(完整版)高二导数练习题及答案
高二数学导数大题练习题及答案
高二数学导数大题练习题及答案一、解答题1．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数. (1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.2．已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若121322x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由.3．已知函数()()2231ln 2f x x a a x a a x =-+-+. (1)若1a =，求()f x 在[]1,2上的值域； (2)若20a a -≠，讨论()f x 的单调性. 4．已知函数()e 1()x f x ax a =-+∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性与极值；(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围. 5．已知函数()()1ln f x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值. 6．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．7．已知函数()12ln f x x x x=--. (1)判断函数()f x 的单调性；(2)设()()()28g x f x bf x =-，当1x >时，()0g x >，求实数b 的取值范围.8．已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.9．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）10．已知函数()222(0)exmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224ef x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增 当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減 综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足， 对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立， 所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 2．(1)0a ≤(2)()()21f x f x <，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分离参变量，得到ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题；（2）由（1）可得1ln x x -≥，从而判断()g x 的单调性，确定1213122x x <<<<，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出122x x +<；再次构造函数1ln ()12t tF t t -=-+，判断其单调性，由此推出2211ln ln x x x x -<-，可得结论. (1)()1x f ax ≥+恒成立，即ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立， 令ln 1()x x h x x --=，2ln ()xh x x'=， 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 递增， 故min ()(1)0h x h ==， 所以0a ≤. (2)2()121212ln 12(1ln )g x x x x x x x x '=--=--，由（1）知1ln x x -≥，所以在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0g x '≥，所以()g x 在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0g =.所以1213122x x <<<<，设()12(1ln )m x x x x =--，()12(22ln )m x x x '=--， 设()12(22ln )n x x x =--，则12(21)()x n x x -'=，13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0n x '>， 所以()m x '在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0m '=，所以()m x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()()(2)H x g x g x =+-，()()(2)12[22ln (2)ln(2)]H x g x g x x x x x x '''=--=--+--， 令()()G x H x '=，()2()12ln 2G x x x '=--，31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0G x '>，所以()H x '在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H ''>=， 所以()H x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H >=， 所以()()()22220H x g x g x =+->，()()()2212g x g x g x ->-=，而()g x 在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以212x x ->，122x x +<；设1ln ()12t tF t t -=-+，()()()221021t F t t t '--=≤+， 所以()F t 单调递减，且(1)0F =，1t >，()0F t <，所以210x F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即221121ln 121x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，即212121ln 2ln x x x x x x -<+-， 所以212121ln ln 12x x x x x x-+<-<， 所以2121ln ln x x x x -<-，即2211ln ln x x x x -<-. 所以()()21f x f x <. 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清晰明确.3．(1)5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)代入a ＝1，求f (x )导数，根据导数判断f (x )在[1，2]上的单调性即可求其值域；(2)根据a 的范围，分类讨论f (x )导数的正负即可求f (x )的单调性. (1)a ＝1，则()2121ln ,02f x x x x x =--+>，()22121(1)20x x x f x x x x x-+-=-+='=，∴()f x 在()0,∞+单调递增，∴f (x )在[]1,2单调递增，∴()()()51,2,3ln 22f x f f ⎡⎤⎡⎤∈=--+⎣⎦⎢⎥⎣⎦，即f (x )在[1，2]上值域为5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)()()()()()223232,0x a a x a x a x a af x x a a x x x x'-++--=-++==>，()10f x x a '=⇒=，22x a =， 200a a a -≠⇒≠且1a ≠，①当1a >时，21a a >>，0x a <<或2x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；②当01a <<时，201a a <<<，20x a <<或x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；③当0a <时，20a a >>，20x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，2x a >，()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当0a <时，f (x )在()20,a 单调递减，在()2,a +∞单调递增；当01a <<时，f (x )在()20,a ，(),a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减；当1a >时，f (x )在()0,a ，()2,a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减.4．