插值与拟合(使用插值还是拟合)
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
02插值与拟合
插值：求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合：已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。
常见的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、 Hermite 插值和三次样条插值。
拟合：拟合的实现分为MATLAB和excel实现。
MATLAB的实现就是polyfit函数：主要是多项式拟合。
更复杂的函数拟合，使用的是最小二乘法，或者其他方法。
但是需要经验公式：例如：此代码比较简单，大家自己看书就能立刻看明白。
关于拟合：拟合可以用excel，也可以用MATLAB，关于excel的用法。
大家自己探索，提示：添加趋势线。
关于matlab，需要了解一些函数：Polyfit polyval 其余参考MATLAB汇总中的MATLAB常用函数参考。
Polyfit是多项式拟合：需要输入x,y的数据，x和y个数一致，然后polyfit（x,y,n）n表示需要拟合的次数。
Polyval一般套用在polyfit后，用法看上图。
插值：插值是相对拟合略微麻烦一点点：插值的函数 interp2，这个大家经常见，关于interp2的用法网上介绍的很多。
这里有一个需要注意的事项就是：以下为例：x0=[1200:400:4000];y0=[1200:400:3600];z0=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;1500 1200 1100 1550 1600 1550 1180 1070;1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];[xi,yi]=meshgrid(1200:10:4000,1200:10:3600);%网格化处理，这一步很多人会忘掉，往往会输入为：x1=1200:10:4000;y1=1200:10:3600的形式注意zil=interp2(x0,y0,z0,xi,yi,'linear');%使用linear进行插值，可以替换，更多的可以在MATLAB中使用help interp2mesh(xi,yi,zil)---------------------------------------------------------------------下面我们简单介绍meshgrid intrerp griddate重要，需要了解，尤其第四条（最后一页）interp2与griddata的区别1. meshgridmeshgrid用于从数组a和b产生网格。
曲线拟合与插值方法的数学原理
曲线拟合与插值方法的数学原理现代科学技术的发展离不开数学的支持，而在数学领域中，曲线拟合与插值方法是一种常用的数学原理。
本文将从数学角度探讨曲线拟合与插值方法的原理及其应用。
曲线拟合是指利用已知的数据点，通过一定的数学方法找到与这些数据点最为契合的曲线。
在实际应用中，往往通过曲线拟合方法来预测未知数值，从而达到分析数据、优化设计等目的。
而曲线插值则是指通过已知数据点之间的光滑曲线来逼近实际函数的方法。
曲线插值要求插值函数通过所有给定的数据点，从而保证精确度要求。
曲线拟合与插值方法的数学原理主要涉及到数值分析、逼近论、微积分等数学知识。
在曲线拟合中，常用的方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合、最小二乘非线性拟合等。
最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来确定未知参数的优化方法，能够有效降低数据测量误差对拟合结果的影响。
在曲线插值方法中，常用的技术包括拉格朗日插值、线性插值、样条插值等。
这些方法通过不同的插值基函数来逼近实际函数，其中拉格朗日插值是一种广泛应用的方法，它通过已知数据点构造一个插值多项式，从而达到对函数的逼近效果。
曲线拟合与插值方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在工程领域中，曲线拟合与插值方法能够对大量的实验数据进行处理，从而找到数据背后的规律，为工程设计提供支持。
在金融领域中，曲线插值方法被广泛用于股票市场走势的分析与预测，通过对历史数据的插值拟合，为投资决策提供参考。
此外，在地理信息系统、生物医学和社会科学等领域，曲线拟合与插值方法也有着重要的应用价值。
总之，曲线拟合与插值方法作为一种重要的数学原理，在现代科学技术领域中有着广泛的应用。
通过对曲线拟合与插值方法的深入研究和探讨，我们能够更好地理解数据背后的规律，为科学研究和工程实践提供强大的支持。
希望本文能够对读者对曲线拟合与插值方法有所启发和帮助。
什么叫拟合？什么叫插值？二者的区别是什么？
function [xc,yc,R,a] = circfit(x,y)
%CIRCFIT Fits a circle in x,y plane
%
% [XC, YC, R, A] = CIRCFIT(X,Y)
% Result is center point (yc,xc) and radius R.A is an optional
% output describing the circle's equation:
%
% x^2+y^2+a(1)*x+a(2)*y+a(3)=0
% by Bucher izhak 25/oct/1991
n=length(x); xx=x.*x; yy=y.*y; xy=x.*y;
(i=1~n)
|x11,x21,…xm1|
A=|x12,x22,…xm2|
|…………… |
|x1n,x2n,…xmn|
Y={y1,y2,y3,…,yn}'
则系数{a1,a2,…,am}'=pinv(A)*Y
在matlab中使用
coeff=A\Y
则可以得到最小二乘意义上的拟合系数
