高中数学选修本(文科)复数 高考汇编
高中数学《复数》高考真题汇总(详解)——精品文档
高中数学《复数》高考真题汇总（详解）1.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+2.复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==5.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.已知21i =-，则i(1)=（ ）i i C.i D.i 7.设i 为虚数单位，则51ii-=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i8．已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 9.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10. i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）A.－1B.1C.i -D.i11. i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 12．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）A.1＋iB.5＋5iC.-5-5iD.-1－i 13.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3 14. i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-115.复数3223ii+=-（ ） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 17. i 33i=+ （ ） A.13412- B.13412+ C.1326i + D.1326- 18.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A.EB.FC.GD.H19.某程序框图如左图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） A. k ＞4? B.k ＞5? C. k ＞6? D.k ＞7? 20.如果执行下图（左）的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（ ）A.720B.360C.240D.12021.如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（ ） A.1m nC - B.1m nA - C.m n C D.mn A22.某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A.k >4? B.k >5? C. k >6? D. k >7?23.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.3标准答案1.【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题. 2.【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算.231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3.【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义.1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4.【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121ii a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5.【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2. 6.【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =，选B. 7.【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题. 8.【答案】B 9.【答案】C 10. 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1. 11.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 12.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》知识点总复习含解析
【高中数学】《复数》考试知识点(1)一、选择题1．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得z ，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+，则22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．3．若复数21z i i=+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．2B ．3C ．5D ．5【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 【详解】22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，22||125z =+=.故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.4．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．7【答案】A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题5．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.6．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.7．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i +D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.8．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈ C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D 【解析】 利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误，1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误， 本题选择D 选项.9．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为734i i++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.10．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选：D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.12．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1C ．12D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ，所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.13．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为()()22231412412AB +=--+--+=+，最小值为2412AB -=-，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.14．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0. 考点：复数的有关概念.15．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-， z 的共轭复数为342525i +，模为2234125255⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.16．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i -- B ．1i +C ．312i -D ．312i +【答案】D 【解析】21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.17．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ） A ．i B ．1C ．i -D ．1-【答案】B 【解析】()()1i 1i z +=-，则()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i ，1z ∴=，故选B.18．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。
高中数学母题汇编(十二)复数
