x y m ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，若目标函数3z x y =+的最大值为10，则z 的最小值为____________．14.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是____________．15.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式n a =__________． 16.设正数,,a b c 满足14936a b c a b c ++≤++，则23b c a b c+=++___________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其它题目每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）如图，在四边形ABCD中，0090,135,5,2DAB ADC AB CD AD ∠=∠====，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AC BC CC AC BC ===⊥，点D 是AB 的中点．（1）求证：1//AC 平面 1CDB ； （2）求三棱锥的体积1B B CD V -； 19.（本小题满分12分）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b C c a +=．（1）求角B 的大小 ；（2）若BD 为AC 边上的中线，1cos ,7A BD ==，求ABC ∆的面积． 20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log n n a b a = ，求{}n b 的前n 项和n T ． 21.（本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,b,c a ，且()222cos sin cos A C b a c ac A A+--=．（1）求角A ； （2）若a =bc 的取值范围．22.（本小题满分12分）因发生交通事故，一辆货车上的某种液体溃漏到一池塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放()14,a a a R ≤≤∈个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y a f x = ，其中()()()161048154102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．参考答案1----5： DABBD 6---10:BDDBC 11---12：CB 13. 6 14. 4 15. 2n16. 13617. 如图，（数据都标在图中）(){}((25222552222253560πππππππππ=+⨯+⨯⨯÷+⨯⨯⎡⎤⎣⎦=++=+【2】体积=圆台体积-圆锥体积()[]{}()()()()1/325254441/32221/33941/38428/3118/3ππππππππππ=+⨯+⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯=-=18.解答：∵在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥， ∴1AC BC CC 、、两两垂直，如图，以C 为原点，直线1,,CA CB CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,1,1,0C A B C D ．（1）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则()0,1,1E ．∵()()11,0,1,2,0,2DE AC =-=-，∴112DE AC = ，∴1//DE AC ．．．．．．．．．．．．．．．．3分∵DE ⊂平面11,CDB AC ⊄平面 1CDB ，∴1//AC 平面 1CDB ．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设点B 到平面1CDB 的距离为h ， 在三棱锥1B BCD -中，∵11B BCD B B CD V V --=，且1B B ⊥平面 BCD ，∴11BCD B CD S B B S h ∆∆= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分易求得1111,2BCD B CD S S CD B D ∆∆===，∴11BCD B CD S B B h S ∆∆== ． 即点B 到平面1CDB的距离是3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 19.解：（1）∵222cos 2a b c C ab +-=，∴代入已知等式得：222222a b c b a c ab+-=-， 整理得：222a cb ac +-=，∴2221cos 22a cb B ac +-==, ∵()0,B π∈， ∴3B π=；（2）由3B π=得，sin B =，**sin 2a c B S ===． 20.解：（1）因为233n n S =+，所以，1233a =+，故13a =， 当1n >时，11233n n S --=+，此时，1122233n n n n n a S S --=-=-，即13n n a -=， 所以，13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩． （2）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==- ，所以1113T b ==, 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++- ． 所以()()01231132313nn T n --=+⨯+⨯++- ，两式相减，得()()()101211122131363233313133313623n n n n n nn T n n -------+=+++--=+--=--⨯ ， 所以13631243n n n T +=+⨯，经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=+⨯． 21．解：（1）045A =；（2）222.解：（1）因为4a =，所以()()644048202410x y x x x ⎧-≤≤⎪-⎨⎪-<≤⎩，①当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤． ②当010x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得，08x ≤≤，即，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． （2）当610x ≤≤时，()()161616251101442861414x a a y a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由题意知，4y ≥对于[]6,10x ∈恒成立．因为[]144,8x -∈，而14x ≤≤，所以[]4,8，故当且仅当14x -=时，y 有最小值为4a -，令44a -≥，解得244a -≤，所以a 的最小值为24-24 1.6-≈，所以a 的最小值约为1.6．。