过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给
定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在
整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有
函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。
从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式
yc = -.5*a(2);
R = sqrt((a(1)^2+a(2)^2)/4-a(3));
matlab插值与拟合
matlab插值与拟合
在MATLAB中，插值和拟合都是通过函数来实现的。
插值是通过创建新的数据点来填充在已知数据点之间的空白。
MATLAB提供了几种不同的插值方法，例如分段线性插值、三次样条插值、立方插值等。
具体使用哪种插值方法取决于数据的特性和所需的精度。
插值函数的一般形式是`interp1(x, y, xi, 'method')`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`xi`是待插值点的横坐标向量，`method`是插值方法，例如最近邻点插值、线性插值、三次样条插值、立方插值等。
拟合是通过调整一个数学模型来使得该模型尽可能地接近给定的数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合。
该函数的一般形式是`p = polyfit(x, y, n)`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`n`是多项式的阶数。
该函数返回一个向量`p`，表示多项式的系数。
可以使用`polyval`函数来评估这个多项式模型在给定数据点上的值。
需要注意的是，插值和拟合都是数学上的近似方法，它们只能尽可能地逼近真实的情况，而不能完全准确地描述数据的变化。
因此，选择合适的插值和拟合方法是非常重要的。
MATLAB中的曲线拟合与插值
MATLAB 中的曲线拟合和插值在大量的使用领域中，人们经常面临用一个分析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
对这个问题有两种方法。
在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。
这种方法在下一节讨论。
这里讨论的方法是曲线拟合或回归。
人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
图11.1说明了这两种方法。
标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。
11.1 曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。
所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。
虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。
对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。
这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。
最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小00.20.40.60.81-2024681012xy =f (x )Second O rder C urv e Fitting图11.1 2阶曲线拟合在MATLAB 中，函数polyfit 求解最小二乘曲线拟合问题。
为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]; » y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];为了用polyfit ，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。
如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。
如何使用物理实验技术进行线性插值与拟合
如何使用物理实验技术进行线性插值与拟合在科学研究和工程应用中，线性插值和拟合是常用的一种技术。
它们能够通过实验数据的处理和分析，帮助我们了解事物之间的关系并预测未知值。
这篇文章将介绍如何使用物理实验技术进行线性插值和拟合，以及它们在实际应用中的意义和局限性。
一、线性插值的原理与方法在物理实验中，我们常常会遇到数据的缺失或者需要预测某个未知值的情况。
线性插值是一种通过已知数据点之间的直线来估算未知值的方法。
其基本原理是假设两个已知点之间的关系是线性的，并且用线性方程来描述这种关系。
然后我们根据已知的两个数据点，通过插入未知值对应的自变量值，计算出相应的因变量值。
线性插值的步骤如下：1. 找到已知数据点中最接近未知值的两个点，并设为（x1，y1）和（x2，y2）。
2. 计算两个点之间的斜率 k：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)3. 根据斜率和已知点的坐标，计算未知值对应的因变量值 y0：y0 = y1 + k * (x0 - x1)这样，我们就得到了一个在已知数据点之间的线性函数，可以用于估算或预测未知值。
二、实验中的线性插值应用在线性插值的实际应用中，我们经常会用到两个主要的情况：样条插值和反函数插值。
1. 样条插值样条插值是一种通过插入多个线性插值的结果，来逼近原始数据的方法。
它的优点是能够更精确地拟合非线性关系，但需要更多的已知数据点。
在物理实验中，我们有时会遇到复杂的数据曲线，不适合仅用线性插值的方法进行处理。