高中数学母题汇编（十二）12.1数系的扩充和复数的概念题型一复数的概念【例1】(补充例题)写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解：①2＋3i 的实部为2，虚部为3，是虚数；②－3＋12i 的实部为－3，虚部为12，是虚数；③2＋i 的实部为2，虚部为1，是虚数；④π的实部为π，虚部为0，是实数；⑤－3i 的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥0的实部为0，虚部为0，是实数.题型二复数的分类【例2】(教材例题)实数m 取什么值时，复数1(1)i z m m =++-是⑴实数？⑵虚数？⑶纯虚数？解：⑴当10m -=，即1m =时，复数z 是实数．⑵当10m -≠，即1m ≠时，复数z 是虚数．⑶当10m +=，且10m -≠，即1m =-时，复数z 是纯虚数．题型三复数的相等【例3】(补充例题)若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为()A.12B.2C.0D.1解：＋y ＝0，－1＝0，＝1，＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.故选D.题型四复数与复平面内的点【例4】(补充例题)复平面内表示复数2(23)(3)z m m m i =--+-的点为Z .(1)当实数m 取何值时，复数z 表示纯虚数，并写出z 的虚部；(2)当点Z 位于二、四象限时，求实数m 的取值范围；(3)当点Z 位于直线y x =上时，求实数m 的值.解：(1)当2230m m --=且30m -≠，即1m =-时，复数Z 是纯虚数，虚部为-4；(2)由223030m m m ⎧--<⎨->⎩或223030m m m ⎧-->⎨-<⎩得1m <-；(3)当2233m m m --=-，即0m =或3m =时，位于直线y x =上.题型五复数的模的几何意义【例5】(补充例题)设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形.(1)|z |＝2；(2)1≤|z |≤2.解(1)方法一|z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方法二设z ＝a ＋b i ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式1≤|z |≤2|≤2，|≥1.不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.题型六复数的模及其应用【例6】(补充例题)若复数z 满足|z －i|2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为_____________．解：i 2z -≤ ，z ∴在复平面内对应点的z 的轨迹是以()0,12为半径的实心圆，∴该圆的面积为222ππ=.12.2复数代数形式的四则运算题型一复数加、减法的运算【例1】(教材例题)计算(56)(2)(34)i i i -+---+.解：(56)(2)(34)i i i -+---+(523)(614)i =--+---11i=-【例题变式】(1)计算(3)(2)i i +-+的结果为（）A ．52i +B ．i -C ．1D ．1- i(2)已知复数1276,47,z i z i =-=-则12z z -=A ．3i +B ．3i -C ．1113i -D ．313i-【解析】(1)由题得()()32i i +-+=3+i-2-i=1.故选C.【答案】C(2)由1276,47z i z i =-=-，得123z z i -=+.故选A.【答案】A题型二复数加、减法的几何意义【例2】(补充例题)如图，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO 所表示的复数，BC 所表示的复数；(2)对角线CA 所表示的复数；(3)对角线OB 所表示的复数及OB 的长度.解(1)因为AO ＝0－(3＋2i)＝－3－2i ，所以AO 所表示的复数为－3－2i.因为BC ＝AO ，所以BC 所表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ＝OA OC - ，所以CA 所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ＝OA AB OA OC +=+= ，所以OB 所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，所以|OB |＝12＋62＝37.题型三复数加、减法的综合应用【例3】(补充例题)已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解方法一设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，①(a －c )2＋(b －d )2＝1，②由①②得2ac ＋2bd ＝1，∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3.方法二设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C .∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，又以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，∴|z 1＋z 2|＝|OC |＝ 3.题型四复数乘除法的运算【例4】(教材例题)计算：(1)(12)(34)(2)i i i -+-+(2)(34)(34)i i +-(3)2(1)i +(4)(12)(34)i i +÷-解：(1)(12)(34)(2).i i i -+-+(112)(2)i i =--+2015i=-+(2)(34)(34)i i +-223(4)i =-9(16)=--25=.(3)22(1)12i i i +=++121i =+-2i =.(4)12(12)(34)34i i i i ++÷-=-(12)(34)(34)(34)i i i i ++=-+22386434i i -++=+51025i -+=1255i =-+.题型五共轭复数及应用【例5】(补充例题)复数21i -的共轭复数是（）A．1i+B．1i -C．1i -+D．1i --【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数21i -的共轭复数是1i -，故选B.。
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)
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人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。
要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。
） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
高中数学第七章复数知识点梳理(带答案)
高中数学第七章复数知识点梳理单选题1、设m ∈R ，则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C分析：求出z =(m +2i )(1+i )为纯虚数时m 的值，与m =2比较，判断出结果z =(m +2i )(1+i )=m −2+(m +2)i ，复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数，则m −2=0，解得：m =2，所以则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的充要条件故选：C2、若复数z =(1+i)23+4i ，则|z |=（ ） A ．45B ．35C ．25D ．√25答案：C解析：先求出z =8−6i 25，再求出|z|得解. 由题得z =(1+i )23+4i =2i 3+4i =2i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=8+6i 25， 所以|z |=√(825)2+(625)2=1025=25.故选：C3、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．4、已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A．0B．52C．5D．√2答案：D分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.解：∵复数z1+i +i=(x+yi)(1−i)(1+i)(1−i)+i=x+y+(y−x+2)i2是实数y−x+2=0故x=y+2|z|=√x2+y2=√(y+2)2+y2=√2y2+4y+4=√2(y+1)2+2≥√2当且仅当y=−1,x=1时取等号|z|的最小值为√2故选：D5、设i为虚数单位，若zi=2+√5i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．3答案：D分析：根据复数的乘法，利用对应相等先求得z=√5−2i，再求模长即可得解.令z=a+bi，zi=ai−b=2+√5i，所以a=√5,b=−2，即z=√5−2i，所以|z|=√5+4=3，故选：D6、已知复数z1﹑z2满足|z1−z2|=r(r>0)，复数ωi(1≤i≤n,n∈N∗)满足|ωi−z1|=r或者|ωi−z2|=r，且|ωi−ωj|≥r对任意1≤i<j≤n成立，则正整数n的最大值为（）A．6B．8C．10D．12答案：C解析：用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，根据题意，可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.7、复数1−cosθ−isinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（ ）A ．2sin θ2(cos θ+π2+isin θ+π2)B ．2sin θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) C ．2sin θ2(cosθ−π2+isin θ−π2)D ．2cos θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) 答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−isinθ=2sin 2θ2−2isin θ2cos θ2=2sin θ2(sin θ2−icos θ2)=2sin θ2(cos π−θ2−isin π−θ2) =2sin θ2[cos π−θ2+isin (−π−θ2)] =2sin θ2(cos θ−π2+isin θ−π2)，故选：C.8、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）A ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)B ．OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，0)C ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)D ．OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，-2) 答案：C分析：结合纯虚数概念判断即可向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)对应的复数为23i ，是纯虚数. 