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·铜梁月考) 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A . 四面体B . 圆锥C . 圆柱D . 三棱柱2. （2分） (2017高三上·定州开学考) 三角函数f（x）=asinx﹣bcosx，若f（﹣x）=f（ +x），则直线ax﹣by+c=0的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定4. （2分）直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·珠海期末) 空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC . 若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bD . 若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b6. （2分）“”是“直线与平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高二下·河北期末) 若圆（）上仅有个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°9. （2分）(2018·凯里模拟) 直线和圆的位置是（）A . 相交且过圆心B . 相交但不过圆心C . 相离D . 相切10. （2分）已知a,b 满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·深圳模拟) 已知三棱锥S﹣ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A . 64πB . 68πC . 72πD . 100π12. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（）A . （x+2）2+（y+3）2=9B . （x+3）2+（y+5）2=25C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·扬州模拟) 已知正四棱锥的体积是48cm3 ，高为4cm，则该四棱锥的侧面积是________cm2 ．14. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是________．15. （1分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是________16. （1分）(2017·广安模拟) 若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a 的值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （15分）(2018·汉中模拟) 如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，分别为中点，且， .（1）平面；（2）若为线段上一点，且平面，求的值；（3）求四棱锥的体积.18. （10分） (2016高二上·襄阳期中) 已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．19. （5分） (2016高三上·成都期中) 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20. （5分）(2017·西城模拟) 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．21. （10分）(2018·全国Ⅲ卷理) 在平面直角坐标系中，的参数方程为 (为参数)，过点且倾斜角为的直线与交于两点（1）求的取值范围（2）求中点的轨迹的参数方程22. （10分）如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC= ，PA=AD=CD=4，AB=2，E为侧棱PD中点.（1）设F为棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得平面AEF∥平面PBC，并写出证明过程；（2）求点B到平面PCD的距离.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
铜陵市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
铜陵市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ） A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 22． 设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 3． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（ ）A ．4B ．8C ．10D ．134． A={x|x ＜1}，B={x|x ＜﹣2或x ＞0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，1）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣2，0）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）5． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对6． 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,57． P是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a+b ﹣c8． 已知M={（x ，y ）|y=2x }，N={（x ，y ）|y=a}，若M ∩N=∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，1] C ．（﹣∞，0） D ．（﹣∞，0]9． 函数y=（x 2﹣5x+6）的单调减区间为（ ）A．（，+∞） B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，） D ．（﹣∞，2）10．已知集合 M={x||x|≤2，x ∈R}，N={﹣1，0，2，3}，则M ∩N=（ ）A ．{﹣1，0，2}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}11．