高二数学导数单元测试题(有答案)

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高二数学__导数、定积分测试题(含答案)

高二数学导数、定积分测试题一、选择题(共10小题，每小题4分,共40分)1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-13. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+= ( )A ．3B ．23- C ．13 D ．32- 4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是（） A.0 B.1 C.3 D.6 5．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是（）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是（） A.4 B. 52C.3D.27．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是（） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 8．函数313y x x =+- 有（）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为（） A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为（） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J11设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数 y =f ′(x)的图象可能是12．f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（）A 、f (x )=g (x )B 、f (x )－g (x )为常数函数C 、f (x )=g (x )=0D 、f (x )+g (x )为常数函数二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)13．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________。

高二数学导数试题答案及解析

高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。

直线的斜率为。

由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。

故A正确。

【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。

2.已知函数在处有极大值，则=（）A．6B．C．2或6D．-2或6【答案】A【解析】根据题意，由于函数在处有极大值，则可知f’(2)=0,12-8c+=0，c=4.则可知=6，当c=2不符合题意，故答案为A.【考点】函数的极值点评：主要是考查了函数极值的运用，属于基础题。

3.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意，由于，故可知当0<x<1，递增，在1<x<2时函数递减，故可知函数在区间上最大值与最小值分别是，-2，故可知和为，故答案为。

【考点】函数的最值点评：主要是考查了导数在研究函数最值中的运用，属于基础题。

4.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是（）A．（-∞，2）B．（0,3）C．（1,4）D．（2，+∞）【答案】D【解析】，由得：，故函数的单调递增区间为（2，+∞）。

故选Ｄ。

【考点】函数的单调性点评：求函数的单调区间，常结合导数来求，过程要用到的结论是：若，则函数的增区间为；若，则函数的减区间为5.下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“f(x)有极值点”的充要条件;⑤函数的单调递增区间是．其中真命题为____．(填序号)【答案】③⑤【解析】①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正确；②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（）=-2sin=-1，故不正确；③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）（x-2013），则g'（x）中含（x-2013）的将2013代入都为0，则g′（2013）=2012!故正确；④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，故不正确；⑤∵，∴，令得，解得x∈，故正确.综上，真命题为③⑤【考点】本题考查了导数的运用及三角函数的单调性点评：此类问题主要考查复合函数的导数，以及函数的极值、求值等有关知识，属于综合题6.若,则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，=，选A。

高二数学导数试题

高二数学导数试题1.用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．12B．10C．8D．6【答案】C【解析】设在四角截去的正方形的边长为，则铁盒容积为，而，即的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在时V有极大值.【考点】导函数的应用、函数思想.2.已知函数在处有极大值，则=（）A．6B．C．2或6D．-2或6【答案】A【解析】根据题意，由于函数在处有极大值，则可知f’(2)=0,12-8c+=0，c=4.则可知=6，当c=2不符合题意，故答案为A.【考点】函数的极值点评：主要是考查了函数极值的运用，属于基础题。

3.对于R上的可导的任意函数，若满足，则函数在区间上必有（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】根据题意，由于对于R上的可导的任意函数，若满足1<x<2时，则可知函数f(x)递增，故可知函数在区间上必有成立，故答案为A.【考点】函数的单调性点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。

4.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）【答案】A【解析】根据题意，由于函数的导函数在区间上是增函数，函数在区间上的图象对于A,递增，的导数值从小的正数开始增大，成立，对于B，由于函数递增，导数的值逐渐减小，对于C，导数值不变，对于D，导数值先增大再减小，故选A.【考点】导数的概念点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，属于基础题。

