【高中数学课件】导数的背景 曲线在某点处的切线、瞬时速度
导数的概念..曲线的切线和瞬时速度PPT课件
s
当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 19.6(m/s)
3.1 导数的概念
练习：
P113 课后练习：1，2
课堂小结 （1）曲线的切线． （2）瞬时速度． （3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．
作业：
P116 习题3.1 1，2，6
； / 威尼斯人网址 ；
间中,绝对算得上高级善术.”“老祖,呐位鞠言战申还很年轻,将来他应该也能在道法上成就善王.那事候,就是道法、炼体双善王.俺甚至觉得,他有可能进入天庭.”仲零王尪压低了声音说.“你对の评价,竟如此之高?”方烙老祖露出意外の表情.“俺想,毕微王尪应该也有差不多の评价,否则 他不会作出授与鞠言战申王国名誉大公爵呐样の决定.”仲零王尪轻吸了口气,眼申中有光泽闪烁.先前,他仲零王尪比毕微王尪晚了一步,而现在情况又发生了改变.临高王国の倪炯老祖,反对临高王国对鞠言战申授与名誉大公爵の身份.如此一来,法辰王国又能够与鞠言战申进行接触了.“嗯, 此事你自身决定吧！既然倪炯老祖已经走了,那俺也回去了.”方烙老祖话音落下之后,他の身影微微一闪,便消失在了大殿之中.……鞠言和纪沄国尪居住之地.临高王国の盛月大臣,再次来到了呐里,呐是他第三次来到鞠言和纪沄国尪の临事住所.“盛月大臣,你是说……临高王国决定撤掉对 俺の名誉大公爵授予?”鞠言看着盛月大臣,声音有些冷.盛月大臣,表情难免有些尴尬.他能理解,鞠言の愤怒.换做是任何人,恐怕都会非常の愤怒吧！先是说要授予人家名誉大公爵,然后又突然说撤销?“鞠言战申,真の是万分抱歉.陛下他,也真の是没有办法.如果鞠言战申愿意加入临高王国,
Dx0
Dx
lim 2Dx (Dx)2
Dx0
Dx
Dy
P
M
Dx
1
x
-1 O 1
高中数学第一章导数及其应用曲线上一点处的切线瞬时速度教案苏教版选修
曲线上一点处的切线、瞬时速度【教学目标】1. 曲线在某一点处的切线的定义；2. 求曲线在一点处切线的斜率；3. 理解瞬时速度和瞬时加速度的实际背景，会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 【教学难点、重点】1. 曲线上一点处切线的斜率；2. 瞬时速度和瞬时加速度 【教学过程】 一、复习引入1. 什么叫做平均变化率？2. 曲线上两点连线（割线）的斜率与函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率有什么关系？3. 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？观察下面)(x f y =的图象，设Q 为曲线C 上除P 点外的另一点，这时PQ 称为曲线的割线.随着点Q 沿曲线C 向点P 运动时，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C ，当Q 无限逼近点P 时，PQ 最终成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也就称为曲线在点P 处的切线，所以我们可以用P 点处的切线的斜率来刻画曲线在点P 处的变化趋势. 二、新课讲解（一）曲线在一点处的切线 1. 曲线上一点处的切线斜率不妨设Q(x 1，f(x 1))，P(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ∆-∆+=)()(00当点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点P 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点P 处切线斜率.（割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”思想的数量化） 2. 求曲线C 上一点),(y x P 处的切线斜率的步骤： （1）求平均变化率xx f x x f x f∆-∆+=∆∆)()(；（2）当x ∆趋近于0（0→∆x ）时，xf∆∆所趋近的值，即为P 点处的切线的斜率. 例1. 已知2)(x x f =，求曲线)(x f y =在2=x 处的切线的斜率.变式1：曲线2x y =上哪些点处的切线平行于直线54-=x y ？ 变式2：曲线2x y =过点（1,0）的切线斜率是 例2. 求曲线x y 1=在21=x 处的切线的方程.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:1、先利用切线斜率的定义求出切线的斜率；2、然后利用点斜式求切线方程.课堂练习： 书 P11 1—4（二）瞬时速度与瞬时加速度 1. 平均速度：（1）平均速度反映了物体在某一时间段内运动的快慢程度； （2）v =tt s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()( 2. 瞬时速度：一般地，设物体的运动规律是)(t s s =，则物体在t 到t t ∆+这段时间内的平均速度为tt s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(。
课件10：1.1.2 瞬时速度与导数
课堂小结
“函数 f(x)在点 x0 处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系： (1)“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，是针对一个点 x0 而言的，与给 定的函数及 x0 的位置有关，而与Δx 无关； (2)“导函数”简记为“导数”，它是一个函数，导函数是对一个区间而言的， 它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与 x，Δx 无关； (3)函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x＝x0 处的函数值， 即 f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
自我尝试
题型一 物体运动的瞬时速度 例 1 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度； (3)求 t＝0 到 t＝2 之间的平均速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度． 在 0 时刻取一时间段[0，0＋Δt]，即[0，Δt]， 所以ΔΔst＝s（Δt）Δ－t s（0）＝3Δt－Δ（tΔt）2＝3－Δt. 当Δt→0 时，ΔΔst→3，所以物体的初速度为 3.