(1)答案见解析 (2)(,e 3]-∞+ 【解析】 【分析】（1）求导得到()x f x e a '=-，讨论0a 和0a >两种情况，分别计算得到答案. （2）0x >时，2e 1x x x a x +++≤，令2e 1()(0)x x x g x x x+++=>，求函数的最小值，得到答案. (1)()e 1x f x ax =-+，()e x f x a '∴=-.①当0a ≤时，()e 0x f x a '=->恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极大值也无极小值；②当0a >，(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.∴函数()f x 有极小值为ln (ln )e ln 1ln 1a f a a a a a a =-+=-+，无极大值.(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，则2e 1x x x a x +++≤恒成立，即2min e 1(0)x x x a x x ⎛⎫+++≤>⎪⎝⎭. 设2e 1()(0)x x x g x x x +++=>，则()2(1)e 1()x x x g x x -++'=，令()2(1)e1()0x x x g x x-++'==，解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，()(1)g x g ∴≥，min ()(1)e 3g x g ∴==+，∴当e 3a ≤+时满足对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，∴实数a 的取值范围为(,e 3]-∞+.5．(1)递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，极小值为2e --，没有极大值 (2)3 【解析】 【分析】（1）由导数分析单调性后求解 （2）参变分离后，转化为最值问题求解 (1)函数()()1ln f x x x =+的定义域为(0,)+∞， 由()=ln 2f x x '+，令()=0f x '可得2e x -=，当2(0,)e x -∈时，()0f x '<，函数()()1ln f x x x =+在2(0,e )-上单调递减， 当2(e ,)x -∈+∞时，()0f x '>，函数()()1ln f x x x =+在2(e ,)-+∞上单调递增， ∴ 函数()()1ln f x x x =+的递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，函数()()1ln f x x x =+在2e x -=时取极小值，极小值为2e --，函数()()1ln f x x x =+没有极大值 (2)当()1,x ∈+∞时，不等式()()1m x f x -<可化为ln 1x x xm x +<-， 设ln ()1x x xg x x +=-，由已知可得[]min ()g x m <， 又()()()22ln 2(1)ln 2'ln 11()x x x x g x x x x x x +---==----， 令()ln 2(1)h x x x x =-->，则1'()10h x x=->，∴ ()ln 2h x x x =--在()1,+∞上为增函数，又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， ∴ 存在0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -= 当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(,)x +∞上单调递增， ∴ []20000000min 00ln ()=()==11x x x x x g x g x x x x +-=--， ∴ 0m x <， ∴ m 的最大值为3. 6．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln xf x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=，直线y g x 过定点()1,0， 若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.7．(1)在(0,)+∞单调递增；(2)1b ≤【解析】【分析】（1）对函数()f x 通过求导，判断出导数恒大于等于0，得到()f x 在(0,)+∞单调递增.（2）将()g x 化简整理并求导，得到222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，讨论b 的取值可确定()g x 在(1,)+∞单调性，即可得到取值范围.(1)因为()f x 的定义域为(0,)+∞，对函数()f x 求导，则222221221(1)()10x x x f x x x x x '-+-=+-==≥，∴函数()f x 在(0,)+∞单调递增. (2)因为()()()28g x f x bf x =-，所以22211()2ln 8(2ln )0=----->g x x x b x x x x对1x ∀>恒成立， 322412()28(1)'=+--+-g x x b x x x x 4232312248(2)⎡⎤=+--+-⎣⎦x x b x x x x 222322(1)2(1)1(1)4(24)--⎡⎤=+-=++-⎣⎦x x x bx x b x x x当1x >时，124++>x x ，当44≤b ，即1b ≤时，()0g x '>对1x ∀>恒成立，∴()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)g x g >=0符合题意. 当1b >时，存在01x >使得当0(1,)x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减；此时()(1)0g x g <=这与()0>g x 恒成立矛盾.综上：1b ≤.【点睛】本题考查函数恒成立条件下求解参数范围问题，属于难题.对函数()g x 求导，有222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，再利用()1=0g 的特点，可分类讨论b 的取值范围，在1b ≤时，()g x 在(1,)+∞单调递增，原式成立，此时满足要求；当1b >时，()g x 在(1,)+∞先出现递减区间，必有()0g x <出现，与已知矛盾，即可确定b 的范围.8．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围；（2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2xe a x≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--，因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-，故m 的取值范围是(],2-∞-；(2)由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤，当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，当0x >时，2e x a x≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==， 则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增， 故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4a ≤， 综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 9．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点；②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案.(1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯. 故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关.(2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦ 【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围.(1)()()()()221422(0)e e x x mx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-< 当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立 所以()f x 在[]1,2上为增函数，即()()max min 242()2,()1e e m m f x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立 ()224e 24e e m -+∴≥ 即24e m ≤-， 又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。
高二数学导数试题答案及解析
高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为________。