5.已知函数（1）当时，求的极小值；（2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；（3）设，求的最大值的解析式．【答案】（1）-2（2）（3）【解析】（1） 1分当时，时，，2分的极小值是 3分（2）法1：，直线即，依题意，切线斜率，即无解 4分6分法2：， 4分要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立， 6分（3）因故只要求在上的最大值. 7分①当时，9分②当时，（ⅰ）当在上单调递增，此时 10分（ⅱ）当时，在单调递增；1°当时，；2°当（ⅰ）当（ⅱ）当 13分综上 14分【考点】导数的几何意义及函数极值最值点评：利用函数在某一点处的导数值等于过改点的切线斜率可确定第二问中导数值不可能为，求函数极值最值首先求得导数，当导数等于0时得到极值点，确定单调区间从而确定是极大值还是极小值，第三问求最值要分情况讨论在区间上的单调性，对于分情况讨论题是一个难点内容6.已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】，设，所以斜率的范围倾斜角的范围【考点】函数导数计算与几何意义点评：函数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，均值不等式求最值时要注意一正二定三相等的条件7.已知函数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 直线的方程为，切点坐标为【解析】(Ⅰ) 1分在点处的切线的斜率， 2分切线的方程为. 4分(Ⅱ)设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：． 6分又直线过点，，整理，得，，，的斜率， 10分直线的方程为，切点坐标为． 12分【考点】导数的几何意义及直线方程点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，在求切线方程时要从切点入手，找到切点满足的条件即可求得其坐标8.曲线上的点到直线的最短距离是__________.【答案】【解析】直线y=2x+3在曲线y=ln（2x+1）上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x-y+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2x-y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．解：因为直线2x-y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2x-y+3=0的距离d=即曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是故答案为：【考点】点到直线的距离点评：在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键．同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用．9.已知函数,若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于函数,若，则实数的值为2，故答案为A.【考点】导数的概念点评：主要是考查了导数的概念的运用，属于基础题。

(完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)

高二数学导数单元测试题（有答案）（一）．选择题（1）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（）A ．34y x =-B 。

32y x =-+C 。

43y x =-+D 。

45y x =- a(2) 函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )A ．18 B ．41 C ．21D ．1 (3) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）(4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．5(5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0（6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（）A ．12B ． -1C ．0D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（）A 、0B 、1002C 、200D 、100！（9）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23（二）．填空题（1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程是。

（2）．设 f ( x ) = x 3－21x 2－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 .（3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。

高二数学导数单元测试题(文科)

赣县中学北区高二年级导数（文科）单元测试题命题人：刘文平审题人：付兴文做题人：邓新如 2011.11.24班级姓名得分（一）．选择题（1）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（）A ．34y x =-B 。

32y x =-+C 。

43y x =-+D 。

高二数学导数大题练习(详细答案)