故选：C多选题9、下列说法正确的是（）A ．若|z |=2，则z ⋅z =4B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1z 2=0C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D ．“a ≠1”是“复数z =(a −1)+(a 2−1)i (a ∈R )是虚数”的必要不充分条件答案：AD解析：由|z |求得z ⋅z 判断A ；设出z 1，z 2，证明在满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|时，不一定有z 1z 2=0判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.若|z |=2，则z ⋅z =|z |2=4，故A 正确；设z 1=a 1+b 1i (a 1,b 1∈R )，z 2=a 2+b 2i (a 2,b 2∈R )由|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，可得|z 1+z 2|2=(a 1+a 2)2+(b 1+b 2)2=|z 1−z 2|2=(a 1−a 2)2+(b 1−b 2)2 则a 1a 2+b 1b 2=0，而z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=a 1a 2−b 1b 2+a 1b 2i +b 1a 2i =2a 1a 2+a 1b 2i +b 1a 2i 不一定为0，故B错误；当z=1−i时z2=−2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数，则a2−1≠0，即a≠±1所以“a≠1”是“复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确；故选：AD小提示：本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.10、给出下列命题，其中是真命题的是（）A．纯虚数z的共轭复数是−z B．若z1−z2=0，则z1=z2C．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数D．若z1−z2=0，则z1与z2互为共轭复数答案：AD解析：A．根据共轭复数的定义判断.B.若z1−z2=0，则z1=z2，z1与z2关系分实数和虚数判断.C.若z1+z2∈R，分z1,z2可能均为实数和z1与z2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据z1−z2=0，得到z1=z2，再用共轭复数的定义判断.A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B．若z1−z2=0，则z1=z2，当z1,z2均为实数时，则有z1=z2，当z1，z2是虚数时，z1≠z2，所以B是假命题；C．若z1+z2∈R，则z1,z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D. 若z1−z2=0，则z1=z2，所以z1与z2互为共轭复数，故D是真命题.故选：AD小提示：本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11、已知复数z1=1−3i，z2=3+i，则（）A．|z1+z2|=6B．z1−z2=−2+2iC．z1z2=6−8i D．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限答案：BC分析：直接根据复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义依次判断4个选项即可.由题可知，|z1+z2|=√42+(−2)2=2√5，A不正确；z1−z2=−2+2i，B正确；z1z2=(1−3i)(3+i)=3+i−9i−3i2=6−8i，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.故选：BC.12、已知方程x2+2(1+i)x+(a−b)i+2ab=0(a,b∈R)，则下列说法正确的是（）A．若方程有一根为0，则a=0且b=0B．方程可能有两个实数根时，方程可能有纯虚数根C．ab<12D．若方程存在实数根x0，则x0≤0或x0≥2答案：AD分析：将方程进行等价变形为x2+2x+2ab+(a−b+2x)i=0，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当a=0且b=0时，无纯虚根判断C.解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有(a−b)i+2ab=0，则有a=b，2ab=0，即a=0且b=0，故A正确；B选项：方程可变形为：x2+2x+2ab+(a−b+2x)i=0，即x2+2x+2ab=0,(a−b+2x)=0，则x=b−a，只有一解，故B错误；2C选项：当a=0且b=0时，方程仅存在一解x=0，此时无纯虚根，故C错误；，代入方程可得：b2+a2+4b−4a+6ab=0，即(b−a)2+D选项：若方程存在实数根x0，则x0=b−a24(b−a)−8(−a)b=0，即(b−a)2+4(b−a)−2(b−a)2≤0，解得：(b−a)≤0或(b−a)≥4，即x0≤0或x0≥2，故D正确故选：AD13、下列命题中正确的有（）A．若复数z满足1∈R，则z∈R；B．若复数z满足z2∈R，则z∈R；zC．若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1=z2；D．若复数z∈R，则z∈R．答案：AD分析：根据复数的运算性质，即可判定A正确；取z=i，可判定B不正确；取z1=1+i,z2=2−2i，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.对于A中，设复数z=a+bi,(a,b∈R)，可得1z =a−bi(a+bi)(a−bi)=aa2+b2−ba2+b2i，因为1z∈R，可得b=0，所以z=a∈R，所以A正确；对于B中，取z=i，可得z2=−1，所以B不正确；对于C中，例如：z1=1+i,z2=2−2i，则z1z2=(1+i)×2(1−i)=4∈R，此时z1≠z2，所以C不正确；对于D中，设z=a+bi,(a,b∈R)，由z∈R，可得b=0，即z=a，可得z=a∈R，所以D正确.故选：AD填空题14、设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则2x+√2y=+2=0＋z2的虚部为_____.答案：－1分析：由题意结合共轭复数的概念、复数的运算可得zz+z2=−i，再由虚部的概念即可得解.∵z＝1－i(i为虚数单位)，∴z=1+i，∴zz +z2=1+i1−i+(1−i)2=(1+i)2(1−i)(1+i)−2i=2i2−2i=−i，∴zz+z2的虚部为−1.所以答案是：−1.小提示：本题考查了共轭复数的求解、复数的运算、复数虚部的求解，牢记知识点、细心计算是解题关键，属于基础题.15、已知|z−1−i|=1，则|z+i|的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z+i|表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z+i|表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z+i|的取值范围是[√5−1,√5+1].所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则|z−a−bi|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，|z−a−bi|=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.16、已知复数z满足z(1−i)=(1+i)2，则z=___________.答案：−1+i##i-1分析：利用复数的运算进行化简即可．z(1−i)=(1+i)2=2i，则z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=i−1，所以答案是：−1+i解答题17、已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．答案：(1)m=0(2)（0，1）分析：（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；（2）根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.（1）若复数是纯虚数，则{m(m+2)=0m2+m−2≠0，解得m=0或m=−2且m≠1，m≠−2，所以m=0.（2）复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则{m(m+2)>0m2+m−2<0，解得0<m<1，故m的取值范围为(0,1).18、已知复数z 1=2−5i ，z 2=1+(2cosθ)i .(1)求z 1⋅z 1；(2)复数z 1，z 2对应的向量分别是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，当θ=π3时，求OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出z 1，再利用复数乘法运算计算作答.（2）根据给定条件，求出OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1)因复数z 1=2−5i ，则z 1=2+5i ，所以z 1⋅z 1=(2−5i)(2+5i)=29.(2)依题意，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5)，当θ=π3时，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2cosθ)=(1,1)，所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(−5)×1=−3.。
高中数学复数专题 (含答案)