【答案】【解析】根据题意，由于曲线的一条切线与直线垂直可知切线的斜率为4，那么由导数，则可知该点的坐标为（1,1），那么可知切线方程为。
【考点】导数的几何意义点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，属于基础题。
2.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为．则正实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合定积分可知【考点】定积分点评：若函数图形在x轴上方，则定积分值等于直线与函数曲线围成的图形的面积3.已知(Ⅰ)如果函数的单调递减区间为,求函数的解析式;(Ⅱ)对一切的,恒成立,求实数的取值范围【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】解:(Ⅰ)由题意的解集是即的两根分别是.将或代入方程得..(Ⅱ)由题意:在上恒成立即可得设,则令,得(舍)当时,;当时,当时,取得最大值, =2.的取值范围是.【考点】导数的应用点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。
本题是应用导数求函数的单调区间和解决不等式中参数的取值范围。
4.若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是_____________【答案】【解析】由题意得，f′（x）=3x2-12 在区间（k－1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2－12的根为±2，区间（k－1，k+1）的长度为2，故区间（k－1，k+1）内必须含有2或－2．∴k－1＜2＜k+1或k－1＜－2＜k+1，∴1＜k＜3 或－3＜k＜－1，答案为。
【考点】应用导数研究函数的单调性，简单不等式解法。
点评：中档题，注意到，函数在区间上不是单调函数，则函数的导数在区间上有实数根。
5.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，是定义在上的非负可导函数，且满足，即，所以，在是增函数，所以，若，则的大小关系为。
高二数学导数试题答案及解析
高二数学导数试题答案及解析1.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意，由于，故可知当0<x<1，递增，在1<x<2时函数递减，故可知函数在区间上最大值与最小值分别是，-2，故可知和为，故答案为。
【考点】函数的最值点评：主要是考查了导数在研究函数最值中的运用，属于基础题。
2.已知，则＝【答案】【解析】因为，，所以，，＝2e.【考点】导数的计算点评：简单题，利用导数的运算法则，求导数，求导函数值。
3.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，是定义在上的非负可导函数，且满足，即，所以，在是增函数，所以，若，则的大小关系为。
选A。
【考点】导数的运算法则，应用导数研究函数的单调性。
点评：中档题，在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。
比较大小问题，常常应用函数的单调性。
4.设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为【答案】-1【解析】由于函数是偶函数，所以曲线在点处的切线的斜率与该曲线在点处的切线的斜率互为相反数，故该曲线在点处的切线的斜率为-1【考点】导数的几何意义点评：本题结合偶函数的对称性及导数的几何意义的求解。
5.函数的单调减区间为_____ _【答案】【解析】因为，，所以，，由可得，函数的单调减区间为。
【考点】应用导数研究函数的单调性。
点评：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。
6.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为【答案】【解析】设矩形的一边长为xcm，则另一长为(10-x)cm 则圆柱体积(0<x<10)则(0<x<10) 6分令得或（舍）易知为函数唯一极大值点。
所以 2分【考点】函数模型，圆柱体体积公式，利用导数研究函数的最值。
高二数学导数大题练习题(含答案)
高二数学导数大题练习题(含答案)一、解答题1．已知函数()()2e 1=-+xf x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21ea ≥时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥． 2．已知函数()ln x f x x=． (1)求曲线()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；(2)设()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，求证：212e x x >．3．已知函数()32f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值． 4．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>．(1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．5．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.6．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<． 7．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．8．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．9．设函数y =x 3+ax 2+bx +c 的图像如图所示，且与y =0在原点相切，若函数的极小值为-4.(1)求a ，b ，c 的值. (2)求函数的递减区间.10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)1a = (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；（2）由于()()(1)e 2xf x x a =+-'，令()0f x '=，得1x =-或2ln x a=，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. (1)()()(1)e 2x f x x a =+-'，则(0)2f a '=-，由已知(2)1a a -=-，解得1a = (2)()()(1)e 2x f x x a =+-'（ⅰ）当0a ≤时，e 20x a -<，所以()01f x x '>⇒<-，()01f x x '<⇒>-，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减； （ⅱ）当0a >时，令e 20x a -=，得2ln x a=， ①02e a <<时，2ln 1a>-，所以()01f x x '>⇒<-或2ln x a >，()012ln af x x <⇒-<<'，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②2e a =时，()1()2(1)e 10x f x x +=+'-≥，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；③2e a >时，2ln 1a<-，所以2ln ()0x a f x >⇒<'或1x >-，2ln ()01f x ax <⇒<<-'，则()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增．综上，0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减；02e a <<时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；2e a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；2e a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． (3) 方法一：2()ln 2(0)f x x x x x ≥--->等价于e ln 10(0)x ax x x x --+≥>当21ea ≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 令221()e ln 1,()(1)e x x g x x x x g x x x --⎛⎫=--+=+- ⎝'⎪⎭ 令21()ex h x x-=-，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增 ∵11(1)10,(2)02h h e=-<=>， ∴存在0(1,2)x ∈，使得()00h x =，即020001e,2ln x x x x -=-=- 当()00,x x ∈时，()0g x '<，则()g x 在()00,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞上单调递增∴()02min 000000001()e ln 1210x g x g x x x x x x x x -==--+=⋅+--+= ∴()0g x ≥，故2()ln 2f x x x x ≥--- 方法二： 当21a e≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 2ln 2()e ln 1e (ln 2)1x x x g x x x x x x -+-=--+=-+--令ln 2t x x =+-，则t R ∈， 令()e 1t k t t =--，则()e 1t k t =-'当0t <时，()0k t '<；当0t >时，()0k t '>∴()k t 在区间(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增． ∴()(0)0k t k ≥=，即()0g x ≥ ∴2()ln 2f x x x x ≥---， 【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 2．