1．已知函数d xb ac bxaxx f )23()(23的图象如图所示．（I ）求d c,的值；（II ）若函数)(x f 在2x 处的切线方程为0113yx，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y 与m xx f y5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4x处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23m x f x xx g 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．已知函数c bx ax x x f 23)(的图象经过坐标原点，且在1x处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2ax f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R、，求证：81|)sin2()sin2(|f f ．4．已知常数0a ，e 为自然对数的底数，函数x ex f x)(，x a xx g ln )(2．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a；（II ）讨论函数)(x g y 在区间),1(ae 上零点的个数．5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x ．（I ）当1k 时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；6．已知2x 是函数2()(23)xf x xax ae 的一个极值点（718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[x的最大值和最小值．7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2aR a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．8．已知函数()(6)ln f x x x a x 在(2,)x 上不具有．．．单调性．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x 是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x 恒成立．9．已知函数.1,ln )1(21)(2a x a ax xx f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121x x x f x f x x x x a 有则对任意10．已知函数21()ln ,()(1),12f x xa x g x a x a．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ，设()()()F x f x g x ，求证：当12,[1,]x x a 时，不等式12|()()|1F x F x 成立．11．设曲线C ：()ln f x x ex （ 2.71828e ），()f x 表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x ，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ，使直线AB 的斜率等于0()f x ．12．定义),0(,,)1(),(y x x y x F y，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x ，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx 的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x yN 且x y 时，求证(,)(,)F x y F y x ．答案1．解：函数)(x f 的导函数为b ac bx ax x f 2323)(2'…………（2分）（I ）由图可知函数)(x f 的图象过点（0，3），且)1('f 得03023233c db a cbad …………（4分）（II ）依题意3)2('f 且5)2(f 534648323412babab a b a 解得6,1b a 所以396)(23x x x x f …………（8分）（III ）9123)(2x x x f ．可转化为：m x x x x x x 534396223有三个不等实根，即：m x x x x g 8723与x 轴有三个交点；42381432xx x xxg ，x32,32432，4，4x g + 0 - 0 + xg 增极大值减极小值增m g m g 164,276832．…………（10分）当且仅当01640276832mg mg 且时，有三个交点，故而，276816m为所求．…………（12分）2．解：（I ）)0()1()('xxx a x f （2分）当,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当;1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数（5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('x x x f aa f 得2)4()(',2)22(31)(223xm xx g x xmxx g （6分）2)0(',)3,1()(g x g 且上不是单调函数在区间.0)3(',0)1('g g （8分）,319,3mm （10分）)3,319(m （12分）3．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax xx f c f 320)1(a bf ),323)(1()32(23)(2axx a ax xx f 由33210)(a xxx f 或，因为当1x时取得极大值，所以31332aa ，所以)3,(:的取值范围是a ；（II ）由下表：x)1,(1)332,1(a 332a ),332(a )(x f + 0 - 0 - )(x f 递增极大值2a递减极小值2)32(276a a 递增依题意得：9)32()32(27622aa a，解得：9a所以函数)(x f 的解析式是：xxx x f 159)(23（III ）对任意的实数,都有,2sin22,2sin22在区间[-2，2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(f f f ,7)1()(f x f 的最大值是7430368)2()(f x f 的最小值是函数]2,2[)(在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81，所以81|)sin2()sin 2(|f f ．4．解：（I ）01)(xex f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(，…………（2分）∵0a ，∴1)0()(f a f ，∴a a e a1，即a ea．…………（4分）（II ）xa x a xxa x x g )22)(22(22)(，由0)(x g ，得22a x，列表x )22,0(a 22a ),22(a )(x g - 0 + )(x g 单调递减极小值单调递增当22a x时，函数)(x g y 取极小值)2ln 1(2)22(a a a g ，无极大值．由（I ）a ea，∵22a a e eaa，∴22a ea，∴22a ea01)1(g ，0))(()(22a ea eaee g aaaa…………（8分）（i ）当122a ，即20a时，函数)(x g y在区间),1(ae 不存在零点（ii ）当122a，即2a 时若0)2ln 1(2a a ，即e a 22时，函数)(x g y 在区间),1(ae 不存在零点若0)2ln 1(2a a ，即e a 2时，函数)(x g y 在区间),1(ae 存在一个零点e x；若0)2ln 1(2aa ，即e a 2时，函数)(x g y 在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y在(1,)ae 上，我们有结论：当02a e 时，函数()f x 无零点；当2a e 时，函数()f x 有一个零点；当2a e 时，函数()f x 有两个零点．5．解：（I ）当1k时，2()1xf x x )(x f 定义域为（1，+），令()0,2f x x 得，∵当(1,2),x 时()0f x ，当(2,),x 时()0f x ，∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)在上是减函数∴当2x 时，()f x 取最大值(2)0f （II ）①当0k 时，函数ln(1)y x 图象与函数(1)1yk x 图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求；②当0k时，1()11()111k k x k kx k f x k x x x ………………（6分）令1()0,k f x x k 得，∵1(1,),()0,k x f x k 时1(1,),()0x f x k时，∴1()(1,1)f x k 在内是增函数，1[1,)k在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k ，1k ，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k6．解：（I ）由2()(23)xf x xax a e 可得22()(2)(23)[(2)3]xxxf x xa exaxaexa x ae……（4分）∵2x 是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f ∴2(5)0a e ，解得5a （II ）由0)1)(2()(xe x x xf ，得)(x f 在)1,(递增，在),2(递增，由0)(x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f 是()f x 在]3,23[x 的最小值；……………（8分）2347)23(ef ，3)3(ef ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f ee e e ef f ∴()f x 在]3,23[x的最大值是3)3(ef ．7．解：（Ⅰ）x xxx f ln 164)(2，xxx xxx f )4)(2(21642)('2分由0)('x f 得0)4)(2(x x ，解得4x 或2x 注意到0x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞）由0)('x f 得0)4)(2(x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(.