高考复数专题（1）姓名：1、若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = 02、设i 是虚数单位，则复数32i i-= i.3、若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z = 23i -4、设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|= 15、若复数R ∈i1ai1＋－，则实数a ＝ －16、复数()i 2i -= 12i +7、 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为 i8、若复数z 满足1zi i =-，其中i 为虚数为单位，则z = 1i -9.设复数a +bi （a ，b ∈R，则（a +bi ）（a -bi ）=______3__.高考复数专题（1）作业 姓名：10.i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 2- .11.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为12.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = 1i --13.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z12i + ． 14、复数3＋2i2－3i＝ i15、在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 2＋4i16、若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是 －1和417已知复数z ＝11＋i，则z －·i 在复平面内对应的点位于第 二象限18、设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于第 二象限高考复数专题（2）姓名：1、复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于第 四 象限2、已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位)，若复数a b ∈R ，则实数x 的值为 83 3、设z ＝1－i (i 是虚数单位)，则z 2＋2z ＝ 1－i4、在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是 225、设复数z 满足关系式z ＋|z －|＝2＋i ，则z 等于 34＋i6 、若复数z ＝a ＋i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则|a ＋2i |等于 227、若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ________－18、若a 是复数z 1＝1＋i 2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________．－25 9、如果复数2－bi1＋2i(i 是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b 等于________． －23高考复数专题（2）作业 姓名：10、已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为 32-11、复数(3i －1)i 的共轭复数．．．．是 －3＋i12、已知复数z 满足()()12z i i i -⋅+=-，则z z ⋅=213、已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在． 第 四 象限14、设复数z 满足关系i i z 431+-=⋅，那么z =__34i +_______,|z|=___54_______.15、设i 是虚数单位，复数=++iii 123 116、若i x x x )23()1(22+++- 是纯虚数，则实数x 的值是 117、已知复数11z i i=+-，则复数z 的模｜z ｜＝218、复数201511i i +⎛⎫⎪-⎝⎭＝ －i高考复数专题（3）姓名：1、复数21ii-等于 －1＋i 2、复数i215+的共轭复数为 1+2i3、已知i 是虚数单位，则复数3(12)z i i =⋅-+的虚部为4、设复数i z 431-=，i z 322+-=，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第 二 象限5、若i 是虚数单位，则复数21i z i-=+的实部与虚部之积为 34-6、纯虚数z 满足23z -=，则z 为7、设m ∈R ，222(1)m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m = 一28、复平面内，复数2)31(i +对应的点位于第 二 象限9、已知复数13i z =+，21i z =-，则复数12zz 在复平面内对应的点位于第 一 象限高考复数专题（3）作业 姓名：10、复数12z a i =+，22z i =-+，如果12||||z z <，则实数a 的取值范围是 11<<-a11、已知ni m i n m ni im+-=+则是虚数单位是实数其中,,,,11的虚部为 112、若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为 43-13、设a 是实数，且211ii a +++是实数，则=a 114、200811i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝ 115、若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 -616、已知复数z = (1 – i )(2 – i )，则| z |的值是 ． 1017、复数z 满足i i i z +=-2)(，则 z =i -118、复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是 －1－i高考复数专题（4）姓名：1、复数11i =+ 1122i -2、若复数i z +=1 （i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数 ， 则2z +z -²的虚部为 03、复数z = i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 -1-i4、若i bi -+13= a+b i （a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a+b =____________.35、设i 为虚数单位，则复数34ii+= 43i -6、复数（2+i ）2等于 3+4i7、在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 (1 ,3)8、i 是虚数单位，复数ii-+435= 1+i9、设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ．高考复数专题（4）作业 姓名：10、计算：31ii-=+ i 21-（i 为虚数单位）11、设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= 1i +12、在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于第 二象限13、复数31ii--等于 2i +14、复数8+15i 的模等于 1715、已知1iZ＋=2+i,则复数z= 1-3i16、i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是 －317、i 是虚数单位，i(1+i)等于 -1+i18、若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 1-高考复数专题（5）姓名：1、i 是虚数单位，52i i-= -1+2i2、复数 32(1)i i += 23、设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a = 1-4、已知复数z=1－i, 则12-z z等于 25、若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = 26、复数211i ii +-+的值是 07、i 是虚数单位，32i 1i=-（ 1i - ）8、已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z = i ．9、复数322ii +的虚部为____45__．高考复数专题（5）姓名：10、31i i -的共轭复数是 3322i --11、复数1ii+在复平面中所对应的点到原点的距离为 2212、复数()2化简得到的结果是 －l13、若a 为实数，i iai 2212-=++，则a 等于 2 214、若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 2π15、若i R b a i b i i a ,)2(∈+=+、，其中是虚数单位，则a+b = －116、2(1)i i += -217、设i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛+20081i i 2100418、若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = 4高考复数专题（6）姓名：1、复数312i i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的虚部为________. －12、若复数()2i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = 03、i i -210= -2+4i4、复数3223ii+=- i5、若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 36、已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i )x －y 的值为 －47、若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 3+5i8、已知i 是虚数单位，则31ii+-= 1+2i9、在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于第 四 象限10、 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且i z -=21，则复数21z z = i 5453+-高考复数专题（6）姓名：11、已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = 1712、设a ∈R ，且（a +i ）2i 为正实数，则a 等于 -113、若i3i34m m +-(m ∈R )为纯虚数，则)i 2i 2(m m -+ 2 008的值为 114、设复数z 1=1－2i, z 2=1+i, 则复数z =21z z 在复平面内对应的点位于第 三象限15、若(a －2i)i = b －i ，其中a 、b ∈R ,i 是虚数单位，则a 2+b 2等于 516、 |1|11|1|i ii i +++++＝ 217、设复数z 1=1+i, z 2=x －i(x ∈R ),若z 1·z 2为实数，则x 等于 118、若复数z 满足 Z =i （2－z ）（i 是虚数单位），则z = . 1+i19、复数3ii)2i)(1(+--的共轭复数是 . －3+i20、若复数()()i 2ai 1＋＋的实部和虚部相等，则实数a 等于 21。