定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f << 12．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．9二、填空题13．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．14．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．15．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．16．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ．17．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足AB =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.18．直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为 ．三、解答题19．已知函数f （x ）=2x 2﹣4x+a ，g （x ）=log a x （a ＞0且a ≠1）．（1）若函数f（x）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若f（1）=g（1）①求实数a的值；②设t1=f（x），t2=g（x），t3=2x，当x∈（0，1）时，试比较t1，t2，t3的大小．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．21．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．22．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．23．已知函数f（x）=在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）（1）求m和t的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．24．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：AD⊥BC（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．铜陵市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．2．【答案】A【解析】考点：集合的包含关系的判断与应用.【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 3．【答案】C【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），∵2tan=2，lg=﹣1，∴（2tan）⊗lg=（2tan）×（lg+1）=2×（﹣1+1）=0，∵lne=1，（）﹣1=5，∴lne⊗（）﹣1=（）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，∴+=0+10=10．故选：C．4． 【答案】D【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），∴A ∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1），故选：D ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5． 【答案】B 【解析】解：∵a=3，，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB===1，∴B=90°，即满足条件的三角形个数为1个． 故选：B ．【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．6． 【答案】D 【解析】试题分析：分析题意可知：对应法则为31y x =+，则应有42331331a a a k ⎧=⨯+⎪⎨+=⋅+⎪⎩（1）或42313331a k a a ⎧=⋅+⎪⎨+=⨯+⎪⎩（2），由于*a N ∈，所以（1）式无解，解（2）式得：25a k =⎧⎨=⎩。
2019-2020学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中考试数学试题 (Word版)
铜陵市一中期中考试 第 1页,共 9 页铜陵市一中2019—2020学年度第一学期高二年级学段（期中）考试数学试卷命题教师：聂鑫 审题教师：鲍光平考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若 a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线,则 a ,c 的位置关系为( )A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面2.已知直线 l 1:(k-3)x+(4-2k )y+1=0 与 l 2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( )A.1 或 3B.1 或C.3 或D.1 或 23.圆锥的底面半径为 1，高为3 ，则圆锥的表面积为( )A .B .2C .3D .44.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P (2,1)距离最近的点的坐标为()A .(5,-3)B .(9,0)C .(-3,5)D .(-5,3)5.若圆 C 1:x 2+y 2=1 与圆 C 2:x 2+y 2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( )A.21B.19C.9D.-116.某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是( )A.72 cm 3B.90 cm 3C.108 cm 3D.138 cm 37.若圆 C :x 2+y 2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a ,b )向圆所作的切线长的最小 值是()铜陵市一中期中考试 第 2页,共 9 页A.2B.3C.4D.68.正四面体 ABCD 中，E 、F 分别是棱 BC 、AD 的中点，则直线 DE 与平面 BCF 所成角的正弦值为（ ）9.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x 2+y 2=4 相切于第三象限的直线方程是( A.x+y+22=0B.x+y+2=0C.x+y-2=0D.x+y-2 2=010.