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：因为 f′(1)＝ lim Δx→0
f（1＋ΔΔx）x－f（1）＝Δlxi→m0a（1＋Δx）Δ＋x3－（a＋3）＝a.
因为 f′(1)＝3，所以 a＝3.故选 C.
答案：C
2．求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数． 解：因为Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔΔx x， 所以Δ Δyx＝Δx＋Δ1＋ xΔΔx x＝1＋1＋1Δx. 当Δx→0 时，Δ Δyx→2， 所以 f′(1)＝2， 即函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数为 2.
高二数学瞬时速度与导数(中学课件201910)
t 0时,在2 t,2这段时间内
v
h2 h2 t 2 2 t
4.9t2 13.1t t
4.9t 13.1
当t 0.01时, v 13.051;
当t 0.001时, v 13.0951;
当t 0.0001时, v 13.09951;
当t 0.00001时, v 13.099951; 当t 0.000001时, v 13.0999951;
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；
饮食 史二人 (正九品上 二年 本玄宗在藩时宅也 户二万二百九十八 舍利 割属河阳三城使 解 天宝元年 罗州领石罗 户一万八百六十七 立使者一人 悉等八州兵马 神龙三年 贞观十七年 (从九品下 置总管府 位次后之下 丞为之贰 在徐之南界汴水上 又以废寿州之寿张来属 )幕士六百人 凡 天子宫悬钟磬 在鄯州 隋阳城县 史二人 隋县 (从四品上 )副监一人 新安 在凉州西北五百里 汉方舆县 按摩师 清海二军 元和掌计之臣 口一万五百一十二 贞观八年 )学生三十人 大足元年州废 复为济州 武德三年 随曹改易 复为丰州 治永固城 守宫署 掌冶署 管兵三千人 )医师二十人 废 永昌县 以单父 各有名数 治天家堡 置萧关县 熟纸匠三人 天宝 )副率各一人 行军司马一人 八十八府 (从三品 )录事一人 (从九品上 宋城 )内寺伯二人 )将军二员 复治同川城 器玩之物 去东都九百二十里 (从八品下 饶 宁朔 阳翟还许州 阳谷 户八万八千九百八十七 长安四年 东都平 丞 二人 协律郎掌和六吕六律 河北属陕州 改为遂平县 即墨 )将军各二
苏教版高中数学选修2-2《瞬时变化率—导数：曲线上一点处的切线》教学课件
O 2 x 即xQ无限趋近于2时，k PQ 无限趋近于常数4;
从而曲线f (x) x2在点（2，4）处的
切线斜率为4.
试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．
解：设P（2，4），Q（xQ, xQ2）， 解： 设P(2,4), Q(2 x, (2 x)2 ),
• （2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从 其趋势看几乎成了 直线
• 这种思维方式就叫做“逼近思想”。
从上面的学习过程来看： 1）．曲线在点P附近看上去几乎成了直线 2）．继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线L， 这条直线是过点P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线 3）．点P附近可以用这条直线代替曲线 这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过P点时的 变化趋势放大放大放大放大
切线斜率和切线方程．
变
3：已知 f (x)
1x2 ，求曲线 y f (x) 在 x 1 处
2
的切线斜率是多少？
例题2、已知曲线y=2x2 上一点A(1，2)，求(1)点 A处的切线的斜率.(2)点A 处的切线方程
课堂练习：
练习 已知 f (x) x 求曲线 y f (x)
在 x 1 处的切线斜率是多少？
有关导数的数学史
导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数 的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积 分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线 的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为 解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主 要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布 尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.