2023年人教版高中数学第七章复数经典大题例题
(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知复数z 满足z −z =2i ，则z 的虚部是（ ）A ．−1B ．1C ．−iD ．i答案：A分析：设z =a +bi (a,b ∈R )，根据z −z =2i ，求得b =−1，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z −z =2i ，可得z −z =a −bi −(a +bi )=−2bi =2i ，则−2b =2，可得b =−1，所以复数z 的虚部是−1.故选：A小提示：关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.2、复数z =|√3+i |的虚部是（ ） A ．−12B ．12C ．−12i D ．12i 答案：A分析：先根据模的定义计算，并化简得到z =12−12i ，再根据虚部的定义作出判定.∵z =|√3+i |=√(√3)+12=1−i 2=12−12i ， ∴z 的虚部为−12，故选：A.3、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（ ）A ．−23B ．23C ．−32D ．32 答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0，解得a =32. 故选：D.4、2−i1+2i =（ ）A ．1B ．−1C ．iD ．−i答案：D分析：根据复数除法法则进行计算.2−i 1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i 故选：D小提示：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.5、已知z(1−2i)=i ，则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为i 5B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限C ．复数z 的共轭复数z =25−i 5D ．|z |=15 答案：B分析：由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项．由已知得z =i 1−2i =1(1+21)(1−2i)(1+2i)=−25+i 5，所以复数z 的虚部为15，而不是i 5，A 错误；在复平面内，复数z 对应的点为(−25,15)，在第二象限，B 正确.z =−25−i 5，C 错误； |z|=√(−25)2+(15)2=√55，D 错误；故选：B ． 小提示：本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题．6、下列命题正确的是（ ）A ．复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，则实数m =1B ．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，则OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 重合C ．若|z −1|=|z +1|，则复数z 对应的点Z 在复平面的虚轴上(包括原点)D ．已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC⃑⃑⃑⃑⃑ =xOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +yOB ⃑⃑⃑⃑⃑ （i 是虚数单位，O 为复平面坐标原点，x ，y ∈R ），则x +y =1答案：C分析：结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.对于A ：复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，所以：(1+i )2−m (1+i )+2=0，2i −m −m i +2=2−m +(2−m )i =0,2−m =0,m =2，故A 错误；对于B ：设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，即这两个向量的模长相等，但是OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 不一定重合，故B 错误；对于C ：若|z −1|=|z +1|，设z =x +y i (x,y ∈R )，故：√(x −1)2+y 2=√(x +1)2+y 2，整理得：x =0，故z =y i ，故C 正确；对于D ：已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC⃑⃑⃑⃑⃑ =xOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +yOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(3,−2)=x (−1,2)+y (1,−1)， (3,−2)=(−x,2x )+(y,−y )=(y −x,2x −y )，{y −x =32x −y =−2， 解得：x =1，y =4，故x +y =5，故D 错误．故选：C ．7、已知复数z =(a −2i )(1+3i )(a ∈R)的实部与虚部的和为12，则|z −5|=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C分析：先把已知z =(a −2i )(1+3i )(a ∈R)化简，整理出复数z 的实部与虚部，接下来去求|z −5|即可解决. z =(a −2i )(1+3i )=(a +6)+(3a −2)i ，则有，a +6+3a −2=12，解得a =2，则z =8+4i ，z −5=3+4i ，故|z −5|=√32+42=5．故选：C8、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃑⃑⃑⃑⃑ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃑⃑⃑⃑⃑ =BP ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =BP ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =|BP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−2|BP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D9、复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则实数a的值为（）A．1或-1B．1C．-1D．0或-1答案：C分析：利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.因复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则{a−1≠0a2−1=0，解得a=−1，所以实数a的值为-1.故选：C10、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．11、设m∈R，则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C分析：求出z=(m+2i)(1+i)为纯虚数时m的值，与m=2比较，判断出结果z=(m+2i)(1+i)=m−2+(m+2)i，复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数，则m−2=0，解得：m=2，所以则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的充要条件故选：C12、已知i为虚数单位，则i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=（）A．i B．−i C．1D．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，得到i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=i2021，即可求解. 根据虚数的性质知i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i−1−i=0，所以i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=505×0+i2021=i.故选：A.双空题13、已知a,b∈R,i是虚数单位.若z=(a−2i)(1+bi)为实数，则ab=___________，|z|的最小值为___________.答案： 2 4分析：由题设条件计算出复数z,再由复数是实数的条件即可得ab值；计算出|z|，配方即可得解.a,b∈R，则z=(a+2b)+(ab−2)i，而z∈R，所以ab−2=0，即ab=2；z=a+2b，|z|=|a+2b|=√(a+2b)2=√(a−2b)2+8ab=√(a−2b)2+16≥4，当且仅当a=2b，即a=2，b=1时取“=”，所以|z|的最小值为4.所以答案是：2；414、已知x,y∈R，i是虚数单位，x−i+y+x i=3+y i，则x=_______；y=______.答案： 2 1 .分析：利用复数相等的知识列方程组，解方程组求得x,y 的值.依题意x +y +(x −1)i =3+y i ，所以{x +y =3x −1=y⇒{x =2y =1 . 所以答案是：2；115、复数z =2+i （i 为虚数单位），则复数z̅对应的点在第_______象限，|z|=_______.答案： 四 √5分析：由复数模的概念可求|z|，再由共轭复数的概念及复数的坐标表示可得复数z̅对应的点所在的象限. 