综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0(6分（Ⅱ）在],[2e e x 时，x a x x x f ln )2(4)(2所以xax xxa x x f 242242)('2，设a x x x g 242)(2当0a 时，有△=16+4×208)2(a a ，此时0)(x g ，所以0)('x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增，所以ae e ef x f 24)()(2min 8分当0a 时，△=08)2(2416a a ，令0)('x f ，即02422a x x ，解得221a x 或221a x ；令0)('x f ，即02422a xx ，解得221a 221a x.①若221a ≥2e ，即a ≥22)1(2e时，)(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a eee f x f 244)()(242min.②若2221ea e ，即222)1(2)1(2ea e 时间，)(x f 在区间]221,[a e 上单调递减，在区间],221[2e a 上单调递增，所以min )(xf )221(a f )221ln()2(322aa aa .③若221a ≤e ，即a 0≤２2)1(e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e ee f x f 24)()(2min综上所述，当a ≥２22)1(e 时，a e a x f 244)(24min；当222)1(2)1(2eae 时，)221ln()2(322)(mina a aa x f ；当a ≤2)1(2e 时，aeex f 24)(2min 14分8．解：（I ）226()26a xx af x x xx，∵()f x 在(2,)x 上不具有．．．单调性，∴在(2,)x 上()f x 有正也有负也有0，即二次函数226yxx a 在(2,)x 上有零点………………（4分）∵226yxxa 是对称轴是32x，开口向上的抛物线，∴222620ya 的实数a 的取值范围(,4)（II ）由（I ）22()2a g x x x x ，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x xxx，∵4a，∴323233444244()22a xx g x xxxxx，…………（8分）设2344()2h x xx ，3448124(23)()x h x xx x()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2增函数，当32x 时，()h x 取最小值3827∴从而()g x 3827，∴38(())027g x x ，函数38()27y g x x 是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x ，则22113838()()2727g x x g x x ∴212138()()()27g x g x x x ，∵210x x ，∴1212()()3827g x g x x x ∴1212()()g x g x x x 3827，即121238|()()|||27g x g x x x ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x 上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x a x x x x x x ，12122x x x x ，4a12223121212122()422()x x a a x x x x x x x x 31212442()x x x x ………（8分）设121,0t tx x ，令32()244MNk u t tt ，()4(32)u t t t，由()0u t ，得2,3t由()0u t 得20,3t ()u t 在)32,0(上是减函数，在),32(上是增函数，)(t u 在32t处取极小值2738，38()27u t ，∴所以1212()()g x g x x x 3827即121238|()()|||27g x g x x x 9．（1）)(x f 的定义域为),0(，xa x x xa ax xxa ax x f )1)(1(11)('2（i ）若2,11a a 即，则.)1()('2x x x f 故)(x f 在),0(单调增加．（ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11x f axaa a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(a x f x f xax 在故时及当单调减少，在（0，a-1），),1(单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加．（II ）考虑函数x x f x g )()(.ln )1(212x x a ax x由.)11(1)1(121)1()('2a ax a xxa a xx g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5x g x g a a ，从而当021x x 时有,0)()(,0)()(212121x x x f x f x g x g 即故1)()(2121x x x f x f ，当210x x 时，有1)()()()(12122121x x x f x f x x x f x f 10．解：（I ）(),()1a f x xg x a x ，∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x 时，2(1)()()()0a xa f x g x x恒成立，即2(1)()0a x a 恒成立，∴21a ax在[1,3]x 时恒成立，或21a ax在[1,3]x 时恒成立，∵91x，∴1a 或9a（II ）21()ln ,(1)2F x xa x a x ，()(1)()(1)a xa x F x xaxx ∵()F x 定义域是(0,)，(1,]a e ，即1a ∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a 是增函数∴当1x 时，()F x 取极大值1(1)2MF a，当x a 时，()F x 取极小值21()ln 2mF a a aaa ，∵12,[1,]x xa ，∴12|()()|||F x F x M m M m设211()ln 22G a M m aa a，则()ln 1G a a a ，∴1[()]1G a a，∵(1,]a e ，∴[()]G a ∴()ln 1G a a a 在(1,]a e 是增函数，∴()(1)0G a G ∴211()ln 22G a aa a在(1,]a e 也是增函数∴()()G a G e ，即2211(1)()1222e G a ee，而22211(1)(31)1112222e ee，∴()1G a Mm ∴当12,[1,]x x a 时，不等式12|()()|1F x F x 成立．11．解：（I ）11()0ex f x exx，得1xe当x 变化时，()f x 与()f x 变化情况如下表：x1(0,)e 1e1(,)e()f x ＋0 －()f x 单调递增极大值单调递减∴当1xe时，()f x 取得极大值1()2f e，没有极小值；（II ）（方法1）∵0()AB f x k ，∴2121021ln ln ()1x x e x x ex x x ，∴21201lnx x x x x即20211ln()0x x x x x ，设2211()ln ()x g x x x x x 211211()ln()x g x x x x x ，1/211()ln 10x x g x x ，1()g x 是1x 的增函数，∵12x x ，∴2122222()()ln()0x g x g x x x x x ；222211()ln()x g x x x x x ，2/221()ln10x x g x x ，2()g x 是2x 的增函数，∵12x x ，∴1211111()()ln()0x g x g x x x x x ，∴函数2211()ln ()x g x x x x x 在12(,)x x 内有零点0x ，又∵22111,ln0x x x x ，函数2211()ln()x g x x x x x 在12(,)x x 是增函数，∴函数2121()ln x x x g x x x 在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立（方法2）∵0()AB f x k ，∴2121021ln ln ()1x x e x x ex x x ，即020112ln ln 0x x x x x x ，012(,)x x x ，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x ，则1121112()ln ln g x x x x x x x ，再设22()ln ln h x x x x x x x ，20x x ，∴2()ln ln 0h x x x ∴22()ln ln h x x x x xxx 在20xx 是增函数∴112()()()0g x h x h x ，同理2()0g x ∴方程2112ln ln 0x x x x x x 在012(,)x x x 有解∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x 是增函数∴方程2112ln ln 0x x x x x x 在012(,)x x x 有唯一解，命题成立………（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分．12．解：（I ）22log (24)0x x ，即2241x x 得函数()f x 的定义域是(1,3)，（II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx 设曲线0(41)C x x 在处有斜率为－8的切线，又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ∴存在实数b 使得111482302030020bx axxx b ax x有解，由①得,238020ax xb代入③得082020ax x，200028041xax x 由有解，……………………（8分）①②③高二数学导数部分大题练习方法1：0082()()a x x ，因为41x ，所以0082()[8,10)()x x ，当10a时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222aa或，1010,10.aaa 或方法3：是222(4)(4)802(1)(1)8a a 的补集，即10a （III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx xx x h x xx x h 由又令,0),1ln(1)(xx xx x p 0)1(11)1(1)(22x x xx x p ，),0[)(在x p 单调递减.……………………（12）分0()(0)0,1()0,xp x p x h x 当时有当时有),1[)(在x h 单调递减，xyy x y x x y y y xx y x)1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1有时，).,(),(,x y F y x F y xN y x 时且当。