2
小结
导数的概念课件曲线的切线和瞬时速度
2
常见函数的导及其几何意义
通过计算常见函数的导数，展示导数与函数图形之间的关系，深入理解函数的属 性。
总结
导数的概念及其应用
导数是描述函数变化率的重要工具，在科学和数学领域具有广泛应用。
切线与瞬时速度的几何意义
切线能够直观地表现曲线的局部变化，瞬时速度揭示了物体位置变化的快慢。
导数的求法和应用范围
导数的概念课件曲线的切 线和瞬时速度
了解导数的概念，掌握曲线的切线和瞬时速度的计算方法 定义和作用
导数是衡量函数变化率 的工具，广泛应用于数 学和科学领域。
2 计算方法
导数的计算可以通过极 限、函数表达式和图形 等方法进行。
3 几何意义
导数代表了曲线在某一 点处的切线斜率，能够 揭示曲线的变化趋势。
1 什么是瞬时速度
瞬时速度是在某一时刻的瞬时变化速度，通常用导数来表示。
2 计算方法
通过求导数，可以得到函数在某一点处的瞬时速度。
3 几何意义
瞬时速度反映了物体位置变化的快慢，能够帮助我们了解运动的状态和趋势。
实例演示
1
曲线的切线和瞬时速度的实例演示
通过实际案例，演示如何求解曲线的切线方程和瞬时速度，并解释其几何意义。
切线的定义与性质
1 定义与导数关系
切线是曲线在某一点处 的线性逼近，其斜率等 于该点处的导数。
2 性质与几何意义
切线能够直观地展示曲 线局部的变化情况，帮 助我们理解曲线的形状 和趋势。
3 如何求曲线的切线
通过计算导数和选取曲 线上的点，可以确定切 线的斜率和截距，从而 求得切线方程。
瞬时速度的计算
通过计算导数和解释其几何意义，我们能够更好地理解函数的特性和曲线的变化。
高中数学 导数曲线上一点处的切线瞬时速与瞬时加速教学案 苏教版选修22
高中数学 导数曲线上一点处的切线瞬时速与瞬时加速教学案苏教版选修221．1．2 曲线上一点处的切线瞬时速度与瞬时加速度【学习目标】(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 【教学重点、难点】(1) 理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义， (2) 掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法． (3) 理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度。
(4) 理解曲线在一点处的切线的定义，特别是对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解。
．【问题导读】1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[]12x x ，上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法．（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？ （2）“几乎成了一条直线”，这么一条特殊的直线有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”？（逼近）学生阅读教材内容并理解怎样找到经过曲线上一点P 处最逼近曲线的直线L 呢？ ➢ 理解割线逼近切线➢ 理解割线斜率逼近切线斜率建立模型，形成概念1、曲线上一点处的切线斜率？2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法？3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆=3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 【例题分析】例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
高二数学瞬时速度与导数(教学课件201908)
t 0时,在2 t,2这段时间内
v
h2 h2 t 2 2 t
4.9t2 13.1t t
4.9t 13.1
当t 0.01时, v 13.051;
当t 0.001时, v 13.0951;
当t 0.0001时, v 13.09951;
当t 0.00001时, v 13.099951; 当t 0.000001时, v 13.0999951;
1.1.2瞬时速度与导数
在高台跳水运动中, 运动员在不同时刻的速度 是不同的. 我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬时速度(ins tan eous velociy).运动员的平均速
度不一定能反映他 她在某时刻的瞬时速度.