(1)22e 3e 0x y --=； (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，计算1e f ⎛⎫⎪⎝⎭'和1ef ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点斜式代入写出切线方程；（2）设120x x >>，由题意得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，将证明212e x x >转化为证明()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，求导判断单调性即可证明. (1)由题意，()21ln x f x x -'=，则212e e f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，1e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为()21e 2e e y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即22e 3e 0x y --=. (2)设120x x >>，由题意，()()120g x g x ==， 所以1122ln 0,ln 0x kx x kx -=-=，可得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，要证明212e x x >，只需证12ln ln 2x x +>，即()122k x x +>，因为1212ln ln x x k x x -=-，所以可转化为证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+， 即()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()211ln1011h t ⨯->-=+， 即()21ln 1t t t ->+得证，所以212e x x >.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 3．(1)32()24f x x x x =+- (2)最大值为8，最小值为4027-． 【解析】 【分析】（1）由题意可得(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩从而可求出,a b ，即可求出()f x 的解析式，（2）令()0f x '=，求出x 的值，列表可得(),()f x f x '的值随x 的变化情况，从而可求出函数的最值 (1)由题意可得，2()32f x x ax b '=++．由(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ 经检验得2x =-时，()y f x =有极大值． 所以32()24f x x x x =+-． (2)由（1）知，2()344(2)(32)f x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，得12x =-，223x =，()'f x ，()f x 的值随x 的变化情况如下表：由表可知()f x 在[3,2]-上的最大值为8，最小值为27-． 4．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围；（2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e<<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x-+-'=--=，且()10f =， 由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数，又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数， 因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min 11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-． 设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦，令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x xx x --'=-=--，当11ee 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>，所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11ex <<时，()0p x <，()0h x <， 故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-，如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 5．(1)22y x =- (2)1-(3)(),1-∞-；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，()2ln f x x =，分别求出()1f 和()1f '求解即可；（2）条件等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+求解最大值即可； （3）令()()ln 0xm x x a x x=-->，求出()m x 的单调性，得到()()11max m x m a ==--， 根据题意求解a 的范围即可；不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，题设即证明()121m x m x ⎛⎫>⎪⎝⎭成立，构造()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭， 求解单调性得到()()10x ϕϕ>=即可求解. (1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =- (2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立， 所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立， 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln xh x x -'=， 令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增， 在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0xx a x--=， 令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=， 设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-； 再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-， 当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x xy x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷， 所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==， 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x xϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义， 往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．6．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值；(2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1， 故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，则()()1f m f n =<，则()274e 1142nn n -+<⇒<<．