高二数学导数大题练习(详细答案)

1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x-=)(，x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立．9．已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '．12．定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．答案1．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）（I ）由图可知函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=0323233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分）（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点；42381432--=+-='x x x x x g ()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,276832． …………（10分）当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点，故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f （2分）当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数（5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间Θ⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）3．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f 由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；（依题意得：9)32()32(2762+-=++a a a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81，所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）xa x a x x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22ax =，列表x)22,0(a 22a ),22(+∞a)(x g ' - 0 +)(x g单调递减极小值单调递增当22a x =时，函数)(x g y =取极小值)222(ag ，无极大值．由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22aa e e aa ，∴22a e a>，∴22ae a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点（ii ）当122>a ，即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点；当2a e = 时，函数()f x 有一个零点；当2a e >时，函数()f x 有两个零点．5．解：（I ）当1k =时，2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<，∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f =（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求； ②当0k >时，1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞ 6．解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分） ∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '= ∴2(5)0a e +=，解得5a =-（II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =．7．解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=， xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞）由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(.综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分（Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2，设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ，令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<；令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ，解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增，所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a+≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=；当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min14分8．解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=，∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0，即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ （II ）由（I ）22()2a g x x xx =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x'=-+=+->，∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分）设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x -'=-=()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->-∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12x x +>Q 4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->1242x x > ………（8分）设0t t =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-，由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->-9．（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= （i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加．（ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．解：（I ）(),()1af x xg x a x''=+=+，∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立，即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x>-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- （II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--，∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=-设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--，∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-，而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．解：（I ）11()0ex f x e x x -'=-==，得1x e=当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：∴当1x e=时，()f x 取得极大值()2f e=-，没有极小值；（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --=即20211ln()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =-- 211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ，又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数，∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-，再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> 得函数()f x 的定义域是(1,3)-，（II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线，又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解，由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分）①②③高二数学导数部分大题练习方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-，当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或， 1010,10.a a a ∴<<∴<或方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a <（III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x x x h x x x x h +-+='≥+=由又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xx x p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分 0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当。