如图,在正四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BB 1=4,长为 1 的线段 PQ 在棱 AA 1上移动,长为3 的线段 MN 在棱 CC 1上移动,点 R 在棱 BB 1上移动,则四棱锥 R-PQMN 的体积是 ( )A.12B.10C.6D.不确定11.已知 A (-2,0),B (0,2),实数 k 是常数,M ,N 是圆 x 2+y 2+kx=0 上两个不同点,P 是圆 x 2+y 2+kx=0上的动点,如果点 M ,N 关于直线 x-y-1=0 对称,则△P AB 面积的最大值是( )A.3-2B.4C.3+2D.612.设圆C : x 2 y 2 3，直线l : x 3y 6 0 ，点P x 0, y 0l ，若存在点Q C ，使得OPQ 60（O 为坐标原点），则 x 0的取值范围是( )填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上))铜陵市一中期中考试 第 3页,共 9 页二、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知直线l : y 3x 3.(1)求点P 4,5关于直线l 的对称点坐标；(2)求直线l 关于点P 4,5对称的直线方程.18.(本小题满分 12 分)如图,AA 1B 1B 是圆柱的轴截面,C 是底面圆周上异于 A ,B 的一点,AA 1=AB=2.(1)求证:平面 A 1AC ⊥平面 BA 1C ;(2)求 1-鏸 的最大值.铜陵市一中期中考试 第 4页,共 9 页19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP ⊥平面 PCD ,AD ∥BC ,AB=BC= AD ,E ,F 分别为线段 AD ,PC 的中点.求证: (1)AP ∥平面 BEF ;(2)BE ⊥平面 P AC.20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 M (0,-2),N (3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1)求圆 C 的方程;(2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A ,B 两点,是否存在实数 a ,使得过点 P (2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,P A ⊥底面 ABCD ,P A=AB=2,E 为 P A 的中点. (1)求证:PC ∥平面 EBD ;(2)求三棱锥 C-P AD 的体积 V C-P AD ;(3)在侧棱 PC 上是否存在一点 M ,满足 PC ⊥平面 MBD ,若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理由.22.(本小题满分 12 分)已知以点 C (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和点 A ,与 y轴交于点 O 和点 B ,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值;(2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M ,N ,若 OM=ON ,求圆 C 的方程.1 2铜陵市一中期中考试 第 5页,共 9 页数学答案13. 1 14.2=x 或01043=+-y x 15. 0412322=--++y x y x 16.π617. (1)()7,2- ----------------------5分 (2)173-=x y ----------------------10分18.(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A ,B 的一点,且AB 为底面圆的直径,∴BC ⊥AC.又AA 1⊥底面ABC ,∴BC ⊥AA 1, 又AC ∩AA 1=A ,∴BC ⊥平面A 1AC. 又BC ⊂平面BA 1C ,∴平面A 1AC ⊥平面BA 1C. ----------------------6分(2)解：在Rt △ACB 中,设AC=x ,∴BC= - - (0<x<2),∴ -S △ABC ·AA 1=AC ·BC ·AA 1=-- )- - ) (0<x<2).∵0<x<2,∴0<x 2<4.∴当x2=2,即x=时,-的值最大,且-的最大值为. ----------------------12分19.证明：(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.因为E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,所以O为AC的中点.又在△P AC中,F为PC的中点,所以AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF. ----------------------6分(2)由题意知,ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面P AC,所以BE⊥平面P AC. ----------------------12分20.解：(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有-故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0. ----------------------6分(2)设符合条件的实数a存在,因为l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,铜陵市一中期中考试第6页,共 9 页铜陵市一中期中考试 第 7页,共 9 页所以l 的斜率k PC =-2. k AB =a=-,所以a=. ----------------------8分 把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C 的方程, 消去y ,整理得(a 2+1)x 2+6(a-1)x+9=0. 由于直线ax-y-1=0交圆C 于A ,B 两点, 则Δ=36(a-1)2-36(a 2+1)>0, 即-2a>0,解得a<0.则实数a 的取值范围是(-∞,0). 由于∉(-∞,0),故不存在实数a ,使得过点P (2,0)的直线l 垂直平分弦AB. ----------------------12分21.(1)证明：设AC ,BD 相交于点F ,连接EF ,∵四棱锥P-ABCD 底面ABCD 为菱形, ∴F 为AC 的中点,又∵E 为P A 的中点,∴EF ∥PC. 又∵EF ⊂平面EBD ,PC ⊄平面EBD ,∴PC ∥平面EBD. ----------------------4分(2)解：∵底面ABCD 为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD 是边长为2的正三角形,又∵P A ⊥底面ABCD,∴P A为三棱锥P-ACD的高,∴V C-P AD=V P-ACD=S△ACD·P A=×22×2=. ----------------------8分(3)解：在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵P A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥P A.