①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'． 设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<． 综上，7m n +<．7．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1xxxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e x g x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a ⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+. 8．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0， 若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解. 9．(1)3,0a b c =-==； (2)（0，2）． 【解析】 【分析】（1）由题得到三个方程，解方程即得解； （2）解不等式()'f x ＜0即得函数的单调递减区间． (1)解：由题意知(0)0f = ，∴c ＝0 .∴()f x ＝x 3+ax 2+bx ， 所以()'f x ＝3x 2+2ax +b 由题得(0)f '＝b ＝0，∴()'f x ＝3x 2+2ax ＝0，故极小值点为x 23a =-， ∴f （23a -）＝﹣4，∴323a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭a 223a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4，解得a ＝﹣3.故3,0a b c =-==. (2)解：令()'f x ＜0 即3x 2﹣6x ＜0，解得0＜x ＜2， ∴函数的递减区间为（0，2）．10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增(2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。
高二数学导数试题答案及解析
高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。
直线的斜率为。
由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。
故A正确。
【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。
2.已知函数在处有极大值，则=（）A．6B．C．2或6D．-2或6【答案】A【解析】根据题意，由于函数在处有极大值，则可知f’(2)=0,12-8c+=0，c=4.则可知=6，当c=2不符合题意，故答案为A.【考点】函数的极值点评：主要是考查了函数极值的运用，属于基础题。
3.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意，由于，故可知当0<x<1，递增，在1<x<2时函数递减，故可知函数在区间上最大值与最小值分别是，-2，故可知和为，故答案为。
【考点】函数的最值点评：主要是考查了导数在研究函数最值中的运用，属于基础题。
4.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是（）A．（-∞，2）B．（0,3）C．（1,4）D．（2，+∞）【答案】D【解析】，由得：，故函数的单调递增区间为（2，+∞）。
故选Ｄ。
【考点】函数的单调性点评：求函数的单调区间，常结合导数来求，过程要用到的结论是：若，则函数的增区间为；若，则函数的减区间为5.下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“f(x)有极值点”的充要条件;⑤函数的单调递增区间是．其中真命题为____．(填序号)【答案】③⑤【解析】①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正确；②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（）=-2sin=-1，故不正确；③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）（x-2013），则g'（x）中含（x-2013）的将2013代入都为0，则g′（2013）=2012!故正确；④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，故不正确；⑤∵，∴，令得，解得x∈，故正确.综上，真命题为③⑤【考点】本题考查了导数的运用及三角函数的单调性点评：此类问题主要考查复合函数的导数，以及函数的极值、求值等有关知识，属于综合题6.若,则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，=，选A。
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
高二数学导数试题
高二数学导数试题1.用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．12B．10C．8D．6【答案】C【解析】设在四角截去的正方形的边长为，则铁盒容积为，而，即的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在时V有极大值.【考点】导函数的应用、函数思想.2.已知函数在处有极大值，则=（）A．6B．C．2或6D．-2或6【答案】A【解析】根据题意，由于函数在处有极大值，则可知f’(2)=0,12-8c+=0，c=4.则可知=6，当c=2不符合题意，故答案为A.【考点】函数的极值点评：主要是考查了函数极值的运用，属于基础题。
3.对于R上的可导的任意函数，若满足，则函数在区间上必有（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】根据题意，由于对于R上的可导的任意函数，若满足1<x<2时，则可知函数f(x)递增，故可知函数在区间上必有成立，故答案为A.【考点】函数的单调性点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。
4.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）【答案】A【解析】根据题意，由于函数的导函数在区间上是增函数，函数在区间上的图象对于A,递增，的导数值从小的正数开始增大，成立，对于B，由于函数递增，导数的值逐渐减小，对于C，导数值不变，对于D，导数值先增大再减小，故选A.【考点】导数的概念点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，属于基础题。
5.已知函数（1）当时，求的极小值；（2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；（3）设，求的最大值的解析式．【答案】（1）-2（2）（3）【解析】（1） 1分当时，时，，2分的极小值是 3分（2）法1：，直线即，依题意，切线斜率，即无解 4分6分法2：， 4分要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立， 6分（3）因故只要求在上的最大值. 7分①当时，9分②当时，（ⅰ）当在上单调递增，此时 10分（ⅱ）当时，在单调递增；1°当时，；2°当（ⅰ）当（ⅱ）当 13分综上 14分【考点】导数的几何意义及函数极值最值点评：利用函数在某一点处的导数值等于过改点的切线斜率可确定第二问中导数值不可能为，求函数极值最值首先求得导数，当导数等于0时得到极值点，确定单调区间从而确定是极大值还是极小值，第三问求最值要分情况讨论在区间上的单调性，对于分情况讨论题是一个难点内容6.已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】，设，所以斜率的范围倾斜角的范围【考点】函数导数计算与几何意义点评：函数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，均值不等式求最值时要注意一正二定三相等的条件7.已知函数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 直线的方程为，切点坐标为【解析】(Ⅰ) 1分在点处的切线的斜率， 2分切线的方程为. 4分(Ⅱ)设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：． 6分又直线过点，，整理，得，，，的斜率， 10分直线的方程为，切点坐标为． 12分【考点】导数的几何意义及直线方程点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，在求切线方程时要从切点入手，找到切点满足的条件即可求得其坐标8.曲线上的点到直线的最短距离是__________.【答案】【解析】直线y=2x+3在曲线y=ln（2x+1）上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x-y+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2x-y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．解：因为直线2x-y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2x-y+3=0的距离d=即曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是故答案为：【考点】点到直线的距离点评：在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键．同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用．9.已知函数,若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于函数,若，则实数的值为2，故答案为A.【考点】导数的概念点评：主要是考查了导数的概念的运用，属于基础题。