因为z =2+i ，所以|z|=√22+1=√5，所以z̅=2−i ，在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，在第四象限.所以答案是：四；√5.16、已知复数z =lg (m 2−2m )+(m 2+2m −3)i 若复数z 是实数，则实数m =________；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.答案： −3 2<m <1+√2解析：根据复数的定义和复数的几何意义解答．z 为实数，则m 2+2m −3=0，解得m =1或−3，又m 2−2m >0，所以m =−3．z 对应点在第二象限，则{lg(m 2−2m)<0m 2+2m −3>0，解得2<m <1+√2． 所以答案是：−3；2<m <1+√2．小提示：易错点睛：本题在利用复数的定义求出m 的值时：m 2+2m −3=0，必须注意实部的表示法，它是由对数给出的，因此求出的结论必须使对数式有意义，即通常所说的定义域．否则易出错．17、瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用i 来表示-1的平方根，首创了用符号i 作为虚数的单位．若复数z =5−i 1+i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为________；|z |=_____．答案： −3 √13分析：利用复数的除法可计算z ，从而可求其虚部和模.z =5−i 1+i =(5−i )(1−i )(1+i )(1−i )=4−6i 2=2−3i ，故z 的虚部为−3，模为√4+9=13，故分别填−3,√13.小提示：本题考查复数的概念、复数的除法，属于基础题.解答题18、计算：（1）(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2；（2）i 2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i (1−√3i)8． 答案：（1）513；（2）247+8√3i ． 分析：（1）借助(12−√32i )3=−1，(1−i )2=−2i 以及复数的四则运算，即得解；（2）借助(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1以及复数的四则运算，即得解. （1）由于(12−√32i )3=(12−√32i )2×(12−√32i )=(−12−√32i )×(12−√32i )=−1(1−i )2=−2i故(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2=26×(−1)2−215×(−1)52i ×(−2i )6×12i =26+21526=1+29=513（2）由于(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1 故i 2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i +(1−√3i )8 =i 500×4+2+24(1+i )8−225(1−i )50+(−2√3+i )(1−2√3i )(1+2√3i )(1−2√3i )28(1+i )828(12−√32i )8 =−1+24(2i )4−225(−2i )25+i 28(2i )428×(−1)2×(12−√32i )2=−1+24×2−4i +i +24(−12+√32i )=247+8√3i 19、计算：（1）(13+12i)+(2−i)−(43−32i)；（2）已知z1=2+3i，z2=−1+2i，求z1+z2，z1−z2．答案：（1）1+i（2）1+5i,3+i分析：（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.（1）(13+12i)+(2−i)−(43−32i)=(13+2−43)+(12−1+32)i=1+i；（2）∵z1=2+3i，z2=−1+2i，∴z1+z2=2+3i+(−1+2i)=1+5i，z1−z2=2+3i−(−1+2i)=3+i 20、化简：(1)16(cosπ4+i sinπ4)⋅2(cosπ12+i sinπ12)；(2)8(cos240°+i sin240°)÷2(cos210°−i sin210°)．答案：(1)8+8√3i；(2)4i.分析：(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.（1）8(cosπ4+i sinπ4)⋅2(cosπ12+i sinπ12)=16(cosπ3+i sinπ3)=16(12+√32i)=8+8√3i.（2）8(cos240°+i sin240°)÷2(cos150°−i sin150°)=4(cos240°+i sin240°) cos(−210°)+i sin(−210°)=4(cos450°+i sin450°)=4(cos90°+i sin90°)=4i.。
高考数学专题02 复数(解析版)
专题02 复数一、单选题1．（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数()()2i 1i z a =++（其中i 为虚数单位，a R ∈）在复平面内对应的点为()1,3，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．1-D ．0【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为()()()2i 1i 22i z a a a =++=-++， 又因为复数在复平面内对应的点为()1,3，所以2123a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a = 故选：A2．（2022·河北保定·高三期末）()()2212i 1i --+=（ ） A ．32i -- B ．36i -- C ．32i - D ．36i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】22(12i)(1i)34i 2i 36i --+=---=--.故选：B3．（2022·河北张家口·高三期末）已知12z i =-，则5iz=（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．105i -D ．105i -+【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()5i 12i 5i 5i2i 12i 12i 12i z +===-+--+， 故选：A.4．（2021·福建·莆田二中高三期末）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10C ．11D ．无数【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4kZ ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数z 满足()23i 32i z -=+，则z =（ ）A．12 B C ．1 D 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合复数除法计算复数z ，进而计算z 的模作答. 【详解】因复数z 满足()23i 32i z -=+，则32i (32i)(23i)13ii 23i (23i)(23i)13z +++====--+， 所以1z =. 故选：C6．（2022·山东枣庄·高三期末）已知i 为虚数单位，则2022i =（ ）． A ．1 B ．1- C ．I D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由于41i =，故2022i 可以化简为2i ，即可得到答案. 【详解】20224505+22i i ==i ⨯=1-.故选：B.7．（2022·山东德州·高三期末）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】21i 22|2i |i i +=+=-=z =则复数z 在复平面内所对应的点坐标为⎝⎭，在第一象限.故选：A8．（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z 是纯虚数，11iz+-是实数，则z =（ ） A ．－i B ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【解析】 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B9．（2022·山东临沂·高三期末）已知复数26i1iz +=-，i 为虚数单位，则z =（ ）A．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，然后求得z . 【详解】 ()()()()()()()()26i 1i 26i 1i 13i 1i 24i1i 1i 2z ++++===++=-+-+，z =故选：C10．（2022·湖北武昌·高三期末）已知复数1i z =-，则2iz=-（ ） A ．13i 55-B ．13i 55--C ．13i 55-+D ．1355i +【答案】D 【解析】 【分析】先得出z ，由复数的乘法运算可得答案. 【详解】复数1i z =-，则1i z =+则()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 2i 5z ++++===---+ 故选：D11．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列{}n a 满足12i a =，1i i 1n n a a +=++，N n *∈，（i 为虚数单位），则10a =（ ） A ．2i B ．2i - C ．1i + D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】推导出数列{}i n a -是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得10a 的值. 【详解】由已知可得()1i i i n n a a +-=-，因此，数列{}i n a -是以1i i a -=为首项，以i 为公比的等比数列，所以，91010i i i i 1a -=⋅==-，故101i a =-+.故选：D.12．（2022·湖北江岸·高三期末）已知()12i 43i z -=-，则z =（ ） A ．10i +B ．2i +C ．2i -D ．25i +【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】 由已知可得()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，因此，2i z =-. 