实数经典例题及习题--竞赛

经典例题类型一．有关概念的识别

1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有

（）

A、1

B、2

C、 3

D、 4

解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数

故选 C

举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）

A、的平方根是±3

B、1的立方根是±1

C、=±1

D、是5的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）

A、1

B、 1.4

C、

D、

【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．

【变式3】

【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴

类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

解析：（估算）因为，所以选 B

举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________.

3）___________，___________，___________.

【答案】1）；.2）-3. 3），，【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合

3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，

举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）．

A．－ 1 B．1－ C．2－ D．－ 2

【答案】选 C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

化简

【答案】：

类型四．实数绝对值的应用

4．化简下列各式：

(1) |-1.4|(2) |π-3.142|

(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)

(5) |x2+6x+10|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1) ∵=1.414…＜ 1.4

∴|-1.4|=1.4-

(2) ∵π=3.14159…＜ 3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3) ∵＜, ∴|-|=-

(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3| =

说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有

清楚的认识，并能灵活运用。

(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|= x2+6x+10

举一反三：【变式1】化简：

【答案】=+-=

类型五．实数非负性的应用5．已知：=0，求实数a, b的值。

分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-

49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a, b的值。

解：由题意得

由(2)得a2=49 ∴a=±7 由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7, b=21为所求。

举一反三：【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0, 几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【变式2】已知那么a+b-c的值为___________

【答案】初中阶段的三个非负数：，

a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

类型六．实数应用题6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

解：设新正方形边长为xcm，

根据题意得x2=112+13×8

∴x2=225

∴x=±15 ∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，

∴只取x=15(cm) 答：新的正方形边长应取15cm。

举一反三：【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？

（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积

多24cm2，求中间小正方形的边长.

解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：

，所以面积为=

大正方形的面积=，

一个长方形的面积=。

所以，

答：中间的小正方形的面积，

发现的规律是：（或）

(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：

，即，

又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2

所以有，

化简得：

将代入，得：

cm

答：中间小正方形的边长 2.5cm。类型七．易错题

7．判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.

（3）当x=0或2时，（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故

（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，

故的平方根是.

（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，

发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.

（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数. 类型八．引申提高8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.

（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．

解：由得的整数部分a=5, 的小数部分，

∴

（2）解：(1) 设x=①

则②

②-①得

9x=6

∴.

(2) 设①

则②

②-①，得

99x=23

∴.

(3) 设①

则②

②-①，得

999x=107，∴.

学习成果测评：A组（基础）

一、细心选一选

1．下列各式中正确的是（）A． B. C. D.

2. 的平方根是( )

A． 4 B. C. 2 D.

3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是

无理数。其中正确的说法有（）A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个

4．和数轴上的点一一对应的是（）A．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数

5．对于来说（）A．有平方根B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定

6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数

的个数有（）A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（）A． B. C. D.

8．下列各组数中，互为相反数的是（）A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与

9．-8的立方根与4的平方根之和是（）A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或 4

10．已知一个自然数的算术平方根是 a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）A． B. C. D.

二、耐心填一填

11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。

12．的算术平方根是_______，=______。

13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。

14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。

15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：___+___=6。

16．大于，小于的整数有______个。

17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。

18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。

19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。

20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。

三、认真解一解

21．计算

⑴⑵⑶

⑷∣∣+∣∣⑸×+×

⑹4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字）

22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：

参考答案：一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D

二：11、，π-3 12、3，

13、0；0，；0，114、15、答案不唯一如：16、5

17、18、-15 19、2 20、1，9

三：

21、⑴⑵-17⑶-9 ⑷ 2 ⑸-36 ⑹37.9

22、

B组（提高）

一、选择题：

1．的算术平方根是（）

A．0.14 B．0.014C．D．2．的平方根是（）A．－ 6 B．36C．± 6 D．±3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④

，

其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

4．在下列各式中，正确的是（）A．; B．;C．;D．

5．下列说法正确的是（）A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．是分数6．下列说法错误的是（）A．B．C．2的平方根是D．

7．若，且，则的值为（）A．B．C．D．

8．下列结论中正确的是（）A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;

C. 两个无理数之和一定是无理数;

D. 数轴上任意两点之间还有无数个点

9．-27 的立方根与的平方根之和是（）A．0 B．6C．0或-6D．-12或 6

10．下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．

二．填空题:

11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、

⑦0.33……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有

__________；无理数的有__________.（填序号）

12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.

13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________.

14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．

15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.

三、解答题：

16．计算或化简：

(1) (2) (3)

(4) (5)(6)

17．已知，且x是正数，求代数式的值。

18．观察右图，每个小正方形的边长均为1，

⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？

⑵估计边长的值在哪两个整数之间。

⑶把边长在数轴上表示出来。

参考答案：

一、选择题：

1、 A

2、 C

3、 B

4、 B

5、 B

6、 D

7、 B

8、 D

9、 C 10、 B

二．填空题:

11、①②⑤⑥⑧；③④⑦. 12、；0.6. 13、；. 14、；．15、3.

三、解答题：

16、计算或化简：

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

17、解：25x2=144

又∵x是正数

∴x=

∴

18、解：①图中阴影部分的面积17，边长是

②边长的值在4与5之间

③