(完整版)导数习题+答案
一．解答题（共9小题）1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．2．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；（3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2．3．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值；（Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n）4．已知函数f（x）=2e x﹣x（1）求f（x）在区间[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最小值；（2）求证：对时，恒有．5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．6．已知函数f（x）=ln（x+2）﹣a（x+1）（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞﹣2，证明：1﹣≤ln（x+2）≤x+1．7．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若x＞﹣1，证明：．8．已知函数（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．9．已知函数f（x）=（1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性（2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。
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高二数学导数专题训练一、选择题1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 7米/秒B 6米/秒C 5米/秒D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 03 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3yx x 的递增区间是（ ）A )1,(-∞B )1,1(-C ),(+∞-∞D ),1(+∞5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）A. f(x) 〉0B.f(x)〈 0C.f(x) = 0D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件7．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)--8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0二、填空题11．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 三、解答题：15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。
18．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．19．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；20.已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；（3）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.参考答案一、选择题 AABCB ACCDB 二、填空题11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（13-，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，13）∪（1，+∞））12．(,0)-∞ 13．34π14．122n +- ()()/11222,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以21n na n =+，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==-- 三、解答题：15．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'236y x x =+切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到3235y x x =+-得3b =-，即(1,3)P --，33(1),360y x x y +=-+++=16．解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+ '2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去）(1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值17．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+（2）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或单调递增区间为()1010-+∞ 18．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）（I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f得 ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………（4分） （II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a所以396)(23++-=x x x x f …………（8分）（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点；42381432--=+-='x x x x x g ，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273． …………（10分） 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）19．解：（I ）当1k =时，2()1xf x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分） （II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）②当0k >时，1()11()111k k x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分） 令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k '∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分）20．解(1)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（2）由（1）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表： 故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减， 在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （3）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得 43m -<又0m < 所以403m -<<即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。