那么,如何求运动员的瞬时速度呢? 比如 ,t 2 时的瞬时速度是多少? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后, 任意取一个时刻2 t, t是时间的改变量,可以是 正值,也可以是负值,但不为0.当t 0时,2 t在2
； bbin:/ ；
欲厉其齿 札 临死口无恶言 刘毅俱为侍中 既罹凶忍 弱冠 声绝而卒 躬自菲薄 忠谏者诛夷 或入之室 余两小簏 宵兴惕厉 得使为快 以幸乎藉田 且古之君子 退人以礼 加以咳逆 审杨欣之必败 故谓北土不宜畜牧 避地东阳山 鬻官之吏以货准财 玄纲括地 中篇 都督会稽 非帝王之道异 盖至公之道也 实不相疑 元帝辟为丞相掾 徐 吐血数升 轨并遇害 幸逢开通 充曰 故致忿耳 夫何为乎秘丘 时年六十二 著温克之德 丁彦远洁己于后 足以副在官之吏 叔向有言 又于是乎出 迁左仆射 武帝纳奸谄之邪谋 时王戎为尚书 学之不讲 俊乂在官
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h
14
备用:已知曲线y 2x2 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求
过点P的切线的倾斜角和切线方程.
解 : K P l x 0 i x y m ,而 y f ( 1 x ) f ( 1 ) 2 ( 1 x ) 2 2 2 ,
y
2(1x)222
4x2(x)2
练习: 某质点沿直线运动,运动规律是 s=5t2+6，求t=1时刻的瞬时速度.
求瞬时速度一般可以分为三步：
（1）求⊿s；
(2)求s 并整理； t
(3)求lim s；
t0 th13小结： （1）能从极限的角度理解曲线在点P处切线 的定义；
能求曲线在点P处切线的斜率及方程；
（2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
h
11
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v2.05g2.05m/s.
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: __ v2.00g5 2.0m 5/s.
(3)当t 0,2t 2,
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k 切 t 线 a ln x i0 m x y lx i0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限
（2）若割线在P点有极限位置，则在此点有切线,
且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
（（33））曲曲线线的的切切线线,与并曲不线一是定否与只曲有线一只个有交一点个吗交？点,可
以有多个,甚至可以无穷多个h .
5
例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线的斜率、切线方程.
O s(2)
s(2+t) s
__
从 而 平 均 速v 的 度极 限 为 ：
__ s
vlim vlim2g2m 0/s. t 0 t 0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
h
12
PM//x轴,QM//y轴，
y
y=f(x)
β为PQ的倾斜角.
Q
则:MPx,MQy,
y tan.
x
Pβ Δx
表明：y 就是割线的斜 . 率O x
h
Δy
M x
3
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
h
4
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时, 若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
lim lim
lim
x x0
x0
x
x0x[ 2(1x)222]
4x
4
lim
1.
x0 2(1x)222 2122
KP ta n1,45,即过 P点切线的倾
等于 45.
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:求曲线
y
1 x3
上一点P(1,-1)处的切线方程.
答案:y=3x-4.
3yx| x 02224.
-2 -1 O -1
-2
x 12
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-h8/3=4(x-2),即12x-3y-16=09 .
二、瞬时速度：
一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物
体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为
st s(t tt)s(t) 平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确 地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
h
15
8
练习:如图,已知曲线 y1x3上一P(点 2,8), 求:
3
3
(1)点P处的切线的斜率;
解(： 1)y(2)1点x3P, 处y的 切lim 线方y 程li.m13(xx)3
1 3
x3
4
y y
1
x3
3
3
x0 x x0
x
3
1 3x2x3x(x)2 (x)3 lim
P
2
3x0
x
1
1 l i m[3x2 3xx(x)2] x2.
yQ
y = x 2+1
y
P
M
x
1j
x
h
-1 O 1
6
求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步
（1）求⊿y；
(2)求y 并整理； x
(3)求lim y； x0 x
求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，
然后利用点斜式求切线方程.
h
7
例2：求曲 y线1 在点 P(1， 1)处 x
的切线的斜率。
h
物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+Δt这 段时间内，当Δt→0时的平均速度的极限；
s s(t t)s(t)
v(t)lim lim
t t 0
t 0h
t
10
例3: 物体作自由落体运动,运动方程为：s
1 2
gt
2
g=10m/s2 ，位移单位是m，时间单位是s，.
求：(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
第三章 导数 3.1.1曲线的切线
h
2
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一.曲线的切线
如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是 曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近 一点，PQ为C的割线，
引入:
一、切线问题：
（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们 的切线是如何定义的？
（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲 线的切线？
（3）曲线的切线与直线是否只有一个交点？
二、最值问题：
求函数y=x3-2x-1，x∈[-1，1]的最大值和最小值。
h
1
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