故选：C.13．（2022·湖北襄阳·高三期末）下面是关于复数22i 1i z =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．z 的共轭复数为11i 22-D ．z 的虚部为1i 2-【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项即得． 【详解】∵22i 11i 1i 1i 2z ---===--，所以z =A 错误；所以复数z 在复平面内对应点坐标为11(,)22--，在直线y x =上，B 正确；所以z 的共轭复数为11i 22-+，C 错误；所以z 的虚部为12-，D 错误．故选：B ．14．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）复数4i1iz =+，则z =（ ） A ．22i -- B ．22i -+C ．22i +D ．22i -【答案】D 【解析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+ ，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.15．（2022·湖北·高三期末）已知复数121i,i z z =-=，则复数12z z 的共轭复数的模为（ ） A ．12 B2C ．2 D【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得121i z z =--，再根据共轭复数的概念与模的公式计算即可. 【详解】解：因为121i,i z z =-=， 所以()121iii 1i 1i z z -==--=--， 所以复数12z z 的共轭复数为1i -+.故选：D16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若1i z =-+．设zz ω=，则ω=（ ） A ．2i B ．2C ．22i +D ．22i -【答案】B 【解析】 【分析】根据1i z =-+求出1i z =--，结合复数的乘法运算即可. 【详解】由1i z =-+，得1i z =--，所以2(1i)(1i)=(i 1)=2zz ω==-+----. 故选：B17．（2022·湖南常德·高三期末）已知复数z 满足：()1i i z +=，则z z ⋅=（ ）A ．12 B C ．1D ．i 2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算求出z ，然后根据复数的乘法运算即可求出结果. 【详解】 因为(1)z i i +=， 所以()()i 1i i 1i 11i 1i (1i)1i 222z -+====+++-， 因此11111i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=.故选：A.18．（2022·湖南娄底·高三期末）复数()i 3i z =-⋅在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘法法则计算出z ，然后可得其对应点的坐标，得所在象限． 【详解】∵()3i i 13i z =-=+⋅，∴z 在复平面内对应的点为()1,3，位于第一象限． 故选：A ．19．（2022·湖南郴州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 123i 4z +=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B 【解析】根据复数的模和除法运算，即可得到答案； 【详解】 |43i |55(12i)12i 12i 12i 5z +-====-++ ∴12i z =+，故选：B20．（2022·广东揭阳·高三期末）复数z 满足()1i 1i(i z +=-为虚数单位)，则z 的模为（ ） A．12-B ．12C ．1 D【答案】C 【解析】 【分析】先做除法运算求出复数z ，再根据复数模的计算公式求其模. 【详解】由()1i 1i z +=-得1ii 1iz -==-+，从而i 1z =-= 21．（2022·广东潮州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数21i 1i -=+z ，则z 的虚部为（ ）A ．0B ．－1C ．－iD ．1【答案】B 【解析】 【分析】化简复数z 1i =-， z 的虚部为i 前面的系数，即可得到答案. 【详解】21i 22(1-i)1i 1i 1i (1i)(1-i)z -====-+++.则z 的虚部为－1.故选：B.22．（2022·广东罗湖·高三期末）已知复数()1i i =+⋅z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】求出复数z，进而可得其共轭复数.【详解】()1i i=1+iz=+⋅-，则1iz=--故选：D.23．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数z满足(1i)|1|+=z，则z=（）A．1i-B．1i+C．22i-D．22i+【答案】B【解析】【分析】结合复数除法运算求出z，进而得出z.【详解】因为21i1i===-+z，所以1iz=+．故选：B24．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足1i12iz+=+其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．3i5--B．3i5-+C．3i5-D．3i5+【答案】D 【解析】【分析】化简可得3i5z-=，根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】因为1i(1i)(12i)3i12i(12i)(12i)5z++--===++-，所以3i5z+ =，故选：D．25．（2022·江苏通州·高三期末）20221i1i-⎛⎫=⎪+⎝⎭（）A ．1B ．iC ．－1D ．－i【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法和复数的乘方运算计算． 【详解】21i (1i)i 1i (1i)(1i)--==-+-+， 所以2022202221i (i)i 11i -⎛⎫=-==- ⎪+⎝⎭．故选：C ．26．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知复数z 满足()1i 4i z +=，则z =（ ） A．2 B C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()()()()4i 1i 4i2i 1i 22i 1i 1i 1i z -===-=+++-，因此，z = 故选：C.27．（2022·江苏扬州·高三期末）若复数z ＝202112i +（i 为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数z ＝202112i +，得到其对应点的坐标即可解决.【详解】z 202112i ==+12i =+2i 21i 555-=-， 则z 在复平面上对应的点为21(,)55Z -，Z 位于第四象限.故选：D28．（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．－12＋52iB ．12＋52iC ．12－52iD ．－12－52i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】 ∵(1－i)z ＝2＋3i, ∴()()()()23i 1i 23i 15i 15i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+-+-. 故选：A.29．（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z 满足202120222023i 4i 3i z =-，则z ＝（ ） A ．4＋3i B ．4－3iC ．3＋4iD ．3－4i【答案】C 【解析】 【分析】将202120222023i 4i 3i z =-中的202120222023i ,i ,i ，根据41i = 化简，即可得答案. 【详解】 因为41i =，故由202120222023i 4i 3i z =-可得：23i 4i 3i z =-，即4i 334i z =+=+， 故选：C.30．（2022·江苏苏州·高三期末）设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】 【分析】用复数的乘法法则及纯虚数的定义即可. 【详解】(1i)(1i)1i i 1(1)i a a a a a -+=+-+=++-为纯虚数，10a ∴+=，1a ∴=-，故选:A ．31．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C. 二、多选题32．（2022·河北唐山·高三期末）已知复数i z a b =+（,a b ∈R 且0b ≠），z 是z 的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．z z +∈R B ．z z -∈RC ．z z ⋅∈RD ．zz∈R【答案】AC 【解析】 【分析】由题知i z a b =-，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，i z a b =+，i z a b =-，所以2z z a +=∈R ，故正确； 对于B 选项，i z a b =+，i z a b =-，2i z z b -=∉R ，故错误；对于C 选项，i z a b =+，i z a b =-，22z z a b ⋅=+∈R ，故正确；对于D 选项，i z a b =+，i z a b =-，()22222222i i i i z a b ab z a a b a b a b b a b --===+-+-+， 所以当0a =时，z z ∈R ，当0a ≠时，zz ∉R ，故错误.故选：AC33．（2022·山东莱西·高三期末）已知复数()21i z a a =+-，i 为虚数单位，a R ∈，则下列正确的为（ ）A ．若z 是实数，则1a =-B ．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上C ．zD ．若21z z =+，则1a =±【答案】BC 【解析】 【分析】以实数定义求出参数a 判断选项A ；以复数z 对应点的坐标判断选项B ；求出复数z 的模判断选项C ；以复数相等求出参数a 判断选项D. 【详解】选项A ：由复数()21i z a a =+-是实数可知210a -=，解之得1a =±.