高二数学导数计算试题答案及解析

高二数学导数计算试题答案及解析1.已知函数，则它的导函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，【考点】复合函数的导数.2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）=2xf′（2）+x3，则f′（2）等于（）. A．﹣8B．﹣12C．8D．12【答案】B.【解析】，；令，则，得.【考点】导数的计算.3.已知函数（1）若在上是增函数，求的取值范围；（2）若在处取得极值，且时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）(－∞，－1)∪(2，＋∞)．【解析】解题思路：（1）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解；（2）先根据在处取得极值求得值，再将恒成立问题转化为求，解关于的不等式即可.规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立；求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.试题解析:（1）因在上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．＝，∴b≥.设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，∴f(x)＝f(2)＝2＋c，max∴2＋c＜c 2，解得c＞2，或c＜－1，所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).【考点】1.函数的单调性；2.函数的极值、最值；3.不等式恒成立问题.4.记，，…，．若，则的值为 .【答案】【解析】由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosx﹣xsinx，f（2）（x）=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx，f（3）（x）=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+…+f（2013）（0）=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2009﹣2011）+2013=﹣2×503+2013=1007，故答案为：1007．【考点】导数的运算．5.为实数，(1)求导数；(2)若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值.【答案】⑴ (2) 最大值为最小值为【解析】⑴将括号打开函数变成多项式函数来求导数;也可利用积的导数法则来求解;(2)由结合(1)的结果可求出a值，从而获得的具体解析式，进而获得导数，令其等于零，求得其可能极值，并求出端点的函数值，比较其大小就可求出在[－2，2] 上的最大值和最小值.试题解析：⑴由原式得∴⑵由得,此时有.由得或x="-1" ,又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为【考点】1.函数求导;2.函数的最值.6.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以或，或，故选A.【考点】函数的单调性与导数.7.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。

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高二数学导数单元测试题（有答案）（一）．选择题（1）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（）A ．34y x =-B 。

32y x =-+C 。

43y x =-+D 。

（4）．已知函数32()45f x x bx ax =+++在3,12x x ==-处有极值，那么a = ；b =（5）．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（6）．已知函数32()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（7）．若函数32()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是（8）．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是。

（三）．解答题1．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间. 2．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. （Ⅰ）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（Ⅱ）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.3．已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围. 4．已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++- （1）当2a >时，求函数()f x 极小值；（2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。

5．已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.6．已知两个函数c x x x f --=287)(2，x x x x g 4042)(23-+=.（Ⅰ）若对任意∈x [－3，3]，都有)(x f ≤)(x g 成立，求实数c 的取值范围；（Ⅱ）若对任意∈1x [－3，3]，∈2x [－3，3]，都有)(1x f ≤)(2x g 成立，求实数c 的取值范围7．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 8．设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围9．已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.23)21(='f(Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围. 10．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？11．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为)10(<<x x ，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）. （1）写出y 与x 的函数关系式;（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.12．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB ⊥BC ，OA//BC ，且AB=BC=2 AO=4km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km 2）。

13．设三次函数32()(),f x ax bx cx d a b c =+++<<在1x =处取得极值，其图象在x m =处的切线的斜率为3a -．（1）求证：01ba≤<；（2）若函数()y f x =在区间[,]s t 上单调递增，求||s t -的取值范围；（3）问是否存在实数k （k 是与,,,a b c d 无关的常数），当x k ≥时，恒有'()30f x a +<恒成立？若存在，试求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．14．已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0，1]单调递增，在区间)2,1[单调递减．（1）求a 的值；（2）若点00(,())A x f x 在函数f (x )的图象上，求证点A 关于直线1=x 的对称点B 也在函数f (x )的图象上；（3）是否存在实数b ，使得函数1)(2-=bx x g 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的值；若不存在，试说明理 15．已知32()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数，且()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根。

（1）求c 的值，并求出b 和d 的取值范围。

（2）求证(1)2f ≥。

（3）求||βα-的取值范围，并写出当||βα-取最小值时的()f x 的解析式。

16．设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线A OB C670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．参考解答一．BBDDD CDDA 二．1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、18,3-- 5、(,0)-∞ 6、1,)3⎡+∞⎢⎣7、(,1)(2,)-∞-⋃+∞ 8、),32[]2,0[πππ 三．1．解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.2．（Ⅰ）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x .若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，故)(x f 在)1,(--∞上是增函数，)(x f 在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值.（Ⅱ）解：曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上.设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03003x x y -=.因)1(3)(200-='x x f ，故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=-注意到点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=--化简得830-=x ，解得20-=x .所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x .3．解：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在4．解：（1）'22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a =-++=--()f x 极小值为(1)2a f =- （2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02af =->，()f x 的极小值为2()0f a<，()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133()4()044f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。