∵AC∩P A=A,∴BD⊥平面P AC,∴BD⊥PC.在△PBC内,可求PB=PC=2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2,解得x=<2.连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.∴PC⊥平面BDM.∴满足条件的点M存在,此时PM的长为. ----------------------12分22.(1)证明：∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+-=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=OA·OB=×|2t|=4,即△OAB的面积为定值. ----------------------6分铜陵市一中期中考试第8页,共 9 页(2)解：∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=.∴t,解得t=2或t=-2. ----------------------8分当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ----------------------12分铜陵市一中期中考试第9页,共 9 页。
安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二10月月考数学试题 Word版
3 2 333 2 33铜陵一中高二年级 10 月份月考数学试卷考试时间：120 分钟满分：150 分一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1、直线3x + 4 y - 2 = 0 和直线6x + 8 y + 1 = 0 的距离是（）． 3 1 A.B.523 1 C.D.1052、下列命题正确的是（）．A. 两两相交的三条直线可确定唯一一个平面B. 两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C. 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D. 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线3、如图所示是水平放置的∆ABC 按“斜二测画法”得到的直观图，B 'O ' =C 'O ' = 1, A 'O ' =3 ，则原∆ABC 中∠ABC 的大小是（）．2A. 30ºB. 45ºC. 60ºD. 90º4、执行下面的程序框图，如果输入的 x i m ，y i h ，n i h ，则输出的 x 、y 的值满足（）．A. y = 2xB. y = 3xC. y = 4xD. y = 5x5、已知某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（）．A. 2 +πB. 2 + 2πC.+π D.+ 2π13 23 3 3317 17 2 6、若点A 是点 B (1,2,3) 关于x 轴的对称点，点C 是点 D (2,-2,5) 关于y 轴对称的点，则 AC =（）．A. 5B. C. 10 D.7、已知直线l 1：2x - y + 1 = 0 ，直线l 2 过点(1,1) ，且倾斜角为直线l 1 的倾斜角的两倍，则直线l 2 的方程为（）．A. 4x + 3y - 7 = 0B. 4x + 3y + 1 = 0C. 4x - y - 3 = 0D. 4x - y + 5 = 08、点 P (4,-2) 与圆 x 2 + y 2 = 4 上任意一点连线的中点轨迹方程是（）．A. ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 1B. ( x + 2)2 + ( y - 1)2 = 1C. ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = 1D. ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 19、古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k (k > 0且k ≠ 1) 的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆。
安徽省铜陵市第一中学高二数学10月月考试题(含解析)
铜陵市第一中学2017-2018学年度第一学期高二年级10月月考测试卷数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线l经过，则直线l的倾斜角为（）A. 20°B. 70°C. 160°D. 110°【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，则直线的斜率选D2. 下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】 A. ，直线和平面垂直的性质定理；B. ，直线与平面平行的性质定理；C. ，直线与平面垂直的判定定理D，利用面面垂直判定线面垂直的性质定理故选C3. 已知两条直线与互相平行，则( )A. B. -1 C. 1,0 D. -1,0【答案】B【解析】由题两条直线与互相平行，显然则解得，故选B4. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成的角是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°【答案】C【解析】不妨设如图连接，则即为异面直线与所成的角（或其补角），则，选C5. 过平面外一点A作的两条互相垂直的斜线AB、AC，它们与面所成的角分别为15°和75°，则的内角B=（）A. 75°B. 15°C. 30°D. 60°【答案】B【解析】如图，由题意可知，，且选B6. 点P是直线上一点，O为坐标原点，则的最小值为（）A. 13B.C. 8D.【答案】B【解析】点P是直线上一点，为坐标原点，则的最小值就是到直线的距离：故选B7. 已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则l的方程为（）A. B. C. 或 D. 以上都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率垂存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得所以直线的方程为综上，直线的方程为或．故选C【点睛】此题考查点到直线的距离公式．解题时容易把斜率不存在的情况遗漏，做题时应充分注意8. 四面体ABCD的棱长AB=CD=6，其余棱长均为，则该四面体外接球半径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，将四面体还原长方体，其棱长分别为，则该四面体外接球半径9. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PC中点，则平面ABE分该四棱锥的两部分的体积比是（）A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3:8【答案】C【解析】如图所示，，则平面分该四棱锥的两部分的体积比是，故选C10. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC且AC=1，AB=2，PA=3，过AB作截面交PC于D，则截面ABD的最小面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，当时，截面ABD的面积最小，此时应有故选C11. 设点M是棱长为2的正方体的棱AD的中点，P是平面内一点，若面分别与面ABCD和面所成的锐二面角相等，则长度的最小值是（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】如图，过点作的平行线交于点、交于点，连接，则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线．，交于点，过点作垂直于点，则有与平面垂直，所以，，即角是平面与平面的所成二面角的平面角，且交于点，过点作于点，同上有：，且有，又因为，故而，故，而四边形一定是平行四边形，故它还是菱形，即点一定是的中点，点长度的最小值是点到直线的距离，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∴长度的最小值故选A．【点睛】本题考查空间中两点间最小距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，对学生化归与转化思想、数形结合思想有较高要求12. 已知异面直线a,b成70°角，A为空间中一点，则过A且a,b都成55°的平面个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】过作，设直线确定的平面为，∵异面直线成角，∴直线确所成锐角为．设过点的平面与所成的角相等，该平面的垂线与直线都成角，过只能作一条这样的垂线，故此时符合条件的平面只有一个．选A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线l经过A（-1，2）且原点到直线l的距离为1，则l的方程为__________. 【答案】或【解析】当直线斜率不存在时，方程为，当然满足到原点的距离为1；当直线斜率存在时，设方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解之可得故方程为故答案为：或14. 一个几何体的三视图如图，则它的体积为__________.【答案】36【解析】如图所，该几何体为一个三棱柱和一个长方体的组合体，它的体积为即答案为6915. 已知二面角为60°，P为二面角内一点，PA，PB，垂足分别为A和B 且PA=PB=3，则P到棱l的距离为___________.【答案】6【解析】如图所示，与确定平面，与交于点，则即为二面角的平面角，，从而即为所求，16. 在三棱锥A-BCD中，，点P到三个侧面的距离均等于，则PA=__________.【答案】3【解析】分别在上取点使得且三棱锥外接于半径为的球三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线垂直于直线，且在两坐标轴上的截距之和为-2，求直线l的方程.【答案】...............试题解析;设，令，令由题意知：故18. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，是PC中点.(1)求证：BE//面PAD；（2）求证：BE⊥面PCD.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）取的中点F，连接为中点，证明四边形为平行四边形，推出，然后证明（2）首先证明，然后证明，即可得到试题解析;:证明：（1）取PD中点F，连接EF，AF，则(2)由题意知：19. 如图，在三棱锥P-ABC中，P B⊥AC，PB与底面ABC成30°角，的面积为1.(1)若PC⊥AB，求证：P在底面ABC的射影H是的垂心;(2)当二面角P-AC-B为多少时，的面积最大？【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）设法证明，同理：AB⊥CH，所以H为的垂心；(2)将问题转化为而，可求出，的面积的最大值试题解析：（1）证明：由题意知：同理：AB⊥CH，所以H为的垂心；(2)过B作BD⊥AC于D，连接PD，由（1）知：∠PDB即为二面角P-AC-B的平面角，记∠PDB=，在中，当且仅当时等号成立.20. 已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.【答案】(1)8，；(2)8；.【解析】试题分析; 设，则(1)，当且仅当时，等号成立，即(2)，当且仅当试题解析 :设，则(1)，当且仅当时，等号成立，即(2)，当且仅当时等号成立，即21. 在边长为2的正方体中，M是棱CC1的中点.(1)求B到面的距离；(2)求BC与面所成角的正切值；(3)求面与面ABCD所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】试题分析：（1）法1 ，利用等体积法易求法2 作出并证明即为到面的距离.(2)设B1M和AM的延长线相交于G，由（1）知即为所求.(3)法1 过B作BE⊥AN，垂足为E，连接B1E，则即为所求.法2 取A1D1中点F，连接BF，则∠FBB1即为所求.法3 .试题解析：（1）法1法2 连接A1B交AB1于E，D1C交MN于F，连接EF，过B作BH⊥EF，垂足为H，则BH即为所求. 如图，易知：BH=.(2)设B1M和AM的延长线相交于G，由（1）知即为所求.(3)法1 过B作BE⊥AN，垂足为E，连接B1E，则即为所求.法2 取A1D1中点F，连接BF，则∠FBB1即为所求.法3 .22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥面ABCD，PA=AB=2，.(1)求证：面PBD⊥面PAC；(2)求AC与PB所成角的余弦值；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【解析】试题分析; （1）推导出，从而，由此能证明平面法1：如图由余弦定理可求法2(3)过B作BF⊥PC，垂足为F，连接DF可知即为所求，由余弦定理可得二面角的余弦值.试题解析：．(1)证明：又(2)法1：如图法2(3)过B作BF⊥PC，垂足为F，连接DF由（1）知：BD⊥PC，所以，则∠BFD即为所求，BD=DF=【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查两条异面直线所成的角以及二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。