选项A 判断错误；选项B ：复数()21i z a a =+-在复平面内对应点2(,1)Z a a -，其坐标满足方程21y x =-，即点2(,1)Z a a -位于抛物线21y x =-上. 判断正确；选项C ：由()21i z a a =+-，可得z ===判断正确； 选项D ：21z z =+ 即()()221i =2121i a a a a +-+--可得()2221121a a a a =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解之得1a =-.选项D 判断错误. 故选：BC34．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【解析】 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，z z ==，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC35．（2022·江苏如皋·高三期末）关于复数12z =- (i 为虚数单位)，下列说法正确的是（ ）A ．|z |＝1B ．z ＋z 2＝－1C ．z 3＝－1D ．(z ＋1)3＝i【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D. 【详解】由复数12z =-,可得||1z == ，故A 正确；2211112222z z +=--=-- ，故B 正确；3222111()1222z z z =⋅=--+--=，故C 错误；3221111(1)(1)(1)(((12222z z z ⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误， 故选：AB.36．（2022·江苏苏州·高三期末）下列命题正确的是（ ） A ．若12,z z 为复数，则1212z z z z =⋅ B ．若,a b 为向量，则a b a b ⋅=⋅C ．若12,z z 为复数，且1212z z z z +=-，则120z z =D ．若,a b 为向量，且a b a b +=-，则0a b ⋅= 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】令1i z a b =+，()2i ,,,R z c d a b c d =+∈，，12()i z z ac bd ad bc =-++，12z z ===1z =2z =1212z z z z ∴=⋅，A 对；cos a b a b θ⋅=⋅⋅，cos a b a b a b θ∴⋅=⋅⋅=⋅不一定成立，B 错； 12()()i z z a c b d +=+++，12()()i z z a c b d -=-+-，1212z z z z -=+，0ac bd ∴+=，12(i)(i)()i 0z z a b c d ac bd ad bc =++=-++≠，C 错．将a b a b +=-两边平方并化简得0a b ⋅=，D 对. 故选：AD 三、填空题37．（2021·福建·莆田二中高三期末）设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______ 【答案】5π 【解析】 【分析】依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解； 【详解】解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π38．（2022·广东佛山·高三期末）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________. 【答案】28i -- 【解析】 【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答. 【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--. 故答案为：28i --39．（2022·江苏常州·高三期末）i 是虚数单位，已知复数z 满足等式2i0i z z+=，则z 的模z =________．【解析】 【分析】以复数运算规则和复数模的运算性质对已知条件进行变形整理，是本题的简洁方法. 【详解】 由2i 0i z z +=，可得2i i z z =- 则有2ii z z-=，即i 2i 2z z ⨯=⨯-=，故有z =。
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复数 高考汇编
1．（2006年福建卷）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是 （D ）
（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=
2．（2006 ）
A ．i
B ．i -
C i
D i
1i i
===-故选A 3．（2006年广东卷）若复数z 满足方程022=+z ，则=3z A.22± B. 22- C. i 22- D. i 22±
4．由i z i z z 222023
2±=⇒±=⇒=+，故选D.
5．（2006年广东卷）对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若
)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p
A. )0,4(
B. )0,2(
C.)2,0(
D.)4,0(- 6．由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨
⎧=+=-2
10252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B. 7．（2006年陕西卷）复数10
(1)1i i
+-等于（ C ） （A ）1i + （B ）1i -- （C ）1i - （D ）1i -+
8．( 2006年重庆卷)复数2
i 321++i 的值是__171010i +_. 9．（2006年全国卷II ）
3(1－i )2
＝ (A ) （A ）32i （B ）－32
i （C ）i （D ）－i 10．（2006年四川卷）复数的虚部为 （D ）
（A ）3 （B ）3- （C ）2 （D ）2-
11．（2006年四川卷）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈； （2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①{},G =⊕非负整数为整数的加法 ②{},G =⊕偶数为整数的乘法
③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法 ④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法 ⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法
其中G 关于运算⊕为“融洽集”______①，③__________;（写出所有“融洽集”的序号）
12．（2006年天津卷）i 是虚数单位，
=+i
i 1（ A ） A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2
121-- 13. （2006年湖北卷）设x 、y 为实数，且i
i y i x 315211-=-+-，则x +y =___4_______. 13．解填4。
由i i y i x 315211-=-+-知，5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+，即
5(1)2(12)5(13)x i y i i +++=+，即(525)(5415)0x y x y i +-++-=，故
5250,54150.x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得1,5.x y =-⎧⎨=⎩
4x y +=。
14．（2006年全国卷I ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =
A ．1
B ．1-
C ．14．两句话：⑴ 如果一个复数是实数，那只需要一个条件：虚部为0；⑵ 如果一个复数是纯虚数，那可就得俩条件：实部为0且虚部不为0。
从第3小题和此题来看，这份卷子属于“温柔派”风格 —— 总是在同类问题中选择最简单的。
具体到本题，(
)()21m i mi ++展开后，“原始项”共四项，但是我们并不关心实部项，虚部项为：
21m mi i ⨯+⨯，只需：()3101
m i m +=⇒=-。
选B
15．（2006年江西卷）已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ D ）
A ．32
B. 34
C. 32
D.34
解：
z 故选D 16．（2006年北京卷）在复平面内，复数1i i +对应的点位于 (D) （A ）第一象限
（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
17．（2006年上海卷）若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ -1+i ．
18．（ 2006年浙江卷）已知11m ni i
=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则 ( C ) (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I
19． （2006年上海春卷）已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w w
z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.
19. [解法一] i 2i 21i 34,i 34)i 21(-=++=
∴+=+w w ， ……4分 i 3|i |i
25+=-+-=∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z .
10,6=⋅=+z z z z ，
∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分
[解法二] 设i b a w +=R)(∈b a 、
b a b a 2i 2i 34i +-=-+，
得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩
⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ， ……4分
以下解法同[解法一].。