2017-2018学年度第九届高等数学竞赛(答案)

中山大学新华学院第九届高等数学竞赛
姓名 学号 班级 成绩
一、填空题（每题3分，共18分） 1.函数(
)
1
1y ln x =++()()1,00,-⋃+∞。

2. 21
11.dx x
+∞
=⎰。

3.曲线236x x y +=的拐点横坐标为=x 2-;
4. 1
1(1x x -+=⎰2
π. 5.
a =
6.设A =“某人投注的号码中一等奖”，则P （A ）=8613316
1
5.64310C C -=⨯
二、计算题（每题7分，共49分） 1. 设)1ln(2x x y ++=，求dy ． )1ln(2
++=x x d dy )1(1
122++++=
x x d x x ............3分
dx x x
x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++++=1111
22 ----------5分
.1
12
dx x +=
------------7分
2、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，
(1) 求a 与b 的值； (2) 求()f x 的极大值点与极大值。

解：（1）由(1)2f =-且为极小值知，12320a b a b ++=-⎧⎨++=⎩，解得0
;3a b =⎧⎨=-⎩
------------------ 2分
（2）322()3,()333(1)3(1)(1),f x x x f x x x x x '=-=-=-=+-
由上表可得，极大值(1)2f -=。

------------------ 7分 3.设函数()f x 在0x =处有二阶导数,且 0
()
lim
0,x f x x
→=(0)4,f ''= 求(0),(0),f f '10
()lim 1.x
x f x x →⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
解：
4、设
211()x x f x e
-⎧⎪
+=⎨⎪⎩
00x x >≤，求31(2)d f x x -⎰. 解：令2=-t x
，则d d =x t ，当1=x 时，1=-t ; 当3=
x 时，1=t ------------------ 3分
3
101
1
1
1
(2)d ()d ()d ()d ---==+⎰
⎰⎰⎰f x x f
t t f t t f t t 0
211d 1+x x -=⎰
1-0e d x x +⎰114e
π=-+ ------------------ 7分
5. 计算4
0⎰
t =，则2
,2x t dx tdt == ------------------ 2分
4
2
02t te dt =⎰
⎰ ------------------- 4分
2
2
2
22000
2()2422(1)t t t te e dt e e e =-=-=+⎰ -----------------7分
2000011()1()
()
lim ln 1lim lim 0000()
1()(0)1
lim
lim (0)222002
()
(0)lim ()lim 000,
()(0)()
(0)lim lim 0,
()lim 1.
x x x x f x f x f x x
x x x
x x
x x x x f x f x f f x
x
x x f x f f x x x
f x f f x f x x
f x e e
e
x e
e
e
e →→→→⎛⎫+•
⎪
⎝
⎭→→→=
=
→'''-''→→===⨯=-'===⎛
⎫+= ⎪⎝⎭====
6.解：
)1ln(y xe e x
z
y x y x +++=∂∂++, ------------------ 2分
y
x xe y z y x +++=∂∂+11, ------------------ 4分 于是 =)
0,1(dz dy e edx )2(2++. ------------------ 7分
7. 计算二次积分 23
1
2
0y x
x I dx e dy =⎰⎰．
解：被积函数是22
y e ，对于y 而言，它的原函数不能用初等函数表示，需改变积分次序才能进行．
区域D ： 3
,01,
y x y y ⎧≤≤⎨
≤≤⎩ 如图所示．--------- 2分
23
12
y x
x
I dx e dy
=⎰⎰231
2
y y
y
e dy dx
=⎰⎰
=2
122
201(1)2y e y dy -⎰， 令22
y u =， 由上式得----- 4分 1112220
1
112
22
(12)212()|23
u
u
u u u I e u du e du ue du e ue e e =-=-=---=-⎰⎰⎰
------------------ 7分 三、（10
分）0()()()()2.().设有任意阶导数，且满足试求x
f x x t f t dt f x x f x -=-⎰
12()()()2()+()()()2
()=()2
()()()x
x
x
x
x x f t dt tf t dt f x x
x f t dt x f x xf x f x f t dt f x x f x f x f x c e c e -=-'⋅-'-''==+⎰⎰⎰⎰0
00
解：由题意： 等式两端对变量求导：-=即：等式两端再次对变量求导: 上式微分方程对应通解为：12 0,(0)0,(0)21,()x
x x x f f c c f x e e --'=====-令可得，从而=-1,故.
四、应用题（每题9分，共18分）
3
x y =o
x
y x
=-1
1
1 1
y o
1. 解：如图（略），曲线与x 轴的交点为)0,1(-和)0,1(，..........2分
(1) ⎰112)1(--=dx x S 3
4
=............5分
(2) 1
2
V dy π
=⎰()1
210
1122y dy y y πππ⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ .......9分 2. 解：设L 为获得的总利润,L R C =-= 1p 1q +2p 2q -C
=1
p (
)1
120.1p -+2p (
)2
20.01p --(())123540q q ++
=22
11220.1160.01 2.4595p p p p -+-+- (2)
分
解方程组
1112220.2160,0.02 2.40,p p L p p L p p =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩
解得1p =80, 2p =120,唯一驻点是(80,120)．又 ..........6分
A =L 11=－0.2<0,
B =L 12=0,
C =L 22=－0.02<0,
因此 Δ=AC －B 2=0.004>0．
故L 在驻点(80,120)处有极大值. .........8分
于是可以断定,当两个市场售价分别为80和120个单位时,利润最大,最大利润为
L (80,120)=189． ...............9分
五、综合拓展题（5分）
兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。

已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。

试分析半小时后，狗在何处？一小时后，狗在何处？
（1）注意到本题并未给出开始散步时狗的具体位置，因此，我们无法确定半个小时后狗在何处。

即使假设开始散步时狗在哥哥处，我们仍然无法确定狗在半个小时后的位置，因为题目中并没有给出的狗的奔跑方式（比如说狗是从哥哥处沿
接到跑到妹妹处，再沿路返回，周而复始）。

因此，最后的答案仍是狗可以在任何位置。

（2）注意到哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二人之间，因此狗也到家。

题外话：一定有读者对本题答案不以为然，或者有被戏耍的感觉。

我们一直有这样的习惯心理，就是给你的题目一定都有明确的答案。

在一般的教科书里是这样，但在现实的客观世界里未必如此！很多人意见本题就自然联想到初中的“追击或相遇问题”，题目还没有看清，便开始列方程了。

长期的灌输式教育已使我们在某种程度上逐渐丧失了思考的习惯，而逐渐进入某种框定的思维定式。

归根到底，我们过分相信我们的理论，过分相信我们所学的知识，又过分依赖我们手中的笔，而唯独没有启用的是我们头脑中或许还尚存的创造性思维！仅以此题为戒。