这时，我们可以使用样条插值，将一段数据区间分成多个小区间，分别进行线性插值，最终得到整个数据曲线的拟合结果。
这样就能够更准确地分析实验数据和预测未知值。
2. 反函数插值在某些情况下，我们可以通过已知函数的反函数关系，进行线性插值来预测未知值。
例如，我们有一组已知数据是 x 的函数关系，而我们需要估算相应的 y 值。
如果我们能找到 x 和 y 之间的反函数关系，那么我们就可以使用线性插值来得到 y 的值。
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合是数据处理和分析中常用的方法，它们的主要差异如下：
1. 目标不同：
- 插值法的主要目标是通过已知数据点的函数值推断未知数据点的函数值，以填充数据的空缺部分或者进行数据的重构。
- 曲线拟合的主要目标是通过已知数据点拟合出一条函数曲线，以描述数据点之间的趋势或模式。
2. 数据使用方式不同：
- 插值法使用已知数据点的函数值作为输入，通过构造插值函数来推断未知数据点的函数值。
- 曲线拟合使用已知数据点的函数值作为输入，并通过选择合适的拟合函数参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
3. 数据点要求不同：
- 插值法要求已知数据点间的函数值比较准确，以保证插值函数的质量，并要求数据点间的间距不会过大，避免出现过度插值或者不稳定的现象。
- 曲线拟合对于数据点的要求相对较松，可以容忍噪声、异常值等因素，因为它不需要将函数曲线完全通过所有数据点。
4. 应用场景不同：
- 插值法常见应用于信号处理、图像处理等领域，可以用于填充缺失数据、图像重构等任务。
- 曲线拟合常见应用于数据分析、模型建立等领域，可以用
于描述数据间的趋势、拟合科学模型等。
综上所述，插值法和曲线拟合在目标、数据使用方式、数据点要求和应用场景等方面存在明显的差异。
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利用matlab实现插值与拟合实验张体强1026222张影晁亚敏[摘要]：在测绘学中，无论是图形处理，还是地形图处理等，大多离不开插值与拟合的应用，根据插值与拟合原理，构造出插值和拟合函数，理解其原理，并在matlab平台下，实现一维插值，二维插值运算，实现多项式拟合，非线性拟合等，并在此基础上，联系自己所学专业，分析其生活中特殊例子，提出问题，建立模型，编写程序，以至于深刻理解插值与拟合的作用。
[关键字]:测绘学插值多项式拟合非线性拟合[ Abstract]: in surveying and mapping, whether the graphics processing, or topographic map processing and so on, are inseparable from the interpolation and fitting application, according to the interpolation and fitting theory, construct the fitting and interpolation function, understanding its principle, and MATLAB platform, achieve one-dimensional interpolation, two-dimensional interpolation, polynomial fitting, non-linear fitting, and on this basis, to contact their studies, analysis of their living in a special example, put forward the question, modeling, programming, so that a deep understanding of interpolation and fitting function.[ Key words]:Surveying and mapping interpolation polynomial fitting nonlinear一: 引言通常在生产实际及科学研究中，我们经常要研究变量之间的函数关系y=f(x)，若f(x)的表达式很复杂，或f(x)只是一张数据来表示，这都给研究带来困难，因此我们希望用一个函数P(x)来代替它，把研究f(x)的问题转化成研究，由于近似含义不同，就有插值和拟合两种情况。
Matlab是一款功能强大的科学数学计数器，利用matlab可以成功的完成插值与拟合等任务，在编写插值与拟合程序前，本人从以下步骤分析和实现插值与拟合。
图1 插值与拟合分析流程图二：拉格朗日插值原理和插值多项式构造一般地，已知函数y=f(x)在互异的n+1个点x 0 , x 1 ,…….x n 处的函数值y0,y1,y2…….yn 就是构造一个多项式L n (x)。
如果一个n 次多项式()(0,1,,)k l x k n =在n+1个互异的节点x 0 , x 1 ,…….x n 满足 则称()(0,1,,)k l x k n =为节点01,,,n x x x 上的n 次插值基函数，那么我们可以求出插值基函数为：于是满足条件()(0,1,,)n j j L x y j n ==，则称n 次插值多项式L n (x)为则L n (x)为拉格朗日插值多项式。
记插值余项为以下： 则1011'()()()()()n k k k k k k k n x x x x x x x x x ω+-+=----于是：101()()()'()nn n kk k n k x L x y x x x ωω+=+=-∑ 上面公式为完整的拉格朗日插值公式。
1,()0,k j kj j k l x j kδ⎧=⎪==⎨≠⎪⎩(,0,1,,)k j n =011011()()()()(),(0,1,,)()()()()k k n kk k k k k k n x x x x x x x x l x k n x x x x x x x x -+-+----==----0()()nn k k k L x y l x ==∑1010()()()()(),nn j n j x x x x x x x x x ω+==-=---∏三：拉格朗日插值事例分析1：一维插值Matlab在计算一维插值函数时使用函数interp1，该函数提供了四种插值函数方法选着，分别是：线性插值，三次样条插值，三次插值和最近点插值（linear，spline，cubic，nearest），其基本格式是：Intrer1（x,y,cx,’method’）其中x，y分别表示为数据点的横纵坐标，x必须单调，cx为需要的插值的坐标，不能超过x的范围，例：在12个小时内，东海某一特殊区域每相隔一小时水温大致分布如下：5,7,9,16,24,28,31,29,22,25,27,24.现在利用此数据分析东海该区域在第3.5小时，6.3小时.7.2小时的水温。
解：在matlab程序中输入以下程序hours=1:12;temps=[5,7,9,16,24,28,31,29,22,25,27,24];t=interp1(hours,temps,[3.5,6.3,7.2]);t =12.5000 28.9000 30.60002：二维插值在我们海洋测绘专业中，二维插值无处不在，在画海图的时候计算其水深分布，危险物分布，水温分布等，在山区测绘工作中用的十分广泛，例如画山区山形图，山形图像处理（如平滑，锐化）等，让其图像更清晰等，而matlab二维插值有以下：‘nearest’最邻近插值；‘linear’双线性插值；‘cubic’双三次插值；缺省时双线性插值其格式为：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)方法和一维一样的现在以书上的例题为例（p308）：输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];mesh(x,y,temps)图2：原水温分布图xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)图3 平滑后的水温分布四：拟合的方原理和方法所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值,f1,f2,…,fn-，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn)，使得该函数与已知点集的差别最小。
如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。
表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。
1：多项式拟合假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。
如果利用matlab 拟合，则可以简化大部分步骤，因为matlb 里面提供了函数polyfit(x,y,m)，多项式在x 处的y 的值可以用一下命令计算： Y=ployval(A,x)例：对于以下数据：利用多项式拟合有： x=0:0.1:1;y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,'k+',x,z,'r')图4 多项式曲线拟合图2：非线性最小二乘拟合在最小二乘法中，如果我们寻求函数f(x)是任意的非线性函数，则称为非线性最小二乘拟合，matlab 中提供函数lsqcurvefit 。
已知数据点： xdata=（xdata 1,xdata 2,…,xdata n ）,ydata=（ydata 1,ydata 2,…,ydata n ）lsqcurvefit 用以求含参量x （向量）的向量值函数F(x,xdata)=（F （x,xdata 1）,…,F （x ，xdata n ））T 中的参变量x(向量),使得21((,))niii F x xdata ydata =-∑最小输入格式为:(1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’); (4) *x,options+=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…); (5) [x,options,f unval+=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…); (6)*x,options,funval,Jacob+=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata, ydata,…); 例对下面一组数据拟合为0.0.2()e ktc t a b =+编写m 文件function f=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b ；x(3)=k; tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10, 6.26,6.39,6.50,6.59]; x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit ('curvefun1',x0,tdata,cdata) f= curvefun1(x,tdata)f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.0063x = 0.0063 -0.0034 0.2542五：插值与拟合实际建模与分析基于前面所述插值与拟合的基础上，分析插值与拟合在本专业中应用 1：问题的提出在测绘专业中时常会提到曲线放样，我国的公路的平面曲线设计中，主要是以直导线与圆曲线的组合以及直导线与复曲线的组合为主，在解决曲线的顺应性（光滑性）方面，也只用了缓和曲线来进行直线，曲线的过度，在这种设计模式下，在地形和其他条件受到限制条件下必然使设计标准降低，设计效果不能很好的满足规范要求，所以在一些先进的国家中试图突破以往设计模式。